스킴의 정의
이제 우리는 스킴이 무엇인지를 정의할 수 있다.
정의 1 Locally ringed space \((X, \mathscr{O}_X)\)가 scheme스킴이라는 것은 임의의 \(x\in X\)가 주어질 때마다, \(x\)의 열린근방 \(U\)가 존재하여 \((U, \mathscr{O}_X\vert_U)\)가 affine scheme이도록 할 수 있는 것이다. Scheme들 사이의 morphism과 isomorphism의 개념은 locally ringed space로서의 그것들로 정의된다.
Scheme \(X\)의 임의의 점 \(x\in X\)가 주어졌다 하고, \(x\)의 affine open neighborhood \(U\)를 택하자. 그럼 정의에 의해 적절한 ring \(A\)가 존재하여 locally ringed space로서 \((U, \mathscr{O}_X\vert_U)\cong (\Spec A, \mathscr{O}_{\Spec A})\)이다. 특히 위의 isomorphism을 통해 \(x\in U\)에 대응되는 \(\Spec A\)의 점을 \(\mathfrak{p}_x\)라 하면,
\[\mathscr{O}_{X,x}=\varinjlim_{V\ni x} \mathscr{O}_X(V)=\varinjlim_{U\supseteq V\ni x} \mathscr{O}_X(V)=\mathscr{O}_{U, x}\cong \mathscr{O}_{\Spec A, \mathfrak{p}_x}\tag{$\ast$}\]임을 안다.
일반적으로 affine scheme \((\Spec A, \mathscr{O}_{\Spec A})\)를
을 통해 항상 affine scheme이 된다.
보조정리 2 Affine scheme \(\Spec A\)와 \(f\in A\)에 대하여, \(D(f)\)는 위의 isomorphism (\(\ast\ast\))를 통해 항상 affine scheme이 된다.
증명
우리는 §스펙트럼, ⁋명제 9의 셋째 결과로부터 위상공간 사이의 injective continuous map \(\Spec\epsilon: \Spec A_f \rightarrow A\)가 homeomorphism \(D(f)\cong \Spec A_f\)를 주는 알고 있지만, 위의 isomorphism을 정당화하기 위해서는 이를 scheme morphism으로서 정당화해야 한다.
우선 ring homomorphism \(\epsilon: A \rightarrow A_f\)는 scheme morphism
\[(\Spec \epsilon, (\Spec\epsilon)^\sharp): (\Spec A_f, \mathscr{O}_{\Spec A_f}) \rightarrow (\Spec A, \mathscr{O}_A)\]을 유도하며, 이 때 \(D(f)\)와 \(\Spec A_f\) 사이의 homeomorphism은, canonical inclusion \(\iota: D(f)\hookrightarrow \Spec A\)를 생각하면, 다음의 decomposition
으로부터 나온다. 이제 위의 isomorphism (\(\ast\ast\))이 scheme들 사이의 isomorphism이기 위해서는 homeomorphism \(\Spec\epsilon\vert^{D(f)}\)에 대응되는 \(\Sh(D(f), \cRing)\)에서의 morphism \((\Spec\epsilon\vert^{D(f)})^\sharp\)을 정의해야 한다. 그럼 [위상수학] §층, ⁋예시 12에 의하여
\[(\Spec\epsilon\vert^{D(f)})^\sharp: \mathscr{O}_{D(f)} \rightarrow (\Spec\epsilon\vert^{D(f)})_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f}\]를 정의하는 것은
\[(\Spec\epsilon\vert^{D(f)})^{\sharp}: \iota^{-1}\mathscr{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\epsilon\vert^{D(f)})_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f}\]를 정의하는 것과 완전히 같고, 다시 [위상수학] §층, ⁋보조정리 11에 의하여
\[\begin{aligned}\Hom_{\Sh(D(f), \cRing)}(\iota^{-1}\mathscr{O}_{\Spec A}, (\Spec\epsilon\vert^{D(f)})_\ast\mathscr{O}_{\Spec A_f})&\cong \Hom_{\Sh(\Spec A, \cRing)}(\mathscr{O}_{\Spec A}, \iota_\ast(\Spec\epsilon\vert^{D(f)})_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f})\\&\cong \Hom_{\Sh(\Spec A, \cRing)}(\mathscr{O}_{\Spec A}, (\iota\circ\Spec\epsilon\vert^{D(f)})_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f})\\&=\Hom_{\Sh(\Spec A, \cRing)}(\mathscr{O}_{\Spec A}, (\Spec\epsilon)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f})\end{aligned}\]이므로 \((\Spec\epsilon)^\sharp:\mathscr{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec \epsilon)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f}\)를 통해 \((\Spec\epsilon\vert^{D(f)})^\sharp\)을 정의할 수 있으며, 이것이 isomorphism인 것은 해당 보조정리의 증명을 따라가보면 본질적으로 \(\Spec A_f\)가 \(\Spec A\)의 열린집합이기 때문에 보일 수 있다.
특히 scheme을 정의에 의해 affine scheme들로 덮을 수 있고, 이들은 principal open set으로 이루어진 base를 가지므로 임의의 scheme은 affine open subset들로 이루어진 base를 갖는다.
다음 보조정리는 비슷한 논증을 통해 scheme의 임의의 열린집합은 항상 scheme이라는 것을 보여준다.
보조정리 3 Scheme \((X, \mathscr{O}_X)\)의 임의의 열린집합 \(U\)가 주어졌다 하자. 그럼 \((U, \mathscr{O}_X\vert_U)\)도 scheme이다.
증명
열린집합 \(U\)의 임의의 점 \(x\)가 주어졌다 하자. 우선 \(X\)는 scheme이므로, \(x\)의 적당한 (\(X\)에서의) 열린근방 \(V\)와 ring \(A\)가 존재하여 \((V, \mathscr{O}_X\vert_V)\cong(\Spec A, \mathscr{O}_{\Spec A})\)이도록 할 수 있다. 또, \(U\)가 열린집합이므로 \(U\cap V\)는 \(V\)의 열린집합이다. 이제 §스펙트럼, ⁋보조정리 11에 의하여 다음의 식
\[U\cap V=\bigcup_{i\in I} D(f_i)\qquad\text{in $\Spec A$}\]을 만족하는 \(f_i\in A\)들이 존재하며, 따라서 어떠한 \(i\)에 대해 \(x\in D(f_i)\)이다. 이제 \((D(f_i), \mathscr{O}_X\vert_{D(f_i)})\)는 affine scheme이고 \(x\in D(f_i)\subseteq V\)이므로 원하는 결과를 얻는다.
정의 4 Scheme \((X, \mathscr{O}_X)\)의 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여, scheme \((U, \mathscr{O}_X\vert_U)\)를 \(X\)의 open subscheme열린 부분스킴이라 부른다.
스킴 위에 정의된 대수적인 함수들
§아핀스킴, §§\(\Spec A\) 위에 정의된 대수적인 함수들에서 우리는 임의의 점 \(\mathfrak{p}\)에서 함수 \(f\in A\)의 함숫값을 \(A/\mathfrak{p}\)에서의 \(f\)의 image로 생각하기로 했었다. 이를 일반적인 scheme \((X, \mathscr{O}_X)\)에 바로 적용하는 것은 조금 까다로운데, 위의 과정이 \((X, \mathscr{O}_X)\)에서는 명확하지 않을 뿐더러, 예를 들어 \(x\in X\)의 affine open neighborhood를 사용하여 위의 논의를 반복한다 하여도 이것이 affine open neighborhood의 선택에 의존하지 않는다는 것이 보이지 않기 때문이다.
이를 해결하기 위해 우리는 조금 머리를 써서 다음을 정의한다.
정의 5 Scheme \((X, \mathscr{O}_X)\)의 임의의 점 \(x\in X\)와 local ring \((\mathscr{O}_{X, x}, \mathfrak{m}_x)\)를 생각하자. 그럼 \(X\)의 \(x\)에서의 residue field잉여류체는 \(\mathscr{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x\)로 정의되며, 이를 \(\kappa(x)\)로 적는다. 점 \(x\)를 포함하는 열린집합 \(U\) 위에서 정의된 함수 \(f\in \mathscr{O}_X(U)\)에 대하여, \(f\)의 점 \(x\)에서의 함숫값은 \(f\)의 \(\kappa(x)\)에서의 image로 정의한다.
Scheme \(X\)의 임의의 점 \(x\in X\)와 \(x\)의 affine open neighborhood \((U, \mathscr{O}_X\vert_U)\cong(\Spec A, \mathscr{O}_{\Spec A})\)를 택하자. 이 때, \(x\in U\)에 대응되는 \(\Spec A\)의 점을 \(\mathfrak{p}_x\)라 적는다면, 앞선 isomorphism (\(\ast\))에서 우리는 \(\mathscr{O}_{X,x}\cong \mathscr{O}_{\Spec A, \mathfrak{p}_x}\)임을 확인하였고, 그럼 §아핀스킴, ⁋보조정리 8로부터 우리는 isomorphism
\[\mathscr{O}_{X,x}\cong \mathscr{O}_{\Spec A, \mathfrak{p}_x}\cong A_{\mathfrak{p}_x}\]를 얻으며 특히 이 isomorphism은 local ring \(A_{\mathfrak{p}_x}\)의 maximal ideal \(\mathfrak{p}_xA_{\mathfrak{p}_x}\)과 \(\mathfrak{m}_x\)를 대응시킨다. 따라서 [가환대수학] §국소화, ⁋정의 10의 정의를 생각하면
\[\kappa(x)=\mathscr{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x\cong A_{\mathfrak{p}_x}/\mathfrak{p}_xA_{\mathfrak{p}_x}=\kappa(\mathfrak{p}_x)\]를 얻는다. 한편 localization과 quotient는 commute하므로 ([가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 2) 우리는
\[\kappa(x)\cong A_{\mathfrak{p}_x}/\mathfrak{p}_xA_{\mathfrak{p}_x}\cong \Frac(A/\mathfrak{p}_x)\]를 얻으며, 따라서 정의 5가 affine scheme에서의 함숫값의 개념을 잘 일반화한다는 것을 안다. 그럼 이 표현에서, 임의의 \(f\in \mathscr{O}_X(X)\)에 대하여
\[X_f=\{x\in X\mid\text{$f_x\neq 0$ in $\kappa(x)$}\}=\{x\in X\mid f_x\not\in \mathfrak{m}_x\}\]으로 정의하자. 그럼 임의의 \(x\in X_f\)에 대하여, \(x\)를 포함하는 affine open neighborhood \(U=\Spec A\)를 택하면 위의 논의로부터 \(U\cap X_f\)는 열린집합 \(D(f\vert_{U\cap X_f})\)와 같다는 것을 알고, 따라서 §스펙트럼, ⁋보조정리 11로부터 \(X_f\)는 \(X\)의 열린집합임을 안다.
한편 점 \(x\in X\)에서 함수 \(f\)는 함숫값 뿐이 아니라, germ을 사용해도 살펴볼 수 있다. 다음을 정의하자.
정의 6 Scheme \((X, \mathscr{O}_X)\)와 \(f\in \mathscr{O}_X(X)\)에 대하여, \(f\)의 support지지집합는 다음 식
\[\supp(f)=\{x\in X\mid f_x\neq 0\text{ in $\mathscr{O}_{X,x}$}\}\]으로 주어진다. 여기에서 \(f_x\)는 \(f\)의 \(x\)에서의 stalk을 의미한다.
그럼 만일 \(x\in X\)에서의 \(f\)의 stalk이 \(0\)이라면, \(x\)의 적당한 열린근방 \(U=\Spec A\)를 택하여 \(f\)가 \(U\) 위에서 항등적으로 \(0\)이도록 할 수 있으므로 \(\supp(f)\)는 \(X\)의 닫힌집합임을 안다. 한편, 만일 \(\mathscr{O}_{X,x}\)에서 \(f_x=0\)이라면 \(f_x\)가 \(\kappa(x)\)에서 \(0\)인 것은 자명하므로 다음 포함관계
\[X\setminus \supp(f)\subseteq X\setminus X_f\iff X_f\subseteq \supp(f)\]가 성립한다.
스킴의 예시들
앞으로 편의상 scheme의 structure sheaf를 생략하여 \((X, \mathscr{O}_X)\) 대신 간단히 \(X\)로만 표기하고, scheme morphism도 \((\varphi, \varphi^\sharp)\) 대신 \(\varphi\)로만 표기하기로 한다.
예시 7 우리는 §스펙트럼, §§고전적인 대수기하학에서 (classical) affine \(n\)-space를
\[Z(\x(\x-1))=\mathbb{A}_{\mathbb{K},\mathrm{classical}}^n=\{(x_1,\ldots, x_n)\mid x_i\in \mathbb{K}\}=\mSpec \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\]으로 정의했었다. 이를 일반화하여 우리는 앞으로 \(\mathbb{K}\) 위에서 정의된 affine \(n\)-space를
\[\mathbb{A}_\mathbb{K}^n=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\]으로 정의할 것이다. 더 일반적으로, field \(\mathbb{K}\)를 임의의 ring \(A\)로 바꾸면 \(A\) 위에서 정의된 affine \(n\)-space
\[\mathbb{A}_A^n=\Spec A[\x_1,\ldots, \x_n]\]를 얻는다.
Maximal spectrum \(\mSpec A\)에서 \(\Spec A\)로 넘어가는 것은 대수학을 쉽게 해 주기도 하지만, 기하학적으로도 의미가 있다. 이제 \(\mathbb{A}^n\)의 각 점들은, 전통적인 의미에서의 \(n\)-공간 \(\mathbb{A}_{\mathbb{K},\mathrm{classical}}^n\)에서의 점들만이 아니라, 이 공간에서 함수의 zero locus로 나타나는 닫힌집합들도 점으로 취급한다는 의미이다.
앞서 우리는 affine scheme의 열린집합이 affine scheme이 될 필요가 없다는 것을 언급했는데, 다음 예시가 이를 보여준다.
예시 8 Affine plane \(\mathbb{A}_\mathbb{K}^2=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\x_2]\)를 생각하자. 그럼
\[\{(0,0)\}=Z(\x_1)\cap Z(\x_2)\]이므로 \(\{(0,0)\}\)은 닫힌집합이고, 따라서
\[U=\mathbb{A}_\mathbb{K}^2\setminus\{0\}=D(\x_1)\cup D(\x_2)\]는 열린집합이다. 한편, \(D(\x_1)\)과 \(D(\x_2)\) 위에서 정의된 함수는
\[\mathscr{O}_{\mathbb{A}_\mathbb{K}^2}(D(\x_1))\cong \mathbb{K}[\x_1,\x_2]_{\x_1}=\mathbb{K}[\x_1,\x_2, \x_1^{-1}],\qquad \mathscr{O}_{\mathbb{A}_\mathbb{K}^2}(D(\x_2))\cong \mathbb{K}[\x_1,\x_2]_{\x_2}=\mathbb{K}[\x_1,\x_2, \x_2^{-1}]\]의 꼴이다. 이제 \(D(\x_1)\cup D(\x_2)\) 위의 함수는 이들을 붙여서 만들 수 있는 함수들이며, 이러한 함수들은 교집합 \(D(\x_1)\cap D(\x_2)=D(\x_1\x_2)\)으로 제한했을 때 같은 함수여야 한다. 이제
\[\mathscr{O}_{\mathbb{A}_\mathbb{K}^2}(D(\x_1\x_2))=\mathbb{K}[\x_1,\x_2]_{\x_1\x_2}\]에서 \(\mathscr{O}_{\mathbb{A}_\mathbb{K}^2}(D(\x_1))\)의 원소들과 \(\mathscr{O}_{\mathbb{A}_\mathbb{K}^2}(D(\x_2))\)의 원소들을 비교해보면 이러한 함수들은 오직 다항함수 뿐이라는 것을 안다. 즉
\[\mathscr{O}_{\mathbb{A}_\mathbb{K}^2}(U)=\mathbb{K}[\x_1,\x_2]\]이다. 만일 \((U, \mathscr{O}_{\mathbb{A}_\mathbb{K}^2}\vert_U)\)가 affine이었다면, \(U\)는 global section에 \(\Spec\)을 취해 얻어진 \(\Spec \mathbb{K}[\x_1,\x_2]\)와 isomorphic해야 할 것이지만, \(U\)에서 prime ideal \((\x_1,\x_2)\)에 해당하는 점을 생각해보면
\[Z(\x_1,\x_2)=Z(\x_1)\cap Z(\x_2)=\emptyset\qquad\text{ in $U$}\]이므로 이는 불가능하다.
정의에 의해 scheme은 affine scheme들을 붙여서 만드는 것이며, 위의 예시에서도 \(U\)에서의 section을 계산하기 위해 이를 \(D(\x_1)\)과 \(D(\x_2)\)를 붙인 것으로 이해했다. 더 많은 예시들을 살펴보기 전에 다음 보조정리를 먼저 살펴보는 것이 다양한 예시들을 다루는 데 도움이 될 것이다.
보조정리 9 Index set \(I\)를 고정하고, 다음의 데이터들이 주어졌다 하자.
- Scheme들 \(X_i\),
- \(X_i\)들의 open subscheme들 \(X_{ij}\),
- 각각의 \(i,j\in I\)에 대하여, isomorphism들 \(\varphi_{ij}:X_{ij} \rightarrow X_{ji}\)
여기에서 \(X_{ii}=X_i\)이고 \(f_{ii}=\id_{X_i}\)인 것으로 정의한다. 그럼 만일 이들 데이터가 cocycle condition
\[\varphi_{ik}\vert_{X_{ij}\cap X_{ik}}=\varphi_{jk}\vert_{X_{ji}\cap X_{jk}}\circ \varphi_{ij}\vert_{X_{ij}\cap X_{ik}}\qquad\text{for all $i,j,k\in I$}\]을 만족한다면, 유일한 scheme \(X\)와 \(X\)의 open subscheme들 \(U_i\)가 존재하여, \(U_i\cong X_i\)이고 \(U_i\cap U_j\cong X_{ij}\)이도록 할 수 있다.
이에 대한 증명은 우선, 위상공간으로서 \(\coprod X_i\)를 생각하면 이 위에
\[(x_i, X_i)\sim (x_j,X_j) \iff \varphi_{ij}(x_i)=x_j\]을 통해 관계 \(\sim\)을 정의할 수 있으며, cocycle condition을 통해 이것이 동치관계임을 증명할 수 있다. 따라서 위상공간으로서 \(X=\coprod_{i\in X_i}X_i\big/{\sim}\)으로 정의하고, [위상수학] §준층, ⁋보조정리 1과 같은 방식으로 sheaf를 붙일 수 있다는 것을 확인하면 된다. 이를 통해 다음 예시를 보자.
예시 10 두 개의 affine line \(X_0=\mathbb{A}_\mathbb{K}^1=\Spec \mathbb{K}[\x_0]\), \(X_1=\mathbb{A}_\mathbb{K}^1=\Spec \mathbb{K}[\x_1]\), 그리고 이들의 열린집합
\[U_0=X_0\setminus \{(\x_0)\}=D(\x_0),\quad U_1=X_1\setminus \{(\x_1)\}=D(\x_1)\]이 주어졌다 하자. 그럼 정의에 의하여
\[\mathscr{O}_{X_0}(U_0)\cong \mathbb{K}[\x_0]_{\x_0}=\mathbb{K}[\x_0,1/\x_0]\]이고 비슷하게 \(\mathscr{O}_{X_1}(U_1)\cong \mathbb{K}[\x_1,1/\x_1]\)가 성립한다. 이번 예시에서 우리는 \(X_0\)과 \(X_1\)을 붙이는 두 가지 다른 방법을 구체적으로 살펴본다.
우선 isomorphism \(\varphi:(U_0, \mathscr{O}_{X_0}\vert_{U_0})\rightarrow (U_1, \mathscr{O}_{X_1}\vert_{U_1})\)이 \(\x_0\)와 \(\x_1\)를 identify하는 isomorphism \(k[\x_0,1/\x_0]\rightarrow k[\x_1,1/\x_1]\)로부터 온 경우를 생각하자. 그럼 위상공간으로서 \(X=X_0\cup_\varphi X_1\)는 line with double origin이고, structure sheaf는 임의의 열린집합 \(U\subseteq X\)에 대해 다음 식
\[\mathscr{O}_X(U)=\mathscr{O}_{X_0}(U\cap X_0)\times_{\mathscr{O}_{X_0}(U\cap U_0)\cong \mathscr{O}_{X_1}(U\cap U_1)} \mathscr{O}_{X_1}(U\cap X_1)\]으로 정의된다. 특히 global section들은
\[\Gamma(X, \mathscr{O}_X)=\mathscr{O}_{X_0}(X_0)\times_{\mathscr{O}_{X_0}(U_0)\cong \mathscr{O}_{X_1}(U_1)} \mathscr{O}_{X_1}(X_1)=\mathbb{K}[\x_0]\times_{\mathbb{K}[\x_0,1/\x_0]\cong \mathbb{K}[\x_1,1/\x_1]}\mathbb{K}[\x_1]\cong \mathbb{K}[\x_0]\]이다.
한편, 이번에는 isomorphism \(\varphi\)가 \(\x_0\)와 \(1/\x_1\)를 identify하는 isomorphism \(\mathbb{K}[\x_0,1/\x_0]\rightarrow \mathbb{K}[\x_1,1/\x_1]\)로부터 온 경우를 생각하자. 그럼 특히 \(U_0\)의 closed point \((\x_0-\alpha)\)는 \(X_1\)의 closed point \((\x_1-1/\alpha)\)에 대응될 것이며, \(U_1\)의 closed point \((\x_1-\beta)\)는 \(U_0\)의 closed point \((\x_0-1/\beta)\)에 대응된다. 즉 이로부터 얻어지는 공간은 projective space \(\mathbb{P}^1\)이 될 것이다.
이 경우의 global section들을 생각하면,
\[\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathscr{O}_{\mathbb{P}^1})=\mathbb{K}[\x_0]\times_{\mathbb{K}[\x_0,1/\x_0]\cong \mathbb{K}[\x_1,1/\x_1]} \mathbb{K}[\x_1]\cong \mathbb{K}\]뿐이다. 마지막 isomorphism은, 일상적인 언어로 표현하자면, \(\mathbb{K}[\x_0]\)의 원소들 가운데, \(\x_0\)를 \(1/\x_1\)로 바꾸었을 때 여전히 \(\mathbb{K}[\x_1]\)의 원소가 되는 것들은 오직 상수함수 뿐이라는 것을 의미한다.
위의 예시 10의 마지막 계산은 \(\mathbb{P}^1\)이 affine scheme이 아님을 보여준다. 만일 \(\mathbb{P}^1\)이 affine scheme이었다면 이는 반드시 \(\Spec \mathbb{K}\)가 되어야 하는데, \(\Spec \mathbb{K}\)는 한 점으로만 이루어진 scheme이기 때문이다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
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