스킴은 기하적인 동시에 대수적인 대상이므로, 이를 잘 알기 위해서는 앞선 글에서 살펴본 스킴의 위상구조 뿐만 아니라 대수적인 구조도 동시에 고려할 필요가 있으며, 우리는 이전 글에서 이러한 철학이 어떻게 반영되는지를 간략하게 살펴보았다. 이번 글에서는 이 철학을 더욱 발전시킨다.
축소스킴과 정역스킴
정의 1 Scheme \(X\)가 reduced scheme축소스킴인 것은 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(\mathscr{O}_X(U)\)가 reduced인 것이다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋정의 11) 비슷하게, \(X\)가 integral정역스킴인 것은 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(\mathscr{O}_X(U)\)가 integral domain인 것이다. ([대수적 구조] §분수체, ⁋정의 5)
그럼 다음이 성립한다.
보조정리 2 Scheme \(X\)가 reduced scheme인 것은 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(\mathscr{O}_{X, x}\)가 reduced ring인 것과 동치이다.
증명
우선 reduced scheme \(X\)의 임의의 점 \(x\in X\)에 대하여, \(x\)를 포함하는 affine open subscheme \(U=\Spec A\)를 생각하자. \(\Spec A\) 안에서 \(x\)에 대응되는 prime ideal을 \(\mathfrak{p}\)라 하면
\[\mathscr{O}_{X,x}=(\mathscr{O}_X\vert_U)_x\cong \mathscr{O}_{\Spec A, \mathfrak{p}}\cong A_\mathfrak{p}\]이고, 가정에 의해 \(\mathscr{O}_X(U)\cong A\)가 reduced이므로 \(A_\mathfrak{p}\) 또한 reduced이다.
거꾸로 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(\mathscr{O}_{X,x}\)가 reduced라 하면, 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여 다음 inclusion
\[\mathscr{O}_X(U)\hookrightarrow\prod_{x\in U} \mathscr{O}_{X,x}\]을 생각하면 \(\mathscr{O}_X(U)\)가 reduced인 것을 확인할 수 있다.
이로부터 reducedness는 stalk-local property인 것을 안다. (§스킴의 위상구조, ⁋명제 16) 또, 만일 ring \(A\)가 reduced라면 그 localization도 reduced임을 쉽게 보일 수 있으므로, reduced ring의 spectrum은 reduced라는 것을 보일 수 있다.
비슷하게 integral domain의 spectrum은 integral scheme이다. 이는 직접 보이는 것도 어렵지 않지만, 명제 4에서 우리는 scheme \(X\)가 integral인 것과, scheme \(X\)가 irreducible, reduced scheme인 것이 동치인 것을 증명한다. 그럼 integral domain \(A\)의 spectrum \(\Spec A\)는
- \(A\)가 reduced ring이므로 reduced scheme이고,
- \(A\)가 유일한 minimal prime ideal \(\{0\}\)을 가지므로 irreducible이다.
즉, 이를 받아들인다면 integral domain의 spectrum이 integral scheme이라는 것을 볼 수 있다.
명제 4의 증명을 위해서는 irreducibility를 다음과 같이 대수적인 언어로 풀어쓰는 것이 좋다.
보조정리 3 Affine scheme \(\Spec A\)가 irreducible인 것은 nilradical \(\mathfrak{N}(A)\)가 prime ideal인 것과 동치이다.
증명
\(\Spec A\)가 irreducible인 것은 이 공간의 임의의 두 basis \(D(f),D(g)\neq\emptyset\)에 대하여 \(D(fg)\neq\emptyset\)인 것과 동치이다. 그런데 다음 동치관계
\[D(f)\neq\emptyset\iff f\not\in \mathfrak{p}\text{ for some $\mathfrak{p}$}\iff f\not\in \mathfrak{N}(A)\]로부터, ([대수적 구조] §분수체, ⁋명제 14) 명제 \(D(f),D(g)\neq\emptyset\implies D(fg)\not\in\emptyset\)은 다음 명제
\[f,g\not\in \mathfrak{N}(A)\implies fg\not\in \mathfrak{N}(A)\]와 동치임을 안다.
이제 다음을 얻는다.
명제 4 \(X\)가 integral인 것과, \(X\)가 reduced, irreducible인 것이 동치이다.
증명
우선 \(X\)가 integral이라 하자. 임의의 integral domain은 항상 reduced이므로 \(X\)는 reduced scheme이다. 만일 \(X\)가 irreducible scheme이 아니라 하면, 서로소이고 공집합이 아닌 두 열린집합 \(U_1,U_2\neq\emptyset\)가 존재한다. 그럼 열린집합 \(U_1\cup U_2\)에 대하여
\[\mathscr{O}_X(U_1\cup U_2)=\mathscr{O}_X(U_1)\times \mathscr{O}_X(U_2)\]이고, 우변은 integral domain이 아니므로 이는 \(X\)가 integral이라는 가정에 모순이다.
거꾸로 irreducible reduced scheme \(X\)가 주어졌다 하고, \(X\)가 integral scheme임을 보이자. 즉, \(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)가 주어졌을 때, \(\mathscr{O}_X(U)\)가 integral domain임을 보여야 한다. 우선 다음 주장을 보이자.
주장 임의의 affine open subset \(\Spec A\cong V\subseteq X\)에 대하여, \(\mathscr{O}_X(V)\cong A\)는 항상 integral domain이다.
\(X\)가 reduced라는 가정으로부터 \(A\)가 reduced ring이어야 하는 것을 안다. 한편, \(X\)는 \(X\)의 irreducible closed subset이므로 \(V\)도 irreducible이고 ([위상수학] §차원, ⁋명제 13) 따라서 보조정리 3으로부터 \(\mathfrak{N}(A)=0\)는 prime ideal이 되어 \(A\)가 integral domain이다.
이제 일반적으로 \(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(\mathscr{O}_X(U)\)가 integral domain임을 보인다. 이를 위해 두 원소 \(f,g\in \mathscr{O}_X(U)\)가 \(fg=0\)을 만족한다고 하자. 그럼 \(U\)의 두 열린집합
\[D_U(f)=\{x\in U\mid f_x\not\in \mathfrak{m}_x\},\qquad D_U(g)=\{x\in U\mid g_x\not\in \mathfrak{m}_x\}\]와 이들의 여집합 \(Z_U(f), Z_U(g)\)에 대하여 \(U=Z_U(f)\cup Z_U(g)\)가 성립한다. 이제 \(X\)가 irreducible이므로, [위상수학] §차원, ⁋명제 13으로부터 그 열린집합 \(U\) 또한 마찬가지라는 것을 알고 따라서 \(Z_U(f)=U\)이거나 \(Z_U(g)=U\)여야 한다. 일반성을 잃지 않고 \(Z_U(f)=U\)라 하자. 그럼 \(U\)의 임의의 open affine subset \(V\)에 대하여, \(V\)에서
\[D_V(f)=\{x\in V\mid f_x\not\in \mathfrak{m}_x\}\]로 정의하면 \(D_V(f)=D_U(f)\cap V=D(f\vert_{U\cap D_U(f)})\subseteq V\)이고, 이것이 공집합이기 위해서는 \(f\vert_{U\cap D_U(f)}\)가 \(\mathscr{O}_X(V)\)의 nilpotent element이다. 그런데 \(\mathscr{O}_X(V)\)는 위의 주장에 의하여 integral domain이므로, 이로부터 \(f\vert_{U\cap D_U(f)}=0\)이어야 함을 알고, 이것이 \(U\)의 임의의 open affine subset \(V\)에 대해 성립하므로 \(f=0\)이어야 한다.
한편 §스킴의 위상구조, ⁋예시 6을 보면, 임의의 scheme \(X\)의 irreduciblity를 stalk만 보아서는 판단할 수 없다는 것을 안다. 가령 \(Z(\x(\x-1))\)는 두 개의 component로 쪼개지므로 각 component의 점은 다른 component의 점에 대한 정보를 알지 못한다. 따라서 integrality 또한 stalk만 보아서는 판단하지 못한다.
그러나 만일 \(X\)가 connected scheme이었다면, irreducible component들은 반드시 어떠한 점에서는 만나야 하고, 이 점에서의 stalk을 보면 irreducibility를 판단할 수도 있을 것이다. 다음 명제는 이 아이디어를 엄밀하게 적은 것이다.
명제 5 Noetherian scheme \(X\)가 integral인 것과, \(X\)가 nonempty, connected이고 각각의 \(\mathscr{O}_{X,x}\)가 integral domain인 것이 동치이다.
증명
우선 \(X\)가 integral이라면 \(X\)는 irreducible이므로 connected이고, 또 integral domain의 localization은 integral domain이므로 한쪽 방향은 자명하다.
반대쪽 방향의 경우, scheme \(X\)가 reduced인 것은 임의의 integral domain이 reduced이고, reducedness가 stalk-local property이기 때문에 자명하다. 따라서 주어진 조건을 사용하여 \(X\)가 irreducible이라는 것을 보이면 나머지는 명제 4로부터 자명하다.
우선 \(X\)가 noetherian scheme이므로 적당한 noetherian ring들 \(A_1,\ldots, A_r\)이 존재하여 \(X=\bigcup \Spec A_i\)라 할 수 있다. 또, \(X\)는 위상공간으로서 noetherian이고, 따라서 [위상수학] §차원, ⁋명제 12에 의하여 \(X\)는 유한히 많은 irreducible component를 갖는다. 이제
\[X=\bigcup_{j=1}^s X_j\tag{$\ast$}\]가 \(X\)를 irreducible component들로 분해한 것이라 하면, 고정된 \(i\)에 대하여 다음 집합들
\[X_1\cap \Spec A_i,\quad X_2\cap \Spec A_i,\quad\ldots,\quad X_s\cap \Spec A_i\]중 공집합이 아닌 것들은 \(\Spec A_i\)의 irreducible component들이 된다. 이제 §스펙트럼, ⁋명제 16에 의하여, 이들 각각은 minimal prime ideal \(\mathfrak{q}_j=I(X_j)\)를 정의하며 거꾸로 \(A_i\)의 임의의 minimal prime ideal은 irreducible component \(X_j\cap \Spec A_i\)를 유일하게 결정한다.
한편, \(X\)는 connected이므로, irreducible decomposition (\(\ast\))에서 다음의 교집합
\[X_1\cap \bigcup_{j=2}^s X_j\]를 생각하면 이는 \(X\)의 공집합이 아닌 두 열린집합들의 교집합이고, \(X\)가 connected이므로 이들은 반드시 어떠한 점 \(x\)에서 만나야 한다. 즉, 적당한 \(j\)가 존재하여 \(x\in X_1\cap X_j\)이다. 이제 점 \(x\)를 포함하는 \(X\)의 affine cover를 \(\Spec A_i\)라 하고, 이 때 \(x\)가 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대응된다 하자. 즉
\[x\in \Spec A_i\cap X_1\cap X_j=(\Spec A_i\cap X_1)\cap (\Spec A_i\cap X_j)\]이다. 이제 앞선 논증으로부터 \(\Spec A_i\cap X_1\)은 generic point \(\mathfrak{q}_1\)을, \(\Spec A_i\cap X_j\)는 generic point \(\mathfrak{q}_j\)를 가지며, 이들은 \(A_i\)의 minimal prime ideal이다. 이제 \(x\)에서의 stalk \(\mathscr{O}_{X,x}\cong (A_i)_\mathfrak{p}\)를 생각하면, \(\mathfrak{q}_1,\mathfrak{q}_2\)의 minimality로부터 \(\mathfrak{q}_1,\mathfrak{q}_2\subseteq \mathfrak{p}\)이고 따라서 \(\mathfrak{q}_1 A_i, \mathfrak{q}_2 A_i\)는 각각 \(A_i\)의 minimal prime ideal이 된다. ([가환대수학] §국소화, ⁋명제 8) 그런데 integral domain은 유일한 minimal prime ideal \((0)\)을 가지므로 이는 \(\mathscr{O}_{X,x}\)가 integral domain이라는 가정에 모순이다.
위의 증명에서 핵심적인 논리는
- \(X\)가 connected이므로, \(X\)를 irreducible component들로 분해하면 각각의 irreducible component는 다른 irreducible component와 반드시 만나야 하고1
- 두 irreducible component가 만나는 점을 \(x\)라 하고 \(x\)의 임의의 열린집합을 잡으면 이 열린집합은 각각의 irreducible component의 generic point를 포함할 것이며 (§스펙트럼, ⁋명제 16),
- 따라서 이들 generic point들은 \(x\)에서의 stalk \(\mathscr{O}_{X,x}\)에서도 살아있지만, 이것은 \(\mathscr{O}_{X,x}\)가 integral domain이므로 불가능하다.
는 것으로 요약할 수 있다. 이 generic point에 대한 성질은 이 글의 마지막에서 살펴본다.
정규스킴
Integral scheme과 비슷하게 다음을 정의할 수 있다.
정의 6 Scheme \(X\)가 normal정규스킴인 것은 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(\mathscr{O}_{X,x}\)가 normal domain인 것이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3)
일반적으로 normal domain의 localization은 항상 normal domain이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 12) 이로부터 normal domain \(A\)의 스펙트럼 \(\Spec A\)는 normal scheme인 것을 안다.
임의의 integral domain은 항상 reduced이고, 보조정리 2로부터 reducedness는 stalk에서 확인할 수 있으므로 임의의 normal scheme은 reduced이다. 반면 integral scheme이 되는 것은 stalk-local property가 아니므로 일반적으로 normal scheme이 항상 integral scheme이 되는 것은 아니다. 그러나 만일 \(X\)가 connected, nonempty Noetherian scheme이라면 명제 5에 의해 normality가 integrality를 함의하는 것을 안다.
한편, 우리는 unique factorization domain은 항상 normal domain인 것을 안다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 9) 이로부터 다음을 정의한다.
정의 7 Scheme \(X\)가 factorial인 것은 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(\mathscr{O}_{X,x}\)가 unique factorization domain인 것이다.
따라서 임의의 factorial scheme은 normal scheme이다. 또, unique factorization domain의 localization은 unique factorization domain이므로 unique factorization domain \(A\)의 spectrum \(\Spec A\)는 factorial이다.
동반소아이디얼
우리는 §스펙트럼, ⁋따름정리 17에 의해, scheme \(X=\Spec A\)의 irreducible component와 ring \(A\)의 minimal prime ideal 사이의 일대일대응이 존재하는 것을 안다. 이는 위의 명제 5에서 중요하게 사용되었다.
한편 대수적으로 minimal prime ideal은 항상 associated prime ideal이 된다. 이는 ring \(A\)를 자기 자신 위의 module로 보면 \(\ann A=\{0\}\)이므로 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7를 적용하면 확인할 수 있다. 따라서 우리는 (locally noetherian) scheme의 associated point를 다음과 같이 정의한다.
정의 8 Locally noetherian scheme \(X\)의 한 점 \(x\)와 \(x\)의 affine open neighborhood \(U\cong \Spec A\)에 대하여, \(x\)가 \(X\)의 associated point동반점이라는 것은 \(x\)에 대응되는 prime ideal \(\mathfrak{p}_x\subset A\)가 \(A\)의 associated prime ideal인 것이다.
그럼 이 정의는 \(U\)의 선택에 의존하지 않으며, 뿐만 아니라 stalk-local하게 쓸 수도 있다. 이는 우선 \(x\)를 포함하는 affine open neighborhood \(\Spec A\)에 대하여, \(X\)가 locally noetherian scheme이라는 조건으로부터 \(A\)가 noetherian ring이라 가정하면 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 셋째 조건으로부터 \(\mathfrak{p}_x\)에 포함된 \(A\)의 associated prime ideal들의 모임과 \(A_{\mathfrak{p}_x}\)의 associated prime ideal들 사이의 일대일대응이 존재하는 것을 알고, 이 일대일대응으로부터 정의 8을
Locally noetherian scheme \(X\)의 한 점 \(x\)에 대하여, \(x\)가 \(X\)의 associated point동반점이라는 것은 \(\mathfrak{m}_x\)가 \(\mathscr{O}_{X,x}\)의 associated prime ideal인 것이다.
으로 바꾸어 쓸 수 있기 때문이다.
이제 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 첫째 조건은 만일 \(X\)가 quasicompact locally noetherian scheme일 경우, 즉 \(X\)가 noetherian scheme일 경우 associated point들의 유한성 또한 보장해준다.
또, 이 조건에 의하여, 임의의 minimal prime ideal은 associated prime ideal이므로 이 개념은 \(\Spec A\)에서의 generic point의 개념을 일반화한다. 정의 8에 의하여 우리는 우리의 관심사를 noetherian ring의 spectrum \(\Spec A\)로 한정할 수 있다.
정의 9 Noetherian ring의 스펙트럼 \(\Spec A\)의 associated point들 중, \(\Spec A\)의 irreducible component들의 generic point에 해당하지 않는 것들을 embedded point라 부른다.
한편, 정의에 의해 다음이 성립한다.
명제 10 Noetherian ring의 스펙트럼 \(\Spec A\)의 associated point들은 적당한 \(f\in A\)에 대하여, \(\supp(f)\)의 irreducible component의 generic point이며, 그 역 또한 성립한다.
증명
우선 임의의 \(g\in A\)와 prime ideal \(\mathfrak{q}\in \Spec A\)에 대하여
\[\mathfrak{q}\in \supp(g)\iff g_\mathfrak{q}\neq 0\text{ in $A_\mathfrak{q}$}\iff \ann(g_\mathfrak{q})\neq A_\mathfrak{q}\]이 성립한다. 그런데 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 5에 의하여
\[\ann(g_\mathfrak{q})=\ann(g)A_\mathfrak{q}\]이므로, 마지막 조건은 \(\ann(g)\setminus \mathfrak{q}=\emptyset\), 즉 \(\mathfrak{q}\in Z(\ann(g))\)와 동치이다. 이로부터 임의의 \(g\in A\)에 대해
\[\supp(g)=Z(\ann(g))\]이 성립하는 것을 안다. 따라서 \(\supp(g)\)의 irreducible component와 \(\ann(g)\)를 포함하는 minimal prime ideal 사이의 일대일 대응이 존재한다.
이제 \(\Spec A\)의 임의의 associated point \(\mathfrak{p}\)가 주어졌다 하면, 정의에 의해 적당한 \(f\in A\)가 존재하여 \(\mathfrak{p}=\ann(f)\)이다. 이제
\[\supp(f)=Z(\ann(f))=Z(\mathfrak{p})\]이고, \(\mathfrak{p}\)가 \(\ann(f)=\mathfrak{p}\)의 minimal prime인 것은 자명하므로 \(\mathfrak{p}\)는 \(\supp f\)의 generic point이다. 이 논증은 위의 관찰을 바탕으로 반대로도 작동한다.
위의 증명에서 사용한 식
\[\supp(f)=Z(\ann(f))\]를 살펴보면, 만일 \(A\)가 integral domain이었다면 \(\ann(f)\)는 오직 \(f=0\)일 때만 \(A\) 전체이고, 그렇지 않은 경우에는 \(0\)이 된다. 즉, 이 경우 \(\supp(f)\)는 \(f\)가 \(0\)인 경우만 공집합이고, 나머지 경우에는 \(\Spec A\) 전체이며, 우리는 명제 4에서 \(\Spec A\)가 irreducible임을 알고 있으므로 \(\Spec A\)의 유일한 associated point는 generic point \((0)\) 뿐임을 안다.
더 일반적으로, \(A\)가 integral domain이 아니라면 \(\ann(f)\)가 \(0\)도, \(A\)도 아닌 경우가 존재하므로 embedded point가 존재할 가능성이 있다.
예시 11 Affine scheme \(X=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\x_2]/(\x_2^2, \x_1\x_2)\)를 생각하자. 그럼 §스펙트럼, ⁋보조정리 6과 §스펙트럼, ⁋명제 9에 의하여, 집합으로서
\[X= Z(\x_2^2,\x_1\x_2)=Z(\x_2^2)\cap Z(\x_1\x_2)=\{(0,0)\}\]이다.
유리함수
이제 우리는 스킴 위에서 정의된 유리함수를 정의한다. 우선 [가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋따름정리 4의 둘쨰 결과에 의하여 다음의 함수
\[A \rightarrow \prod_\text{\scriptsize $\mathfrak{p}$ associated prime} A_\mathfrak{p}\]는 injective인 것을 안다. 따라서 locally noetherian scheme \(X\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여 다음의 함수
\[\Gamma(U, \mathscr{O}_X) \rightarrow \prod_\text{\scriptsize $x$ associated in $U$} \mathscr{O}_{X,x}\tag{$\ast$}\]가 injective이다.
정의 12 Locally noetherian scheme \(X\)와, \(X\)의 associated point들을 모두 포함하는 열린집합 \(U\)에 대하여, \(\Gamma(U, \mathscr{O}_X)\)의 (\(\ast\))에 의한 image를 \(X\) 위에 정의된 rational function유리함수라 부른다.
따라서, 정의에 의해 \(X\) 위에 정의된 rational function은 (1) \(X\)의 모든 associated point들을 포함하는 정의역 \(U\)와, (2) 그 위의 함수 \(f\in \Gamma(U, \mathscr{O}_X)\)의 데이터로 이루어지며, 이러한 pair \((U, f)\)와 \((U',f')\)는 만일 \(U\cap U'\)에서 \(f\)와 \(f'\)가 같은 함수를 정의하면 같은 함수가 된다.
예시 13 Affine scheme \(X=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\x_2]/(\x_2-\x_1^2)\)을 생각하자. 그럼 \(X\)는 유일한 associated prime \((0)\)을 가지며, \(X\)의 임의의 열린집합은 이 점을 포함하므로 \(X\)의 rational function은 공집합이 아닌 임의의 열린집합 \(U\)와 그 위에서의 함수 \(f\in\Gamma(U, \mathscr{O}_X)\)로 이루어진다.
한편, 우리는 affine scheme \(X=\Spec A\)의 임의의 (공집합이 아닌) 열린집합은 적당한 nonzero \(f\in A\)에 대하여 \(\Spec A_f\)의 꼴이며, 이 위에서의 함수는 \(A_f\)로 주어지는 것을 안다. 가령 이 예시에서 \(f\)를 \(\x_1\)(의 \(A\)에서의 image)로 택했다고 하면, isomorphism
\[\left(\frac{\mathbb{K}[\x_1,\x_2]}{(\x_2-\x_1^2)}\right)_{\x_1}\cong\frac{\mathbb{K}[\x_1,\x_2]_{\x_1}}{(\x_2-\x_1^2)_{\x_1}}\]에 의하여, 열린집합 \(\Spec A_{\x_1}\) 위에서 정의된 \(1/\x_1\)과 같은 함수들은 \(X\) 위에서의 rational function이 된다. 이를 통해 분모에 \(\x_2-\x_1^2\) 인자를 갖고 있지 않은 모든 유리식은 \(X\) 위의 (적절한 열린집합에서의) 유리함수가 된다는 것을 안다.
Locally noetherian scheme \(X\) 위에 정의된 rational function들의 모임은 total quotient ring \(K(X)\)를 정의한다. 만일, 위와 같이 \(X\)가 integral scheme이라 하자. 그럼 특히 \(X\)는 irreducible이므로 유일한 generic point \(x\)를 갖는다. 이 점은 임의의 affine open subset \(U\cong\Spec A\)에 대하여, integral domain \(A\)의 유일한 minimal prime ideal \((0)\)에 대응되어야 한다. 이 점에서의 localization은 \(A\)의 nonzero element들을 모두 분모로 추가해 준 것, 즉 \(\Frac(A)\)와 같다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
-
이 과정에서 \(X\)의 irreducible component들이 유한히 많기 때문에 각각의 component들이 열린집합임을 사용하였다. ↩
댓글남기기