차원

스킴의 차원

이제 우리는 scheme의 차원을 정의한다.

정의 1 Scheme \(X\)의 dimension_차원은 위상공간 \(X\)의 Krull dimension으로 정의한다. ([위상수학] §차원, ⁋정의 10)

그럼 §스펙트럼, ⁋명제 16의 Galois correspondence로부터 우리는 \(\Spec A\)의 scheme으로서의 차원과 \(A\)의 ring으로서의 차원이 같다는 것을 안다. ([가환대수학] §차원, ⁋정의 1) 뿐만 아니라, 정의에 의하여 \(\Spec A\)와 \(\Spec A/\mathfrak{N}(A)\)가 homeomorphic하다는 것을 보일 수 있으므로 \(\dim A=\dim A/\mathfrak{N}(A)\)가 성립한다. 즉 reducedness는 차원에 영향을 주지 않는다.

한편 [위상수학] §차원, ⁋명제 13와 마찬가지 이유로 다음이 성립한다.

명제 2 임의의 scheme \(X\)에 대하여, \(\dim X=n\)인 것은 \(X\)의 affine open covering \((U_i)\)가 존재하여, 모든 \(U_i\)에 대하여 \(\dim U_i\leq n\)이고, 적어도 하나의 \(i\)에 대해서는 등호가 성립하는 것과 동치이다.

한편 우리는 §스킴 사상의 성질들, ⁋명제 14에서 finite morphism은 integral morphism of finite type인 것을 살펴보았으며, §올곱, ⁋명제 14에서 임의의 finite morphism은 quasi-finite인 것을 살펴보았다. 일반적으로 integral morphism이지만 finite type은 아닌 morphism이 존재하며, 따라서 아직까지는 integral morphism의 fiber에 대한 이야기를 할 수가 없다.

예시 3 예를 들어 \(\mathbb{Q}\)의 algebraic closure \(\overline{\mathbb{Q}}\)를 생각하자. 그럼 \(\mathbb{Q} \rightarrow \overline{\mathbb{Q}}\)는 integral이므로 scheme morphism \(\Spec \overline{\mathbb{Q}} \rightarrow \Spec \mathbb{Q}\)는 integral이다.

한편 §올곱, ⁋명제 15에 의하여 integral morphism은 base change에 의해 보존되므로, 이를 \(\Spec \overline{\mathbb{Q}} \rightarrow \Spec \mathbb{Q}\)를 통해 base change를 한 \(\Spec \overline{\mathbb{Q}}\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}} \rightarrow \Spec \overline{\mathbb{Q}}\)도 integral이다. 그러나 \(\overline{\mathbb{Q}}\otimes \overline{\mathbb{Q}}\)의 prime ideal은 \(\Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\)와 일대일로 대응되므로 \(\Spec\overline{\mathbb{Q}}\otimes \overline{\mathbb{Q}}\)은 무한집합이고, 따라서 \(\Spec \overline{\mathbb{Q}}\otimes_\mathbb{Q}\overline{\mathbb{Q}} \rightarrow \Spec \overline{\mathbb{Q}}\)는 quasi-finite morphism이 아니므로 finite morphism도 아니다.

그러나 다음이 성립한다.

명제 4 Integral morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)의 임의의 fiber는 항상 \(0\)차원이다.

증명

정의에 의해 \(Y\)의 한 점 \(y\)에서의 fiber는 inclusion map \(\Spec \kappa(y) \rightarrow Y\)에 의한 \(\varphi\)의 base change

\[\varphi^{-1}(y)=X\times_Y\Spec \kappa(y)\]

으로 주어지며, integral morphism은 base change에 의해 보존되므로

\[\varphi^{-1}(y)=X\times_Y\Spec \kappa(y) \rightarrow \Spec \kappa(y)\]

는 integral morphism이며, integral morphism은 그 정의에 의해 affine morphism이므로 임의의 integral morphism \(\Spec B \rightarrow \Spec \mathbb{K}\)에 대하여 \(\dim \Spec B=\dim B=0\)임을 보이면 충분하다. 즉, 임의의 integral extension \(\mathbb{K} \rightarrow B\)에 대하여, \(B\)의 prime ideal들의 chain

\[\mathfrak{q}_1\subsetneq \mathfrak{q}_2\]

이 존재할 수 없음을 보여야 한다. 이는 [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 4의 결과이다.

위의 명제의 증명에서 사용한 [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 4는 임의의 integral extension \(A\hookrightarrow B\)에 대해서도 성립하므로, 더 일반적으로 다음이 성립한다.

명제 5 임의의 integral extension \(\phi:A \rightarrow B\)에 대하여

\[\dim\Spec A=\dim\Spec B\]

가 항상 성립한다.

특히 임의의 integral domain \(A\)와 \(A\)의 normalization \(\tilde{A}\)에 대하여, \(\Spec \tilde{A}\)와 \(\Spec A\)의 차원은 항상 같다. 이는 더 일반적으로 scheme \(X\)의 normalization을 정의한 후에도 성립한다. (##ref##)

정의 6 위상공간 \(X\)의 irreducible subset \(Y\)에 대하여, \(Y\)의 \(X\)에서의 codimension_여차원 \(\codim_XY\)를 \(X\)의 irreducible closed subset들의 strictly descending chain

\[A_n\supsetneq A_{n-1}\supsetneq\cdots\supsetneq A_0=\cl_X(Y)\]

의 length의 supremum으로 정의한다.

그럼 ring \(A\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)의 codimension ([가환대수학] §차원, ⁋정의 2)은 \(\Spec A\)에서 점 \(\mathfrak{p}\)의 codimension과 같은 것을 확인할 수 있다.

명제 7 \(X\)의 irreducible closed subset \(Y\)와 \(Y\)의 generic point \(y\)에 대하여, \(\codim Y=\dim \mathscr{O}_{X, y}\)이 성립한다.

증명

\(Y\)가 generic point \(y\)를 가지므로, 정의에 의해 \(\codim_XY\)와 \(\codim_X\{y\}\)가 같다. 이제 \(y\)를 포함하는 임의의 affine open subset \(U\cong\Spec A\)를 택하고, 이 isomorphism에 의해 \(y\in U\)가 \(\mathfrak{p}_y\in \Spec A\)에 대응된다 하자. 그럼 [위상수학] §차원, ⁋명제 14로부터 우리는 \(U\)와 만나는 \(X\)의 irreducible closed subset들과 \(U\)의 irreducible closed subset들 사이의 일대일 대응이 존재한다는 것을 안다. 즉, \(\codim_X\{y\}=\codim_U \mathfrak{p}_y\)이다. 이제 §스펙트럼, ⁋명제 16으로부터 원하는 결과를 얻는다.

더 일반적으로 우리는 [가환대수학] §차원, ⁋정의 2에서 codimension을 정의한 후 다음의 부등식

\[\dim \mathfrak{a}+\codim \mathfrak{a}\leq \dim A\]

를 증명하였는데, 여기에서 사용한 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8 대신 [위상수학] §차원, ⁋명제 14를 사용하면 scheme \(X\)와 \(X\)의 irreducible closed subset \(Y\)에 대하여 다음의 부등식

\[\dim Y+\codim_XY\leq \dim X\]

이 성립하는 것을 확인할 수 있다. 그러나 마찬가지로 일반적인 경우에는 등호가 성립하지 않는다.

뇌터 정규화

이제 우리는 중요한 다음 결과를 보인다.

정리 8 (Noether normalization lemma) 임의의 field \(\mathbb{K}\)와, finitely generated \(\mathbb{K}\)-algebra \(A\)가 주어졌다 하자. 만일 \(A\)가 integral domain이고

\[\trdeg_\mathbb{K}\Frac(A)=n\]

이라면 \(A\)의 적당한 원소들 \(x_1,\ldots, x_n\)이 존재하여 이들이 algebraically independent이고 \(A\)가 finite \(\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]\)-module이도록 할 수 있다.

증명

\(A\)가 finitely generated \(\mathbb{K}\)-algebra라는 가정으로부터

\[A=\mathbb{K}[y_1,\ldots, y_m]/\mathfrak{p}\]

로 적을 수 있다. 그럼 이들 \(y_1,\ldots, y_m\)의 \(\Frac(A)\)에서의 image가 \(\mathbb{K}\)의 field extension으로서 \(\Frac(A)\)를 생성하므로 반드시 \(m\geq n\)이어야 한다.

이제 만일 \(m=n\)이라면, \(y_i\)들이 정확히 원하는 원소가 되므로 더 이상 증명할 것이 없다. 이제 주어진 주장을 보이기 위해 \(m>n\)이라 하고, \(n\leq k< m\)을 만족하는 임의의 \(k\)에 대하여 정리가 성립한다 하자. 그럼 \(m>n\)이라는 가정으로부터 \(y_1,\ldots, y_m\)들은 algebraically dependent이다. 즉, 다음의 식

\[f(y_1,\ldots, y_m)=0\]

을 만족하는 \(\mathbb{K}\)-계수 \(m\)변수 다항식

\[f(\x_1,\ldots, \x_m)=\sum \alpha_{d_1d_2\cdots d_m}\x_1^{d_1}\cdots\x_m^{d_m}\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_m]\tag{$\ast$}\]

이 존재한다. 이제 정수 \(r_1,\ldots, r_{m-1}\)에 대하여 다음의 식

\[z_1=y_1-y_m^{r_1},\quad z_2=y_2-y_m^{r_2},\quad\ldots\quad,\quad z_{m-1}=y_{m-1}-y_m^{r_{m-1}}\]

으로 원소들 \(z_1,\ldots, z_{m-1}\)을 정의하자. 그럼 정의에 의해

\[f(z_1+y_m^{r_1},\ldots, z_{m-1}+y_m^{r_{m-1}}, y_m)=0\tag{$\ast\ast$}\]

이 성립한다. 이제 식 (\(\ast\))에서 \(f\)를 이루는 각각의 monomial \(\alpha_{d_1d_2\cdots d_m}\x_1^{d_1}\cdots\x_m^{d_m}\)에

\[\x_1=z_1+y_m^{r_1},\quad \ldots\quad,\quad \x_{m-1}=z_{m-1}+y_m^{r_{m-1}},\quad \x_m=y_m\]

을 대입하여 전개하면, 그 결과는 계수가 상수항인 \(y_m\)의 거듭제곱

\[\alpha_{d_1d_2\cdots d_m}y_m^{r_1d_1+\cdots+r_{m-1}d_{m-1}+d_m}\]

과 \(z_k\)를 포함하는 그 외의 항들이 될 것이다. 이제 \(r_1,\ldots, r_{m-1}\)을 충분히 크게 잡으면, 이러한 형태의 항이 최고차항이 되도록 할 수 있고, 따라서 위의 등식 (\(\ast\ast\))은 \(y_m\)이 \(z_1,\ldots, z_{m-1}\)에 대해 intgrally dependent임을 보여준다. 한편 \(z_1,\ldots, z_{m-1}\)로 생성되는 \(A\)의 \(\mathbb{K}\)-subalgebra \(A'\), 즉 (\(\ast\ast\))를 \(y_m\)의 일변수 다항식으로 보았을 때 그 계수들이 존재하는 \(A\)의 \(\mathbb{K}\)-subalgebra \(A'\)에 대해서는 귀납적 가정에 의해 원하는 조건을 만족하는 \(x_1,\ldots, x_n\in A\)들이 존재한다. 이제 \(A\)는 위의 논증에 의해 finite \(A'\)-module이고, \(A'\)는 귀납적 가정에 의해 finite \(\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]\)-module이므로 원하는 결과를 얻는다.

기하적으로 \(A=\mathbb{K}[y_1,\ldots, y_m]/\mathfrak{p}\)라 두는 것은 \(\Spec A\)가 affine space \(\mathbb{A}^m_\mathbb{K}\)의 integral closed subscheme이라는 것과 같으므로, 위의 정리의 결과로 얻어지는 finite ring homomorphism \(\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n] \rightarrow \mathbb{K}[y_1,\ldots, y_m]/\mathfrak{p}\)는 기하적으로는 finite scheme morphism \(\Spec A \rightarrow \Spec \mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]\)을 찾는 것과 같다. 이제 finite extension \(\mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n] \rightarrow A\)은 integral extension이므로 명제 5에 의하여 \(\dim A=\dim \mathbb{K}[x_1,\ldots, x_n]\)이므로, [가환대수학] §매개계, ⁋따름정리 10에 의하여 다음 결과를 얻는다.

명제 9 임의의 field \(\mathbb{K}\)와, finitely generated \(\mathbb{K}\)-algebra \(A\)가 주어졌다 하자. 만일 \(A\)가 integral domain이라면, \(\dim\Spec A=\trdeg_\mathbb{K} \Frac(A)\)이 성립한다.

위의 주장들에서 가장 중요하게 쓰인 결과는 당연히 [가환대수학] §정수적 확장과 아이디얼의 결과들이다. 비슷한 종류의 결과인 ##ref##을 사용하면 다음을 얻는다.

명제 10 임의의 field \(\mathbb{K}\)와, finitely generated \(\mathbb{K}\)-algebra \(A\)가 주어졌다 하자. 만일 \(A\)가 integral domain이고, \(f\in A\)가 non-unit이라면 \(\dim A/(f)=\dim A-1\)이 성립한다.

Principal ideal theorem

앞서 우리는 임의의 affine integral \(\mathbb{K}\)-scheme \(X=\Spec A\)에 대하여, \(A\)의 non-unit \(f\)를 통해 정의된 closed subscheme \(Z(f)\)는 \(A\)보다 하나 적은 차원을 갖는다는 것을 살펴보았다. 이는 분명 유용한 결과이지만, 다음과 같이 더 일반적인 경우에도 그 결과를 살펴볼 수 있다.

명제 11 Locally noetherian scheme \(X\)와 \(X\) 위의 함수 \(f\)에 대항, \(Z(f)\)의 irreducible component는 codimension \(0\)이거나 codimension \(1\)이다.

증명

[가환대수학] §차원, ⁋정리 6