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Grad. student in mathematics

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Serre duality는 projective variety의 cohomology group 사이의 fundamental한 dualilty이다. 이는 finite-dimensional vector space $V$와 그 dual $V^\ast$ 사이의 관계를 cohomology로 확장한 것이다.

Serre duality는 Riemann-Roch theorem의 증명에 필수적이며, 많은 계산을 단순화한다.

Statement

정리 1 (Serre Duality) $n$차원 smooth projective variety $X$ 위의 coherent sheaf $\mathcal{F}$에 대해 자연스러운 isomorphism이 존재한다:

\[H^i(X, \mathcal{F}) \cong H^{n-i}(X, \omega_X \otimes \mathcal{F}^\vee)^\ast\]

여기서 $\omega_X$는 canonical bundle이고 $\mathcal{F}^\vee = \mathscr{H}om(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)$는 dual sheaf이다.

따름정리 2 특히 $\mathcal{F} = \mathcal{O}_X$에 대해:

\[H^i(X, \mathcal{O}_X) \cong H^{n-i}(X, \omega_X)^\ast\]

예시 3 (Curve) Genus $g$인 smooth curve $C$에 대해:

  • $H^0(C, \mathcal{O}_C) \cong H^1(C, \omega_C)^\ast$
  • $H^1(C, \mathcal{O}_C) \cong H^0(C, \omega_C)^\ast$

$\dim H^0(C, \omega_C) = g$이므로 $\dim H^1(C, \mathcal{O}_C) = g$이다.

$\mathbb{P}^n$에서의 Serre Duality

명제 4 $\mathbb{P}^n$에서 $\omega_{\mathbb{P}^n} \cong \mathcal{O}(-n-1)$이므로:

\[H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) \cong H^{n-i}(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(-d-n-1))^\ast\]

예시 5 $\mathbb{P}^1$에서:

\[H^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(d)) \cong H^1(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(-d-2))^\ast\]
  • $d = 0$: $H^0(\mathcal{O}) = \mathbb{K}$, $H^1(\mathcal{O}(-2)) = \mathbb{K}$
  • $d = 1$: $H^0(\mathcal{O}(1)) = \mathbb{K}^2$, $H^1(\mathcal{O}(-3)) = \mathbb{K}^2$

Grothendieck Duality

정리 6 (Grothendieck Duality) Proper morphism $f: X \to Y$와 coherent sheaf $\mathcal{F}$ on $X$에 대해:

\[R^i f_\ast(\mathcal{F}) \cong R^{n-i} f_\ast(\mathcal{F} \otimes \omega_{X/Y})^\vee\]

여기서 $\omega_{X/Y}$는 relative dualizing sheaf이다.

참고 7 Serre duality는 $Y = \operatorname{Spec}(\mathbb{K})$인 특수한 경우이다.

Trace Map

정의 8 Trace map $\operatorname{Tr}: H^n(X, \omega_X) \to \mathbb{K}$는 Serre duality의 핵심 구조이다.

명제 9 Serre duality isomorphism은 다음과 같이 명시적으로 주어진다:

\[H^i(X, \mathcal{F}) \to H^{n-i}(X, \omega_X \otimes \mathcal{F}^\vee)^\ast\] \[\alpha \mapsto \left( \beta \mapsto \operatorname{Tr}(\alpha \cup \beta) \right)\]

여기서 $\cup$은 cup product이다.

응용: Euler Characteristic

명제 10 Serre duality에 의해:

\[\chi(\mathcal{F}) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \dim H^i(X, \mathcal{F}) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \dim H^{n-i}(X, \omega_X \otimes \mathcal{F}^\vee)\]

예시 11 (Curve) Curve $C$와 divisor $D$에 대해:

\[\chi(\mathcal{O}(D)) = \dim H^0(\mathcal{O}(D)) - \dim H^1(\mathcal{O}(D))\] \[= \dim H^0(\mathcal{O}(D)) - \dim H^0(\omega_C \otimes \mathcal{O}(-D))\]

이것이 Riemann-Roch theorem의 핵심이다.

Relative Duality

정리 12 Smooth projective morphism $f: X \to Y$에 대해:

\[R f_\ast \omega_{X/Y} \cong \mathcal{O}_Y\]

이 정리는 relative situation에서도 “top cohomology of canonical sheaf = 1”이라는 직관을 일반화한다.

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Ser] J.-P. Serre, Faisceaux algébriques cohérents, Annals of Mathematics, 1955.

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