§스킴, ⁋예시 8에서 우리는 두 개의 affine line $\mathbb{A}^1=\Spec \mathbb{k}[\x]$을 적당한 방식으로 붙여 projective space $\mathbb{P}^1$을 만들었다. 이번에는 이를 일반화하여 projective scheme을 정의한다.
사영공간
§스킴, ⁋예시 8을 그대로 일반화하면 scheme으로서 $\mathbb{P}^n$을 정의하는 것 자체는 어렵지 않다. 하지만 이를 일반화하여 projective scheme을 정의하기 위해서는 $\mathbb{P}^n$을 직관적으로 이해하는 것이 도움이 되므로, 이를 조금 더 찬찬히 뜯어보자.
우선 우리는 기존에 위상수학에서 정의하던 projective space를 간단히 살펴본다. 위상공간 $\mathbb{P}^n$을 만들기 위해 우리는 위상공간 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}$을 생각했다. 그럼 이 위에 다음의 동치관계
\[(x_0,\ldots, x_n)\sim (y_0,\ldots, y_n)\iff\text{$x_i=\lambda y_i$ for some $\lambda\neq 0$, for all $i$}\]를 정의하면 projective space $\mathbb{P}^n$은 quotient space $(\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\})/{\sim}$으로 정의되는 위상공간이며, $(x_0,\ldots, x_n)$을 포함하는 동치류를 표기의 편의를 위해 $[x_0:x_1:\cdots:x_n]$으로 표기한다.
이 때, canonical projection $\pi:\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}\rightarrow \mathbb{P}^n$를 생각하자. 그럼 $\mathbb{P}^n$의 한 점 $[x_0:x_1:\cdots:x_n]$의 fiber는 그 정의에 의하여
\[\{(y_0,\ldots, y_n):\text{$x_i=\lambda y_i$ for some $\lambda\neq 0$, for all $i$}\}\]즉 원점과 $(x_0,\ldots, x_n)$을 지나는 직선 위의 점들 중, 원점을 제외한 점들의 집합으로 주어진다. 이 때문에 $\mathbb{P}^n$은 종종 $\mathbb{R}^{n+1}$에서의 직선들의 공간으로 생각되기도 한다.
한편, $\mathbb{R}^{n+1}$에서, 임의의 평면 $P$와, $P$와 평행하지 않은 직선은 반드시 한 점에서 만난다. 따라서 평면 $P_i$를
\[P_i=\{\x_i=1\}=\{(x_0,\ldots, x_n): x_i=1\}\]로 정의한다면, $\mathbb{P}^n$의 점들 중 $\x_i$축과 수직인 직선들을 제외한 점들은 모두 $P_i$의 점과 일대일로 대응되며, 남아있는 점들은 $\x_0\x_1\cdots\x_{i-1}\x_{i+1}\cdots\x_n$-평면, 즉 $\mathbb{R}^n$의 직선이므로 다음의 decomposition
\[\mathbb{P}^n=\mathbb{R}^n\coprod \mathbb{P}^{n-1}\]을 얻는다. 이 과정은 $n=2$인 경우 다음 그림에 표현되어 있다.
이를 식으로 적으면, $\mathbb{P}^n$의 한 점 $[x_0:\cdots:x_n]$에 대하여, 만일 $x_i\neq 0$이라면 $[x_0:\cdots:x_n]$의 동치류 안에서 $i$번째 좌표가 $1$이 되는 점을 (유일하게) 찾을 수 있으며, 이 점을 $P_i$의 점으로 보아 다음 부분집합
\[U_i=\{[x_0:\cdots:x_n]\in \mathbb{P}^n: x_i\neq 0\}\]을 $P_i\cong \mathbb{R}^n$과 identify할 수 있다. 한편 $U_i$의 여집합에 속한 점들은 정확히 $x_i=0$인 점들이므로, 단순히 $i$번째 좌표를 생략해서 쓰는 것만으로 이를 $\mathbb{P}^{n-1}$의 점으로 이해할 수 있다.
명시적으로 위의 identification $U_i\cong P_i$는 다음의 식
\[[x_0:\cdots:x_n]\text{ in $U_i\subseteq \mathbb{P}^n$}\leftrightarrow\left(\frac{x_0}{x_i},\ldots, \frac{x_{i-1}}{x_i},1,\frac{x_{i+1}}{x_i},\ldots, \frac{x_n}{x_i}\right)\text{ in $P_i\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$}\]으로 표현된다. 한편, §스킴, ⁋예시 8의 과정은 이 과정을 거꾸로 진행하는 것이다. 즉, $n+1$개의 $n$차원 평면 $P_0,\ldots, P_n$들이 먼저 주어져 있다 하고 이들을 cocycle condition을 만족하는 isomorphism들을 통해서 옮겨주는 것이다. 그럼 cocycle condition이 어떻게 쓰여져야 하는지는 정확히 위의 identification에 의해 $\mathbb{P}^n$의 한 점이 서로 다른 $P_i$와 $P_j$에서 어떻게 쓰여지는지를 살펴보아 얻어진다. 이를 살펴보자. 우선 $P_i$와 $P_j$의 임의의 점은 다음의 꼴
\[(x_{0/i},\ldots, x_{(i-1)/i}, 1, x_{(i+1)/i}, \ldots, x_{n/i})\in P_i,\qquad (x_{0/j},\ldots, x_{(j-1)/j}, 1, x_{(j+1)/j}, \ldots, x_{n/j})\in P_j\]으로 적을 수 있다. 이제 만일 이들 점이 $\mathbb{P}^n$의 어떤 점으로부터 나온 것이라 가정한다면, 그 점은 반드시 $U_i\cap U_j$에 속해 있어야 하고, 이 집합에서 $x_i,x_j\neq 0$이어야 하므로 $x_{j/i}, x_{i/j}\neq 0$이어야 한다. 표기의 편의상 $j>i$라 하고, 이 사실을 이용하면
\[[x_{0/i}:\ldots: x_{(i-1)/i}: 1: x_{(i+1)/i}: \ldots: x_{j/i}:\ldots, x_{n/i}]=\left[\frac{x_{0/i}}{x_{j/i}}:\ldots: \frac{x_{(i-1)/i}}{x_{j/i}}: \frac{1}{x_{j/i}}: \frac{x_{(i+1)/i}}{x_{j/i}}: \ldots: 1:\ldots, \frac{x_{n/i}}{x_{j/i}}\right]\]이다. 따라서 우변의 점이
\[[x_{0/j}:\ldots: x_{(j-1)/j}: 1: x_{(j+1)/j}: \ldots: x_{n/j}]\]과 같기 위해서는 다음의 식
\[x_{k/i}/x_{j/i}=x_{k/j}\quad\text{for all $k\neq i,j$},\qquad\text{and}\qquad x_{i/j}=1/x_{j/i}\]이 성립해야 한다. 마찬가지로 $P_j$의 점을 $P_i$의 점에 맞추면 $x_{k/j}/x_{i/j}=x_{k/i}$와 같은 식도 얻어질 것이지만, 이는 $x_{i/j}=1/x_{j/i}$에 의해 새로운 식은 아니다.
이제 이 계산을 바탕으로 §스킴, ⁋예시 8를 일반화하자. 우선 $n+1$개의 affine $n$-space들
\[P_i=\Spec \mathbb{k}[\x_{0/i},\ldots, \x_{n/i}]/(x_{i/i}-1)=\Spec A^i\]를 생각하자. 그럼 $P_i$의 open subscheme들 $P_{ij}=D(\x_{j/i})=(A^i)_{\x_{j/i}}$과, 다음의 ring homomorphism
\[(A^i)_{\x_{j/i}} \rightarrow (A^j)_{\x_{i/j}};\qquad \x_{k/i}\mapsto \x_{k/j}/\x_{i/j}\quad\text{for all $k\neq i,j$},\qquad\text{and}\qquad \x_{j/i}\mapsto 1/\x_{i/j}\]을 통해 정의되는 isomorphism $\varphi_{ij}:P_{ij} \rightarrow P_{ji}$들이 §스킴, ⁋보조정리 7의 cocycle condition을 만족하는 것이 거의 자명하며 따라서 유일한 scheme $\mathbb{P}^n$이 정의되고, 이 때 $\mathbb{P}^n$의 원소들을 $[x_0:\ldots:x_n]$의 형태로 쓴다면 $U_i$는 정확히 $x_i\neq 0$인 조건을 만족하는 집합이다.
사영스킴
현재로서는 위의 설명이 불완전한 부분들이 있다. 가령, $U_i$들이 $\mathbb{P}^n$의 open subscheme인 것은 §스킴, ⁋보조정리 7의 결과이기는 하지만, 그 정의 자체로도 함수 $\x_i$가 $0$이 되지 않는 집합이므로 열린집합이 되어야 할 것처럼 보인다. 그러나 문제는 $\x_i$가 $\mathbb{P}^n$ 위의 함수가 아니라는 데에 있다. 심지어 $n=1$인 경우만 보아도 우리는 $\mathscr{O}_{\mathbb{P}^1}(\mathbb{P}^1)\cong \mathbb{k}$인 것을 확인했다. 이는 위상수학에서의 construction만으로도 확인할 수 있는데, $\mathbb{R}^{n+1}\setminus \{0\}$의 한 점 $(x_0,\ldots, x_n)$을 받아 $x_i$를 내놓는 함수 $\x_i: \mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$은 $\sim$과 compatible하지 않고 따라서 $\mathbb{P}^n$ 위의 함수를 정의하지 않는다. 예를 들어 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 위에서 정의된 함수 $f: \mathbb{R}^2\setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$가 다음의 식
\[f(x_0,x_1)=x_0^2-x_1\]으로 주어졌다면,
\[f(\lambda x_0,\lambda x_1)=\lambda^2x_0^2-\lambda x_1\neq f(x_0,x_1)\]이기 때문이다. 그 대신, $f$를 homogeneous polynomial로 가져온다면, 함수로서 $f$는 잘 정의되지 않더라도 $f$의 zero locus $Z(f)$는 잘 정의된다. 이는 다음의 식
\[f(\lambda x_0,\ldots, \lambda x_n)=\lambda^{\deg f} f(x_0,\ldots, x_n),\qquad \lambda\neq 0\]이 성립하기 때문이다.
즉, $\mathbb{P}^n$을 스펙트럼과 비슷한 방식으로 설명하기 위해서는 $\mathbb{A}^{n+1}$을 단순한 ring $\mathbb{k}[\x_0,\ldots, \x_n]$의 spectrum으로 볼 것이 아니라, 여기에 degree에 대한 정보를 추가하여 이를 graded ring으로 보고, 임의의 원소들의 zero locus가 아닌 homogeneous한 원소들의 zero locus를 보아야 한다. 그럼 [대수적 구조] §등급환, ⁋명제 6를 생각하면 우리의 관심사 또한 homogeneous ideal들이 되어야 할 것이다.
이번 글의 남은 부분에서 우리는 graded ring에 $\Proj$를 취하여 projective scheme을 얻어내는 과정을 따라간다. 이를 위해 몇몇 표기를 고정한다.
Graded ring은 별 말이 없다면 항상 $\mathbb{N}_{\geq0}$-graded인 것으로 가정한다. 즉 우리의 관심이 되는 ring은 항상 다음의 꼴
\[A_\bullet=\bigoplus_{i=0}^\infty A_i=A_0\oplus A_1\oplus\cdots\]이다. 이 때, $A_0$은 그 자체로 ring이므로, $A_\bullet$은 graded $A_0$-algebra로 볼 수 있으며, 이러한 이유에서 $A_0$을 base ring이라 부른다. 또, $A_\bullet$에 정의된 grading 구조를 잊어버리고 이를 평범한 ring으로 볼 일이 있을 때는 이를 간단히 $A$로만 적기로 한다.
Graded ring $A_\bullet$이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 부분집합
\[A_+=\bigoplus_{i=1}^\infty A_i=A_1\oplus A_2\oplus\cdots\]은 $A_\bullet$의 homogeneous ideal이 되는 것이 자명하다. 그런데 $A_\bullet=\mathbb{k}[\x_0,\ldots, \x_n]$인 경우를 생각하면, $A_+$의 모든 원소들에 대해 함숫값이 $0$이 되는 점, 즉 모든 다항식에 대해 항등적으로 $0$이 되는 점은 오직 원점 뿐이다. 원점은 $\mathbb{P}^n$을 만들 때 빠지는 점이므로 ideal $A_+$를 포함하는 ideal은 우리의 논의의 대상에서 제외하는 것이 옳을 것이다. 이러한 관점에서 $A_+$를 irrelevant ideal이라 부른다.
이제 집합으로서 $\Proj A_\bullet$은 다음과 같이 정의된다.
정의 1 Graded ring $A_\bullet$에 대하여, $\Proj A_\bullet$은 다음의 집합
\[\Proj A_\bullet =\{\mathfrak{p}\in \Spec A:\text{$\mathfrak{p}$ is homogeneous and $A_+\not\subset \mathfrak{p}$}\}\]으로 정의된다.
정의에 의해 $\Proj A_\bullet$은 $\Spec A$의 부분집합이다. 즉, $\Proj A_\bullet$의 점들은 모두 $\Spec A$의 점들이기도 하다. 이는 $\Spec A$ 대신 $\mSpec A$를 사용했다면 다소 어색한 결과이지만, $\Spec A$에는 전통적인 점들 외에도 prime ideal들에 해당하는 점들이 존재한다. 가령 $A=\mathbb{k}[\x_1,\x_2]$의 ideal $(\x_1-\x_2)$를 생각하면, $\mathbb{k}[\x_1,\x_2]/(\x_1-\x_2)\cong \mathbb{k}[\x_1]$이므로 이 ideal은 prime ideal이다. 또, 이 ideal은 $\mathbb{k}[\x_1,\x_2]$를 graded ring $A_\bullet$으로 보았을 때, $A_+$를 포함하지 않는 homogeneous prime ideal이므로 $\Proj A_\bullet$의 점이기도 하다.
아직까지 $\Proj A_\bullet$은 집합일 뿐이다. 여기에 위상구조를 주기 위해서는 함수의 zero locus를 사용해야 하고, 앞서 관찰했듯 우리는 homogeneous polynomial의 zero locus를 사용해야 한다.
정의 2 Graded ring $A_\bullet$가 주어졌다 하자. $A_\bullet$의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여
\[Z_+(\mathfrak{a})=\{\mathfrak{p}\in\Proj A_\bullet: \mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}\}\]으로 정의한다.
그럼 [가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋보조정리 2의 셋째 결과를 이용하여, §스펙트럼, ⁋보조정리 6, 그리고 §스펙트럼, ⁋명제 5과 비슷한 다음 보조정리를 보일 수 있다.
보조정리 3 Graded ring $A_\bullet$에 대하여 다음이 성립한다.
- 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여, $Z_+(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=Z_+(\mathfrak{a})\cup Z_+(\mathfrak{b})$이다.
- 임의의 homogeneous ideal들의 family $\{\mathfrak{a}_i\}$에 대하여, $Z_+(\sum \mathfrak{a}_i)=\bigcap Z_+(\mathfrak{a}_i)$이 성립한다.
- 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $Z_+(\sqrt{\mathfrak{a}})=Z_+(\mathfrak{a})$이다.
- 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $Z_+(\mathfrak{a})=Z_+(\mathfrak{a}\cap A_+)$이다.
물론 위의 보조정리에서 등장하는 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$나 $\sqrt{\mathfrak{a}}$, $\sum \mathfrak{a}_i$들은 homogeneous임이 자명하다. 그럼 첫째 결과부터 셋째 결과까지는 이미 스펙트럼에서 관찰한 결과들이며, 오직 넷째 결과만이 새롭다.
보조정리 3의 증명
-
$\mathfrak{a}$ 혹은 $\mathfrak{b}$를 포함하는 homogeneous prime ideal $\mathfrak{p}$는 그보다 작은 homogeneous ideal $\mathfrak{ab}$ 또한 포함하는 것이 자명하므로, 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. $\mathfrak{p}\supset \mathfrak{ab}$라 가정하자. 만일 $\mathfrak{p}\not\supseteq \mathfrak{b}$라 하면, $b\not\in \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{b}$의 원소 $b$를 찾을 수 있다. 그럼 $\mathfrak{b}$가 homogeneous이므로, 이를 homogeneous element들의 합으로 분해하여
\[b=b_1+\cdots b_n,\qquad \text{$b_i\in \mathfrak{b}$ homogeneous}\]으로 쓸 수 있다. 한편, 임의의 homogeneous element $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, $ab\in \mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p}$이다. 한편 $\mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p}$의 원소
\[ab=ab_1+\cdots+ab_n\]를 생각하면, $\mathfrak{p}$가 homogeneous이므로 $ab_i$들은 모두 $\mathfrak{p}$의 원소이다. 한편 앞선 가정에 의해 $b\not\in \mathfrak{p}$이므로, $b_i\not\in \mathfrak{p}$를 만족하는 $i$가 존재하고, 그럼 $ab_i$는 $\mathfrak{p}$에 속하는 homogeneous element이며 $b_i\not\in \mathfrak{p}$이므로 [가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋보조정리 2에 의해 $a\in \mathfrak{p}$이다. 따라서 $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$가 성립한다.
- 이는 $\sum \mathfrak{a}_i$가 ideal들 $\mathfrak{a}_i$ 각각을 모두 포함하는 ideal 중 가장 작은 것으로 정의되므로 자명하다.
- [가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8.
- 정의에 의해 $Z_+(\mathfrak{a})\subseteq Z_+(\mathfrak{a}\cap A_+)$는 자명하므로 반대방향만 보이면 충분하다. 즉, $\mathfrak{p}$가 $\mathfrak{a}$의 양의 차수를 갖는 homogeneous element들을 모두 가지며, $A_+$를 통째로 포함하지는 않는 prime ideal이라 하고 $\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$임을 보이자. 이를 위해서는 임의의 $a\in \mathfrak{a}\cap A_0$을 택했을 때, 위의 가정으로부터 $a$ 또한 $\mathfrak{p}$에 석함을 보이면 충분하다.
이제 $A_+\not\subset\mathfrak{p}$이므로, $\mathfrak{p}$에 속하지 않는 homogeneous element $f$가 존재한다. 이제 $af\in \mathfrak{a}\cap A_+\subseteq \mathfrak{p}$이고, $f\not\in \mathfrak{p}$이므로 $a\in \mathfrak{p}$이다.
이 보조정리들의 결과를 보면, 첫째 결과와 둘째 결과로부터 다음을 정의할 수 있다.
정의 4 Graded ring $A_\bullet$이 주어졌다 하자. 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $Z_+(\mathfrak{a})$ 꼴의 집합을 닫힌집합으로 갖는 $\Proj A_\bullet$의 (유일한) 위상을 Zariski topology라 부른다.
또, 이 보조정리의 넷째 결과에 의해, 우리는 $\Proj A_\bullet$을 정의할 때는 $A_+$에 속한 homogeneous ideal들만 고려하면 된다는 것을 안다. 이는 직관적으로도 자명한데, $A=\mathbb{k}[\x_0,\ldots, \x_n]$이라 두면 $A_0$에 들어있는 원소들은 어차피 상수함수이기 때문이다.
이제 다음을 정의한다.
정의 5 Graded ring $A_\bullet$의 임의의 homogeneous element $f$에 대하여, $Z_+(f)$의 $\Proj A_\bullet$에서의 complement $\Proj A_\bullet\setminus Z_+(f)$를 $D_+(f)$라 적는다.
다음 따름정리는 보조정리 3의 첫째 결과에 의해 바로 얻어진다.
따름정리 6 $D_+(f)\cap D_+(g)=D_+(fg)$가 성립한다.
뿐만 아니라 다음이 성립한다.
따름정리 7 $D_+(f)$들의 모임은 $\Proj A_\bullet$의 base를 이룬다.
증명
$A$의 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$를 homogeneous generator들을 이용하여 $\mathfrak{a}=\sum_{i\in I} (f_i)$로 쓰면
\[Z_+(\mathfrak{a})=\bigcap_{i\in I} Z_+((f_i))\]이고 따라서
\[D_+(\mathfrak{a})=\bigcup_{i\in I} D_+(f_i)\]이다.
한편, 우리는 ring $A$의 스펙트럼 $\Spec A$에서, 임의의 원소 $f\in A$를 택하면 $D(f)$는 (scheme으로서) $\Spec A_f$와 isomorphic한 것을 살펴보았다. 비슷한 결과가 $D_+(f)$에 대해서도 성립한다.
보조정리 8 Graded ring $A_\bullet$과 임의의 homogeneous element $f\in A_\bullet$에 대하여, 함수 $D_+(f) \rightarrow \Spec A_{(f)}$를 다음의 식
\[\mathfrak{p}\mapsto \mathfrak{p}A_f\cap A_{(f)}\]으로 정의하면 이 함수는 homeomorphism이다. ([가환대수학] §등급환의 국소화, ⁋정의 5)
증명
우선 $f\not\in \mathfrak{p}$이므로, localization $A \rightarrow A_f$를 통해 $\mathfrak{p}$는 $A_f$의 prime ideal $\mathfrak{p}A_f$로 옮겨진다. ([가환대수학] §국소화, ⁋명제 8) 이제 주장의 우변은 inclusion $i: A_{(f)} \rightarrow A_f$에 의한 $\mathfrak{p}A_f$의 preimage이므로 이는 $A_{(f)}$의 prime ideal이 된다.
이제 함수로서 이 대응의 역함수 $\Spec A_{(f)} \rightarrow D_+(f)$를 정의하자. 임의의 prime ideal $\mathfrak{q}\in\Spec A_{(f)}$가 주어졌다 하고, $A$의 homogeneous element $x$ 중 다음의 조건
\[\frac{x^{\deg f}}{f^{\deg x}}\in \mathfrak{q}\]을 만족하는 $x$들을 모은 후, 이들에 의해 생성되는 $A$의 homogeneous ideal $\mathfrak{p}$를 생각하자. 그럼 임의의 homogeneous element $x,y\in \mathfrak{p}$에 대하여,
\[xy\in \mathfrak{p}\iff \frac{x^{\deg f}}{f^{\deg x}}\frac{y^{\deg f}}{f^{\deg y}}\in \mathfrak{q}\]이므로 $\mathfrak{q}$가 prime ideal인 것으로부터 $\mathfrak{p}$가 prime ideal인 것을 안다. 이제 이 대응 $\mathfrak{p}\mapsto \mathfrak{p}A_f\cap A_{(f)}$과 $\mathfrak{q}\mapsto \mathfrak{p}$가 서로의 역함수인 것을 쉽게 확인할 수 있고, $A_\bullet$의 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $D_+(f)$의 닫힌집합 $Z_+(\mathfrak{a})\cap D_+(f)$는 이 함수에 의하여 $\Spec A_{(f)}$의 닫힌집합 $Z(\mathfrak{a}A_f\cap A_{(f)})$으로 옮기므로 이것이 homeomorphism이 되는 것을 안다.
그럼 이제 $\Proj A_\bullet$에 scheme 구조를 주는 방법은 자명하다. 다음 보조정리의 증명은 보조정리 8과 거의 유사하다.
보조정리 9 Graded ring $A_\bullet$과 nonzero homogeneous element $f,g$에 대하여, isomorphism
\[\Spec A_{(fg)}\cong D(g^{\deg f}/f^{\deg g})\subseteq \Spec A_{(f)}\]이 존재한다.
따라서, $\Spec A_{(g)}$의 principal open set $D(f^{\deg g}/g^{\deg f})\subseteq \Spec A_{(f)}$와 $\Spec A_{(f)}$의 principal open set $\Spec A_{(fg)}\cong D(g^{\deg f}/f^{\deg g})$ 사이의 isomorphism이 존재한다. 이제 다음 정리는 단순한 계산이다.
정리 10 위에서 정의한 $\Spec A_{(f)}$들과 open subscheme들 $D(g^{\deg f}/f^{\deg g})$, 그리고 isomorphism
\[D(f^{\deg g}/g^{\deg f})\cong \Spec A_{(fg)}\cong D(g^{\deg f}/f^{\deg g})\]들은 §스킴, ⁋보조정리 7의 조건들을 모두 만족하고, 따라서 $\Proj A_\bullet$ 위에 유일한 scheme structure를 준다.
특히 $\Proj A_\bullet$은 locally ringed space이므로, 임의의 $\mathfrak{p}\in \Proj A_\bullet$에 대하여 stalk $\mathscr{O}_{\Proj A_\bullet,\mathfrak{p}}$은 local ring이다. 그런데 어차피 $\mathfrak{p}$는 적당한 affine open neighborhood에 넣을 수 있으므로, 본질적으로 §아핀스킴, ⁋보조정리 8과 동일한 과정으로 다음을 보일 수 있다.
보조정리 11 Graded ring $A_\bullet$과 임의의 $\mathfrak{p}\in \Proj A_\bullet$에 대하여, 다음 isomorphism
\[\mathscr{O}_{\Proj A_\bullet,\mathfrak{p}}\cong A_{(\mathfrak{p})}\]이 존재한다.
다소 주의할 것은 $\Proj$는 $\Spec$과 다르게, $\bgr_{\mathbb{N}_{\geq 0}}\cRing^\op$에서 $\mathbf{LocallyRingedSpace}$로의 functor를 정의하지 않는다는 것이다. 이는 graded ring homomorphism $\phi_\bullet:A_\bullet \rightarrow B_\bullet$과 $B$의 임의의 homogeneous ideal $\mathfrak{q}$가 $B_+$를 포함하지 않더라도 그 inverse image $\phi^{-1}(\mathfrak{q})$는 $A_+$를 포함할 수도 있기 때문이다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
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