스킴

스킴

이제 scheme을 정의할 수 있다.

정의 1 Locally ringed space $(X,\mathscr{O}_X)$에 대하여, 임의의 점 $p\in X$마다 적당한 열린근방 $U$가 존재하여 $(U,\mathscr{O}_X\vert_U)$가 affine scheme이도록 할 수 있다면 $(X,\mathscr{O}_X)$를 scheme_스킴이라 말한다. 이 때, $\mathscr{O}_X$를 structure sheaf라 부른다. Scheme들 사이의 morphism은 locally ringed space의 morphism과 같다. Scheme들의 category를 $\Sch$로 쓴다.

즉, 본질적으로 scheme은 affine scheme들을 적당한 방식으로 붙여서 얻어지는 것이다. 이 과정을 조금 더 면밀하게 살펴보자.

예시 2 두 scheme $X_1,X_2$가 주어졌다 하고, 두 열린집합 $U_1\subseteq X_1$, $U_2\subseteq X_2$에 대하여 isomorphism $\phi:(U_1,\mathscr{O}_{X_1}\vert_{U_1}) \rightarrow (U_2,\mathscr{O}_{X_2}\vert_{U_2})$가 주어졌다 하자.

그럼 우선 $\phi$를 통해 $X_1$과 $X_2$를 위상공간으로서 붙여서 새로운 위상공간 $X=X_1\cup_\phi X_2$를 만들 수 있다. 또, structure sheaf의 경우에는 함수를 정의할 때 $X$에서 $X_1$과 $X_2$이 만나는 부분에서 compatible한 함수들만 모아두면 된다. 즉 임의의 열린집합 $V\subseteq X$에 대하여,

\[\mathscr{O}_X(V)=\{(s_1, s_2):s_\alpha\in \mathscr{O}_{X_\alpha}(i^{-1}_\alpha(V)),\quad \phi(s_1\vert_{i_1^{-1}(V)\cap U_1})=s_2\vert_{i_2^{-1}(V)\cap U_2}\}\]

으로 정의한다. 그럼 이렇게 만들어낸 $(X, \mathscr{O}_X)$가 scheme이 되는 것을 확인할 수 있다.

예시 3 두 개의 affine line $X_1=\mathbb{A}_k^1=\Spec k[x]$, $X_2=\mathbb{A}_k^1=\Spec k[y]$, 그리고 이들의 열린집합

\[U_1=X_1\setminus \{(x)\}=D(x),\quad U_2=X_2\setminus \{(y)\}=D(y)\]

이 주어졌다 하자. 그럼 §스펙트럼, ⁋명제 5에 의하여

\[\mathscr{O}_{X_1}(U_1)\cong k[x]_{x}=k[x,1/x]\]

이고 비슷하게 $\mathscr{O}_{X_2}(U_2)\cong k[y,1/y]$가 성립한다. 이번 예시에서 우리는 $X_1$과 $X_2$을 붙이는 두 가지 다른 방법을 구체적으로 살펴본다.

우선 isomorphism $\phi:(U_1, \mathscr{O}_{X_1}\vert_{U_1})\rightarrow (U_2, \mathscr{O}_{X_2}\vert_{U_2})$이 $x$와 $y$를 identify하는 isomorphism $k[x,1/x]\rightarrow k[y,1/y]$로부터 온 경우를 생각하자. 그럼 위상공간으로서 $X=X_1\cup_\phi X_2$는 line with double origin이고, structure sheaf는 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대해 다음 식

\[\mathscr{O}_X(U)=\mathscr{O}_{X_1}(U\cap X_1)\times_{\mathscr{O}_{X_1}(U\cap U_1)\cong \mathscr{O}_{X_2}(U\cap U_2)} \mathscr{O}_{X_2}(U\cap X_2)\]

으로 정의된다. 특히 global section들은

\[\Gamma(X, \mathscr{O}_X)=\mathscr{O}_{X_1}(X_1)\times_{\mathscr{O}_{X_1}(U_1)\cong \mathscr{O}_{X_2}(U_2)} \mathscr{O}_{X_2}(X_2)=k[x]\times_{k[x,1/x]\cong k[y,1/y]}k[y]\cong k[x]\]

이다.

한편, 이번에는 isomorphism $\phi$가 $x$와 $1/y$를 identify하는 isomorphism $k[x,1/x]\rightarrow k[y,1/y]$로부터 온 경우를 생각하자. 그럼 얻어지는 공간은 projective space $\mathbb{P}^1$이 될 것이다.

이 경우의 global section들을 생각하면,

\[\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathscr{O}_{\mathbb{P}^1})=k[x]\times_{k[x,1/x]\cong k[y,1/y]} k[y]\cong k\]

뿐이다. 마지막 isomorphism은, 일상적인 언어로 표현하자면, $k[x]$의 원소들 가운데, $x$를 $1/y$로 바꾸었을 때 여전히 $k[y]$의 원소가 되는 것들은 오직 상수함수 뿐이라는 것을 의미한다.

사영스킴

예시 3의 두 번째 예시와 같은 식으로 projective space들을 만들 수 있으며, 이는 우리가 알던 projective space, 즉 homogeneous coordinate $[x_0:\ldots: x_n]$을 사용하여 표현되는 그 projective space와 완전하게 동일하다.

여기에 Zariski topology를 주기 위해서는 약간의 주의가 필요하다. Zariski topology의 정의 상, 닫힌집합을 좌표 $x_0,\ldots, x_n$들로 만들어진 다항식의 vanishing set으로 정의해야 한다. 그런데 가령 위에서 살펴본 $\mathbb{P}^1$의 경우, 좌표 $x,y$에 대한 다항식 $xy+x=x(y+1)$의 vanishing set은 $\{x=0\}\cup \{y=-1\}$이 아니며, 사실은 잘 정의되지도 않는다. 이것이 잘 정의되기 위해서는, 모든 $\lambda\neq 0$에 대해 $[x:y]=[\lambda x:\lambda y]$이므로 $xy+x$에서 $x$ 자리에 $\lambda x$를, $y$ 자리에 $\lambda y$를 넣더라도 vanishing set이 변하지 않아야 하는데, 그렇지 않기 때문이다. 조금만 생각을 해 보면 이 vanishing set이 잘 정의되기 위해서는 주어진 다항식이 동차다항식이면 된다는 사실을 알 수 있다.

이와 같은 이유로, projective scheme을 만들기 위해서는 다항식처럼 grading이 주어진 ring만을 생각하고, 이 grading에 대해 동차인 함수들의 zero locus만을 생각해야 한다.

정의 4 Graded ring $S=\bigoplus_{d\geq 0}S_d$이 주어졌다 하자. $S$의 ideal $\mathfrak{a}$가 homogeneous ideal_{동차 아이디얼}이라는 것은 $\mathfrak{a}=\bigoplus_{d\geq 0}(\mathfrak{a}\cap S_d)$이 성립하는 것이다.

일반적으로, graded ring $S=\bigoplus_{d\geq 0}S_d$가 주어졌을 때 오직 하나의 $S_d$에만 속하는 원소를 homogeneous_동차라 부른다. 그럼 다음이 성립한다.

보조정리 5 Graded ring $S=\bigoplus_{d\geq 0}S_d$의 ideal $\mathfrak{a}$이 homogeneous ideal인 것과 $\mathfrak{a}$가 homogeneous element들에 의해 생성되는 것이 동치이다.

증명

$\mathfrak{a}$가 homogeneous ideal이라면 $\mathfrak{a}$는 모든 $d$에 대하여 $\mathfrak{a}\cap S_d$에 속하는 원소들에 의해 생성되므로 증명할 것이 없다.

거꾸로 $\mathfrak{a}$가 homogeneous element들에 의해 생성된다 가정하자. 그럼 임의의 $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, 이들 중 일부인 $f_1,\ldots, f_m$을 뽑아

\[a=g_1f_1+\cdots+g_mf_m\]

이도록 하는 $g_1,\ldots, g_m$을 택할 수 있다. 한편 $g_i$들은 $S$의 원소이므로, $g_i=\sum g_{ij}$으로 분해할 수 있고 따라서

\[a=\sum \sum g_{ij}f_{i}\]

이 성립한다. 위 식의 우변의 summand $g_{ij}f_i$는 모두 homogeneous이므로, $a$를 homogeneous element들의 합으로 나타내었고, 물론 이러한 표현은 $S$가 graded ring이라는 것으로부터 유일하므로 증명이 완료되었다.

이제 임의의 ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $V(\mathfrak{a})$를 $\mathfrak{a}$를 포함하는 homogeneous prime ideal들의 모임으로 정의한다. 우선 다음을 보이면 편하다.

보조정리 6 Graded ring $S=\bigoplus_{d\geq 0}S_d$의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$이 prime ideal인 것과, 임의의 homogeneous element $a,b\in S$에 대하여 $ab\in \mathfrak{p}$이면 $a\in \mathfrak{p}$이거나 $b\in \mathfrak{p}$인 것이 동치이다.

증명

임의의 ring $A$에 대하여, ideal $\mathfrak{p}$이 prime인 것과 $ab\in \mathfrak{p}\implies (a\in \mathfrak{p})\vee(b\in \mathfrak{p})$인 것이 동치이므로, 한쪽 방향은 자명하다. 따라서 반대 방향만 보이면 충분하다.

이제 나중 조건을 만족하는 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$가 주어졌다 하자. 결론에 반하여 $\mathfrak{a}$가 prime이 아니라 하면, (homogeneous일 필요는 없는) 적당한 $a,b\in S$가 존재하여 $ab\in \mathfrak{a}$이지만 $a,b\not\in \mathfrak{a}$이도록 할 수 있다. $S$의 grading을 사용하여

\[a+a_{d_1}+\cdots+a_{d_m},\qquad b=b_{d_1'}+\cdots+b_{d_n'}\]

이라 하자. 여기서 $d_1<\ldots<d_m$이고 $d_1’<\ldots<d_n’$이다. 가정에 의해 $a,b\not\in \mathfrak{a}$이므로, 적어도 어떠한 $i,j$에 대해서는 $a_i\not\in \mathfrak{a}$이고 $b_j\not\in \mathfrak{a}$여야 한다. $i,j$가 이러한 차수들 가운데 가장 큰 것이라 하고, $ab$의 차수 $i+j$인 성분을 보자. 이 성분에는 $a_ib_j$가 있을 것이며, 그 외에 $e+f=i+j$를 만족하는 $a_eb_f$꼴의 원소들의 합으로 이루어져 있을 것이다. 그런데 $(e,f)\neq (i,j)$라면 $i<e$이거나 $j<f$이므로, $a_e\in \mathfrak{a}$이거나 $b_f\in \mathfrak{a}$이다. 즉 $ab$의 차수 $i+j$인 성분을 보면, $a_ib_j$를 제외한 모든 성분은 $\mathfrak{a}$에 속한다. 따라서 $ab\in \mathfrak{a}$이려면 $a_ib_j\in \mathfrak{a}$가 반드시 성립해야 하는데, 그럼 homogeneous element $a_i,b_j$에 대해 $a_i,b_j\not\in \mathfrak{a}$이지만 $a_ib_j\in \mathfrak{a}$이다. 이는 가정에 모순이므로 $\mathfrak{a}$는 prime ideal이다.

그럼 §스펙트럼, ⁋보조정리 1과 비슷한 다음 보조정리에 의하여, homoegeneous prime ideal들의 모임 $\Proj S$에 Zariski topology를 줄 수 있다.

보조정리 7 Graded ring $S$에 대하여 다음이 성립한다.

1. Homogeneous ideal들 $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여 $V(\mathfrak{ab})=V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})$이 성립한다.
2. Homogeneous ideal들의 family $\{\mathfrak{a}_i\}$에 대하여 $V(\sum \mathfrak{a}_i)=\bigcap V(\mathfrak{a}_i)$이 성립한다.

증명

1. $\mathfrak{a}$ 혹은 $\mathfrak{b}$를 포함하는 homogeneous prime ideal $\mathfrak{p}$는 그보다 작은 homogeneous ideal $\mathfrak{ab}$ 또한 포함하는 것이 자명하므로, 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. $\mathfrak{p}\supset \mathfrak{ab}$라 가정하자. 만일 $\mathfrak{p}\not\supseteq \mathfrak{b}$라 하면, $b\not\in \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{b}$의 원소 $b$를 찾을 수 있다. 한편, 임의의 $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, $ab\in \mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p}$이고, 앞선 가정에 의해 $b\not\in \mathfrak{p}$이므로 보조정리 6을 적용하면 반드시 $a\in \mathfrak{p}$이고 따라서 $a\subseteq \mathfrak{p}$가 성립한다.
2. 이는 $\sum \mathfrak{a}_i$가 ideal들 $\mathfrak{a}_i$ 각각을 모두 포함하는 homogeneous ideal 중 가장 작은 것이기 때문이며, 특히 $\sum \mathfrak{a}_i$ 자신이 homogeneous인 것은 보조정리 5로부터 따라나온다.

이제 $\Proj S$를 scheme으로 보기 위해서는 이 위에 structure sheaf를 정의해야 한다. 각각의 $\mathfrak{p}\in \Proj S$에 대하여, $\mathfrak{p}$에 속하지 않는 homogeneous element들을 역원으로 넣어줘서 생긴 ring을 $S_{(\mathfrak{p})}$라 하자. 그럼 §스펙트럼, ⁋보조정리 1 이후에 정의한 것과 마찬가지로, $\mathscr{O}(U)$의 원소들을 각 점 $\mathfrak{p}$에서의 값이 $S_{(\mathfrak{p})}$에 속하는 함수 $s:U \rightarrow\coprod S_{(\mathfrak{p})}$들 중, $s$가 local하게는 $S$의 원소의 quotient로 쓰여지는 함수들의 모임으로 정의하면 된다.

다음 명제는 §스펙트럼, ⁋명제 5에 대응되는 명제이다.

명제 6 위에서 정의한 $(\Proj S, \mathscr{O})$에 대하여 다음이 성립한다.

1. 임의의 $\mathfrak{p}\in \Proj S$에 대하여, $\mathscr{O}_{\mathfrak{p}}$는 $S_{(\mathfrak{p})}$와 isomorphic하다.

2. 임의의 homogeneous element $f\in S_+=\bigoplus_{d>0}S^d$에 대하여, $D_+(f)=\{\mathfrak{p}\in\Proj S: f\not\in \mathfrak{p}\}$로 정의하면 $D_+(f)$들은 $\Proj S$의 open cover가 되며, locally ringed space들 사이의 isomorphism

   \[(D_+(f),\mathscr{O}\vert_{D_+(f)})\cong\Spec S_{(f)}\]

   이 존재한다. 여기서 $S_{(f)}$는 $S_f$의 degree $0$ part이다.

3. 따라서 $\Proj S$는 scheme이다.

가령 $S=k[x_0,\ldots, x_n]$인 경우를 생각하면 $\Proj S$는 우리가 잘 알고 있는 projective $n$-space over $k$, $\mathbb{P}_k^n$이 되며, 2번 결과에 의해

\[(D_+(x_i), \mathscr{O}\vert_{D_+(x_i)})\cong \Spec (\text{degree $0$ part of $k[x_0,\ldots, x_n]_{x_i}$})=\Spec k[x_0/x_i,\ldots, x_n/x_i]\]

가 된다.

주의할 것은 $\Proj$의 경우, $\Spec$과는 다르게 functoriality가 없다는 것이다. 직관적으로 이야기해서 우리는 $[0:\cdots:0]$과 같은 점을 배제하기 위하여 위의 명제의 두 번째 결과에서 $f$를 $S_+$에서만 뽑아왔는데, degree-preserving homomorphism $\phi:S \rightarrow T$가 주어졌다 했을 때, $\phi(S_+)\not\subseteq \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{p}\in\Proj T$에 대해서만 $f:\mathfrak{p}\mapsto \phi^{-1}(\mathfrak{p})$가 잘 정의될 것이기 때문이다. 그 대신, 위의 조건 $\phi(S_+)\not\subseteq \mathfrak{p}$을 만족하는 $\Proj T$의 부분집합을 $U$라 하면, $U \rightarrow \Proj S$ 자체는 잘 정의된다.

올곱

다음 정리는 실제로 증명이 꽤 길긴 하지만, 우리가 지금까지 했던 것을 받아들인다면 그 얼개는 굉장히 자명하다.

정리 7 Scheme morphism $f:X \rightarrow Z$와 $g:Y \rightarrow Z$에 대하여, fiber product $X\times_ZY$가 존재한다.

Scheme에서의 fiber product를 정의하기 위해서는, affine scheme에서의 fiber product를 정의한 후 이를 이어붙이면 될 것이다. 그런데, $\cRing^\op\cong \AffSch$이므로, 이 질문은 그냥 $\cRing$에서의 fiber coproduct를 묻는 것이다. 즉 두 ring homomorphism $f:C \rightarrow A$, $g: C \rightarrow B$가 주어졌을 때, 다음 diagram

을 commute하도록 하는 initial object를 생각하는 것과 같다. 두 ring homomorphism $f,g$를 통해 $A,B$를 각각 $C$-module로 보자. 그럼 위의 diagram이 commute하므로 $a\circ f=b\circ g$를 통해 $X$ 또한 $C$-module로 생각할 수 있으며, 이 module structure에 대해 $a$와 $b$ 각각이 $C$-linear map이다. 즉, 원하는 fiber coproduct는 정확히 tensor product $A\otimes_CB$와 같다.

Ring들의 category $\cRing$이 initial object $\mathbb{Z}$를 가진다는 사실을 잘 이용하면 scheme들의 category $\Sch$이 terminal object $\Spec \mathbb{Z}$를 가진다는 사실을 알고 있으므로, 두 scheme $X,Y$의 일반적인 product $\times$는

\[X\times_{\Spec \mathbb{Z}} Y\]

으로 주어지며 이것이 product의 universal property를 만족한다.

Relative point of view

만일 우리가 $\Sch$의 product만 필요했다면, 정리 7을 $Z=\Spec \mathbb{Z}$에 대해서만 증명하면 충분했을 것이다. 이번 절에서는 굳이 fiber product를 생각해야 하는 이유를 설명한다. 우선 다음을 정의하자.

정의 8 Scheme morphism $f:X \rightarrow Y$의 $y\in Y$ 위에서의 fiber를

\[X_y:=X\times_Y\Spec \kappa(y)\]

으로 정의한다.

여기서 $\kappa(y)$는 $y\in Y$에서의 residue field이며, 우리는 §아핀 스킴, ⁋예시 6에서 이것이 $\{y\}\rightarrow Y$를 정의해준다는 것을 살펴보았다. 한편 $\Set$ category에서의 fiber product가 명시적으로는

\[X\times_YZ=\{(x,z):f(x)=g(z)\}\]

으로 주어졌던 것을 생각하고, $Z=\Spec \kappa(y)$를 넣어주면 $X_y$를 fiber라 부르는 것에 대한 직관적인 설명을 할 수 있다.

Grothendieck으로부터 온 철학인 relative point of view는 어떠한 대상을 직접 공부하기보다 해당 대상들의 family를 공부하는 것이 옳은 방향이라는 철학이다. 이 때 대상들의 family란 대략 이야기해서 scheme morphism $f:X \rightarrow Y$의 fiber $X_y$들이 그 대상들이 되는 것을 의미하며, 이 때 $Y$가 이 family를 parametrize한다고 말한다.

이를 받아들이고 나면 parameter scheme $Y$을 갖는 family들의 category를 생각할 수 있고, 이는 단순히 slice category $\Sch_{/Y}$ over $Y$에 불과하다. 그리고 fiber product는 바로 이 category에서의 product인 것이다.

예를 들어 다음과 같은 정의가 가능하다.

정의 9 임의의 scheme $Y$에 대하여, $\mathbb{P}_Y^n:=\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}\times_{\Spec \mathbb{Z}}Y$를 projective $n$-space over $Y$라 부른다.

아직은 우리가 scheme에 대해 아는 것이 많지 않지만, 이러한 관점 때문에 우리가 무언가를 정의할 때에는 항상 scheme의 성질이 아니라, morphism의 성질로서 정의하게 된다. 또, scheme morphism $Y’ \rightarrow Y$가 주어졌고, 특정한 성질을 만족하는 scheme morphism $f:X \rightarrow Y$가 주어졌다 하면, 이들의 fiber product $X\times_YY’ \rightarrow Y’$가 생길텐데, 이를 family $X \rightarrow Y$로부터 온 새로운 family라 생각하면 이 family 또한 원래의 성질을 만족하기를 원한다. 즉, 우리는 scheme morphism들 중 base change에 대해 닫혀있는 성질들만을 신경쓸 것이고, 앞으로 scheme morphism을 정의하고 나면 항상 이것을 체크하게 된다.