스킴의 위상구조

일반점

이제 우리는 스킴이 갖는 위상적인 구조를 살펴볼 것이다. §스펙트럼에서 이미 살펴보았듯, scheme $X$는 일반적으로 우리가 생각하는 위상공간과는 다른 위상이 주어져 있다. 가장 특이한 것 중 하나는 한점집합이 닫힌집합이 아닐 수도 있다는 것이다.

정의 1 위상공간 $X$의 한 점 $x$가 closed point_닫힌점이라는 것은 ${x}$가 $X$의 닫힌집합이라는 것이다.

따라서 공간 $X$가 $T_1$-space인 것과 $X$의 모든 점이 closed point인 것이 동치임을 안다. ([위상수학] §하우스도르프 공간, ⁋정의 3) 특히 우리는 field가 아닌 integral domain의 스펙트럼은 closed point를 갖지 않는다는 것을 보았다.

한편, 임의의 affine scheme은 반드시 closed point를 갖는다.¹ 이는 ring $A$의 maximal ideal $\mathfrak{m}$을 하나 택하면 $Z(\mathfrak{m})=\{\mathfrak{m}\}$이고, 따라서 §스펙트럼, ⁋명제 14과 [집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋명제 7을 적용하면

\[\cl(\{\mathfrak{m}\})=ZI(\{\mathfrak{m}\})=ZIZ(\mathfrak{m})=Z(\mathfrak{m})=\{\mathfrak{m}\}\]

이기 때문이다. 비슷하게, 만일 임의의 affine scheme $\Spec A$가 closed point $\mathfrak{p}$를 갖는다면, $I(\{\mathfrak{p}\})=\mathfrak{p}$와 §스펙트럼, ⁋명제 14로부터

\[Z(\mathfrak{p})=ZI(\{\mathfrak{p}\})=\cl(\{\mathfrak{p}\})=\{\mathfrak{p}\}\]

이므로 $\mathfrak{p}$는 반드시 maximal ideal이어야 한다.

정의에 의하여, $\Spec A$의 점 $\mathfrak{p}$가 closed point가 아니라면 $\mathfrak{q}\in \cl({\mathfrak{p}})$를 만족하는 $\Spec A$의 점 $\mathfrak{q}\neq \mathfrak{p}$가 존재한다.

정의 2 위상공간 $X$의 두 점 $x,y$가 $x\in\cl(\{y\})$를 만족한다 하자. 그럼 $x$를 $y$의 specialization이라 하고, $y$는 $x$의 generalization이라 한다. 만일 위상공간 $X$의 닫힌집합 $A$에 대하여, $A=\cl(\{x\})$가 성립한다면 $x$를 $A$의 generic point_일반점라 부른다.

예를 들어 우리는 임의의 integral domain $A$에 대하여 $\{0\}$이 $A$의 유일한 generic point인 것을 안다. 이 예시를 더욱 기하학적으로 만들기 위해, $A=\mathbb{k}[\x_1,\x_2]/(\x_2-\x_1^2)$이라 하자. 그럼 §스펙트럼, ⁋명제 9에서 우리는 $\Spec A$가 $\mathbb{A}_\mathbb{k}^2=\Spec \mathbb{k}[\x_1,\x_2]$의 닫힌집합임을 보였다. 이제 우리는 prime ideal $(\x_2-\x_1^2)\in \Spec \mathbb{k}[\x_1,\x_2]$이 $\Spec A\cong Z(\x_2-\x_1^2)$의 generic point임을 안다.

스킴의 위상적 성질들

Scheme은, structure sheaf를 빼고 보면 그냥 위상공간이므로, 위상공간의 성질들을 가질 수 있다.

정의 3 Scheme $(X,\mathscr{O}_X)$가 주어졌다 하자. 만일 $X$가 위상공간으로서 quasi-compact (resp. noetherian, irreducible, connected)라면, $X$를 quasi-compact (resp. noetherian, irreducible, connected) scheme이라 부른다.

위 정의에 해당하는 위상수학의 정의들은 각각 [위상수학] §옹골공간, ⁋정의 1, [위상수학] §차원, ⁋정의 11, [위상수학] §차원, ⁋정의 6과 [위상수학] §연결공간, ⁋정의 1에서 각각 찾아볼 수 있다. 다음은 이 정의에 대한 예시와 반례들이다.

예시 4 우리는 §스펙트럼, ⁋보조정리 12에 의해 임의의 affine scheme은 quasi-compact임을 안다. Quasi-compact가 아닌 scheme의 예시로는, 당연히 무한히 많은 scheme들의 disjoint union이 있다.

Irreducibilty의 경우 다음 예시들을 보자.

예시 5 임의의 integral domain $A$에 대하여, $\Spec A$는 항상 irreducible이다. Generic point $\{0\}$을 생각하면, $\{0\}$를 포함하는 닫힌집합은 오직 $\Spec A$ 자신뿐이어야 하므로, $\Spec A$를 두 개의 proper closed subset의 합집합으로 나타내는 것이 불가능하기 때문이다. 따라서 $A=\mathbb{k}[\x_0,\ldots, \x_n]$으로 두면 affine $n$-space $\mathbb{A}_\mathbb{k}^n$은 irreducible인 것을 안다. 그럼 projective space $\mathbb{P}^n_\mathbb{k}$는 irreducible open subset들 $D_+(\x_i)$을 가지므로 [위상수학] §차원, ⁋명제 8에 의해 $\mathbb{P}^n_\mathbb{k}$ 또한 irreducible이다.

Irreducible space는 항상 connected이므로, 위의 예시들은 connected space의 예시이기도 하다. 반례의 경우 다음 예시에서 찾아볼 수 있다.

예시 6 우선 connected가 아닌 scheme의 예시는 $\mathbb{A}^2_\mathbb{k}$의 (closed) subscheme

\[\Spec \frac{\mathbb{k}[\x,\y]}{(\x(\x-1))}\]

이 있다. 이것이 connected가 아님을 보기 위해서는 이를 두 개의 (closed) scheme $\Spec \mathbb{k}[\x,\y]/(\x)$와 $\Spec \mathbb{k}[\x,\y]/(\x-1)$의 disjoint union으로 쓸 수 있다는 것을 확인하면 된다.

한편 connected이지만 irreducible하지 않은 scheme의 예시로는

\[Z(\x\y)=\Spec \frac{\mathbb{k}[\x,\y]}{(\x\y)}\]

이 있으며, 이 scheme의 irreducible component는 $\Spec\mathbb{k}[\x,\y]/(\x)$와 $\Spec \mathbb{k}[\x,\y]/(\y)$이다.

한편, noetherian scheme의 예시는 다음 명제에 의해 얻어진다.

명제 7 Noetherian ring $A$에 대하여, $\Spec A$는 항상 noetherian topological space이다.

증명

1. 그러나 closed point를 갖지 않는 scheme이 존재한다. ↩