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Grad. student in mathematics

도입

평면 $\mathbb{A}^2$에서 두 곡선 $y = 0$과 $y = x^2$이 원점에서 만난다. 이 두 곡선은 단순히 “만난다”고 말하는 것으로는 충분하지 않다. 원점에서 얼마나 “강하게” 만나는가?

Intersection multiplicity는 두 variety가 한 점에서 얼마나 “복잡하게” 만나는지를 측정하는 정수이다. 이것은 Bézout’s theorem, Chow groups 등의 기초가 된다.

Definition

정의 1 Affine space $\mathbb{A}^n$의 점 $p$에서 두 variety $V, W$의 intersection multiplicity교차 중복도 $i_p(V, W)$를 다음과 같이 정의한다:

\[i_p(V, W) = \dim_{\mathbb{K}} \mathcal{O}_{\mathbb{A}^n, p} / (I(V) + I(W))\]

여기서 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^n, p}$는 $p$에서의 local ring이다.

예시 2 $\mathbb{A}^2$에서 $V: y = 0$과 $W: y = x^2$가 원점에서 만난다.

  • $I(V) = (y)$, $I(W) = (y - x^2)$
  • $\mathcal{O}{\mathbb{A}^2, 0} / (y, y - x^2) = \mathcal{O}{\mathbb{A}^2, 0} / (y, x^2)$
  • 이것은 basis ${1, x}$를 갖는 2차원 vector space

따라서 $i_0(V, W) = 2$이다.

예시 3 $\mathbb{A}^2$에서 $V: y = 0$과 $W: y = x^3$이 원점에서 만난다.

$\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2, 0} / (y, x^3)$은 basis ${1, x, x^2}$를 갖는 3차원 vector space이다.

따라서 $i_0(V, W) = 3$이다.

Properties

명제 4 Intersection multiplicity의 기본 성질:

  1. $i_p(V, W) \geq 0$이고, $p \notin V \cap W$이면 $i_p(V, W) = 0$
  2. $V, W$가 $p$에서 transversely intersect하면 $i_p(V, W) = 1$
  3. $i_p(V, W) = i_p(W, V)$ (symmetry)
  4. $\dim V + \dim W = n$이면 $i_p(V, W) < \infty$

명제 5 (Additivity) $V = V_1 \cup V_2$이면:

\[i_p(V, W) = i_p(V_1, W) + i_p(V_2, W)\]

Projective Case

정의 6 $\mathbb{P}^n$의 점 $p$에서 두 variety $V, W$의 intersection multiplicity를 affine chart에서의 값으로 정의한다. 이는 affine chart의 선택과 무관하다.

정리 7 (Bezout for Curves in $\mathbb{P}^2$) $\mathbb{P}^2$에서 degree $m$, $n$의 두 curve $C, D$가 공통 성분을 갖지 않으면:

\[\sum_{p \in C \cap D} i_p(C, D) = mn\]

예시 8 Circle $C: x^2 + y^2 = 1$과 line $L: y = 1$을 $\mathbb{P}^2$에서 생각하자.

$C \cap L$은 한 점 $[1:0:1]$에서 multiplicity 2로 만난다.

Check: $\deg C = 2$, $\deg L = 1$, $2 \times 1 = 2$. ✓

Dimension Formula

명제 9 $\dim V + \dim W = n$이고 $V \cap W$가 finite set이면:

\[\sum_{p \in V \cap W} i_p(V, W) = \deg(V) \cdot \deg(W)\]

Local Ring Interpretation

명제 10 $V, W$가 $p$에서 smooth하고 transversely intersect하면:

\[i_p(V, W) = \dim_{\mathbb{K}} \mathcal{O}_{V \cap W, p}\]

즉, intersection multiplicity는 local ring의 dimension이다.

예시 11 (Double point) $V: y = 0$, $W: y = x^2$의 경우:

  • $V \cap W$는 점 $p = (0, 0)$ 하나
  • $\mathcal{O}{V \cap W, p} = \mathbb{K}[x]{(x)} / (x^2)$
  • Dimension = 2

따라서 $i_p(V, W) = 2$이다.

Relation to Tangent Spaces

명제 12 $V, W$가 $p$에서 smooth하면:

\[i_p(V, W) = 1 \iff T_p V + T_p W = \mathbb{A}^n\]

즉, tangent space가 transversely intersect하면 multiplicity 1이다.

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Ful] W. Fulton, Intersection Theory, Springer, 1984.

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