유리사상

§정칙사상에서 우리는 준사영다양체 사이의 “다항식 사상”인 regular map을 정의했다. Regular map은 모든 점에서 정의되는 함수이므로, 이론적으로 깔끔하지만 실제로는 제약이 많다. 예를 들어, \((x, y) \mapsto [x : y]\)는 원점에서 정의되지 않는다. 그러나 이 함수는 원점을 제외한 모든 점에서 잘 정의되며, 기하학적으로 매우 자연스러운 함수이다. 이 절에서 우리는 “대부분의 점에서” 정의되는 함수인 유리사상을 연구하고, 이를 통해 두 다양체가 “대부분 같은” 구조를 갖는지를 판별하는 쌍유리동치의 개념을 도입한다.

유리함수

Regular function이 모든 점에서 다항식으로 표현되는 함수라면, rational function은 “대부분의 점에서” 다항식의 비율로 표현되는 함수이다. 이는 마치 복소해석학에서 meromorphic function이 holomorphic function의 비율로 표현되는 것과 비슷하다. Meromorphic function은 isolated poles을 제외한 모든 점에서 holomorphic이듯, rational function 역시 “나쁜 점들”을 제외한 대부분의 점에서 well-defined이다.

정의 1 준사영다양체 \(X\) 위의 rational function_유리함수란 \(X\)의 어떤 비어있지 않은 열린부분집합 \(U\)에서 정의된 regular function \(f: U \to \mathbb{K}\)를 말한다. 두 rational function \(f: U \to \mathbb{K}\)와 \(g: V \to \mathbb{K}\)는 \(U \cap V\)에서 일치할 때 같은 것으로 본다.

이 정의에서 핵심은 rational function이 전역적으로 정의될 필요가 없다는 점이다. 예를 들어 \(\mathbb{A}^1\)에서 \(1/x\)는 원점에서 정의되지 않지만, \(\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}\)에서는 well-defined이므로 rational function이다. 두 rational function이 같다는 것은 그들이 “일반적으로” 같다는 것을 의미하며, 이는 기약다양체에서 열린집합이 dense하다는 사실과 잘 맞는다.

\(X\) 위의 모든 rational function들의 집합을 \(\mathbb{K}(X)\)로 표기한다. 두 rational function의 합과 곱은 정의되는 영역의 교집합에서 정의되며, 0이 아닌 rational function의 역은 그 함수가 0이 아닌 점들에서 정의된다. 따라서 \(\mathbb{K}(X)\)는 field(체)를 이룬다. 이 field는 다양체 \(X\)의 “함수체”라 불리며, \(X\)의 birational invariant 중 가장 기본적인 것이다.

명제 2 기약 아핀다양체 \(X\)에 대해 \(\mathbb{K}(X)\)는 coordinate ring \(\mathbb{K}[X]\)의 fraction field와 같다.

증명

\(\mathbb{K}[X]\)의 원소는 \(X\) 전체에서 정의되는 regular function이고, \(\mathbb{K}(X)\)의 원소는 \(X\)의 어떤 열린부분집합에서 정의되는 regular function이다.

먼저 \(\operatorname{Frac}(\mathbb{K}[X]) \subseteq \mathbb{K}(X)\)임을 보이자. \(f/g \in \operatorname{Frac}(\mathbb{K}[X])\)라면, \(g \ne 0\)이므로 \(X \setminus V(g)\)는 비어있지 않은 열린집합이다. \(f/g\)는 이 열린집합에서 정의되는 regular function이므로 \(\mathbb{K}(X)\)의 원소이다.

이제 \(\mathbb{K}(X) \subseteq \operatorname{Frac}(\mathbb{K}[X])\)임을 보이자. \(h \in \mathbb{K}(X)\)라면, \(h\)는 어떤 열린집합 \(U\)에서 정의된다. 기역다양체에서 열린집합은 dense하므로, \(U\)는 principal open set들 \(X \setminus V(g_i)\)의 합집합으로 쓰일 수 있다. 각 \(X \setminus V(g_i)\)에서 \(h = f_i/g_i\)로 표현되고, \(X\)가 기역이므로 모든 \(f_i/g_i\)는 \(\operatorname{Frac}(\mathbb{K}[X])\)에서 같은 원소를 나타낸다.

이 명제는 기역 아핀다양체의 경우, rational function을 coordinate ring의 원소들의 비율 \(f/g\)로 구체적으로 표현할 수 있음을 보여준다. 여기서 \(g \ne 0\)이면 \(f/g\)는 \(X \setminus V(g)\)에서 정의된다. 이는 rational function을 계산하는 실질적인 방법을 제공한다. 예를 들어, \(X = V(\y - \x^2)\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[\x, \y]/(\y - \x^2) \cong \mathbb{K}[x]\)이고, 따라서 \(\mathbb{K}(X) = \mathbb{K}(x)\)이다.

예시 3 Rational function field의 예시들을 살펴보자.

1. \(\mathbb{K}(\mathbb{A}^n) = \mathbb{K}(x_1, \ldots, x_n)\)이다. 이는 \(n\)변수 rational function field이며, \(x_i\)들은 \(\mathbb{A}^n\)의 좌표함수들이다. 예를 들어 \(x_1/x_2\)는 \(\{x_2 \ne 0\}\)에서 정의되는 rational function이다. 이는 affine space가 “가장 자유로운” 다양체임을 보여준다.
2. \(\mathbb{K}(\mathbb{P}^n) = \mathbb{K}(x_1/x_0, \ldots, x_n/x_0) \cong \mathbb{K}(t_1, \ldots, t_n)\)이다. 이는 \(\mathbb{P}^n\)의 rational function이 \(U_0 = \{x_0 \ne 0\} \cong \mathbb{A}^n\)에서의 rational function과 같음을 의미한다. 예를 들어 \(x_1/x_0\)은 \(U_0\)에서 첫 번째 좌표함수이다. Projective space가 affine space와 birationally equivalent함을 보여준다.
3. \(\mathbb{K}(V(\y - \x^2)) = \mathbb{K}(x)\)이다. Parabola \(V(\y - \x^2)\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[\x,\y]/(\y-\x^2) \cong \mathbb{K}[x]\)이고, 그 fraction field는 \(\mathbb{K}(x)\)이다. 기하학적으로, 이는 parabola가 직선과 birationally equivalent함을 시사한다. 사실 이들은 isomorphic이다.

유리사상의 정의

Rational function이 “대부분의 점에서” 정의되는 \(\mathbb{K}\)-값 함수라면, rational map은 “대부분의 점에서” 정의되는 다양체 사이의 함수이다. 이는 regular map의 자연스러운 확장이다. Regular map이 모든 점에서 정의되어야 하는 반면, rational map은 일부 “나쁜 점들”에서 정의되지 않아도 된다.

정의 4 기역 준사영다양체 \(X, Y\) 사이의 rational map_유리사상이란 \(X\)의 어떤 비어있지 않은 열린부분집합 \(U\)에서 정의된 regular map \(\varphi: U \to Y\)를 말한다. 두 rational map \(\varphi: U \to Y\)와 \(\psi: V \to Y\)는 \(U \cap V\)에서 일치할 때 같은 것으로 본다.

Rational map은 보통 \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)로 표기하며, 점선은 “모든 점에서 정의되지 않을 수 있음”을 나타낸다. 정의되지 않는 점들을 base points라 부른다. Base points는 rational map의 “특이점”으로, 이 점들에서 함수가 “폭발”한다. Rational map의 핵심은 base points를 제외하면 regular map처럼 행동한다는 점이다.

명제 5 Rational map \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)는 정의되는 점들의 집합 \(\operatorname{dom}(\varphi)\)를 갖는다. 이는 \(X\)의 열린부분집합이며, \(\varphi\)는 \(\operatorname{dom}(\varphi)\) 전체에서 정의된다.

증명

\(\varphi\)가 \(U_1, U_2\)에서 각각 regular map으로 정의되고 \(U_1 \cap U_2 \ne \emptyset\)에서 일치한다면, \(\varphi\)는 \(U_1 \cup U_2\)에서 정의된다. 따라서 \(\varphi\)가 정의되는 모든 열린집합들의 합집합 \(\operatorname{dom}(\varphi)\)에서 \(\varphi\)는 well-defined이다. 열린집합들의 합집합은 열린집합이므로 \(\operatorname{dom}(\varphi)\)는 \(X\)의 열린부분집합이다.

이 명제는 rational map이 “maximal domain”을 갖는다는 것을 보여준다. 즉, rational map을 정의할 수 있는 모든 점들을 모으면 하나의 열린집합이 된다. 기역다양체에서 열린집합은 dense하므로, rational map은 “대부분의 점에서” 정의된다고 할 수 있다.

예시 6 Projection from a point: \(\mathbb{P}^2 \dashrightarrow \mathbb{P}^1\), \([x : y : z] \mapsto [x : y]\)는 rational map이다. 이 map은 \([0 : 0 : 1]\)에서 정의되지 않는다. 기하학적으로, 이는 \([0 : 0 : 1]\)에서 \(\mathbb{P}^2\)의 점들을 \(\mathbb{P}^1\)으로 투영하는 것이다. 직선 \(\{[0 : 0 : z]\}\) 위의 모든 점이 \([0 : 0 : 1]\)로 “축소”되므로, 이 점에서 map이 정의되지 않는다. Domain은 \(\mathbb{P}^2 \setminus \{[0 : 0 : 1]\}\)이다. 이 예시는 projective space에서 rational map이 자연스럽게 발생함을 보여준다.

예시 7 \(\mathbb{A}^2 \dashrightarrow \mathbb{P}^1\), \((x, y) \mapsto [x : y]\)는 rational map이다. 이 map은 원점 \((0, 0)\)에서 정의되지 않는다. 기하학적으로, 이는 원점에서 \(\mathbb{A}^2\)의 점들의 “방향”을 \(\mathbb{P}^1\)으로 보내는 것이다. 원점에서는 방향이 정의되지 않으므로 base point가 된다. Domain은 \(\mathbb{A}^2 \setminus \{(0, 0)\}\)이다. 이 예시는 affine space에서도 rational map이 발생할 수 있음을 보여준다.

쌍유리동치

Regular map의 isomorphism이 두 다양체가 “완전히 같은” 구조를 갖는다는 것을 의미한다면, birational equivalence는 두 다양체가 “대부분 같은” 구조를 갖는다는 것을 의미한다. 이는 대수기하학에서 매우 중요한 개념이다. 많은 기하학적 성질들이 birational invariant이며, 따라서 birationally equivalent한 다양체들은 이러한 성질들을 공유한다.

정의 8 Rational map \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)가 birational map이라는 것은 역 rational map \(\psi: Y \dashrightarrow X\)가 존재하여 \(\psi \circ \varphi = \operatorname{id}_X\)와 \(\varphi \circ \psi = \operatorname{id}_Y\)가 (정의되는 곳에서) 성립하는 것이다. 두 다양체 \(X, Y\)가 birationally equivalent라는 것은 둘 사이에 birational map이 존재하는 것이다.

Birationally equivalent한 두 다양체는 “대부분의 점에서” isomorphic하다. 구체적으로, 다음 명제에서 보듯 두 다양체의 isomorphic한 열린부분집합들이 존재한다. 이는 birational equivalence가 isomorphism보다 약하지만 여전히 강력한 관계임을 보여준다.

명제 9 기역 다양체 \(X, Y\)에 대하여 다음이 동치이다.

1. \(X\)와 \(Y\)는 birationally equivalent하다.
2. \(\mathbb{K}(X) \cong \mathbb{K}(Y)\) (as fields)
3. \(X\)와 \(Y\)의 isomorphic한 비어있지 않은 열린부분집합들이 존재한다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2): Birational map \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)는 \(\operatorname{dom}(\varphi) \subseteq X\)에서 정의된다. \(\varphi\)가 regular이므로, pullback \(\varphi^\ast: \mathbb{K}(Y) \to \mathbb{K}(\operatorname{dom}(\varphi))\)가 존재한다. \(\mathbb{K}(\operatorname{dom}(\varphi)) = \mathbb{K}(X)\)이고 (기역다양체에서 열린집합의 rational function은 전체와 같음), \(\varphi\)가 birational이므로 \(\varphi^\ast\)는 field isomorphism이다.

(2) \(\Rightarrow\) (3): Field isomorphism \(\mathbb{K}(X) \cong \mathbb{K}(Y)\)를 생각하자. 이는 rational map \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)를 정의한다. \(\varphi\)의 domain을 \(U\)라 하고, \(\varphi^{-1}\)의 domain을 \(V\)라 하자. 그럼 \(\varphi: U \cap \varphi^{-1}(V) \to V \cap \varphi(U)\)는 isomorphism이다.

(3) \(\Rightarrow\) (1): \(U \subseteq X\)와 \(V \subseteq Y\)가 isomorphic하다면, isomorphism \(\varphi: U \to V\)를 rational map \(X \dashrightarrow Y\)로 볼 수 있다. 그 inverse 또한 rational map이므로 birational map이다.

이 정리는 birational equivalence를 판별하는 세 가지 방법을 제공한다. 특히 (2)는 함수체를 계산함으로써 birational equivalence를 판별할 수 있음을 보여준다. 이는 매우 실용적인 방법이다. 예를 들어, 두 다양체의 함수체가 \(\mathbb{K}(t_1, t_2)\)로 같다면, 이들은 birationally equivalent하다.

예시 10 Quadric surface와 \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\): \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)과 \(V(\x\y - \z\w) \subset \mathbb{P}^3\)은 birationally equivalent하다. 둘 다 rational function field \(\mathbb{K}(t_1, t_2)\)를 갖기 때문이다. 사실 이 둘은 isomorphic하다. Segre embedding \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^3\), \(([x : y], [u : v]) \mapsto [xu : xv : yu : yv]\)의 image가 정확히 \(V(\x\y - \z\w)\)이다. 이 예시는 birational equivalence가 isomorphism보다 약하지만, isomorphism을 포함함을 보여준다.

Blow-up과 유리사상

Blow-up은 birational geometry에서 가장 중요한 연산 중 하나이다. 이는 다양체의 특이점을 “해소”하거나 다양체의 구조를 단순화하는 데 사용된다. Blow-up은 국소적으로는 간단하지만, 전역적으로는 매우 강력한 도구이다.

예시 11 Blow-up of \(\mathbb{A}^2\) at origin:

\[\operatorname{Bl}_0 \mathbb{A}^2 = \{((x, y), [u : v]) \in \mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1 \mid xv = yu\}\]

이 집합은 \(\mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1\)의 닫힌부분다양체이다. 조건 \(xv = yu\)는 점 \((x, y)\)와 직선 \([u : v]\)이 “같은 방향”에 있음을 의미한다. 즉, 원점이 아닌 점 \((x, y)\)에 대해서는 유일한 직선 \([x : y]\)이 존재하고, 원점 \((0, 0)\)에 대해서는 모든 직선 \([u : v]\)가 가능하다.

Projection \(\pi: \operatorname{Bl}_0 \mathbb{A}^2 \to \mathbb{A}^2\)를 \(\pi((x, y), [u : v]) = (x, y)\)로 정의하자. 그럼:

• \(\pi\)는 원점이 아닌 모든 점에서 isomorphism이다. 구체적으로, \((x, y) \ne (0, 0)\)이면 \(\pi^{-1}(x, y) = \{((x, y), [x : y])\}\)이다.
• 원점 위의 fiber는 \(\pi^{-1}(0, 0) = \{((0, 0), [u : v]) \mid [u : v] \in \mathbb{P}^1\} \cong \mathbb{P}^1\)이다. 이를 exceptional divisor라 부른다.

따라서 \(\pi\)는 birational map이다. 기하학적으로, blow-up은 원점을 “폭발”시켜 원점을 지나는 모든 직선들의 공간 \(\mathbb{P}^1\)으로 대체한다. 이는 원점에서의 “특이성”을 \(\mathbb{P}^1\)이라는 매끄러운 다양체로 “펼쳐놓는” 과정이다.

Blow-up의 중요성은 다음과 같다:

1. 특이점 해소: 많은 특이점들은 적절한 blow-up을 통해 매끄러운 다양체로 바뀐다. 예를 들어, 평면 곡선의 node (자기 교차점)는 blow-up을 통해 두 개의 매끄러운 점으로 분리된다.
2. Birational map의 분해: 임의의 birational map은 blow-up과 blow-down의 합성으로 분해될 수 있다 (weak factorization theorem). 이는 birational geometry의 기본 정리 중 하나이다.
3. Minimal model program: Birational classification의 핵심 도구이다. 모든 다양체는 적절한 blow-down을 통해 “minimal model”에 도달할 수 있다.

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참고문헌

[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.