차원

기본 정의들

스킴은 위상공간이므로, 위상공간으로서의 차원이 정의된다. (##ref##) 그럼 $\Spec A$의 irreducible closed subset과 $A$의 prime ideal 사이의 일대일 대응이 있으므로, 다음 명제는 자명하다.

명제 1 임의의 ring $A$에 대하여, $\Spec A$의 위상공간으로서의 차원과 $A$의 ring으로서의 차원이 서로 같다.

위상수학에서와 마찬가지로, 공간이 irreducible이 아닌 경우는 다소 주의를 기울일 필요가 있다. 때문에 대부분의 명제는 전체공간이 irreducible인 것으로 생각하는 것이 더 좋다.

한편 ##ref##와 마찬가지 이유로 다음이 성립한다.

명제 2 임의의 scheme $X$에 대하여, $\dim X=n$인 것은 $X$의 affine open covering $(U_i)$가 존재하여, 모든 $U_i$에 대하여 $\dim U_i\leq n$이고, 적어도 하나의 $i$에 대해서는 등호가 성립하는 것과 동치이다.

명제 3 Integral morphism $f:X \rightarrow Y$의 fiber는 항상 $0$차원이다.

증명

즉, 임의의 field $\mathbb{k}$에 대하여 $\phi: \mathbb{k} \rightarrow A$가 integral extension이라면 $\dim A=0$임을 보여야 한다. 이는 [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 3 그리고 [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 4에 의해 자명하다.

더 일반적으로 다음이 성립한다.

명제 4 Integral extension $\phi:A \rightarrow B$에 대하여, $\dim\Spec A=\dim \Spec B$가 성립한다.

특히 normalization은 차원을 변화시키지 않는다.

한편 위상공간 $X$와 irreducible subset $Y$에 대하여, $Y$의 codimension 또한 정의한 바 있다. (##ref##) 이제 명제 1과 마찬가지 이유로 다음이 성립한다.

명제 5 임의의 ring $A$와 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여, $A$에서의 $\mathfrak{p}$의 height와 $\Spec A$에서 $\mathfrak{p}$의 codimension이 서로 같다.

임의의 scheme $X$와, $X$의 임의의 irreducible closed subset에 대하여

\[\codim_XY+\dim Y\leq \dim X\]

가 성립한다는 것은 정의로부터 자명하다.

정리 6 $A$가 finitely generated $\mathbb{k}$-algebra이며, 동시에 integral domain이라 하자. 그럼 $\dim \Spec A=\trdeg \Frac(A)/\mathbb{k}$가 성립한다.

증명