스킴

스킴

이제 우리는 스킴을 정의할 수 있다.

정의 1 Locally ringed space $(X,\mathscr{O}_X)$에 대하여, 임의의 점 $p\in X$마다 적당한 열린근방 $U$가 존재하여 $(U,\mathscr{O}_X\vert_U)$가 affine scheme이도록 할 수 있다면 $(X,\mathscr{O}_X)$를 scheme_스킴이라 말한다. 이 때, $\mathscr{O}_X$를 structure sheaf라 부른다. Scheme들 사이의 morphism은 locally ringed space의 morphism과 같다. Scheme들의 category를 $\Sch$로 쓴다.

Scheme $X$의 임의의 열린집합 $U$가 주어졌다 하자. 그럼 $U$의 임의의 열린집합은 $X$에서 열린집합이다. ([위상수학] §부분공간, ⁋보조정리 2) 따라서 $U$의 임의의 열린집합 $V$에 대하여, 다음의 식

\[\mathscr{O}_X\vert_U(V)=\mathscr{O}_X(V)\]

을 통해 $U$ 위의 sheaf $\mathscr{O}_X\vert_U$를 정의할 수 있다. 그럼 stalk의 정의에 의하여 모든 $x\in U$에 대해 $(\mathscr{O}_X\vert_U)_x=\mathscr{O}_{X,x}$가 성립하는 것은 자명하다. 따라서 $(X,\mathscr{O}_X)$는 locally ringed space이며, 뿐만 아니라 이 논증은 $\mathscr{O}_{X,x}$를 특정한 localization $A_\mathfrak{p}$로 생각할 수 있도록 해 준다.

한편 임의의 $x\in U$를 고정하자. 그럼 $(X, \mathscr{O}_X)$가 scheme인 것으로부터 $(U’, \mathscr{O}_X\vert_{U’})$이 affine scheme이도록 하는 $U’$가 존재한다. 이제 $U\cap U’$는 $U’$의 열린집합이므로, 편의상 $U’$가 $\Spec B$와 isomorphic하다 하면 적당한 $f\in B$를 찾아 $D(f)\subseteq U\cap U’$이도록 할 수 있다. (§아핀스킴, ⁋보조정리 4) 따라서 $p$를 포함하는 $U$의 열린집합 $D(f)$에 대하여, $(D(f), (\mathscr{O}_X\vert_U)\vert_{D(f)})$가 $(D(f),\Spec A_f)$와 isomorphic하므로 정의에 의해 $(U, \mathscr{O}_X\vert_U)$는 다시 scheme이다.

정의 2 Scheme $(X, \mathscr{O}_X)$의 임의의 열린집합 $U$에 대하여, $(U, \mathscr{O}_X\vert_U)$를 open subscheme_{열린 부분스킴}이라 부른다. 만일 이것이 affine scheme이라면 이를 affine open subscheme_{아핀 열린 부분스킴}이라 부른다.

그럼 임의의 scheme $X$에 대하여, 정의에 의해 $X$를 affine open subscheme들 $U_i$로 덮을 수 있으므로 이들의 base를 생각하면 $X$ 또한 affine open subset들로 이루어진 base를 갖는다는 것을 알 수 있다.

스킴의 예시들

위의 정의 1에 의하여, 본질적으로 scheme은 affine scheme들을 적당한 방식으로 붙여서 얻어지는 것이다. 이 과정을 조금 더 면밀하게 살펴보자.

예시 3 두 scheme $X_1,X_2$가 주어졌다 하고, 두 열린집합 $U_1\subseteq X_1$, $U_2\subseteq X_2$에 대하여 isomorphism $\phi:(U_1,\mathscr{O}_{X_1}\vert_{U_1}) \rightarrow (U_2,\mathscr{O}_{X_2}\vert_{U_2})$가 주어졌다 하자.

그럼 우선 $\phi$를 통해 $X_1$과 $X_2$를 위상공간으로서 붙여서 새로운 위상공간 $X=X_1\cup_\phi X_2$를 만들 수 있다. 또, structure sheaf의 경우에는 함수를 정의할 때 $X$에서 $X_1$과 $X_2$이 만나는 부분에서 compatible한 함수들만 모아두면 된다. 즉 임의의 열린집합 $V\subseteq X$에 대하여,

\[\mathscr{O}_X(V)=\{(s_1, s_2):s_\alpha\in \mathscr{O}_{X_\alpha}(i^{-1}_\alpha(V)),\quad \phi(s_1\vert_{i_1^{-1}(V)\cap U_1})=s_2\vert_{i_2^{-1}(V)\cap U_2}\}\]

으로 정의한다. 그럼 이렇게 만들어낸 $(X, \mathscr{O}_X)$가 scheme이 되는 것을 확인할 수 있다.

더 일반적으로, scheme들의 모임 $(X_i)$, 이들의 open subscheme들 $U_{ij}\subseteq X_i$, isomorphism들 $U_{ij}\rightarrow U_{ji}$가 cocycle condition을 만족한다면 이들 모임에 대해서도 마찬가지로 새로운 스킴을 만들 수 있다.

예시 4 두 개의 affine line $X_0=\mathbb{A}_\mathbb{k}^1=\Spec \mathbb{k}[\x_0]$, $X_1=\mathbb{A}_\mathbb{k}^1=\Spec \mathbb{k}[\x_1]$, 그리고 이들의 열린집합

\[U_0=X_0\setminus \{(\x_0)\}=D(\x_0),\quad U_1=X_1\setminus \{(\x_1)\}=D(\x_1)\]

이 주어졌다 하자. 그럼 §아핀스킴, ⁋명제 5에 의하여

\[\mathscr{O}_{X_0}(U_0)\cong \mathbb{k}[\x_0]_{\x_0}=\mathbb{k}[\x_0,1/\x_0]\]

이고 비슷하게 $\mathscr{O}_{X_1}(U_1)\cong \mathbb{k}[\x_1,1/\x_1]$가 성립한다. 이번 예시에서 우리는 $X_0$과 $X_1$을 붙이는 두 가지 다른 방법을 구체적으로 살펴본다.

우선 isomorphism $\phi:(U_0, \mathscr{O}_{X_0}\vert_{U_0})\rightarrow (U_1, \mathscr{O}_{X_1}\vert_{U_1})$이 $\x_0$와 $\x_1$를 identify하는 isomorphism $k[\x_0,1/\x_0]\rightarrow k[\x_1,1/\x_1]$로부터 온 경우를 생각하자. 그럼 위상공간으로서 $X=X_0\cup_\phi X_1$는 line with double origin이고, structure sheaf는 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대해 다음 식

\[\mathscr{O}_X(U)=\mathscr{O}_{X_0}(U\cap X_0)\times_{\mathscr{O}_{X_0}(U\cap U_0)\cong \mathscr{O}_{X_1}(U\cap U_1)} \mathscr{O}_{X_1}(U\cap X_1)\]

으로 정의된다. 특히 global section들은

\[\Gamma(X, \mathscr{O}_X)=\mathscr{O}_{X_0}(X_0)\times_{\mathscr{O}_{X_0}(U_0)\cong \mathscr{O}_{X_1}(U_1)} \mathscr{O}_{X_1}(X_1)=\mathbb{k}[\x_0]\times_{\mathbb{k}[\x_0,1/\x_0]\cong \mathbb{k}[\x_1,1/\x_1]}\mathbb{k}[\x_1]\cong \mathbb{k}[\x_0]\]

이다.

한편, 이번에는 isomorphism $\phi$가 $\x_0$와 $1/\x_1$를 identify하는 isomorphism $\mathbb{k}[\x_0,1/\x_0]\rightarrow \mathbb{k}[\x_1,1/\x_1]$로부터 온 경우를 생각하자. 그럼 특히 $U_0$의 closed point $(\x_0-\alpha)$는 $X_1$의 closed point $(\x_1-1/\alpha)$에 대응될 것이며, $U_1$의 closed point $(\x_1-\beta)$는 $U_0$의 closed point $(\x_0-1/\beta)$에 대응된다. 즉 이로부터 얻어지는 공간은 projective space $\mathbb{P}^1$이 될 것이다.

이 경우의 global section들을 생각하면,

\[\Gamma(\mathbb{P}^1, \mathscr{O}_{\mathbb{P}^1})=\mathbb{k}[\x_0]\times_{\mathbb{k}[\x_0,1/\x_0]\cong \mathbb{k}[\x_1,1/\x_1]} \mathbb{k}[\x_1]\cong \mathbb{k}\]

뿐이다. 마지막 isomorphism은, 일상적인 언어로 표현하자면, $\mathbb{k}[\x_0]$의 원소들 가운데, $\x_0$를 $1/\x_1$로 바꾸었을 때 여전히 $\mathbb{k}[\x_1]$의 원소가 되는 것들은 오직 상수함수 뿐이라는 것을 의미한다.

위의 예시 4의 마지막 계산은 $\mathbb{P}^1$이 affine scheme이 아님을 보여준다. 만일 $\mathbb{P}^1$이 affine scheme이었다면 이는 반드시 $\Spec \mathbb{k}$가 되어야 하는데, $\Spec \mathbb{k}$는 한 점으로만 이루어진 scheme이기 때문이다.

사영공간과 $\Proj$

한편, $\mathbb{P}^1$의 임의의 점을 좌표 $\x_0,\x_1$을 사용하여 $[\alpha:\beta]$와 같이 나타내면, $\beta\neq 0$인 곳에서는 $[\alpha:\beta]\mapsto \alpha/\beta$를 통해 $U_0$과 identify되고, $\alpha\neq 0$인 곳에서는 $[\alpha:\beta]\mapsto \beta/\alpha$를 통해 $U_1$과 identify되는 것으로 생각할 수 있다.

이를 통해 예시 4를 일반화하여 임의의 $\mathbb{P}^n_\mathbb{k}$을 만들 수 있다. 이는 $n+1$개의 open set $U_0,\ldots, U_n$으로 덮이며, 이들은 모두 $\mathbb{A}^n_\mathbb{k}$이다. 편의상 $U_i$를

\[\Spec \mathbb{k}[\x_{0/i},\ldots, \x_{n/i}]/(\x_{i/i}-1)\]

으로 적으면, $D(\x_{j/i})\subseteq U_i$와 $D(\x_{i/j})\subseteq U_j$를 identification

\[\x_{k/i}\mapsto \x_{k/j}/\x_{i/j},\quad \x_{k/j}\mapsto \x_{k/i}/\x_{j/i}\]

을 통해 붙인 것으로 생각할 수 있다. 어렵지 않게 이들이 예시 3의 말미에서 언급한 gluing 조건을 만족한다는 것을 보일 수 있다.

이제 이렇게 정의한 $\mathbb{P}^n$이 affine scheme이 되지 않는 것은 (적어도 $n=1$인 경우에는) 예시 4에서 살펴보았다. 이는 $\mathbb{P}^n$을 좌표계 $\x_0,\ldots,\x_n$을 사용해서 나타내도 알 수 있는데, §스펙트럼, ⁋예시 9와는 다르게 $\x_0,\ldots, \x_n$에 대한 임의의 다항식을 가져왔을 경우 이 다항식은 $\mathbb{P}^n$ 위에 잘 정의된 함수가 되지 않는다는 것이며, 이것이 $\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathscr{O}_{\mathbb{P}^1})\cong \mathbb{k}$로 나타난다. 가령, $\mathbb{P}^1$에서 다음의 다항식

\[f(\x_0,\x_1)=\x_0^2-\x_1\]

이 잘 정의되기 위해서는 점 $[\alpha:\beta]$를 $[\lambda\alpha:\lambda\beta]$로 표현만 바꾸어도 같은 값이 나와야 하는데,

\[f(\alpha,\beta)=\alpha^2-\beta\neq \lambda^2 \alpha^2-\lambda\beta=f(\lambda\alpha,\lambda\beta)\]

이기 때문이다. 그런데 이 계산을 살펴보면, 만일 $f$가 homogeneous polynomial이었다면 $V(f)$ 자체는 잘 정의된다는 것을 알 수 있다. 이를 직관삼아 다음과 같이 정의한다.

정의 5 Graded ring $S=\bigoplus_{d\geq 0}S_d$이 주어졌다 하자. $S$의 ideal $\mathfrak{a}$가 homogeneous ideal_{동차 아이디얼}이라는 것은 $\mathfrak{a}=\bigoplus_{d\geq 0}(\mathfrak{a}\cap S_d)$이 성립하는 것이다.

일반적으로, graded ring $S=\bigoplus_{d\geq 0}S_d$가 주어졌을 때 오직 하나의 $S_d$에만 속하는 원소를 homogeneous_동차라 부른다. 그럼 다음이 성립한다.

보조정리 6 Graded ring $S=\bigoplus_{d\geq 0}S_d$의 ideal $\mathfrak{a}$이 homogeneous ideal인 것과 $\mathfrak{a}$가 homogeneous element들에 의해 생성되는 것이 동치이다.

증명

$\mathfrak{a}$가 homogeneous ideal이라면 $\mathfrak{a}$는 모든 $d$에 대하여 $\mathfrak{a}\cap S_d$에 속하는 원소들에 의해 생성되므로 증명할 것이 없다.

거꾸로 $\mathfrak{a}$가 homogeneous element들에 의해 생성된다 가정하자. 그럼 임의의 $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, 이들 중 일부인 $f_1,\ldots, f_m$을 뽑아

\[a=g_1f_1+\cdots+g_mf_m\]

이도록 하는 $g_1,\ldots, g_m$을 택할 수 있다. 한편 $g_i$들은 $S$의 원소이므로, $g_i=\sum g_{ij}$으로 분해할 수 있고 따라서

\[a=\sum \sum g_{ij}f_{i}\]

이 성립한다. 위 식의 우변의 summand $g_{ij}f_i$는 모두 homogeneous이므로, $a$를 homogeneous element들의 합으로 나타내었고, 물론 이러한 표현은 $S$가 graded ring이라는 것으로부터 유일하므로 증명이 완료되었다.

이제 임의의 ideal $\mathfrak{a}$에 대하여, $V(\mathfrak{a})$를 $\mathfrak{a}$를 포함하는 homogeneous prime ideal들의 모임으로 정의한다. 우선 다음을 보이면 편하다.

보조정리 7 Graded ring $S=\bigoplus_{d\geq 0}S_d$의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$이 prime ideal인 것과, 임의의 homogeneous element $a,b\in S$에 대하여 $ab\in \mathfrak{p}$이면 $a\in \mathfrak{p}$이거나 $b\in \mathfrak{p}$인 것이 동치이다.

증명

임의의 ring $A$에 대하여, ideal $\mathfrak{p}$이 prime인 것과 $ab\in \mathfrak{p}\implies (a\in \mathfrak{p})\vee(b\in \mathfrak{p})$인 것이 동치이므로, 한쪽 방향은 자명하다. 따라서 반대 방향만 보이면 충분하다.

이제 나중 조건을 만족하는 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$가 주어졌다 하자. 결론에 반하여 $\mathfrak{a}$가 prime이 아니라 하면, (homogeneous일 필요는 없는) 적당한 $a,b\in S$가 존재하여 $ab\in \mathfrak{a}$이지만 $a,b\not\in \mathfrak{a}$이도록 할 수 있다. $S$의 grading을 사용하여

\[a+a_{d_1}+\cdots+a_{d_m},\qquad b=b_{d_1'}+\cdots+b_{d_n'}\]

이라 하자. 여기서 $d_1<\ldots<d_m$이고 $d_1’<\ldots<d_n’$이다. 가정에 의해 $a,b\not\in \mathfrak{a}$이므로, 적어도 어떠한 $i,j$에 대해서는 $a_i\not\in \mathfrak{a}$이고 $b_j\not\in \mathfrak{a}$여야 한다. $i,j$가 이러한 차수들 가운데 가장 큰 것이라 하고, $ab$의 차수 $i+j$인 성분을 보자. 이 성분에는 $a_ib_j$가 있을 것이며, 그 외에 $e+f=i+j$를 만족하는 $a_eb_f$꼴의 원소들의 합으로 이루어져 있을 것이다. 그런데 $(e,f)\neq (i,j)$라면 $i<e$이거나 $j<f$이므로, $a_e\in \mathfrak{a}$이거나 $b_f\in \mathfrak{a}$이다. 즉 $ab$의 차수 $i+j$인 성분을 보면, $a_ib_j$를 제외한 모든 성분은 $\mathfrak{a}$에 속한다. 따라서 $ab\in \mathfrak{a}$이려면 $a_ib_j\in \mathfrak{a}$가 반드시 성립해야 하는데, 그럼 homogeneous element $a_i,b_j$에 대해 $a_i,b_j\not\in \mathfrak{a}$이지만 $a_ib_j\in \mathfrak{a}$이다. 이는 가정에 모순이므로 $\mathfrak{a}$는 prime ideal이다.

그럼 §스펙트럼, ⁋보조정리 1과 비슷한 다음 보조정리에 의하여, homoegeneous prime ideal들의 모임 $\Proj S$에 Zariski topology를 줄 수 있다.

보조정리 8 Graded ring $S$에 대하여 다음이 성립한다.

1. Homogeneous ideal들 $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여 $V(\mathfrak{ab})=V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})$이 성립한다.
2. Homogeneous ideal들의 family $\{\mathfrak{a}_i\}$에 대하여 $V(\sum \mathfrak{a}_i)=\bigcap V(\mathfrak{a}_i)$이 성립한다.

증명

1. $\mathfrak{a}$ 혹은 $\mathfrak{b}$를 포함하는 homogeneous prime ideal $\mathfrak{p}$는 그보다 작은 homogeneous ideal $\mathfrak{ab}$ 또한 포함하는 것이 자명하므로, 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. $\mathfrak{p}\supset \mathfrak{ab}$라 가정하자. 만일 $\mathfrak{p}\not\supseteq \mathfrak{b}$라 하면, $b\not\in \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{b}$의 원소 $b$를 찾을 수 있다. 한편, 임의의 $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, $ab\in \mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p}$이고, 앞선 가정에 의해 $b\not\in \mathfrak{p}$이므로 보조정리 7을 적용하면 반드시 $a\in \mathfrak{p}$이고 따라서 $a\subseteq \mathfrak{p}$가 성립한다.
2. 이는 $\sum \mathfrak{a}_i$가 ideal들 $\mathfrak{a}_i$ 각각을 모두 포함하는 homogeneous ideal 중 가장 작은 것이기 때문이며, 특히 $\sum \mathfrak{a}_i$ 자신이 homogeneous인 것은 보조정리 6로부터 따라나온다.

이제 $\Proj S$를 scheme으로 보기 위해서는 이 위에 structure sheaf를 정의해야 한다. 각각의 $\mathfrak{p}\in \Proj S$에 대하여, $\mathfrak{p}$에 속하지 않는 homogeneous element들을 역원으로 넣어줘서 생긴 ring을 $S_{(\mathfrak{p})}$라 하자. 그럼 §스펙트럼, ⁋보조정리 1 이후에 정의한 것과 마찬가지로, $\mathscr{O}(U)$의 원소들을 각 점 $\mathfrak{p}$에서의 값이 $S_{(\mathfrak{p})}$에 속하는 함수 $s:U \rightarrow\coprod S_{(\mathfrak{p})}$들 중, $s$가 local하게는 $S$의 원소의 quotient로 쓰여지는 함수들의 모임으로 정의하면 된다.

다음 명제는 §아핀스킴, ⁋명제 5에 대응되는 명제이다.

명제 9 위에서 정의한 $(\Proj S, \mathscr{O})$에 대하여 다음이 성립한다.

1. 임의의 $\mathfrak{p}\in \Proj S$에 대하여, $\mathscr{O}_{\mathfrak{p}}$는 $S_{(\mathfrak{p})}$와 isomorphic하다.

2. 임의의 homogeneous element $f\in S_+=\bigoplus_{d>0}S^d$에 대하여, $D_+(f)=\{\mathfrak{p}\in\Proj S: f\not\in \mathfrak{p}\}$로 정의하면 $D_+(f)$들은 $\Proj S$의 open cover가 되며, locally ringed space들 사이의 isomorphism

   \[(D_+(f),\mathscr{O}\vert_{D_+(f)})\cong\Spec S_{(f)}\]

   이 존재한다. 여기서 $S_{(f)}$는 $S_f$의 degree $0$ part이다.

3. 따라서 $\Proj S$는 scheme이다.

가령 $S=k[x_0,\ldots, x_n]$인 경우를 생각하면 $\Proj S$는 우리가 잘 알고 있는 projective $n$-space over $k$, $\mathbb{P}_k^n$이 되며, 둘째 결과에 의해

\[(D_+(x_i), \mathscr{O}\vert_{D_+(x_i)})\cong \Spec (\text{degree $0$ part of $k[x_0,\ldots, x_n]_{x_i}$})=\Spec k[x_0/x_i,\ldots, x_n/x_i]\]

가 된다.

주의할 것은 $\Proj$의 경우, $\Spec$과는 다르게 functoriality가 없다는 것이다. 직관적으로 이야기해서 우리는 $[0:\cdots:0]$과 같은 점을 배제하기 위하여 위의 명제의 두 번째 결과에서 $f$를 $S_+$에서만 뽑아왔는데, degree-preserving homomorphism $\phi:S \rightarrow T$가 주어졌다 했을 때, $\phi(S_+)\not\subseteq \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{p}\in\Proj T$에 대해서만 $f:\mathfrak{p}\mapsto \phi^{-1}(\mathfrak{p})$가 잘 정의될 것이기 때문이다. 그 대신, 위의 조건 $\phi(S_+)\not\subseteq \mathfrak{p}$을 만족하는 $\Proj T$의 부분집합을 $U$라 하면, $U \rightarrow \Proj S$ 자체는 잘 정의된다.