[Divisors]에서 우리는 유리함수의 영점과 극점을 형식합으로 표현하는 divisor의 개념을 정의했다. Divisor class group $\operatorname{Cl}(X)$는 divisor들의 선형 동치류들의 group이며, 이는 다양체의 중요한 불변량이다. 이제 우리는 divisor와 밀접하게 관련된 또 다른 중요한 개념인 line bundle을 소개한다.
Line bundle은 다양체 위의 각 점에 1차원 벡터공간을 대응시키는 “twisted product”이다. 가장 간단한 예는 trivial line bundle $X \times \mathbb{A}^1 \to X$이지만, 일반적으로 line bundle은 국소적으로는 trivial하면서 전역적으로는 “twisted”된 구조를 가질 수 있다. Line bundle들의 isomorphism class들은 Picard group을 형성하며, 이는 명제 16에서 보듯 divisor class group과 자연스럽게 동형이다.
Line Bundle의 정의
정의 1 다양체 $X$ 위의 line bundle (또는 invertible sheaf) $\mathcal{L}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 전사 사상 $\pi: \mathcal{L} \to X$.
- $X$의 open cover ${U_i}$와 각 $i$에 대한 isomorphism $\phi_i: \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times \mathbb{A}^1$ (이를 local trivialization이라 부른다).
- 각 $i, j$에 대해 $\phi_j \circ \phi_i^{-1}: (U_i \cap U_j) \times \mathbb{A}^1 \to (U_i \cap U_j) \times \mathbb{A}^1$이 $(p, t) \mapsto (p, g_{ij}(p)t)$의 꼴인 조건. 여기서 $g_{ij} \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)^\ast$는 transition function이라 부른다.
각 점 $p \in X$에 대해 fiber $\mathcal{L}p = \pi^{-1}(p)$는 1차원 벡터공간이다. Local trivialization $\phi_i$는 $U_i$ 위에서 $\mathcal{L}$을 trivial bundle $U_i \times \mathbb{A}^1$과 동형으로 만든다. Transition function $g{ij}$는 두 trivialization 사이의 “twist”를 측정한다.
명제 2 Transition functions ${g_{ij}}$는 다음의 cocycle condition을 만족한다.
- $g_{ii} = 1$ for all $i$.
- $g_{ij} = g_{ji}^{-1}$ for all $i, j$.
- $g_{ij} g_{jk} = g_{ik}$ on $U_i \cap U_j \cap U_k$ for all $i, j, k$.
증명
이들은 모두 $\phi_j \circ \phi_i^{-1}$의 정의로부터 직접 따른다. 예를 들어, $U_i \cap U_j \cap U_k$에서
\[(p, t) \xrightarrow{\phi_i^{-1}} (p, t) \xrightarrow{\phi_k} (p, g_{ik}(p)t)\] \[(p, t) \xrightarrow{\phi_i^{-1}} (p, t) \xrightarrow{\phi_j} (p, g_{ij}(p)t) \xrightarrow{\phi_k} (p, g_{jk}(p)g_{ij}(p)t)\]이 두 경로가 같아야 하므로 $g_{ik} = g_{jk} g_{ij}$이다.
예시 3 Trivial line bundle $\mathcal{O}X = X \times \mathbb{A}^1$은 모든 transition function이 $g{ij} = 1$인 line bundle이다. 이는 “twist가 없는” 가장 간단한 line bundle이다.
Invertible Sheaf로서의 Line Bundle
Line bundle은 sheaf 이론의 언어로 invertible sheaf로 표현할 수 있다. 이 관점은 line bundle의 section들을 다루는 데 더 자연스럽다.
| 정의 4 Sheaf $\mathcal{F}$가 invertible이라는 것은 각 점 $p \in X$의 근방 $U$에서 $\mathcal{F} | _U \cong \mathcal{O}_U$인 것이다. 즉, $\mathcal{F}$가 국소적으로 구조층과 동형인 sheaf이다. |
명제 5 Line bundle $\mathcal{L}$의 section sheaf $\mathcal{O}_X(\mathcal{L})$은 invertible sheaf이다. 역으로, 모든 invertible sheaf는 유일한 line bundle로부터 온다.
증명
Line bundle $\mathcal{L}$의 section sheaf는 각 open set $U$에 대해
\[\mathcal{O}_X(\mathcal{L})(U) = \{s: U \to \mathcal{L} \mid \pi \circ s = \operatorname{id}_U\}\]| 으로 정의된다. Local trivialization $\phi_i: \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times \mathbb{A}^1$에 의해 $\mathcal{O}_X(\mathcal{L}) | {U_i} \cong \mathcal{O}{U_i}$이다. 따라서 $\mathcal{O}_X(\mathcal{L})$은 invertible sheaf이다. |
| 역으로, invertible sheaf $\mathcal{F}$가 주어지면, local isomorphism $\mathcal{F} | {U_i} \cong \mathcal{O}{U_i}$들로부터 transition functions을 정의할 수 있고, 이로부터 line bundle을 재구성할 수 있다. |
이 명제에 의해 우리는 line bundle과 invertible sheaf를 동의어로 사용할 수 있다. 관습적으로 $\mathcal{L}$로 표기할 때는 line bundle을, $\mathcal{O}_X(\mathcal{L})$로 표기할 때는 sheaf를 강조한다.
Tensor Product와 Dual
명제 6 두 line bundle $\mathcal{L}, \mathcal{M}$의 tensor product $\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}$도 line bundle이다. 그 transition functions은 ${g_{ij} h_{ij}}$이다. 여기서 ${g_{ij}}, {h_{ij}}$는 각각 $\mathcal{L}, \mathcal{M}$의 transition functions이다.
증명
Tensor product의 fiber는 $\mathcal{L}p \otimes{\mathbb{K}} \mathcal{M}p$이고, 이는 두 1차원 벡터공간의 tensor product이므로 다시 1차원이다. Transition function은 $\phi_j \circ \phi_i^{-1}$과 $\psi_j \circ \psi_i^{-1}$의 곱이 되므로 $g{ij} h_{ij}$이다.
명제 7 Line bundle $\mathcal{L}$의 dual bundle $\mathcal{L}^\vee = \mathcal{H}om_{\mathcal{O}X}(\mathcal{L}, \mathcal{O}_X)$도 line bundle이다. 그 transition functions은 ${g{ij}^{-1}}$이다.
증명
Dual bundle의 fiber는 $\mathcal{L}p^\vee = \operatorname{Hom}{\mathbb{K}}(\mathcal{L}p, \mathbb{K})$이고, 이는 1차원 벡터공간의 dual이므로 다시 1차원이다. Transition function은 $g{ij}$의 inverse이다.
명제 8 임의의 line bundle $\mathcal{L}$에 대해 $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^\vee \cong \mathcal{O}_X$이다.
증명
$\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^\vee$의 transition functions은 $g_{ij} \cdot g_{ij}^{-1} = 1$이므로 trivial bundle이다.
Picard Group
정의 9 다양체 $X$의 Picard group $\operatorname{Pic}(X)$는 $X$ 위의 line bundle들의 isomorphism class들의 집합에 tensor product를 연산으로 하여 얻어진 group이다. 항등원은 trivial bundle $\mathcal{O}_X$이고, $\mathcal{L}$의 inverse는 $\mathcal{L}^\vee$이다.
명제 10 $\operatorname{Pic}(X)$는 abelian group이다.
증명
Tensor product는 commutative이고 associative이다. 명제 8에 의해 $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^\vee \cong \mathcal{O}_X$이므로 inverse가 존재한다.
예시 11 $\mathbb{A}^n$의 Picard group: $\operatorname{Pic}(\mathbb{A}^n) = 0$이다.
증명
$\mathbb{A}^n = \operatorname{Spec} \mathbb{K}[\x_1, \ldots, \x_n]$은 affine variety이고, 그 coordinate ring은 unique factorization domain이다. 이 경우 모든 line bundle은 trivial이다. 이는 [Divisors] §예시 9에서 $\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n) = 0$임과 일치한다.
예시 12 $\mathbb{P}^n$의 Picard group: $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$이다. 생성원은 hyperplane bundle $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$이다.
$\mathcal{O}{\mathbb{P}^n}(1)$은 다음과 같이 정의된다. $\mathbb{P}^n$의 standard open cover $U_i = {[x_0 : \cdots : x_n] \mid x_i \ne 0}$에서, transition functions은 $g{ij} = x_j/x_i$이다. 일반적으로 $\mathcal{O}{\mathbb{P}^n}(d)$는 $g{ij} = (x_j/x_i)^d$를 transition functions으로 갖는 line bundle이며, $\operatorname{div}(x_0^d) = dH$에 대응된다. 여기서 $H = V(x_0)$는 hyperplane divisor이다.
Divisor와 Line Bundle의 관계
이제 우리는 divisor와 line bundle 사이의 본질적인 연결을 확립한다.
정의 13 Cartier divisor $D = {(U_i, f_i)}$에 대하여, line bundle $\mathcal{O}X(D)$를 transition functions $g{ij} = f_i/f_j$로 정의한다.
명제 14 위의 정의는 well-defined이다. 즉, 서로 동치인 Cartier divisor들은 isomorphic한 line bundle을 정의한다.
증명
두 Cartier divisor ${(U_i, f_i)}$와 ${(V_j, g_j)}$가 동치이면, $f_i/g_j \in \mathcal{O}_X(U_i \cap V_j)^\ast$이다. 이들로부터 정의되는 line bundle들의 transition functions은 서로 compatible하므로 isomorphic한 line bundle을 정의한다.
명제 15 Principal divisor $\operatorname{div}(f)$에 대하여 $\mathcal{O}_X(\operatorname{div}(f)) \cong \mathcal{O}_X$이다.
증명
Principal divisor $\operatorname{div}(f) = {(X, f)}$의 transition function은 $g_{ij} = f/f = 1$이므로 trivial bundle이다.
명제 16 Smooth variety $X$에 대하여 $\operatorname{Pic}(X) \cong \operatorname{Cl}(X)$이다.
증명
Cartier divisor $D \mapsto \mathcal{O}_X(D)$는 $\operatorname{CaDiv}(X)$에서 $\operatorname{Pic}(X)$로의 group homomorphism이다. 명제 15에 의해 principal divisor들은 trivial bundle에 대응되므로, 이는 $\operatorname{Cl}(X) = \operatorname{CaDiv}(X)/\operatorname{Prin}(X)$에서 $\operatorname{Pic}(X)$로의 isomorphism을 유도한다.
역으로, line bundle $\mathcal{L}$이 주어지면, rational section $s \in H^0(X, \mathcal{L} \otimes \mathbb{K}(X))$를 선택하여 divisor $\operatorname{div}(s)$를 정의할 수 있다. 이는 well-defined이며 $\mathcal{L} \mapsto \operatorname{div}(s)$는 $\operatorname{Pic}(X)$에서 $\operatorname{Cl}(X)$로의 inverse map을 정의한다.
Sections of Line Bundles
정의 17 Line bundle $\mathcal{L}$의 global section들은 $H^0(X, \mathcal{L})$로 표기하며, 이는 $\mathcal{L}$의 section sheaf의 global section들이다.
명제 18 Effective divisor $D$에 대하여, $H^0(X, \mathcal{O}_X(D))$는 $D$보다 크거나 같은 effective divisor들에 대응되는 rational function들의 공간과 자연스럽게 동형이다.
증명
$\mathcal{O}_X(D)$의 section $s$는 각 $U_i$에서 $s_i \in \mathcal{O}_X(U_i)$로 표현되고, $U_i \cap U_j$에서 $s_i = (f_i/f_j) s_j$를 만족한다. 이는 rational function $f = s_i/f_i$를 정의하며, $\operatorname{div}(f) + D \ge 0$을 만족한다. 역으로, 이러한 $f$로부터 section $s$를 재구성할 수 있다.
예시 19 $\mathbb{P}^n$의 line bundle sections: $H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d))$는 차수 $d$의 동차다항식들의 공간과 동형이다. 이는 [사영다양체] §동차다항식과 사영공간에서 정의된 homogeneous coordinates $\x_0, \ldots, \x_n$에 의해 생성된다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
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