선다발과 벡터다발

우리는 앞선 글에서 다양체 $X$ 위의 divisor들을 정의하고, 이들의 linear equivalence class들이 $\Cl(X)$를 이룸을 보았다. 그러나 모든 divisor가 어떤 유리함수의 zero/pole으로부터 오는 것은 아니다. 예를 들어 $\Cl(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$이므로 (§인자, ⁋예시 11), $\mathbb{P}^n$에서 일반적인 divisor $dH$는 $d \ge 0$일 때만 어떤 함수의 zero set으로 나온다.

이러한 제약을 극복하기 위해 우리는 line bundle을 도입한다. Line bundle $\mathcal{L}$은 각 점 $p \in X$에 1차원 벡터공간을 대응시키는 기하학적 대상이며, $\mathcal{L}$의 section $s$는 자연스럽게 divisor $\divisor(s)$를 정의한다. 이 관점에서는 임의의 divisor $D$에 대해 $\mathcal{O}_X(D)$라는 line bundle을 만들 수 있고, 그 section들이 $D$보다 크거나 같은 divisor들에 대응된다. 즉, line bundle은 divisor를 함수의 zero 혹은 pole이라는 제약에서 벗어나 독립적으로 다룰 수 있게 해 준다.

Line Bundle의 정의

Line bundle, 더 나아가 이 글의 뒷부분에서 정의할 vector bundle은 미분기하 등등의 다른 분야에서와 마찬가지 방식으로 정의된다. ([미분다양체] §접다발과 여접다발, ⁋정의 1 혹은 [대수적 위상수학] §특성류, ⁋정의 2 등등)

정의 1 Variety $X$ 위의 line bundle $\mathcal{L}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

Projection $\pi: \mathcal{L} \to X$.
$X$의 open cover $\{U_i\}$와 각 $i$에 대한 local trivialization $\phi_i: \pi^{-1}(U_i) \overset{\sim}{\longrightarrow} U_i \times \mathbb{A}^1$. 이들이 정의하는
\[\phi_j \circ \phi_i^{-1}: (U_i \cap U_j) \times \mathbb{A}^1 \to (U_i \cap U_j) \times \mathbb{A}^1\]
는 적당한 transition function $g_{ij} \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)^\ast$에 대하여 $(p, t) \mapsto (p, g_{ij}(p)t)$의 꼴이다.

두 line bundle $\mathcal{L}, \mathcal{M} \to X$ 사이의 morphism $\varphi \colon \mathcal{L} \to \mathcal{M}$은 각 점 $p \in X$에서 fiber 사이의 $\mathbb{K}$-linear map $\varphi_p \colon \mathcal{L}_p \to \mathcal{M}_p$를 정의하며, 적당한 open cover ${U_k}$ 위에서 $\mathcal{O}_X(U_k)$-module homomorphism

\[\varphi_k \colon \mathcal{O}_{U_k} \to \mathcal{O}_{U_k}\]

으로 표현될 수 있고, 이들 사이에

\[g^{\mathcal{M}}_{kl} \circ \varphi_l = \varphi_k \circ g^{\mathcal{L}}_{kl}\]

이 성립한다. Line bundle의 fiber는 1차원이므로, 각 $\varphi_k$는 적당한 $h_k \in \mathcal{O}_X(U_k)$에 의한 곱셈 $s \mapsto h_k s$로 주어진다. $\varphi$가 각 fiber에서 bijective일 때, 이를 isomorphism이라 부르고 $\mathcal{L} \cong \mathcal{M}$으로 표기한다. Fiber가 1차원이므로 이는 각 점에서 nonzero scalar를 주는 것과 같으며, 즉 compatible하게 $h_k \in \mathcal{O}_X(U_k)^\ast$를 선택하는 것과 동치이다.

그럼 다음 명제는 cocycle condition의 정의로부터 직접 확인된다.

명제 2 (Cocycle condition) Transition functions $\{g_{ij}\}$는 다음의 cocycle condition을 만족한다.

$g_{ii} = 1$ for all $i$.
$g_{ij} = g_{ji}^{-1}$ for all $i, j$.
$g_{ij} g_{jk} = g_{ik}$ on $U_i \cap U_j \cap U_k$ for all $i, j, k$.

예시 3 Trivial line bundle $\mathcal{O}_X = X \times \mathbb{A}^1$은 모든 transition function이 $g_{ij} = 1$인 line bundle이다. 이는 twist가 없는 가장 간단한 line bundle이다.

따라서 정의 1의 둘째 조건은 line bundle $\mathcal{L}$이 적당한 열린집합 $U \subseteq X$로 제한했을 때 trivial line bundle과 isomorphic한 것을 의미한다.

명제 2는 흔한 gluing condition으로, 이 조건에 의해 line bundle은 일종의 sheaf로 생각할 수 있다. ([위상수학] §층, ⁋정의 1) 구체적으로, 우리는 line bundle $\mathcal{L}$이 주어졌을 때, 이 line bundle의 section sheaf를

\[U\mapsto \mathcal{O}_X(\mathcal{L})(U)=\{s: U \to \mathcal{L} \mid \pi \circ s = \id_U\}\]

으로 정의한다. 즉 $\mathcal{O}_X(\mathcal{L})$은 surjection $\pi$의 section들의 sheaf이다. ([위상수학] §층, ⁋예시 9)

그럼 Local trivialization $\phi_i: \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times \mathbb{A}^1$에 의해 $\mathcal{O}_X(\mathcal{L})\vert_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}$이다. 이를 통해 우리는 $U_i$ 위에서는 국소적으로 이 section들을 일상적인 $\mathbb{K}$-valued 함수처럼 생각할 수 있다.

이는 다음을 의미한다.

정의 4 Sheaf $\mathcal{F}$가 invertible이라는 것은 각 점 $p \in X$의 근방 $U$에서 $\mathcal{F}\vert_U \cong \mathcal{O}_U$인 것이다.

위에서 우리가 보인 것은 line bundle의 section sheaf는 invertible이라는 것이다. 다음 명제는 그 역 또한 성립한다는 것을 보여준다.

명제 5 Line bundle $\mathcal{L}$의 section sheaf $\mathcal{O}_X(\mathcal{L})$은 invertible sheaf이다. 역으로, 모든 invertible sheaf는 유일한 line bundle로부터 온다.

증명

Invertible sheaf $\mathcal{F}$에 대하여, local isomorphism $\mathcal{F}\vert_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}$들로부터 transition functions을 정의할 수 있고, 이로부터 line bundle을 재구성할 수 있다.

이 명제에 의해 우리는 line bundle과 invertible sheaf가 같은 개념인 것을 안다. 관습적으로 $\mathcal{L}$로 표기할 때는 line bundle으로 부르고, $\mathcal{O}_X(\mathcal{L})$로 표기할 때는 invertible sheaf라 불러서 그 맥락을 강조한다.

Line bundle의 연산

미분기하의 세계에서는 fiberwise하게 선형대수에서의 연산을 가져와서 새로운 bundle을 구성하는 것이 자연스럽다. 대수기하에서도 마찬가지인데, 우선 우리는 line bundle의 경우를 살펴보고 있으므로 지금 살펴봐야 할 것은 $\otimes$와 $\Hom$, 그 중에서도 dual $(-)^\vee$이다.

명제 6 두 line bundle $\mathcal{L}, \mathcal{M}$의 tensor product $\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}$도 line bundle이다. 그 transition functions은 $\{g_{ij} h_{ij}\}$이다. 여기서 $\{g_{ij}\}, \{h_{ij}\}$는 각각 $\mathcal{L}, \mathcal{M}$의 transition functions이다.

증명

Tensor product의 fiber는 $\mathcal{L}_p \otimes_{\mathbb{K}} \mathcal{M}_p$이고, 이는 두 1차원 벡터공간의 tensor product이므로 다시 1차원이다. Transition function은 $\phi_j \circ \phi_i^{-1}$과 $\psi_j \circ \psi_i^{-1}$의 곱이 되므로 $g_{ij} h_{ij}$이다.

임의의 line bundle $\mathcal{L}$에 대하여, $\mathcal{L}$의 dual bundle $\mathcal{L}^\vee$는 각 fiber가

\[\mathcal{L}_x^\vee=\Hom_\mathbb{K}(\mathcal{L}_x, \mathbb{K})\]

로 주어지는 bundle이다. 만일 명제 5를 따라 line bundle들을 (invertible) sheaf로 생각한다면 $\mathcal{L}^\vee$는 sheaf Hom $\sHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X)$에 해당하는 line bundle이다.

명제 7 Line bundle $\mathcal{L}$의 dual bundle $\mathcal{L}^\vee$도 line bundle이며, 그 transition functions은 $\{g_{ij}^{-1}\}$이다.

증명

Dual bundle의 fiber는 $\mathcal{L}_p^\vee = \Hom_{\mathbb{K}}(\mathcal{L}_p, \mathbb{K})$이고, 이는 1차원 벡터공간의 dual이므로 다시 1차원이다. Transition function은 $g_{ij}$의 inverse이다.

이제 다음 명제는 $\otimes$와 $(-)^\vee$의 관계를 보여주며, 이 관계는 Picard group을 정의할 때 중요한 역할을 한다.

명제 8 임의의 line bundle $\mathcal{L}$에 대해 $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^\vee \cong \mathcal{O}_X$이다.

증명

$\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^\vee$의 transition functions은 $g_{ij} \cdot g_{ij}^{-1} = 1$이므로 trivial bundle이다.

언제나와 마찬가지로, line bundle 또한 충분히 작은 affine open set 위에서 살펴보아 그 구조를 이해할 수 있다. Line bundle $\mathcal{L}$을 생각하고, $\mathcal{L}$이 trivial이도록 하는 affine open subset $U_i$를 택하자. 그럼 projection map

\[\pi\vert_{\pi^{-1}(U_i)}:\pi^{-1}(U_i) \rightarrow U_i\]

는 affine variety 사이의 함수이고 따라서 §아핀다양체, ⁋명제 16로부터 coordinate ring 사이의 ring homomorphism이 유도된다. 이 ring homomorphism은 $\pi^{-1}(U_i)$의 coordinate ring을 $U_i$의 coordinate ring을 계수로 갖는 module로 만들고, 차원을 고려해보면 그 rank는 1이다. $U_i$의 임의의 열린집합에서도 $\mathcal{L}$은 trivial하므로, 우리는 line bundle은 affine-local하게는 coordinate ring 위의 invertible module이 된다는 것을 확인할 수 있다. ([가환대수학] §분수아이디얼, ⁋정의 1) 그럼 이 때 line bundle들 위에서 정의되는 연산 $\otimes$와 $\vee$는 각각 [가환대수학] §분수아이디얼, ⁋정리 3의 연산으로부터 오는 것이며, 따라서 [가환대수학] §분수아이디얼, ⁋정의 5을 따라 다음의 이름을 붙이는 것이 어색하지 않다.

정의 9 Variety $X$의 Picard group $\Pic(X)$는 $X$ 위의 line bundle들의 isomorphism class들의 집합에 tensor product를 연산으로 하여 얻어진 group이다. 항등원은 trivial bundle $\mathcal{O}_X$이고, $\mathcal{L}$의 inverse는 $\mathcal{L}^\vee$이다.

여기서 trivial bundle이 실제로 항등원의 역할을 한다는 것은 예시 3과 명제 6에 의해 직접 확인된다. 뿐만 아니라, tensor product의 성질에 의해 다음이 성립한다.

명제 10 $\Pic(X)$는 abelian group이다.

증명

명제 6에 의해 tensor product은 line bundle들의 이항연산이며, 명제 8에 의해 $\mathcal{O}_X$가 항등원이고 $\mathcal{L}^\vee$가 $\mathcal{L}$의 역원이다. Tensor product의 교환법칙 $\mathcal{L} \otimes \mathcal{M} \cong \mathcal{M} \otimes \mathcal{L}$과 결합법칙 $(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}) \otimes \mathcal{N} \cong \mathcal{L} \otimes (\mathcal{M} \otimes \mathcal{N})$은 transition functions의 수준에서 $g_{ij}h_{ij} = h_{ij}g_{ij}$ 및 $(g_{ij}h_{ij})k_{ij} = g_{ij}(h_{ij}k_{ij})$로부터 직접 얻어진다.

앞선 글에서와 마찬가지로, 우리의 toy example은 $\mathbb{A}^n$과 $\mathbb{P}^n$이다.

예시 11 $\mathbb{A}^n$의 coordinate ring $R = \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]$은 UFD이며, 위 논의에 의해 $\mathbb{A}^n$ 위의 line bundle은 $R$ 위의 invertible module과 correspondence한다. ([가환대수학] §분수아이디얼, ⁋정리 4)에 의해 UFD 위의 invertible module은 free이므로, $\Pic(\mathbb{A}^n) = 0$이다.

예시 12 $\mathbb{P}^n$의 line bundle $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)$를 다음과 같이 정의한다. 우선 각각의 standard open cover

\[U_i = \{[x_0 : \cdots : x_n] \mid x_i \ne 0\}\]

가 이 bundle의 trivializing open set이다. 즉, 이들 위에서 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)$는 trivial line bundle이다. 이제 이들 사이의 transition map은 각각의 $U_i \cap U_j$에서 $\mathcal{O}_{U_j}\vert_{U_i \cap U_j} \to \mathcal{O}_{U_i}\vert_{U_i \cap U_j}$를 다음의 식

\[g_{ij}: f\mapsto (x_i/x_j)^df\]

로 정의한다. 즉, 각 점 $x \in U_i \cap U_j$와 그 점에서의 fiber $v \in \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)_x\cong \mathbb{A}^1$에 대하여, transition map은

\[g_{ij}(x): v \mapsto (x_i/x_j)^d(x) \cdot v\]

로 주어진다. 이러한 방식으로 우리는 group homomorphism

\[\mathbb{Z}\rightarrow \Pic(\mathbb{P}^n);\qquad d\mapsto [\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)]\]

을 정의할 수 있다.

우리의 주장은 이것이 isomorphism이라는 것이다. 우선 임의의 line bundle $\mathcal{L}$에 대하여, $\mathcal{L}\vert_{U_i}$는 예시 11에 의해 trivial line bundle과 isomorphic하므로, 각각의 $U_i\cap U_j$의 transition function $h_{ij}$가 $\mathcal{L}$을 완전히 결정한다. 그런데 정의에 의해 $U_i\cap U_j$에서 $h_{ij}\in \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(U_i\cap U_j)^\ast$이므로 $h_{ij}$는 반드시 $c_{ij}(x_i/x_j)^d$ 꼴이다. 이 때 transition function이 상수배인 line bundle은 trivial하므로 이로부터 위의 group homomorphism이 surjective인 것을 안다. 비슷하게, $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)\cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d')$라 두고 transition function을 비교해보면,

\[\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d-d')\cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)\otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-d')\cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)\otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d')^\vee\cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}\]

이기 위해서는 반드시 $d-d'=0$이어야 하므로 이는 injective하기도 하다.

직관적으로, $\mathbb{P}^n$의 line bundle $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)$에서의 정수 $d$는 fiber가 base를 따라 이동할 때 꼬이는 횟수를 측정하는 지표로 이해할 수 있다. $d=0$일 때 $\mathcal{O}(0)$는 trivial bundle이므로 꼬임이 없고, $d>0$이면 한 방향으로 $d$번 꼬이며 $d<0$이면 반대 방향으로 $\lvert d\rvert$번 꼬인다. 이는 transition function $g_{ij}(x) = (x_i/x_j)^d(x)$에서 $d$가 꼬임의 정도를 직접적으로 나타냄을 뜻한다. 다만 이 직관은 다소 부정확할 수 있으므로 예시 16 이후에 약간의 설명을 보충해야 한다.

한편 projective space $\mathbb{P}^n$ 위에는 그 정의 자체로부터 자연스럽게 유도되는 특별한 line bundle이 존재한다. 이 tautological bundle은 $\mathbb{P}^n$의 각 점이 나타내는 직선을 그 점에 대응시키는 bundle로, projective space의 기하학을 이해하는 데 근본적인 역할을 한다.

정의 13 $\mathbb{P}^n$의 각 점 $x = [x_0 : \cdots : x_n]$은 $\mathbb{A}^{n+1}$의 원점을 지나는 직선 $\ell_x = \{(\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n) \mid \lambda \in \mathbb{K}\}$을 각 점에 달아준 공간

\[\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1) = \{(x, v) \in \mathbb{P}^n \times \mathbb{A}^{n+1} \mid v \in \ell_x\}\]

을 생각하자. 그럼 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$에서 $\mathbb{P}^n$으로의 projection map $\pi=\pr_1$이 정의하는 line bundle을 $\mathbb{P}^n$ 위의 tautological line bundle이라 부른다.

즉, 이 정의에서 각 fiber $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)_x$는 점 $x$가 나타내는 직선 그 자체이다. 그 표기가 알려주듯, 다음이 성립한다. 구별을 위해 다음 명제에서만은 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$은 예시 12가 아니라 정의 13의 bundle인 것으로 생각하자.

명제 14 Tautological bundle $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$은 위 예시 12에서 정의한 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$의 dual이다. 즉, $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)^\vee$이다.

증명

Standard open cover $U_i = \{x \mid x_i \ne 0\}$ 위에서 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$의 local trivialization을 구성하자. 임의의 $(x, v) \in \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$에 대해 $v = \lambda x$ ($\lambda \in \mathbb{K}$)로 쓸 수 있으므로, $\phi_i(x, v) = (x, v_i)$로 정의하면 $\phi_i: \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times \mathbb{A}^1$이 된다. 역사상은 $\phi_i^{-1}(x, t) = (x, (t/x_i)\, x)$이다. $U_i \cap U_j$에서의 transition function은 $\phi_j \circ \phi_i^{-1}(x, t) = (x, t x_j / x_i)$에서 $g_{ij}(x) = x_j/x_i$를 얻는다. 이는 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$의 transition function $x_i/x_j$의 inverse이다.

특히 $\mathbb{P}^1$의 경우에서 $\mathcal{O}(-1)$을 살펴보면 위에서 직관적으로 설명한 꼬임의 의미가 훨씬 명확하다. $\mathbb{A}^2\setminus \{0\}$에서 $\mathbb{P}^1$을 만드는 과정은 우선, $\mathbb{A}^2\setminus\{0\}$을 radial projection을 통해 단위원으로 만든 후, 단위원의 antipodal point들을 identify하는 것으로 생각할 수 있는데, 이 과정에서 반대방향의 두 벡터가 identify되는 일, 즉 fiber가 꼬이는 일이 발생하기 때문이다. 이러한 꼬임을 보는 방법 중 하나는 line bundle $\mathcal{L}$의 section을 보는 것이다.

정의 15 Line bundle $\mathcal{L}$의 global section들의 공간을 $\Gamma(X, \mathcal{L})$로 표기한다. 즉, $\Gamma(X, \mathcal{L})$는 각 점 $x\in X$마다 fiber $\pi^{-1}(x)\subset \mathcal{L}$ 내의 원소를 대응시키는 regular map들의 집합이다.

Global section space의 또 다른 대중적인 표기법 중 하나는 $H^0(X, \mathcal{L})$이다. 이 표기법은 §층 코호몰로지, ⁋정의 1에서 정당화될 것이나, 그 전까지는 $\Gamam(X, \mathcal{L})$을 사용하기로 한다.

예시 16 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$의 global section은 $0$뿐이다. 즉,

\[\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)) = 0\]

이다. 이를 확인하기 위해 우리는 명제 14에서 구한 transition function $g_{ij} = \x_j/\x_i$를 사용한다. Global section $s$는 각 $U_i$에서

\[s_i \in \mathcal{O}(U_i) = \mathbb{K}[\x_0/\x_i, \ldots, \x_n/\x_i]\]

로 표현되고, $U_i \cap U_j$에서 $s_j = (\x_i/\x_j)\, s_i$를 만족해야 한다. $\mathcal{O}(U_i) \to \mathcal{O}(U_i \cap U_j)$가 embedding이므로, $(\x_j/\x_i)\, s_i$가 $\mathcal{O}(U_j) = \mathbb{K}[\x_0/\x_j, \ldots, \x_n/\x_j]$에 속해야 한다. 이는 $s_i$가 homogeneous degree $-1$ 항만 가져야 함을 의미하지만, $\mathcal{O}(U_i)$는 degree $\geq 0$ 항들만 포함하므로 $s_i = 0$이다.

이 명제는 tautological bundle의 꼬임을 section의 관점에서 보여준다. 가령, $\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(-1))=0$이라는 사실은 특히 모든 $x\in \mathbb{P}^1$마다 fiber의 1을 대응시키는 “상수함수” 또한 존재하지 않는다는 것을 의미한다. 이는, 위의 기하학적 관점에서 보면, $\mathbb{P}^1$을 한 바퀴를 돌아왔을 때 원래의 1이 아니라 (예를 들면) $-1$이 되어있기 때문이다.

한편 예시 16의 계산은 임의의 $d$에 대해서도 확장할 수 있는데, 특히 임의의 $d<0$에 대하여 $\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(-1))=0$인 것을 동일한 논리로 보일 수 있으며, $d=0$인 경우, 즉 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(0)=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}$의 경우에는 section들이 homogeneous polynomial of degree $0$, 즉 상수함수들이라는 것을 확인할 수 있으므로 §준사영다양체, ⁋예시 6의 계산이 다시 확인된다.

주의를 기울일 부분은 $d>0$인 경우이다. 이 경우 section들은 예시 16과 정확히 동일한 계산에 의해 homogeneous polynomial of degree $d$들임을 확인할 수 있다. 특히 $\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\neq 0$이며, 이는 예시 12 이후의 직관이 다소 과하게 단순화되었다는 것을 보여주는 계산이라 생각할 수 있다.

이 현상에 대한 더 정확한 설명은 다음과 같다. 편의상 $\mathbb{P}^1$에서의 예시를 보자. $\mathcal{O}(-1)$의 section들은 homogeneous of degree $-1$이므로, 특히 다음의 꼴

\[s([x_0:x_1])=\frac{a}{x_0}+\frac{b}{x_1}\]

이고 이 함수가 $\mathbb{P}^1$ 전체에서 정의되기 위해서는 반드시 $a=b=0$이어야 한다. 반면, $\mathcal{O}(1)$의 section들은 homogeneous polynomial of degree $1$이므로, 다음의 꼴

\[s([x_0:x_1])=ax_0+bx_1\]

의 함수들이며 위와는 달리 $a,b$에 어떠한 제약도 없다. 직관적으로, $\mathcal{O}(-1)$의 section들은 분모로 인해 zero section을 넘을 수 없고, 따라서 모든 section이 “$1$이 $-1$에 붙는”, 꼬임이 만들어내는 문제를 피해갈 수 없다. 이 꼬임은 $\mathcal{O}(1)$에서도 같은 문제를 만든다. 즉 “constant section” $s([x_0:x_1])$은 $\mathcal{O}(1)$에서도 마찬가지로 section이 아니다. 그러나 이번에는 $\mathcal{O}(1)$의 section들이 zero section을 넘어갈 수 있기 때문에 $\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(1))\neq 0$이게 된다.

Divisor – Line Bundle correspondence

이제 우리는 divisor와 line bundle 사이의 본질적인 연결을 확립한다. 우선 우리는 Cartier divisor로부터 line bundle을 만들 수 있다는 것을 보인다.

정의 17 Cartier divisor $D = \{(U_i, f_i)\}$에 대하여, line bundle $\mathcal{O}_X(D)$를 transition function들 $g_{ij} = f_i/f_j$로 정의한다.

즉, $U_i$들 위에서는 trivial bundle로 잡고, 이를 각각의 overlap에서 Cartier divisor가 담고 있는 정확히 그 정보를 이용하여 이어주는 것이다. 만일 $\mathcal{O}_X(D)$를 sheaf로 본다면, 즉 위에서 정의한 line bundle의 sheaf of sections를 생각한다면 각각의 열린집합 $U$ 위에서 $\mathcal{O}_X(D)(U)$는 (sheaf로서) 다음 식

\[\divisor(f)+D\geq 0\]

을 만족하는 함수들의 sheaf이다. 즉 $\mathcal{O}_X(D)$는, 만일 $D$를 codimension $1$ subvariety of $X$로 본다면, $D$를 따라 최대 order $1$의 pole을 가질 수 있는 rational function들의 sheaf이다. 거꾸로 $\mathcal{O}_X(-D)$는 다음의 식

\[\divisor(f)-D\geq 0\]

으로 주어지며, 이는 정확히 $D$ 위에서 vanish하는 함수들의 sheaf이다. 즉

\[\mathcal{O}_X(-D)(U)=\{f\in \mathcal{O}_X(U)\mid \text{$f$ vanishes on $D\cap U$}\}\]

이며, 이로부터 다음의 short exact sequence

\[0\rightarrow \mathcal{O}_X(-D)\rightarrow \mathcal{O}_X\rightarrow \mathcal{O}_D\rightarrow 0\]

을 얻는다. 그럼 $\mathcal{O}_X(-D)$는 $D$를 정의하는 ideal들의 sheaf이며 이러한 이유로 이를 $\mathcal{I}_D$로 적고 ideal sheaf라 부른다.

명제 18 위의 정의는 well-defined이다. 즉, 서로 동치인 Cartier divisor들은 isomorphic한 line bundle을 정의한다.

증명

두 Cartier divisor $\{(U_i, f_i)\}$와 $\{(V_j, g_j)\}$가 동치이면, $f_i/g_j \in \mathcal{O}_X(U_i \cap V_j)^\ast$이다. 이들로부터 정의되는 line bundle들의 transition functions은 서로 compatible하므로 isomorphic한 line bundle을 정의한다.

예를 들어, 임의의 principal divisor $\divisor(f)$에 대하여 transition function은 $1$이므로 trivial bundle이 된다. 이제 line bundle과 Cartier divisor 사이의 관계를 정리한다.

명제 19 임의의 variety $X$에 대하여 $\Pic(X) \cong \CaCl(X)$이다.

증명

우선 $D \mapsto \mathcal{O}_X(D)$가 $\CaDiv(X)$에서 $\Pic(X)$로의 group homomorphism임을 확인한다. Cartier divisor $D = \{(U_i, f_i)\}$에 대해 $\mathcal{O}_X(D)$의 transition function은 $g_{ij} = f_i/f_j \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)^\times$이므로 line bundle을 정의한다. Principal divisor $\divisor(h)$는 transition function이 $1$이므로 trivial bundle에 대응되고, 따라서 $\CaCl(X) = \CaDiv(X)/\Prin(X)$에서 $\Pic(X)$로의 well-defined group homomorphism을 유도한다.

이것이 isomorphism임을 보이기 위해, 임의의 line bundle $\mathcal{L}$이 주어졌다고 하자. Trivializing open $U \subseteq X$에서 $\mathcal{L}\vert_U \cong \mathcal{O}_U$이므로, $\mathcal{O}_U$의 constant section $1$에 대응되는 $s \in \mathcal{L}(U)$를 잡을 수 있으며, 이 $s$는 nonzero rational section이다. 이제 $\mathcal{L}$의 trivializing cover $\{U_i\}$를 생각하자. 각 $U_i$에서 trivialization $\psi_i\colon \mathcal{L}\vert_{U_i} \cong \mathcal{O}_{U_i}$를 잡고, $f_i := \psi_i(s\vert_{U_i \cap U}) \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U) \subseteq \mathbb{K}(X)$를 정의한다. 그러면 $U_i \cap U_j \cap U$ 위에서 $f_i = g_{ij} f_j$이고, $X$가 irreducible이므로 $U_i \cap U_j \cap U$는 $U_i \cap U_j$의 dense open subset이므로 이 관계는 $U_i \cap U_j$ 전체에서 성립한다. 즉 $f_i/f_j = g_{ij} \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)^\times$이므로 $D = \{(U_i, f_i)\}$는 Cartier divisor이고, $\mathcal{O}_X(D)$의 transition function이 $\{g_{ij}\}$이므로 $\mathcal{O}_X(D) \cong \mathcal{L}$이다.

마지막으로 injectivity를 보인다. $\mathcal{O}_X(D) \cong \mathcal{O}_X(D')$이면 두 line bundle의 transition function이 같으므로 $f_i/f_i' = f_j/f_j'$ on $U_i \cap U_j$ (모든 $i, j$). 다시 $U_i \cap U_j$의 dense open subset에서 이 관계가 성립하므로 $f_i/f_i'$는 모든 $i$에 대해 동일한 rational function $h \in \mathbb{K}(X)^\times$이고, $D - D' = \divisor(h)$이므로 linearly equivalent하다.

만일 $X$가 smooth라면, $\CaCl(X)\cong \Cl(X)$임을 이미 알고 있다. 이들의 관계는 다음 commutative diagram에 담겨있다.

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Pullback of Line Bundles

Morphism $\varphi: X \to Y$가 주어졌을 때, $Y$ 위의 line bundle을 $X$ 위로 “당기는” 연산은 자연스럽게 정의된다. 예를 들어, $Y$ 위의 hypersurface를 $\varphi$에 의해 $X$ 위로 당기면, 이에 대응하는 line bundle도 함께 당겨져야 한다. 이 pullback 연산은 Picard group 사이의 group homomorphism을 유도하며, embedding의 경우 ambient space의 line bundle을 부분다양체로 제한하는 것으로 이해할 수 있다.

명제 20 Morphism $\varphi: X \to Y$와 $Y$ 위의 line bundle $\mathcal{L}$에 대하여, pullback $\varphi^\ast \mathcal{L}$은 $X$ 위의 line bundle이다. 그 transition functions은 $\{g_{ij} \circ \varphi\}$이다. 여기서 $\{g_{ij}\}$는 $\mathcal{L}$의 transition functions이다.

증명

Line bundle $\mathcal{L}$이 open cover $\{U_i\}$ 위에서 transition functions $\{g_{ij}\}$로 주어졌다고 하자. Pullback $\varphi^\ast \mathcal{L}$은 open cover $\{\varphi^{-1}(U_i)\}$ 위에서 transition functions $\{g_{ij} \circ \varphi\}$로 정의된다. $\varphi^\ast \mathcal{L}$이 $X$ 위의 line bundle임을 확인하려면, transition function들이 cocycle 조건을 만족하면 된다.

Cocycle 조건 세 가지를 모두 확인한다.

$g_{ii} \circ \varphi = 1 \circ \varphi = 1$ since $g_{ii} = 1$.
$(g_{ij} \circ \varphi)(g_{ji} \circ \varphi) = (g_{ij} g_{ji}) \circ \varphi = 1 \circ \varphi = 1$ since $g_{ij} g_{ji} = 1$.
$(g_{ij} \circ \varphi)(g_{jk} \circ \varphi) = (g_{ij} g_{jk}) \circ \varphi = g_{ik} \circ \varphi$ since $g_{ij} g_{jk} = g_{ik}$.

따라서 $\{g_{ij} \circ \varphi\}$는 cocycle condition을 만족한다.

명제 21 Pullback은 group homomorphism $\varphi^\ast: \operatorname{Pic}(Y) \to \operatorname{Pic}(X)$를 유도한다.

증명

$\varphi^\ast(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}) \cong \varphi^\ast \mathcal{L} \otimes \varphi^\ast \mathcal{M}$이고 $\varphi^\ast \mathcal{O}_Y \cong \mathcal{O}_X$이므로, pullback은 group homomorphism이다.

이를 확인하기 위해 transition function 관점에서 살펴보자. $\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}$의 transition function은 $g_{ij}^{\mathcal{L}} g_{ij}^{\mathcal{M}}$이므로, $\varphi^\ast(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M})$의 transition function은 $(g_{ij}^{\mathcal{L}} g_{ij}^{\mathcal{M}}) \circ \varphi = (g_{ij}^{\mathcal{L}} \circ \varphi)(g_{ij}^{\mathcal{M}} \circ \varphi)$이다. 이는 각각 $\varphi^\ast\mathcal{L}$과 $\varphi^\ast\mathcal{M}$의 transition function이므로, $\varphi^\ast(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}) \cong \varphi^\ast\mathcal{L} \otimes \varphi^\ast\mathcal{M}$을 얻는다. 또한 $\mathcal{O}_Y$의 transition function은 모두 $1$이므로 $\varphi^\ast\mathcal{O}_Y$의 transition function도 $1$, 즉 $\varphi^\ast\mathcal{O}_Y \cong \mathcal{O}_X$이다.

예시 22 Embedding $i: C \hookrightarrow \mathbb{P}^n$에 대해, $i^\ast \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$은 curve $C$ 위의 line bundle이다. 이를 $C$ 위의 hyperplane bundle이라 부르며, $\mathcal{O}_C(1)$로 표기한다. 일반적으로 $\mathcal{O}_C(1)$은 nontrivial인데, 예를 들어 $C = \mathbb{P}^1 \subset \mathbb{P}^n$일 때 $\mathcal{O}_C(1) = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)$은 예시 12에서 본 바와 같이 nontrivial line bundle이다. “Hyperplane bundle”이라는 이름은, $\mathbb{P}^n$의 hypersurface 중 degree $1$인 것, 즉 hyperplane $H$에 대응하는 line bundle $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$을 $C$ 위로 당겼을 때 얻어지는 bundle이라는 의미에서 붙여졌다.

Vector Bundle

지금까지 우리는 1차원 벡터공간을 fiber로 갖는 line bundle을 살펴보았다. 이 개념을 일반화하여 각 fiber가 고차원 벡터공간인 vector bundle을 정의할 수 있다. Vector bundle은 다양체의 접공간, 법공간 등 기하학적으로 자연스럽게 등장하는 구조를 포착하며, 미분기하학에서의 접다발, 벡터장 등의 개념의 대수기하학적 아날로그이다. Line bundle은 rank 1 vector bundle의 특수한 경우이며, vector bundle 이론의 관점에서 line bundle의 성질들을 더욱 명확하게 이해할 수 있다.

정의 23 다양체 $X$ 위의 rank r vector bundle $\mathcal{E}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

Projection $\pi: \mathcal{E} \to X$.
$X$의 open cover $\{U_i\}$와 각 $i$에 대한 local trivialization $\phi_i: \pi^{-1}(U_i) \overset{\sim}{\longrightarrow} U_i \times \mathbb{A}^r$. 이들이 정의하는
\[\phi_j \circ \phi_i^{-1}: (U_i \cap U_j) \times \mathbb{A}^r \to (U_i \cap U_j) \times \mathbb{A}^r\]
는 적당한 transition function $g_{ij} \in \operatorname{GL}_r(\mathcal{O}_X(U_i \cap U_j))$에 대하여 $(p, v) \mapsto (p, g_{ij}(p)v)$의 꼴이다.

Line bundle의 정의와 비교하면, 유일한 차이는 fiber가 $\mathbb{A}^1$ 대신 $\mathbb{A}^r$이고, transition function이 $\mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)^\ast = \operatorname{GL}_1(\mathcal{O}_X(U_i \cap U_j))$ 대신 $\operatorname{GL}_r(\mathcal{O}_X(U_i \cap U_j))$ 값을 갖는다는 점이다. 따라서 line bundle은 정확히 rank 1 vector bundle이다.

명제 2와 같은 cocycle condition이 성립한다. 다만 transition function이 행렬값을 가지므로 곱셈의 순서에 주의해야 한다.

예시 24 가장 단순한 예시는 line bundle $\mathcal{O}_X$로부터 오는 rank $r$ trivial vector bundle $\mathcal{O}_X^{\oplus r}$이다. 이는 line bundle $\mathcal{O}_X$를 $r$번 direct sum하여 얻어지는 것이다.

기하학적으로 중요한 대상들은 tangent bundle과 cotangent bundle이다. Tangent bundle $\mathcal{T}_X$는 각 점 $p \in X$에 tangent space $T_p X$를 fiber로 갖는 vector bundle로, 만약 $X$가 $n$차원 smooth variety이면 rank $n$ vector bundle이고, local coordinate $\x_1, \ldots, \x_n$에서 $\partial/\partial \x_1, \ldots, \partial/\partial \x_n$이 local frame을 이룬다. Cotangent bundle $\Omega_X^1 = \mathcal{T}_X^\vee$는 tangent bundle의 dual이며, local coordinate에서 $d\x_1, \ldots, d\x_n$이 local frame을 이룬다.

직관적으로 $\Omega_X^1$은 $X$ 위에 정의된 differential $1$-form들의 bundle이므로, 이들을 $r$번 텐서하여 $r$-form들의 bundle을 얻을 수 있다. 이들 중 제일 흥미로운 것은 top exterior power $\omega_X = \bigwedge^n \Omega_X^1$으로, 이는 rank $1$ vector bundle, 즉 line bundle이며 미분기하학에서였다면 volume form들의 bundle이라 생각할 수 있었을 것이다. 우리는 이를 canonical line bundle이라 부른다.

위와 같이 vector bundle에 대해서도 line bundle과 유사한 연산을 정의할 수 있다. 두 vector bundle $\mathcal{E}, \mathcal{F}$의 tensor product $\mathcal{E} \otimes \mathcal{F}$는 fiberwise tensor product로 정의되며, 그 transition functions은 $g_{ij}^{\mathcal{E}} \otimes g_{ij}^{\mathcal{F}}$이다. Dual bundle $\mathcal{E}^\vee$의 transition functions은 $\left(g_{ij}^{\mathcal{E}}\right)^{-t}$ (inverse transpose)이다. 또한 direct sum $\mathcal{E} \oplus \mathcal{F}$는 fiberwise direct sum으로 정의되며, 이때 transition functions은 block diagonal matrix $\begin{pmatrix} g_{ij}^{\mathcal{E}} & 0 \\ 0 & g_{ij}^{\mathcal{F}} \end{pmatrix}$이 된다.

Tautological Bundle on Grassmannian

위에서 정의한 $\mathbb{P}^n$ 위의 tautological bundle $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$은 Grassmannian으로 자연스럽게 일반화된다. Grassmannian $\Gr(k, n)$은 $n$차원 벡터공간의 $k$차원 부분공간들의 공간이며, 이 일반화에서 tautological bundle은 rank $k$ vector bundle이 되며, 이와 쌍대를 이루는 quotient bundle도 자연스럽게 정의된다.

정의 25 Grassmannian $\Gr(k, n)$ 위에 다음 두 vector bundle을 정의한다.

Tautological bundle $S$: 각 점 $[V] \in \Gr(k, n)$ (여기서 $V \subseteq \mathbb{A}^n$는 $k$차원 부분공간)에 그 부분공간 $V$ 자체를 fiber로 대응시키는 rank $k$ vector bundle. $S = \{([V], v) \in \Gr(k, n) \times \mathbb{A}^n \mid v \in V\}$
Quotient bundle $Q$: 각 점 $[V]$에 몫공간 $\mathbb{A}^n / V$를 fiber로 대응시키는 rank $n-k$ vector bundle. $Q = \{([V], [w]) \in \Gr(k, n) \times (\mathbb{A}^n / S) \mid [w] \in \mathbb{A}^n / V\}$

이들 사이에는 자연스러운 short exact sequence가 존재한다.

\[0 \to S \to \mathcal{O}_{\Gr(k,n)}^{\oplus n} \to Q \to 0\]

여기서 가운데 항은 $\Gr(k, n) \times \mathbb{A}^n$으로, trivial bundle of rank $n$이다. 첫 번째 사상은 각 점 $([V], v) \in S$를 $([V], v) \in \mathcal{O}^{\oplus n}$으로 포함시키는 것이고, 두 번째 사상은 $([V], w) \in \mathcal{O}^{\oplus n}$을 $([V], [w]) \in Q$로 보내는 quotient map이다.

명제 26 $\Gr(1, n+1) = \mathbb{P}^n$에서 tautological bundle $S$는 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$과 isomorphic하다.

증명

$\Gr(1, n+1)$의 각 점은 $\mathbb{A}^{n+1}$의 1차원 부분공간, 즉 원점을 지나는 직선이다. 이는 정확히 $\mathbb{P}^n$의 점에 해당한다. Tautological bundle $S$의 각 fiber는 이 직선 그 자체이므로, 이는 정의 13에서 정의한 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$과 동일하다.

이 명제는 Grassmannian의 tautological bundle이 사영공간에서는 익숙한 $\mathcal{O}(-1)$으로 귀결됨을 보여준다. Quotient bundle $Q$의 경우, $\Gr(1, n+1) = \mathbb{P}^n$에서 rank $n$이며, 이는 tangent bundle $\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n}$과 밀접한 관계가 있다. 실제로 $\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n} \cong \Hom(S, Q) \cong S^\vee \otimes Q$가 성립한다.

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.

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