아핀스킴

우선 $D(1)=\Spec A$이므로 $S(f)$가 empty product $1$을 포함하는 것은 자명하다. 이제 만일 $h_1,h_2\in S(f)$라면, 다음의 식

으로부터 $D(f)\subseteq D(h_1)\cap D(h_2)=D(h_1h_2)$임을 안다. 이 식은 단지 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 8을 기하학적으로 설명한 것에 불과하다.

$D(f)\subseteq D(h)$인 것은 $Z(h)\subseteq Z(f)$인 것과 동치이고, 이는 §스펙트럼, ⁋보조정리 6의 셋째 결과에 의하여 $\sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(h)}$인 것과 동치이다.

만일 $\sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(h)}$라면, $(f)\subseteq \sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(h)}$로부터 $f\in \sqrt{(h)}$이고, 따라서 적당한 $n\geq 1$이 존재하여 $f^n\in (h)$여야 함을 안다. 거꾸로 적당한 $n\geq 1$이 존재하여 $f^n\in (h)$라면 $f\in \sqrt{(h)}$로부터 $(f)\subseteq \sqrt{(h)}$이고, 따라서

이다.

우선 canonical morphism들을 $\epsilon(f): A \rightarrow S(f)^{-1}A$, $\epsilon_f:A \rightarrow S_f^{-1}A$으로 표기하기로 하자. 그럼 임의의 $n\geq 1$에 대하여 $D(f)=D(f^n)$이므로, $f^n\in S(f)$가 성립하고 따라서 $S_f$의 $\epsilon(f)$에 의한 image는 모두 $S(f)^{-1}A$의 unit이다. 따라서 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6로부터 다음의 commutative diagram

을 얻는다.

이제 다음의 동치관계

를 관찰하자. 그럼 $D(f)\subseteq D(g)$를 만족하는 임의의 $g$에 대하여, 우리는 $f^n=ag$를 만족하는 적당한 $n\geq 1$과 $a\in A$를 찾을 수 있으므로,

로부터 $g$는 $S_f^{-1}A$의 unit임을 안다. 따라서 다시 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6로부터 다음의 commutative diagram

을 얻는다. 이제 $\overline{\epsilon(f)}$와 $\overline{\epsilon_f}$가 서로의 역함수임은 유일성으로부터 자명하다.

이제 $S(g)\subseteq S(f)$라 하자. 그럼 $\widehat{\epsilon(f)}:S(g)^{-1}A \rightarrow S(f)^{-1}A$는 마찬가지로 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6을 통해 다음의 diagram

으로 자명하게 정의되는 것이며, 또 $S(g)\subseteq S(f)\iff D(f)\subseteq D(g)$이므로 위의 동치관계 ($\ast$)로부터 $g$는 $S_f^{-1}A$의 unit이며, 따라서 $g^k$들도 모두 마찬가지이다. 이로부터 $\widecheck{\epsilon_f}: S_g^{-1}A \rightarrow S_f^{-1}$를 포함하는 다음의 commutative diagram

이 존재한다. 그럼 주장의 diagram이 commute한다는 것은 다음 diagram

을 생각하면 자명한데, 즉

그리고

으로부터 $\epsilon_f$는 $S(g)$의 원소들을 $S_f^{-1}A$의 unit으로 보내는 것을 알고, 뿐만 아니라 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6을 통해 $\epsilon_f=\widetilde{\epsilon_f}\circ\epsilon(g)$를 만족하도록 정의되는 $\widetilde{\epsilon_f}$의 유일성으로부터 $\widecheck{\epsilon_f}\circ\overline{\epsilon_g}=\overline{\epsilon_f}\circ\widehat{\epsilon(f)}$임을 얻는다.

$\rho_{ji}$들이 restriction map의 조건([위상수학] §준층, ⁋정의 2)을 만족하는 것은 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6의 universal property로부터 자명하다. 여기에서 $\rho_{ji}: S(f_j)^{-1}(A) \rightarrow S(f_i)^{-1}(A)$는, 보조정리 5에 의하여, 단순히 $S(f_j)^{-1}(A)$의 원소를 다음의 꼴

로 나타냈을 때, 다음 식

로부터 ($\ast$)를 $S(f_i)^{-1}(A)$의 원소로도 볼 수 있으므로 이 과정을 통해 $g/h\in S(f_j)^{-1}(A)$를 $g/h\in S(f_i)^{-1}(A)$로 이해하는 함수이다.

이제 [위상수학] §층, ⁋명제 8의 두 조건을 증명한다. 표기의 편의를 위해 $D(f)=\Spec A_f$이므로, $A$를 $A_f$로 바꾸고 나면 $f=1$인 경우만 생각하면 충분하다. $\Spec A=\bigcup_{i\in I}D(f_i)$를 만족하는 $f_i\in A$들을 고정하자.

우선 첫째 조건을 보이기 위해, 원소 $s\in A$가 모든 $i\in I$에 대해 $S(f_i)^{-1}A$에서 $s=0$를 만족한다 하고, $s$가 $A$의 원소로서도 $0$이 됨을 보이자. 그럼 §스펙트럼, ⁋보조정리 12에 의해 $(f_i)$의 원소들 중 $\Spec A=\bigcup_{i=1}^n D(f_i)$이도록 하는 $f_1,\ldots, f_n$을 택할 수 있고, 가정에 의해 모든 $i=1,\ldots, n$에 대해 다음의 식

을 만족하는 $m_i$들이 존재한다. 한편 §스펙트럼, ⁋보조정리 11 이후의 계산으로부터 $D(f_i^{m_i})=D(f_i)$가 모든 $i$에 대해 성립하므로,

이고, 이로부터 $1=\sum_{i=1}^n a_i f_i^{m_i}$이도록 하는 $a_i\in A$들이 존재한다. (참고: §스펙트럼, ⁋보조정리 12의 증명, 혹은 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 15의 증명)

따라서

이다.

이제 둘째 조건을 보이기 위해, 각각의 $i$마다 $S(f_i)^{-1}A$의 원소 $s_i=a_i/f_i^{m_i}$가 존재하여, 각각의 $i,j$마다

이도록 할 수 있다. 그런데 $D(f_i)=D(f_i^{m_i})$이고 $D(f_j)=D(f_j^{m_j})$이므로

이고, 따라서 적당한 $N_{ij}$가 존재하여

이도록 할 수 있다. $N=\max_{i,j}\{N_{ij}\}$라 하여

즉,

를 얻자. 그럼 주어진 가정

로부터 우리는 적당한 $b_i\in A$들이 존재하여

이도록 할 수 있다. 이제 $s=\sum_{i=1}^n b_ia_i f_i^{Nm_i}$라 하면,

이므로 $f_j^{Nm_j}(sf_j^{m_j}-a_j)=0$이 모든 $j$에 대해 성립하고, 따라서 $D(f_j)$에서

이다. 이로부터 원하는 $s$를 얻는다.

만일 $I$가 무한집합일 경우, $\Spec A=\bigcup_{j\in J} D(f_j)$를 만족하는 $I$의 유한한 부분집합 $J=\{1,\ldots, n\}$을 택하여 위와 같이 반복하여 $s\in \mathscr{F}(\Spec A)$를 얻은 후 이것이 $\alpha\in I\setminus J$인 $D(f_\alpha)$에서도 $s_\alpha=s\vert_{D(f_\alpha)}$를 만족함을 보이면 된다. 이를 보이기 위해 유한집합

에 대해서도 위와 같은 과정을 반복하여 $s’\in \mathscr{F}(\Spec A)$를 얻자. 그럼 $s$와 $s’$는 정의에 의해 $i=1,\ldots, n$마다 $s\vert_{D(f_i)}=s’\vert_{D(f_i)}$를 만족하고 $\Spec A=\bigcup D(f_i)$이므로, 위에서 보인 [위상수학] §층, ⁋명제 8의 첫째 조건에 의해 $s=s’$임을 알고 이로부터

임을 안다. 이것이 모든 $\alpha$에 대해 성립하므로 $s$는 임의의 $D(f_\alpha)$로 제한했을 때도 $s_\alpha$가 된다.

§스펙트럼, ⁋보조정리 11에 의하여 $D(f)$들이 $\Spec A$의 base이므로, [위상수학] §위상공간의 기저, ⁋명제 5에 의하여

이 성립한다. 한편 $\mathfrak{p}\in D(f)\iff f\not\in \mathfrak{p}$이므로, 우리는 다음의 diagram

을 얻고, 따라서 주어진 isomorphism을 보이는 것은 단순히 다음의 대수적인 isomorphism

을 보이는 것과 같고, 이는 localization의 universal property ([가환대수학] §국소화, ⁋명제 6)와 direct limit의 universal property를 각각 사용하면 된다. 주장의 diagram은 isomorphism ($\ast\ast$)을 통해 위의 diagram에서 $\varinjlim A_f$를 $A_\mathfrak{p}$로 바꾸어주면 된다.

우리는 이미 ring homomorphism $\phi: A \rightarrow B$가 연속함수 $\Spec\phi: \Spec B \rightarrow \Spec A$를 유도하는 것을 안다. (§스펙트럼, ⁋명제 8) 따라서

를 묘사하면 충분하다. 이를 위해서는 principal open set에서의 함수

를 보면 된다. 한편 §스펙트럼, ⁋명제 8의 증명에서

이므로

임을 안다. 따라서, structure sheaf의 정의에 의하여 $(\Spec\phi)^\sharp(D(f))$를 정의하는 것은

를 정의하는 것과 같고, 이는 합성

에 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6을 적용하여 얻어진다. 물론 이렇게 정의된 $(\Spec\phi)^\sharp$이 교집합 $D(f)\cap D(g)$에서 같은 함수를 정의함을 보여야 하지만, 이는 $D(f)\cap D(g)$임을 이용해서 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6에 유일성 결과를 사용하면 된다.

이상에서 $(\Spec\phi, (\Spec\phi)^\sharp): (\Spec B, \mathscr{O}_{\Spec B}) \rightarrow (\Spec A, \mathscr{O}_{\Spec A})$가 ringed space들 사이의 morphism인 것을 안다. 이제 이것이 locally ringed space들 사이의 morphism임을 보이기 위해서는 임의의 $\mathfrak{q}\in \Spec B$에 대하여

이 local homomorphism이면 된다. 그런데 $(\Spec \phi)(\mathfrak{q})=\phi^{-1}(\mathfrak{q})$이고, 따라서 보조정리 7에 의하여 $(\Spec\phi)^\sharp_\mathfrak{q}$는 $A_{\phi^{-1}(\mathfrak{q})}$에서 $B_{\mathfrak{q}}$로의 ring homomorphism이며 이는 $A_{\phi^{-1}(\mathfrak{p})}$의 유일한 maximal ideal $\phi^{-1}(\mathfrak{q})A_{\phi^{-1}(\mathfrak{q})}$를 $B_\mathfrak{p}$의 유일한 maximal ideal $\mathfrak{q}B_\mathfrak{q}$로 보낸다.

임의의 두 affine scheme $(X, \mathscr{O}_{X})$, $(Y, \mathscr{O}_{Y})$와 이들 사이의 morphism

이 주어졌다 하면, isomorphism $(\Spec B, \mathscr{O}_{\Spec B})\cong (X, \mathscr{O}_X)$, $(\Spec A, \mathscr{O}_{\Spec A})\cong (Y, \mathscr{O}_Y)$을 통해 이를 두 spectrum들 사이의 (locally ringed space로서의) morphism

으로 볼 수 있다. 따라서 이 locally ringed space들 사이의 morphism이 적당한 ring homomorphism $\phi$로부터 나오는 것을 증명하면 충분하다. $\Spec$이 faithful이라는 위의 증명에서 힌트를 얻어,

를 통해 ring homomorphism $\phi:A \rightarrow B$를 정의하면 이제 주장을 완성하기 위해서는 $\Spec\phi=(\varphi,\varphi^\sharp)$임을 보여야 한다. 이는

임의의 $\mathfrak{q}\in \Spec B$에 대하여

임을 보이자. 우선 보조정리 8에서 $f=1$로 두면 우리는 다음의 diagram

을 얻는다. 이 diagram에서 수직방향 함수들은 모두 isomorphism들이고, 다음의 면

을 제외한 모든 면들은 commuting square임을 알고 있다. 따라서 위의 diagram에서 $A \rightarrow \mathscr{O}_{\Spec B, \mathfrak{q}}$는 어떤 함수를 타고 가도 동일하게 결정되며, 이 함수에 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 6를 적용하면 $A_{\varphi(\mathfrak{q})} \rightarrow \mathscr{O}_{\Spec B, \mathfrak{q}}$가 유일하게 결정된다. 이로부터 위의 diagram의 모든 면들이 commuting square인 것을 안다. 즉, $\phi_\mathfrak{q}:A_{\varphi(\mathfrak{q})}\rightarrow B_\mathfrak{q}$도 local homomorphism이고, 따라서 $\phi^{-1}(\mathfrak{q})=\varphi(\mathfrak{q})$임을 안다. 이제 structure sheaf에서 $\phi$가 $\varphi^\sharp$과 같다는 것은 restriction map만 생각하면 충분하므로, 이상에서 원하는 주장이 증명된다.