올곱

올곱의 정의와 존재성

우리는 §스킴 사이의 사상, ⁋정의 3에서 scheme morpihsm $X \rightarrow S$를 $S$-scheme이라 부르기로 하였다. 이번 글에서 우리는 category $\Sch_{/S}$에서의 product를 정의할 것이다.

정의 1 두 scheme morphism $\varphi_X:X \rightarrow S$, $\varphi_Y:Y \rightarrow S$의 fiber product를 $X\times_SY$로 적는다. ([범주론] §극한, ⁋예시 8)

즉, $X\times_SY$는 다음의 성질을 만족한다.

다음의 diagram

이 commute한다. 뿐만 아니라, 식 $\varphi_Y\circ\psi_Y=\varphi_X\circ\psi_X$를 만족하는 임의의 $\psi_X:Z \rightarrow X$, $\psi_Y:Z \rightarrow Y$가 주어질 때마다 유일한 $\psi:Z \rightarrow X\times_SY$가 존재하여 $\psi_X=\rho_X\circ\psi$이고 $\psi_Y=\rho_Y\circ\psi$이다.

따라서, $X\times_SY$에서 $S$로의 canonical morphism이 존재하며, 이로부터 우리는 $X\times_SY$를 $S$-scheme으로 볼 수 있다. 뿐만 아니라, 이 관점에서 $X\times_SY$는 $\Sch_{/S}$에서의 product이기도 하다는 것이 정의로부터 자명하다.

§스킴 사이의 사상, ⁋예시 4 이후에 우리는 임의의 scheme $X$는 항상 유일한 방식으로 $\mathbb{Z}$-scheme으로 생각할 수 있다는 것을 보았다. 따라서 정의 1을 만족하는 fiber product $X\times_SY$가 항상 존재한다고 가정하면, 우리는 임의의 두 scheme $X, Y$에 대하여 $X\times_{\Spec \mathbb{Z}}Y$가 $X$와 $Y$의 product를 주는 것을 안다.

정의 1은 fiber product $X\times_SY$의 존재성에 대해서는 어떠한 것도 보장해주지 않으므로, 이것이 진짜 정의가 되기 위해서는 $X\times_SY$의 존재성을 별도로 증명해주어야 한다. (정리 6) 그러나 특별히 $\AffSch$에서 fiber product의 존재성은 거의 자명하며, 이것이 우리의 증명의 시작이 될 것이다.

보조정리 2 Affine scheme들 사이의 morphism $\Spec A \rightarrow \Spec C$, $\Spec B \rightarrow\Spec C$가 주어졌다 하자. 그럼

\[\Spec A\times_{\Spec C}\Spec B\cong\Spec (A\otimes_C B)\]

가 성립한다.

증명

$\AffSch\cong\cRing^\op$를 통해 $\Spec A \rightarrow \Spec C$, $\Spec B \rightarrow \Spec C$를 $C \rightarrow A$, $C \rightarrow B$로 바꿔놓고 ##ref##의 universal property와 fiber product의 universal property를 비교하면 된다.

이제 일반적인 scheme에 대해 fiber product가 존재한다는 사실은 보조정리 2에서 살펴본 affine scheme에서의 결과를 바탕으로, 이들을 잘 붙일 수 있다는 것을 보이면 된다.

우선, $Z$의 open subscheme $U$가 주어졌을 때, 이를 inclusion morphism을 이용하여 $\iota:U \rightarrow Z$와 같은 꼴로 쓰면 다음 보조정리는 거의 말장난이다.

보조정리 3 Scheme morphism $\varphi: Y \rightarrow Z$와 $Z$의 open subscheme $\iota: U \rightarrow Z$가 주어졌다 하자. 그럼 다음의 diagram

은 fiber diagram이다.

증명

$\varphi^{-1}(U)$가 fiber product의 universal property를 만족한다.

이제 이를 약간 활용하면 다음의 보조정리를 보일 수 있다.

보조정리 4 Affine scheme들 $X, Y, Z$가 주어졌다 하고, $Y$의 open subscheme $Y’\hookrightarrow Y$가 주어졌다 하자. 그럼 $X\rightarrow Z$와 $Y’\hookrightarrow Y \rightarrow Z$의 fiber product $X\times_ZY’$가 존재한다.

증명

우선 보조정리 2로부터 다음의 fiber diagram

이 존재하는 것을 안다. 이제 다음의 데이터

를 생각하면, 우리는 보조정리 3으로부터 $X\times_SY$의 open subscheme $\rho_Y^{-1}(Y’)$가 fiber product가 되는 것을 확인할 수 있다. 이제 일반적으로 다음의 diagram

에서 작은 두 사각형이 fiber diagram이라면 외곽의 큰 사각형도 fiber diagram이므로 원하는 결과를 얻는다.

이제 이를 이용하면 affine scheme과 임의의 scheme의 fiber product가 존재한다는 것을 보일 수 있다.

보조정리 5 Affine scheme들 $X, Z$ 그리고 임의의 scheme $Y$에 대하여, $X\rightarrow Z$와 $Y \rightarrow Z$의 fiber product $X\times_ZY$가 존재한다.

증명

이를 위해 $Y$를 affine open subset들 $Y_i$들로 덮자. 그럼 우리는 보조정리 2으로부터 $X\times_ZY_i$들이 존재함을 안다. 또, $Y_{ij}=Y_i\cap Y_j$는 affine scheme $Y_i$의 open subscheme이므로 역시 $X\times_Z Y_{ij}$가 보조정리 4에 의하여 존재한다.

한편, 보조정리 4의 증명을 보면 $X\times_ZY_{ij}$는 각각 $X\times_ZY_i$와 $X\times_ZY_{ij}$의 open subscheme인 것을 알 수 있다. 이들 데이터가 §스킴, ⁋보조정리 9의 조건들을 만족하는 것을 쉽게 확인할 수 있으므로, 이들을 붙여 scheme $X\times_ZY$를 만들 수 있다. 이것이 fiber product의 universal property를 만족하는 것은 scheme morphism $W \rightarrow Y$의 공역을 $Y_i$들로 제한하여 $X\times_ZY_i$들 각각의 universal property를 사용한 후, §스킴 사이의 사상, ⁋명제 1과 같이 scheme morphism을 붙여서 만들면 확인할 수 있다.

이 보조정리에서 $X$가 affine scheme이라는 가정은 오직 $X\times_ZY_i$가 존재한다는 것을 보이기 위해서만 사용되었다. 따라서, 임의의 두 scheme $X,Y$와 affine scheme $Z$, 그리고 scheme morphism $X \rightarrow Z$와 $Y \rightarrow Z$가 주어졌다 하면 우리는 $Y$의 affine open cover $\{Y_i\}$를 택한 후, $X\times_ZY_i$가 보조정리 5에 의해 존재하는 것을 알고 따라서 이들을 붙여서 $X\times_ZY$를 만들 수 있다. 즉 다음이 성립한다.

보조정리 6 Affine scheme $Z$, 임의의 scheme $X,Y$와 scheme morphism $X \rightarrow Z$, $Y \rightarrow Z$에 대하여, fiber product $X\times_ZY$가 존재한다.

이제 마지막으로 $Z$를 임의의 scheme으로 확장해야 한다. 우선 다음이 성립한다.

보조정리 7 임의의 scheme $X,Y,Z$가 주어졌다 하고, scheme morphism $\varphi_X:X \rightarrow Z$, $\varphi_Y:Y \rightarrow Z$ 그리고 aßffine scheme $Z’$로의 morphism $\iota: Z \rightarrow Z’$가 주어졌다 하자. 그럼 $\iota\circ\varphi_X$와 $\iota\circ\varphi_Y$의 fiber product $X\times_{Z’}Y$는 $X\times_ZY$의 universal property를 만족하고, 따라서 $X\times_ZY$가 존재한다.

이제 위의 보조정리를 이용하여 우리는 임의의 $X,Y,Z$와 scheme morphism $\varphi_X:X \rightarrow Z$, $\varphi_Y: Y \rightarrow Z$에 대하여 $Z$를 affine open cover $\{Z_i\}$들로 덮으면 $\varphi_X\vert^{Z_i}:\varphi_X^{-1}(Z_i) \rightarrow Z_i$와 $\varphi_Y\vert^{Z_i}:\varphi_Y^{-1}(Z_i) \rightarrow Z_i$에 대해서는 fiber product $X_i\times_{Z_i}Y_i$가 존재하는 것을 안다. 이제 교집합 $Z_{ij}=Z_i\cap Z_j$은 $Z_i$의 열린집합이므로 보조정리 7에 의하여 $\varphi_X\vert^{Z_{ij}}$와 $\varphi_Y\vert^{Z_{ij}}$의 fiber product들도 존재하며 이는 $X_i\times_{Z_i}Y_i$와 $X_j\times_{Z_j}Y_j$의 open subscheme이다. 따라서 보조정리 5의 증명과 마찬가지로, 이들 데이터가 §스킴, ⁋보조정리 9의 조건을 만족한다는 것을 보이면 다음 정리를 얻는다.

정리 8 임의의 scheme $X,Y,Z$와 scheme morphism $X \rightarrow Z$, $Y \rightarrow Z$에 대하여, fiber product $X\times_ZY$가 존재한다.

Fiber product의 해석

Scheme morphism을 해석하는 방법이 여러가지가 존재하듯, fiber product도 이해하는 방법이 여러가지가 있다.

앞서 우리는 scheme morphism $X \rightarrow S$를 $S$로 parametrize된 family로 생각하기로 하였으며 (§스킴 사이의 사상, ⁋예시 10) 이 관점에서 $S$는 family $X$의 base로 생각할 수 있다. 이제 임의의 $S$-family $X \rightarrow S$가 주어졌다 하고, scheme morphism $S’ \rightarrow S$가 주어졌다 하면 fiber product를 통해 우리는 새로운 $S’$-family $X\times_SS’ \rightarrow S’$를 얻는다. 이러한 관점에서서 우리는 종종 fiber product를 base change라 부르기도 한다.

예시 9 Affine scheme으로 우리의 관심범위를 좁혀보면, $\Spec B$가 $C$-scheme이라는 것은 scheme morphism $\Spec B \rightarrow \Spec C$가 주어졌다는 것이고 이는 다시 ring homomorphism $C \rightarrow B$가 주어진 것과 같고 이는 다시 $B$가 $C$-algebra라는 것과 같은 말이다.

이제 여기에 더해 scheme morphism $\Spec A \rightarrow \Spec C$가 주어졌다 하고 위의 base change가 어떠한 것을 주는지를 살펴보면, 보조정리 2에 의해 우리는 이렇게 얻어지는 것이

\[\Spec A\times_{\Spec C}\Spec B=\Spec(A\otimes_CB) \rightarrow \Spec A\]

즉 ring homomorphism $A \rightarrow A\otimes_CB$임을 안다. 즉, base change는 (affine scheme의 경우에는) 별다른 것이 아니라 [대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋정의 3에 불과하다.

특별히 $B$-algebra $B[\x_1,\ldots,\x_n]$와 임의의 ring homomorphism $B \rightarrow A$에 대하여, 다음 식

\[A\otimes_BB[\x_1,\ldots,\x_n]\cong A[\x_1,\ldots, \x_n]\]

이 성립하는 것으로부터 다음의 diagram

이 fiber diagram인 것을 안다.

이 관점은 중요한 것이지만, 지금 당장은 여기에 있는 기하학적인 직관이 잘 보이지 않는다. 이를 위해 특별히 $S’ \rightarrow S$가 embedding인 경우를 생각하자.

우선 임의로 주어진 $S$-family $X \rightarrow S$와 open embedding $S’ \rightarrow S$가 open embedding에 대하여, 보조정리 3은 $S’$-family $X\times_SS’ \rightarrow S’$가 단순히 $X \rightarrow S$의 base를 $S’$로 제한하여 얻어진 것임을 보여준다. 여기에 더하여 $X \rightarrow S$ 또한 open embedding이라 가정하면, 우리는 $X\times_SS’$가 ($S$ 안에서의) $X$와 $S’$의 교집합임을 안다.

위의 논증은 closed embedding인 경우에도 성립한다. 이를 위해서는 보조정리 3에 해당하는 다음 보조정리를 보여야 한다.

보조정리 10 Ring homomorphism $\phi: B \rightarrow A$와 $B$의 임의의 ideal $\mathfrak{b}$에 대하여, isomorphism

\[A/\phi(\mathfrak{b})A\cong A \otimes_B(B/\mathfrak{b})\]

이 존재한다.

증명

Ideal $\mathfrak{b}$로부터 얻어지는 다음의 exact sequence

\[\mathfrak{b} \rightarrow B \rightarrow B/\mathfrak{b} \rightarrow 0\]

에 $\otimes_BA$를 취하면 다음의 exact sequence

\[A\otimes_B \mathfrak{b} \rightarrow A\otimes_BB \rightarrow A\otimes_B (B/\mathfrak{b}) \rightarrow 0\]

을 얻고, 이 때 $A\otimes_B \mathfrak{b}$의 $A\otimes_BB\cong A$에서의 image가 $\phi(\mathfrak{b})A$이므로 원하는 결과를 얻는다.

이제 임의의 closed embedding은 국소적으로는 항상 $B \rightarrow B/\mathfrak{b}$로부터 오는 것이므로 위의 논의를 closed embedding에 대해서도 동일하게 적용할 수 있다. 특히 두 closed embedding의 교집합이 잘 정의된다.

예시 11 $Z=\Spec\mathbb{k}[\x,\y]$의 두 closed subscheme

\[X=\Spec \mathbb{k}[\x,\y]/(\y)=\Spec \mathbb{k}[\x],\qquad Y=\Spec \mathbb{k}[\x,\y]/(\x)=\Spec \mathbb{k}[\y]\]

을 생각하자. 그럼 $X$와 $Y$는 각각 $Z=\mathbb{A}^2_\mathbb{k}$의 $\x$축과 $\y$축에 해당하며, 그 closed embedding은 projection들

\[\mathbb{k}[\x,\y] \rightarrow \mathbb{k}[\x],\qquad \mathbb{k}[\x,\y] \rightarrow \mathbb{k}[\y]\]

로 주어진다. 이제 $X\times_ZY$는, 보조정리 2에 의하여,

\[\Spec\left(\frac{\mathbb{k}[\x,\y]}{(\x)}\otimes_{\mathbb{k}[\x,\y]} \frac{\mathbb{k}[\x,\y]}{(\y)}\right)\cong \Spec \mathbb{k}[\x,\y]/(\x,\y)\cong\Spec \mathbb{k}\]

로 주어지는 것을 확인할 수 있으며 이는 정확히 $\x$축과 $\y$축의 교점인 원점에 해당한다.

이번에는 위의 계산에서 $Y$를 다음의 closed subscheme

\[Y=\Spec \mathbb{k}[\x,\y]/(\y-\x^2)\]

으로 바꿔보자. $\y=\x^2$과 $\x$축의 교점은 마찬가지로 원점이지만, 이번에는 중근이 존재하므로 scheme 구조는 위와 다르게 주어져야 할 것이다. 실제로 계산을 반복하면 $X\times_ZY$는

\[\Spec\left(\frac{\mathbb{k}[\x,\y]}{(\y)}\otimes_{\mathbb{k}[\x,\y]}\frac{\mathbb{k}[\x,\y]}{(\y-\x^2)}\right)\cong\Spec \mathbb{k}[\x,\y]/(\y,\y-\x^2)\cong\Spec \mathbb{k}[\x]/(\x^2)\]

이 된다.

이 관점에서 우리는 scheme morphism $\varphi:X \rightarrow Y$의 $y_0\in Y$에서의 fiber $\varphi^{-1}(y_0)$을 어떻게 정의해야 하는지도 알 수 있다. $y_0$가 closed point이든 아니든, 이를 $\iota:\{y_0\}\hookrightarrow Y$로 본 후, $\iota$와 $\varphi$의 fiber product를 취하면 된다. 이를 위해서는 $\iota$를 scheme morphism으로서 기술해야 한다.

이를 위해 $y$에서의 residue field $\kappa(y)$를 생각하자. 그럼 $\Spec\kappa(y)$는 항상 한점집합이다. 뿐만 아니라, $y$를 포함하는 $Y$의 affine open subset $V=\Spec B$를 생각하고, $y$가 prime ideal $\mathfrak{q}_y$에 대응된다 하면 canonical morphism

\[B \rightarrow B_{\mathfrak{q}_y} \rightarrow B_{\mathfrak{q}_y}/\mathfrak{q}_y B_{\mathfrak{q}_y} =\kappa(\mathfrak{q}_y)=\kappa(y)\]

을 통해 $\Spec\kappa(y)\rightarrow \Spec B$가 정의되며 $\Spec \kappa(y)$의 (유일한) 점 $(0)$은 위의 morphism을 통해 $\mathfrak{q}_y$로 옮겨진다. 따라서 다음을 정의한다.

정의 12 Scheme morphism $\varphi: X \rightarrow Y$에 대하여, $Y$의 한 점 $y\in Y$에서의 fiber_올를

\[\varphi^{-1}(y)=X\times_Y\Spec \kappa(y)\]

으로 정의한다. 만일 $Y$가 irreducible이라면, $Y$의 generic point에서의 fiber를 generic fiber라 부른다.

예시 13 Algebraically closed field $\mathbb{k}$에 대하여, ring homomorphism $\mathbb{k}[\x] \rightarrow \mathbb{k}[\y]$을 식 $\x \mapsto \y^2$으로 정의하고, 이로부터 얻어지는 scheme morphism $\varphi: \Spec \mathbb{k}[\y] \rightarrow \Spec \mathbb{k}[\x]$를 생각하자. 그럼 $\Spec\mathbb{k}[\x]$의 임의의 점 $(\x-a)$에서의 residue field는

\[\Frac(\mathbb{k}[\x]/(\x-a))=\mathbb{k}[\x]/(\x-a)\]

이다. 이제 임의의 $a\in \mathbb{k}$에 대하여,

\[\varphi^{-1}((\x-a))=\Spec \mathbb{k}[\y]\otimes_{\Spec \mathbb{k}[\x]}\Spec \mathbb{k}[\x]/(\x-a)\cong \Spec(\mathbb{k}[\y]\otimes_{\mathbb{k}[\x]}\mathbb{k}[\x]/(\x-a))=\Spec \mathbb{k}[\y]/(\y^2-a)\]

이며, 따라서 만일 $a=0$이라면 $\varphi^{-1}((\x))\cong\Spec \mathbb{k}[\y]/(\y^2)$이고, $a\neq 0$이라면 $\mathbb{k}$가 algebraically closed라는 가정으로부터

\[\Spec \mathbb{k}[\y]/(\y^2-a)\cong \Spec \mathbb{k}[\y]/(\y-\sqrt{a})\coprod \Spec \mathbb{k}[\y]/(\y+\sqrt{a})\]

임을 안다. 한편 $\mathbb{k}[\x]$의 generic point $(0)$에 대해서는 $\kappa((0))=\mathbb{k}(\x)$이므로

\[\varphi^{-1}((0))=\Spec \mathbb{k}[\y]\otimes_{\Spec \mathbb{k}[\x]}\Spec \mathbb{k}(\x)\cong \Spec\mathbb{k}(\y)\]

이 된다.

위의 예시는 이미 §스킴 사상의 성질들, ⁋예시 15에서 살펴보았던 것이다. 해당 예시에서 우리는 finite morphism이 항상 quasi-finite라는 사실을 주장했는데, 이제 이를 증명할 수 있다.

명제 14 Finite morphism $\varphi: X \rightarrow Y$는 quasi-finite morphism이다.

증명

Affine인 경우만 보이면 충분하다. 즉, 임의의 finite ring homomorphism $\phi: B \rightarrow A$와 $B$의 prime ideal $\mathfrak{q}$에 대하여 $A\otimes_B\kappa(\mathfrak{q})$가 유한히 많은 prime ideal을 갖는다는 것을 보이면 충분하다. 그런데 $\phi$가 fintite이므로 $A\otimes_B\kappa(\mathfrak{q})$는 finite $\kappa(\mathfrak{q})$-algebra이고 따라서 artinian이므로 이로부터 원하는 결과를 얻는다. (##ref##)

위의 예시와 명제들에서 우리는 중요한 관찰을 할 수 있는데, 만일 $X \rightarrow S$가 scheme morphism의 어떠한 성질 $P$를 만족한다면, 임의의 $S’ \rightarrow S$로의 base change $X\times_SS’ \rightarrow S’$ 또한 그러하다는 것이다. 이는 우연이 아니며, 실제로 우리가 관심을 가지는 대부분의 성질은 base change에 대해 닫혀있다.

명제 15 만일 scheme morphism $\varphi:X \rightarrow Z$가 quasicompact (resp. quasiseparated, affine, finite, integral, locally of finite type, finite type, locally of finite presentation, finite presentation, quasi-finite, surjective) 라면, 임의의 scheme morphism $Y \rightarrow Z$를 통해 $\varphi$를 base change한 $X\times_ZY \rightarrow X$ 또한 그러하다.

가령 integral morphism과 finite morphism에 대하여는 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 14에서 이를 증명하였으며, 다른 성질에 대해서도 위의 명제를 어렵지 않게 보일 수 있다.