§준사영다양체, ⁋정의 7에서 우리는 준사영다양체 사이의 함수인 regular map을 정의하였다. 무엇보다 이는 정의역의 모든 점에서 정의되는 함수로, 설령 §아핀다양체, ⁋정의 13와 같은 형태로 \(D(f)\) 위에서 유리식 형태로 써 주더라도 그 분모에 들어갈 수 있는 것은 \(f\)의 거듭제곱꼴 뿐이기 때문에 모든 점에서 정의된다.
그러나, 여전히 많은 종류의 함수들이 regular map이 아닌 형태로 주어진다. 예를 들어, \((x, y) \mapsto [x : y]\)는 원점에서 정의되지 않으므로 regular map이 아니지만 충분히 자연스러운 함수처럼 보인다. 이 글에서 우리는
유리함수
Regular map을 정의할 때와 마찬가지로, 우리는 유리사상을 정의하기에 앞서 유리함수의 개념을 먼저 정의한다.
정의 1 Variety \(X\) 위의 rational function유리함수는 \(X\)의 공집합이 아닌 열린집합 \(U\)와 그 위에서 정의된 regular funcction \(f:U \rightarrow \mathbb{K}\)의 pair \((U,f)\)를 의미한다. 두 유리함수 \((U,f)\), \((V,g)\)가 equivalent하다는 것은 이들이 \(U\cap V\)에서 일치하는 것이다.
이에 대한 직관은 다음과 같다. Zariski topology 상에서 닫힌집합은 작고, 열린집합은 크다. 따라서 rational function은 작은 집합에서 정의되지 않지만, 나머지 대부분의 점에서는 정의되는 함수이다. 가령, 본질적으로 Zariski topology 상에서 열린집합은 \(D(g)\) 꼴의 집합들이라 생각해도 되는데, 이 위에서 정의된 regular function \(f/g\)들을 이제 우리는 함수로 생각하는 것이다. (§아핀다양체, ⁋정의 13) 물론 \(g\)가 \(0\)이 되는 점에서 이 함수는 정의되지 않겠지만, 정확히 그것이 우리가 열린집합 \(U\)에서 정의되는 함수들을 생각하는 이유이며, 어쨌든 \(g\)가 \(0\)이 되는 점들은 공간 전체에서 보면 작다.
\(X\) 위의 모든 rational function들의 집합을 \(\mathbb{K}(X)\)로 표기한다. 두 rational function의 합과 곱은 정의되는 영역의 교집합에서 정의되며, 0이 아닌 rational function의 역은 그 함수가 0이 아닌 점들에서 정의된다. 따라서 \(\mathbb{K}(X)\)는 field가 되며, 우리는 이를 function field라 부른다.
명제 2 Affine variety \(X\)에 대하여, \(\mathbb{K}(X)=\Frac\mathbb{K}[X]\)이 성립한다.
이 명제의 핵심적인 부분은 임의의 열린집합 \(U\)와 그 위에서 정의된 임의의 regular function \(f:U\rightarrow \mathbb{K}\)를 실제로 분수꼴로 나타내는 것인데, 어차피 \(U\)는 \(D(f)\)들의 합집합으로 나타낼 수 있고 (§아핀다양체, ⁋명제 6) 이 위의 regular function은 \(f\)의 거듭제곱을 분모로 갖는 유리식의 꼴이므로 증명이 어렵지 않다.
중요한 것은, 이 명제가 rational function을 계산하는 실질적인 방법을 제공한다는 것이다. 예를 들어, \(X = V(\y - \x^2)\)의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[\x, \y]/(\y - \x^2) \cong \mathbb{K}[\x]\)이고, 따라서 \(\mathbb{K}(X) = \operatorname{Frac}(\mathbb{K}[\x]) = \mathbb{K}(\x)\)이다.
명제 3
Variety \(X\)와 공집합이 아닌 열린집합 \(U\)에 대하여, \(\mathbb{K}(U) = \mathbb{K}(X)\)가 성립한다.
증명
우선 inclusion \(\iota: U \hookrightarrow X\)가 function field의 embedding \(\iota^\ast: \mathbb{K}(X)\rightarrow \mathbb{K}(U)\)를 유도하는 것은 자명하다. 임의의 nonzero field homomorphism은 inclusion이므로, 우리는 \(\iota^\ast\)가 surjective임을 보이면 충분하다. ([체론] §체, ⁋명제 2)
그런데 임의의 \(f \in \mathbb{K}(U)\)에 대하여, \(f\)는 \(U\)의 어떤 nonempty open subset \(V\)에서의 regular function이며, 그럼 이 \(V\)는 \(X\)의 열린집합이기도 하므로 이 pair \((V,f)\)는 \(\mathbb{K}(X)\)에 속한다.
예시 4 \(\mathbb{P}^n\)의 function field \(\mathbb{K}(\mathbb{P}^n)\)을 생각하면, 명제 3에 의해 \(\mathbb{P}^n\)의 open set \(U_0\)에서의 function field를 계산하면 충분하다. 그런데 \(U_0\)은 affine variety이므로, 명제 2에 의해 \(\mathbb{K}[U_0]\)의 fraction field와 같고 따라서 \(\mathbb{P}^n\)의 function field는 \(n\)개의 indeterminate로 생성되는 field \(\mathbb{K}(\t_1,\ldots, \t_n)\)와 같다.
구체적으로, 이는 \(\mathbb{P}^n\)의 원소를 \([x_0:\cdots: x_n]\)과 같이 표현하고 \(i\)번째 좌표를 읽어오는 좌표함수를 \(\x_i\)라 했을 때, \(\t_i=\x_i/\x_0\)로 두어 얻어진다. 만일 다른 open set \(U_j\)를 잡았다면 \(\t_i=\x_i/\x_j\)를 통해 비슷한 꼴의 유리함수들이 정의되었을 것이며, 따라서 일반적으로 \(\mathbb{P}^n\)의 rational function들은 같은 차수의 homogeneous polynomial들의 비율 \(F/G\) 형태로 나타난다는 것을 안다.
유리사상
이제 regular function으로부터 regular map을 어떻게 정의했는지를 생각하면, rational function으로부터 rational map을 어떻게 정의해야 하는지는 자명하다.
정의 5 두 variety \(X, Y\) 사이의 rational map유리사상은 \(X\)의 공집합이 아닌 열린집합 \(U\)와 그 위에서 정의된 regular map \(\varphi: U \to Y\)의 pair \((U,\varphi)\)를 말한다.
앞서와 마찬가지로 두 rational map \(\varphi: U \to Y\)와 \(\psi: V \to Y\)는 \(U \cap V\)에서 일치할 때 같은 것으로 본다. Rational map은 보통 \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)로 표기하며, 점선은
한편 rational map \(\varphi:U\rightarrow Y\)에 대하여, 우리는 \((U,\varphi)\)와 equivalent한 rational function들을 생각할 수 있다. 그럼 이들 rational function들의 domain을 모두 합집합하면 우리는 \(\varphi\)가 정의될 수 있는
정의 6 Rational map \(\varphi: X\dashrightarrow Y\)에 대하여, 위의 과정으로 얻어진 열린집합을 \(\dom(\varphi)\)으로 적는다.
예시 7 Rational map의 대표적인 예시 중 하나는 한 점으로부터의 projection이다. 가령 \(\mathbb{P}^2\)에서의 직선 \(\{\x_2=0\}\)을 생각하면 이는 \(\mathbb{P}^2\) 안에 있는 projective line \(\mathbb{P}^1\)로 생각할 수 있다. 이제 점 \([0:0:1]\)은 이 직선 위에 있지 않은 점이며, 이 점과 임의의 점 \([x_0:x_1:x_2]\)를 잇는 직선의 방정식은
\[x_1\x_0-x_0\x_1=0\]이다. 그럼 이 직선이 위의 \(\mathbb{P}^1\)과 만나는 점은 정확히 \([x_0:x_1:0]\)이며 따라서 다음의 projection
\[[x_0:x_1:x_2]\mapsto [x_0:x_1]\]은 이러한 projection을 통해 얻어진다.
쌍유리동치
Regular map의 isomorphism이 두 variety가 완전히 같은 구조를 갖는다는 것을 의미한다면, birational equivalence는 두 variety가 대체로 같은 구조를 갖는다는 것을 의미한다. 많은 기하학적 성질들은, isomorphic한 variety에서 보존되는 것 뿐만 아니라 birationally equivalent한 variety들 사이에서도 보존된다.
정의 8 Rational map \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)가 dominant라는 것은 \(\varphi\)의 image가 \(Y\)에서 dense한 것이다. 즉, \(\overline{\varphi(X)} = Y\)이 성립한다.
정의 9 Rational map \(\varphi: X \dashrightarrow Y\)가 birational map이라는 것은 또다른 rational map \(\psi: Y \dashrightarrow X\)가 존재하여 \(\psi \circ \varphi = \operatorname{id}_X\)와 \(\varphi \circ \psi = \operatorname{id}_Y\)가 (정의되는 곳에서) 성립하는 것이다. 두 variety \(X, Y\)가 birationally equivalent라는 것은 둘 사이에 birational map이 존재하는 것이다.
Birationally equivalent한 두 variety들은 “대부분의 점에서” isomorphic하다. 구체적으로, 다음 명제에서 보듯 두 variety의 isomorphic한 열린집합들이 존재한다. 이는 birational equivalence가 isomorphism보다 약하지만 여전히 강력한 관계임을 보여준다.
명제 10 두 variety \(X, Y\)에 대하여 다음이 동치이다.
- \(X\)와 \(Y\)는 birationally equivalent하다.
- \(\mathbb{K}(X) \cong \mathbb{K}(Y)\)이 성립한다.
- \(X\)와 \(Y\)의 isomorphic한 비어있지 않은 열린부분집합들이 존재한다.
증명
우선 \(X, Y\)가 birationally equivalent하다고 하자. 그럼 birational map \(\varphi: X\dashrightarrow Y\)의 정의역 \(\dom(\varphi)\)를 생각하면 \(\varphi\)가 유도하는 function field의 homomorphism \(\varphi^\ast: \mathbb{K}(Y)\rightarrow \mathbb{K}(\dom(\varphi))\)가 존재한다. 비슷한 방식으로 \(\varphi\)의 birational inverse \(\psi: Y\dashrightarrow X\)는 \(\psi^\ast: \mathbb{K}(X)\rightarrow \mathbb{K}(\dom(\psi))\)를 정의한다. 이제 명제 3에 의해 \(\mathbb{K}(\dom(\varphi))=\mathbb{K}(X)\), \(\mathbb{K}(\dom(\psi))=\mathbb{K}(Y)\)이므로 이를 사용하면 \(\mathbb{K}(X)\cong \mathbb{K}(Y)\)임을 안다.
이제 field isomorphism \(\Phi: \mathbb{K}(X) \rightarrow \mathbb{K}(Y)\)가 주어졌다 하자. \(X\)의 임의의 affine open subset \(U \subseteq X\)에 대하여, coordinate ring \(\mathbb{K}[U]\)는 \(\mathbb{K}(X)\)의 finitely generated \(\mathbb{K}\)-subalgebra이다. 이제 이들의 generator들의 \(\phi\)에 대한 image들이 모두 regular이도록 하는 \(Y\)의 affine open subset \(V\subseteq Y\)를 잡고, 이를 통해 \(\Phi\vert_{\mathbb{K}[U]}:\mathbb{K}[U]\rightarrow \mathbb{K}[V]\)를 정의할 수 있다. 한편, 비슷한 방식으로 \(\Phi^{-1}\)을 이용해 \(\Phi^{-1}\vert_{\mathbb{K}[V]}:\mathbb{K}[V]\rightarrow \mathbb{K}[U']\)를 잡을 수 있고, 이 때 \(U'\subset U\)가 성립한다. 이제 \(\Phi\)가 isomorphism이라는 가정으로부터 \(\mathbb{K}[U]=\mathbb{K}[U']\)이고 \(\mathbb{K}[U]\cong \mathbb{K}[V]\)여야 한다.
마지막 조건이 첫째 조건을 함의하는 것은 명제 3에 의해 자명하다.
이 정리는 birational equivalence를 판별하기 위해서는 function field를 보면 충분하다는 것을 보여준다.
예시 11 \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)과, \(\mathbb{P}^3\)에서의 quadric surface \(Q = V(\x\y - \z\w)\)의 function field를 계산해 보자.
우선 \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)의 경우, 명제 3에 의해 각 factor의 product open set \(U_0 \times U_0\)에서 계산하면 충분하다. 첫 번째 factor \(\mathbb{P}^1\)의 function field는 예시 4에서 보았듯 \(\mathbb{K}(\t_1)\)이고, 두 번째 factor도 마찬가지로 \(\mathbb{K}(\t_2)\)이다. 그럼 이를 통해 이들의 function field는 \(\mathbb{K}(\t_1,\t_2)\)로 주어짐을 안다.
이제 quadric surface \(Q = V(\x\y - \z\w) \subset \mathbb{P}^3\)를 생각하자. 마찬가지로 명제 3에 의해 affine patch \(\{\w \ne 0\}\)에서 계산하면 충분하다. 이 patch에서 \(\x' = \x/\w\), \(\y' = \y/\w\), \(\z' = \z/\w\)로 두면, 방정식 \(\x\y - \z\w = 0\)은 \(\x'\y' - \z' = 0\)이 된다. 따라서 \(\z' = \x'\y'\)이고, 이 patch의 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[\x', \y', \z']/(\x'\y' - \z') \cong \mathbb{K}[\x', \y']\)이다. 명제 2에 의해 \(\mathbb{K}(Q) = \operatorname{Frac}(\mathbb{K}[\x', \y']) = \mathbb{K}(\x', \y') \cong \mathbb{K}(\t_1, \t_2)\)이다.
따라서 \(\mathbb{K}(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1) \cong \mathbb{K}(Q) \cong \mathbb{K}(\t_1, \t_2)\)이므로, 명제 10에 의해 두 다양체는 birationally equivalent하다. 실은, §사영다양체, ⁋예시 16에서 다루는 Segre embedding \(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^3\), \(([x : y], [u : v]) \mapsto [xu : xv : yu : yv]\)의 image가 정확히 \(V(\x\y - \z\w)\)이다. 즉, 이 경우 birational equivalence는 실제로 isomorphism을 이룬다. 이 예시는 birational equivalence가 isomorphism보다 약하지만, isomorphism을 포함함을 보여준다.
Blow-up
Rational map은 base point들에서 정의되지 않는다는 한계가 있다. 이 한계를 해결하는 대표적인 도구가 blow-up이다. 이에 대한 motivation은 우리가 가장 처음 살펴본 함수 \((x,y)\mapsto [x:y]\)이다. 이 함수는 \(\mathbb{A}^2\)의 점 \((x,y)\)를 넣으면, 이 점과 원점 \((0,0)\in \mathbb{A}^2\)를 잇는 직선의 기울기를 주는 함수로, 이것이 원점에서 정의되지 않는 이유는 직선을 정의하기 위해서는 서로 다른 두 점이 필요하기 때문이다. 이런 경우, 우리는 보통 원점 \((0,0)\)을 고정해두고, 다른 점 \((x,y)\)를 \((0,0)\)을 향해 가도록 취해서 그 극한값을 계산하겠지만 이 경우 \((0,0)\)으로 향하는 방향이 무한히 많으므로 극한이 잘 정의되지 않는다.
Blowup의 아이디어는 간단하다. \((0,0)\)으로 향하는 방향을 모두 따로 기록하는 것이다.
예시 12 다음의 variety
\[\Bl_{(0,0)} \mathbb{A}^2 = \{((x, y), [u : v]) \in \mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1 \mid xv = yu\}\]을 생각하자. 이 집합은 \(\mathbb{A}^2 \times \mathbb{P}^1\)의 closed subvariety이다. 조건 \(xv = yu\)는 점 \((x, y)\)와 직선 \([u : v]\)이
- \(\mathbb{A}^2\)의 원점이 아닌 점 \((x,y)\)에 대해서는, 조건 \(xv=yu\)를 통해 \(\mathbb{P}^1\)의 점 \([u:v]\)를 유일하게 결정할 수 있으며, 이를 통해 \(\Bl_{(0,0)}\mathbb{A}^2\)의 점이 유일하게 결정된다.
- \(\mathbb{A}^2\)의 원점 \((0,0)\)에는 모든 \(\mathbb{P}^1\)의 점이 존재할 수 있다.
구체적으로, projection \(\pi_1: \operatorname{Bl}_{(0,0)} \mathbb{A}^2 \to \mathbb{A}^2\)를 \(\pi((x, y), [u : v]) = (x, y)\)로 정의하면, 원점이 아닌 모든 점의 preimage는 한 점이며, 원점의 preimage는 \(\mathbb{P}^1\)이다. 이를 exceptional divisor라 부른다.
이로부터 원점을 제외한 평면의 나머지 부분에서는 두 variety \(\mathbb{A}^2\)와 \(\Bl_{(0,0)}\mathbb{A}^2\)가 isomorphic하므로 \(\pi\)는 birational map이다.
이제 앞서 언급한 rational map \(\varphi: \mathbb{A}^2 \dashrightarrow \mathbb{P}^1\), \((x, y) \mapsto [x : y]\)를 생각하자. 이는 원점 \((0, 0)\)에서 정의되지 않지만, 그러나 blow-up \(\operatorname{Bl}_{(0,0)} \mathbb{A}^2\)에서 보면 이는 그저 \(\mathbb{P}^1\) factor로의 projection \(\pr_2\)에 불과하며 특히 이는 regular map이다. 이러한 방식으로 우리는 birational map이 정의되지 않는 base point를 해소해줄 수 있다.
참고문헌
[Har1] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977.
[Har2] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
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