스킴

Locally ringed space

Manifold는 국소적으로 $\mathbb{R}^n$과 닮아있는 위상공간으로 정의된다. 이와 비슷하게, scheme은 국소적으로 어떤 ring의 spectrum $(\Spec A, \mathcal{O})$와 닮아있는 locally ringed space로 정의되며, 이러한 chart들을 affine scheme이라 부른다. 따라서 다음을 먼저 정의한다.

정의 1 위상공간 $X$와, 그 위에 정의된 ring들의 sheaf $\mathcal{O}_X$의 pair $(X,\mathcal{O}_X)$를 ringed space_{환 달린 공간}라 부른다. Ringed space $(X,\mathcal{O}_X)$에서 $(Y,\mathcal{O}_Y)$로의 morphism은 연속함수 $f:X \rightarrow Y$와, sheaf morphism $f^\sharp:\mathcal{O}_Y \rightarrow f_\ast\mathcal{O}_X$으로 주어진다.

만일 ringed space $(X,\mathcal{O}_X)$의 임의의 stalk $\mathcal{O}_{X,p}$이 항상 local ring이라면 이를 locally ringed space_{국소적 환 달린 공간}이라 부른다. Locally ringed space $(X,\mathcal{O}_X)$에서 $(Y,\mathcal{O}_Y)$로의 morphism은 ringed space 사이의 morphism $(f,f^\sharp)$ 중, $f_p^\sharp:\mathcal{O}_{Y,f(p)}\rightarrow \mathcal{O}_{X,p}$이 항상 local homomorphism인 것들을 말한다.

명제 2 다음이 성립한다.

1. ⁋스펙트럼, 정의 3의 $(\Spec A, \mathcal{O})$는 항상 locally ringed space이다.

2. Ring homomorphism $\phi:A \rightarrow B$는 locally ringed space 사이의 morphism

   \[(f,f^\sharp):(\Spec B,\mathcal{O}_{\Spec B}) \rightarrow (\Spec A,\mathcal{O}_{\Spec A})\]

   을 유도한다.

3. 반대로, 두 locally ringed space $(\Spec B,\mathcal{O}_{\Spec B})$에서 $(\Spec A,\mathcal{O}_{\Spec A})$로의 임의의 morphism은 항상 위와 같은 방식으로 얻어진다.

증명

1. $\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}$가 $A_\mathfrak{p}$와 isomorphic하다는 것을 이미 살펴봤다. 한편 정의에 의해 $A_\mathfrak{p}$는 local ring이므로 스펙트럼 $(\Spec A, \mathcal{O})$는 locally ringed space이다.

2. Ring homomorphism $\phi:A \rightarrow B$와, $B$의 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여 $\phi^{-1}(\mathfrak{p})$는 $A$의 prime ideal이다. 이러한 방식으로 $f:\Spec B \rightarrow \Spec A$를 정의하자. 즉 함수로서 $f(\mathfrak{p})=\phi^{-1}(\mathfrak{p})$로 정의된다. 한편, $f$의 연속성을 보이기 위해서는 임의의 닫힌집합의 $f$에 대한 preimage가 닫힌집합임을 보이면 된다. ([위상수학] §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 2) 그런데 $\Spec A$의 임의의 닫힌집합은 모두 $V(\mathfrak{a})$의 꼴이므로, 이는 $f^{-1}(V(\mathfrak{a}))$가 항상 닫힌집합임을 보이는 것과 같다. 이는 다음 식

   \[f^{-1}(V(\mathfrak{a}))=V(\phi(\mathfrak{a}))\tag{$\ast$}\]

   으로부터 얻어진다. 식 ($\ast$)을 확인하기 위해 $f(\mathfrak{p})=\phi^{-1}(\mathfrak{p})\in V(\mathfrak{a})$인 $\mathfrak{p}\in\Spec B$를 택하자. 즉 $\mathfrak{a}\subseteq\phi^{-1}(\mathfrak{p})$이고 이로부터 $\phi(\mathfrak{a})\subseteq \mathfrak{p}$이므로 $\mathfrak{p}\in V(\mathfrak{a})$이다. 한편 임의의 $\mathfrak{p}\in V(\phi(\mathfrak{a}))$에 대하여,

   \[\phi(\mathfrak{a})\subseteq \mathfrak{p}\implies \mathfrak{a}\subseteq \phi^{-1}(\phi(\mathfrak{a}))\subseteq \phi^{-1}(\mathfrak{p})=f(\mathfrak{p})\]

   이므로 $f(\mathfrak{p})\in V(\mathfrak{a})$임을 안다.
   한편, structure sheaf 사이의 morphism $f^\sharp:\mathcal{O}_{\Spec B}\rightarrow \mathcal{O}_{\Spec A}$은 임의의 열린집합 $V\subseteq \Spec A$에 대하여,

   \[f^\sharp\vert_V:\mathcal{O}_{\Spec A}(V) \rightarrow \mathcal{O}_{\Spec B}(f^{-1}(V));\quad s\mapsto s\circ f\]

   으로 주어지며, 이 때 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}\in\Spec B$에 대하여

   \[f^\sharp_p:\mathcal{O}_{\Spec A, f(\mathfrak{p})} \rightarrow \mathcal{O}_{\Spec B, \mathfrak{p}}\]

   는 $\phi_\mathfrak{p}:A_{\phi^{-1}(\mathfrak{p})}\rightarrow B_\mathfrak{p}$와 같다.

3. 마지막으로, locally ringed space들 사이의 morphism $(f,f^\sharp):(\Spec B, \mathcal{O}_{\Spec B}) \rightarrow (\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A})$가 주어졌다 하자. 그럼 우선 $f^\sharp:\mathcal{O}_{\Spec A} \rightarrow \mathcal{O}_{\Spec B}$의 global section을 보면

   \[f^\sharp(\Spec A):\Gamma(\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A}) \rightarrow \Gamma(f^{-1}(\Spec A), \mathcal{O}_{\Spec B})=\Gamma(\Spec B, \mathcal{O}_{\Spec B})\]

   이고, §스펙트럼, ⁋명제 5의 3번에 의하여 $f^\sharp(\Spec A)$는 $A$에서 $B$로의 ring homomorphism이 된다. 그럼 3번 주장을 보이기 위해서는 이 $\phi=f^\sharp(\Spec A):A \rightarrow B$가 사실은 ($\Spec$에 의하여) $f$와 같은 것임을 보여야 한다. 우선 임의의 $\mathfrak{p}\in\Spec B$에 대하여,

   \[f^\sharp_\mathfrak{p}:\mathcal{O}_{\Spec A, f(\mathfrak{p})} \rightarrow \mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}\]

   을 생각하자. 그럼 정의와 §스펙트럼, ⁋명제 5의 첫째 결과에 의하여, $f^\sharp_\mathfrak{p}$는 $A_{f(\mathfrak{p})}\rightarrow B(\mathfrak{p})$으로 생각할 수 있으며, 동시에 $\phi$의 정의에 의해 다음의 commutative diagram이 존재한다.

   

   그런데 가정에 의하여 $f^\sharp_\mathfrak{p}$는 local homomorphism이므로, $A_{f(\mathfrak{o})}$의 유일한 maximal ideal (즉 $f(\mathfrak{p})$의 $A_{f(\mathfrak{p})}$에서의 상)이 $f^\sharp_\mathfrak{p}$에 의해 $B$의 유일한 maximal ideal (즉 $\mathfrak{p}$의 $B$에서의 상)우로 옮겨진다. 바꿔말하면 $\phi^{-!}(\mathfrak{p})=f(\mathfrak{p})$이 성립한다. 처음부터 $\mathfrak{p}$는 임의의 prime ideal로 잡았으므로 $\Spec\phi=f$이고, 이제 어렵지 않게 $f^\sharp$이 $\phi$로부터 유도되는 것을 보일 수 있다.

Scheme

이제 scheme을 정의할 수 있다.

정의 3 Locally ringed space $(X,\mathcal{O}_X)$가 어떤 ring의 spectrum과 isomorphic하다면 이를 affine scheme_{아핀 스킴}이라 부른다.

Locally ringed space $(X,\mathcal{O}_X)$에 대하여, 임의의 점 $p\in X$마다 적당한 열린근방 $U$가 존재하여 $(U,\mathcal{O}_X\vert_U)$가 affine scheme이도록 할 수 있다면 $(X,\mathcal{O}_X)$를 scheme_스킴이라 말한다. 이 때, $\mathcal{O}_X$를 structure sheaf라 부른다. Scheme들 사이의 morphism은 locally ringed space의 morphism과 같다.

Structure sheaf에 대한 정보 없이, $X$를 위상공간으로만 취급할 때는 이를 $\lvert X\rvert$로 적는다.

예시 4 Field $k$의 proper ideal은 $0$뿐이므로, $\Spec k$는 one-point space $\{0\}$이다. Structure sheaf는 당연히 $k$와 같다.

이제 임의의 discrete valuation ring $R$과 이로부터 만들어지는 affine scheme $\Spec R$을 생각하자. 그럼 $\Spec R$은 두 개의 점 $0$과 $\mathfrak{m}=(m)$으로 이루어진 two-point space이며, 닫힌집합은

\[V(0)=\{0,\mathfrak{m}\},\quad V(\mathfrak{m})=\{\mathfrak{m}\}\]

그리고 $\emptyset$의 세 개이며, 따라서 열린 집합은

\[\emptyset,\quad D(\mathfrak{m})=\{0\}, \quad \Spec R\]

의 세 개이다. 또 이로부터 $\Spec R$의 closed point는 $\mathfrak{m}$뿐이며, $\{0\}$은 $\Spec R$의 open dense subset임을 알 수 있다. 이제 $\Spec R$의 structure sheaf를 분석해보면, $\mathcal{O}_{\Spec R}(\Spec R)\cong R$이고,

\[\mathcal{O}_{\Spec R}(0)=\mathcal{O}_{\Spec R}(D(m))\cong R_m\]

이다. 이 때 inclusion ${0}\hookrightarrow\Spec R$은 ring homomorphism $R\hookrightarrow R_m$에 대응된다.

Scheme을 이루는 정보들은 모두 작은 조각을 붙여서 global한 정보를 얻어낼 수 있게 되어 있으므로, 두 scheme을 붙이는 방법 또한 존재해야 한다.

예시 5 두 scheme $X_1,X_2$가 주어졌다 하고, 두 열린집합 $U_1\subseteq X_1$, $U_2\subseteq X_2$에 대하여 isomorphism $\phi:(U_1,\mathcal{O}_{X_1}\vert_{U_1}) \rightarrow (U_2,\mathcal{O}_{X_2}\vert_{U_2})$가 주어졌다 하자.

그럼 우선 $\phi$를 통해 $X_1$과 $X_2$를 위상공간으로서 붙여서 새로운 위상공간 $X=X_1\cup_\phi X_2$를 만들 수 있다. 또, structure sheaf의 경우에는 함수를 정의할 때 $X$에서 $X_1$과 $X_2$이 만나는 부분에서 compatible한 함수들만 모아두면 된다. 즉 임의의 열린집합 $V\subseteq X$에 대하여,

\[\mathcal{O}_X(V)=\{(s_1, s_2):s_\alpha\in \mathcal{O}_{X_\alpha}(i^{-1}_\alpha(V)),\quad \phi(s_1\vert_{i_1^{-1}(V)\cap U_1})=s_2\vert_{i_2^{-1}(V)\cap U_2}\}\]

으로 정의한다. 그럼 이렇게 만들어낸 $(X, \mathcal{O}_X)$가 scheme이 되는 것을 확인할 수 있다.

예시 6 두 개의 affine line $X_1=\mathbb{A}_k^1=\Spec k[x]$, $X_2=\mathbb{A}_k^1=\Spec k[y]$, 그리고 이들의 열린집합

\[U_1=X_1\setminus \{(x)\}=D(x),\quad U_2=X_2\setminus \{(y)\}=D(y)\]

이 주어졌다 하자. 그럼 §스펙트럼, ⁋명제 5에 의하여

\[\mathcal{O}_{X_1}(U_1)\cong k[x]_{x}=k[x,1/x]\]

이고 비슷하게 $\mathcal{O}_{X_2}(U_2)\cong k[y,1/y]$가 성립한다. 이번 예시에서 우리는 $X_1$과 $X_2$을 붙이는 두 가지 다른 방법을 구체적으로 살펴본다.

우선 isomorphism $\phi:(U_1, \mathcal{O}_{X_1}\vert_{U_1})\rightarrow (U_2, \mathcal{O}_{X_2}\vert_{U_2})$이 $x$와 $y$를 identify하는 isomorphism $k[x,1/x]\rightarrow k[y,1/y]$로부터 온 경우를 생각하자. 그럼 위상공간으로서 $X=X_1\cup_\phi X_2$는 line with double origin이고, structure sheaf는 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대해 다음 식

\[\mathcal{O}_X(U)=\mathcal{O}_{X_1}(U\cap X_1)\times_{\mathcal{O}_{X_1}(U\cap U_1)\cong \mathcal{O}_{X_2}(U\cap U_2)} \mathcal{O}_{X_2}(U\cap X_2)\]

으로 정의된다. 특히 global section들은

\[\Gamma(X, \mathcal{O}_X)=\mathcal{O}_{X_1}(X_1)\times_{\mathcal{O}_{X_1}(U_1)\cong \mathcal{O}_{X_2}(U_2)} \mathcal{O}_{X_2}(X_2)=k[x]\times_{k[x,1/x]\cong k[y,1/y]}k[y]\cong k[x]\]

이다.

한편, 이번에는 isomorphism $\phi$가 $x$와 $1/y$를 identify하는 isomorphism $k[x,1/x]\rightarrow k[y,1/y]$로부터 온 경우를 생각하자. 그럼 얻어지는 공간은 projective space $\mathbb{P}^1$이 될 것이다.

이 경우의 global section들을 생각하면,

\[\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=k[x]\times_{k[x,1/x]\cong k[y,1/y]} k[y]\cong k\]

뿐이다. 마지막 isomorphism은, 일상적인 언어로 표현하자면, $k[x]$의 원소들 가운데, $x$를 $1/y$로 바꾸었을 때 여전히 $k[y]$의 원소가 되는 것들은 오직 상수함수 뿐이라는 것을 의미한다.

Projective scheme

예시 6의 두 번째 예시와 같은 식으로 projective space들을 만들 수 있으며, 이는 우리가 알던 projective space, 즉 homogeneous coordinate $[x_0:\ldots: x_n]$을 사용하여 표현되는 그 projective space와 완전하게 동일하다.

여기에 Zariski topology를 주기 위해서는 약간의 주의가 필요하다. Zariski topology의 정의 상, 닫힌집합을 좌표 $x_0,\ldots, x_n$들로 만들어진 다항식의 vanishing set으로 정의해야 한다. 그런데 가령 위에서 살펴본 $\mathbb{P}^1$의 경우, 좌표 $x,y$에 대한 다항식 $xy+x=x(y+1)$의 vanishing set은 $\{x=0\}\cup \{y=-1\}$이 아니며, 사실은 잘 정의되지도 않는다. 이것이 잘 정의되기 위해서는, 모든 $\lambda\neq 0$에 대해 $[x:y]=[\lambda x:\lambda y]$이므로 $xy+x$에서 $x$ 자리에 $\lambda x$를, $y$ 자리에 $\lambda y$를 넣더라도 vanishing set이 변하지 않아야 하는데, 그렇지 않기 때문이다. 조금만 생각을 해 보면 이 vanishing set이 잘 정의되기 위해서는 주어진 다항식이 동차다항식이면 된다는 사실을 알 수 있다.

이와 같은 이유로, projective scheme을 만들기 위해서는 다항식처럼 grading이 주어진 ring만을 생각하고, 이 grading에 대해 동차인 함수들의 zero locus만을 생각해야 한다.

정의 7 Graded ring $S=\bigoplus_{d\geq 0}S^d$이 주어졌다 하자. $S$의 ideal $\mathfrak{a}$가 homogeneous ideal_{동차 아이디얼}이라는 것은 $\mathfrak{a}=\bigoplus_{d\geq 0}(\mathfrak{a}\cap S^d)$이 성립하는 것이다.

그럼 $\mathfrak{a}$가 homoegeneous ideal인 것과, $\mathfrak{a}$가 homogeneous element들에 의해 생성되는 것이 동치라는 사실이 잘 알려져 있다. 이제 임의의 ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $V(\mathfrak{a})$를 $\mathfrak{a}$를 포함하는 homogeneous prime ideal들의 모임으로 정의한다. 그럼 §스펙트럼, ⁋보조정리 1과 비슷한 다음 보조정리에 의하여, homoegeneous prime ideal들의 모임 $\Proj S$에 Zariski topology를 줄 수 있다.

보조정리 8 Graded ring $S$에 대하여 다음이 성립한다.

1. Homogeneous ideal들 $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여 $V(\mathfrak{ab})=V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})$이 성립한다.
2. Homogeneous ideal들의 family $\{\mathfrak{a}_i\}$에 대하여 $V(\sum \mathfrak{a}_i)=\bigcap V(\mathfrak{a}_i)$이 성립한다.

이제 $\Proj S$를 scheme으로 보기 위해서는 이 위에 structure sheaf를 정의해야 한다. 각각의 $\mathfrak{p}\in \Proj S$에 대하여, $\mathfrak{p}$에 속하지 않는 homogeneous element들을 역원으로 넣어줘서 생긴 ring을 $S_{(\mathfrak{p})}$라 하자. 그럼 §스펙트럼, ⁋보조정리 1 이후에 정의한 것과 마찬가지로, $\mathcal{O}(U)$의 원소들을 각 점 $\mathfrak{p}$에서의 값이 $S_{(\mathfrak{p})}$에 속하는 함수 $s:U \rightarrow\coprod S_{(\mathfrak{p})}$들 중, $s$가 local하게는 $S$의 원소의 quotient로 쓰여지는 함수들의 모임으로 정의하면 된다.

다음 명제는 §스펙트럼, ⁋명제 4에 대응되는 명제이다.

명제 9 위에서 정의한 $(\Proj S, \mathcal{O})$에 대하여 다음이 성립한다.

1. 임의의 $\mathfrak{p}\in \Proj S$에 대하여, $\mathcal{O}_{\mathfrak{p}}$는 $S_{(\mathfrak{p})}$와 isomorphic하다.

2. 임의의 homogeneous element $f\in A$에 대하여, $D_+(f)=\{\mathfrak{p}\in\Proj S: f\not\in \mathfrak{p}\}$로 정의하면 $D_+(f)$들은 $\Proj S$의 open cover가 되며, locally ringed space들 사이의 isomorphism

   \[(D_+(f),\mathcal{O}\vert_{D_+(f)})\cong\Spec S_{(f)}\]

   이 존재한다. 여기서 $S_{(f)}$는 $S_f$의 degree $0$ part이다.

3. 따라서 $\Proj S$는 scheme이다.

가령 $S=k[x_0,\ldots, x_n]$인 경우를 생각하면 $\Proj S$는 우리가 잘 알고 있는 projective $n$-space over $k$, $\mathbb{P}_k^n$이 되며, 2번 결과에 의해

\[(D_+(x_i), \mathcal{O}\vert_{D_+(x_i)})\cong \Spec (\text{degree $0$ part of $k[x_0,\ldots, x_n]_{x_i}$})=\Spec k[x_0/x_i,\ldots, x_n/x_i]\]

가 된다.