닫힌 부분스킴

§스킴, ⁋보조정리 2에서 우리는 affine scheme \(\Spec A\)에 대하여, 임의의 원소 \(f\)가 open affine subscheme \(D(f)\cong \Spec A_f\)를 정의하는 것을 살펴보았으며, 특히 이 두 structure sheaf를 비교하기 위해 우리는 \(\epsilon: A \rightarrow A_f\)로부터 얻어지는

\[(\Spec\epsilon)^\sharp: \mathscr{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec \epsilon)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f}\]

에 [위상수학] §층, ⁋보조정리 11을 적용하여

\[(\Spec\epsilon \vert^{D(f)})^\sharp: \mathscr{O}_{D(f)} \rightarrow (\Spec\epsilon\vert^{D(f)})_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f}\]

을 얻고, \(\Spec A_f\)가 \(\Spec A\)의 열린집합이라는 사실로부터 이것이 isomorphism이라는 사실을 얻을 수 있었다.

한편 §스펙트럼, ⁋명제 9의 둘째 결과에 의해, affine scheme \(\Spec A\)와 \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)가 주어지면 \(\Spec\) functor를 통해

\[\Spec\pi: \Spec A/\mathfrak{a}\rightarrow \Spec A\]

가 주어지고, 이 때 \(\Spec\pi\)는 injective이며 그 image는 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{a})\)가 된다는 것을 안다. 이 경우에도 위에서와 마찬가지로 canonical decomposition

\[\Spec A/\mathfrak{a}\overset{\Spec\pi\vert^{Z(\mathfrak{a})}}{\longrightarrow} Z(\mathfrak{a}) \overset{\iota}{\longrightarrow}\Spec A\]

을 생각한 후,

\[(\Spec\pi)^\sharp: \mathscr{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\pi)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\]

로부터 \(Z(\mathfrak{a})\)에서 정의된 sheaf들의 morphism

\[\iota^{-1} \mathscr{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\pi\vert^{Z(\mathfrak{a})})_\ast \mathscr{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\]

를 만들 수 있지만, 우리는 \(Z(\mathfrak{a})\)에 scheme structure를 정의하지도 않았고, 따라서 \(\iota^{-1}\mathscr{O}_{\Spec A}\)와 \(\mathscr{O}_{Z(\mathfrak{a})}\) 사이의 관계를 모를 뿐더러, 이것이 isomorphism이 된다는 보장도 없다. 실제로 이는 isomorphism이 되지 않을 가능성이 훨씬 큰데, \(\iota^{-1}\mathscr{O}_{\Spec A}\)는 \(\Spec A\)의 structure sheaf에서 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{a})\)에 대한 위상적인 데이터만을 사용하여 정의된 것이지만, \((\Spec\pi)_\ast\mathscr{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\)는 ring \(A/\mathfrak{a}\)에 대한 대수적인 정보도 가지고 있기 때문이다.

예시 1 예를 들어 field \(\mathbb{K}\)를 고정하고, affine \(1\)-line \(\mathbb{A}_\mathbb{K}^1=\Spec \mathbb{K}[\x]\)을 생각하자. 그럼 다음의 canonical surjection

\[\pi_1:\mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[\x]/(\x)\cong \mathbb{K},\qquad \pi_2:\mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[\x]/(\x^2)\]

들이 존재하며, 구체적으로 \(\pi_1\)과 \(\pi_2\)는 각각 \(\x\mapsto 0+(\x)\)와 \(\x\mapsto \x+(\x^2)\)을 통해 정의된다.

한편 \(\mathbb{K}[\x]/(\x)\cong \mathbb{K}\)이므로 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x)\)는 한 점 \((0)\)만을 가진다. 마찬가지로 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2)\) 또한 한 점만을 가진다. 이는 \(\mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)의 prime ideal과 \(\x^2\)을 포함하는 \(\mathbb{K}[\x]\)의 prime ideal 사이의 일대일대응이 존재하고, \(\mathbb{K}[\x]\)는 principal ideal domain이므로, \(\mathbb{K}[\x]\)의 prime ideal을 \((p(\x))\)라 쓴다면 이 ideal이 \(\x^2\)을 포함하기 위해서는 \(p(\x)\)가 \(\x^2\)을 나눠야 하기 때문에 반드시 \(p(\x)=\x\)여야 함을 안다.

따라서 이들이 정의하는 schememorphism

\[\Spec\pi_1:\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x) \rightarrow \Spec \mathbb{K}[\x],\qquad \Spec\pi_2:\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2) \rightarrow \Spec \mathbb{K}[\x]\]

을 생각하면, 연속함수로서 \(\Spec\pi_1\)은 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x)\)의 유일한 한 점 \((0)\)을 \(\Spec \mathbb{K}[\x]\)의 한 점 \((\x)\)으로, \(\Spec\pi_2\)는 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)의 유일한 한 점 \((\x)\)를 \(\Spec \mathbb{K}[\x]\)의 한 점 \((\x)\)으로 보내는 것을 안다. 즉 연속함수로서 이들은 같은 함수를 정의하지만, 물론 \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x)\)와 \(\mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)는 scheme으로서 isomorphic하지 않다.

당연히 우리가 바라는 structure sheaf는 대수적인 정보를 포함하는 \((\Spec\pi)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\)의 형태이며, 이것이 \(\iota^{-1}\mathscr{O}_{\Spec A}\)와 어떠한 관계가 있는지는 이 글의 말미에서 살펴보게 된다.

닫힌 부분스킴

위에서 살펴본 것과 같이, 닫힌 부분스킴에 대한 우리의 모델은 canonical projection \(\pi: A \rightarrow A/\mathfrak{a}\)와, 이로부터 나오는 scheme morphism

\[(\Spec \pi, (\Spec\pi)^\sharp): \Spec A/\mathfrak{a} \rightarrow\Spec A\]

이다. 이 때 \(\Spec\pi\)는 \(\Spec A\)의 닫힌집합과 \(\Spec A/\mathfrak{a}\) 사이의 homeomorphism을 주는 injective continuous map이고, \(\Spec\pi^\sharp: \mathscr{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\pi)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\)는 §아핀스킴, ⁋명제 9에서 얻어진다.

한편, ring homomorphism \(\pi: A \rightarrow A/\mathfrak{a}\)에서 가장 중요한 성질은 \(\pi\)가 surjective라는 것이며, 실제로 임의의 surjective ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow B\)가 주어지면 first isomorphism theorem에 의하여

\[B=\im\phi\cong A/\ker\phi\]

이므로 이 성질이 \(\pi\)를 정확하게 characterize한다. 한편 [가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 4를 생각하면, \(\pi\)의 surjectivity는 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에서의 localization \(\pi_\mathfrak{p}: A_\mathfrak{p} \rightarrow (A/\mathfrak{a})_{\mathfrak{p}}\)이 surjective인지를 살펴보아 확인할 수 있으며 이는 기하적으로는 affine scheme \(\Spec A\)에서의 임의의 점 \(\mathfrak{p}\)에서의 stalk을 살펴보는 것과 같고, 따라서 [위상수학] §층, ⁋명제 14에 의해 \((\Spec\pi)^\sharp\)이 surjective인 것과 같다.

정의 2 Scheme morphism \(\iota: Z \rightarrow X\)가 closed embedding_{닫힌 몰입}이라는 것은 \(\iota\)가 연속함수로서 \(Z\)와 \(X\)의 닫힌집합 사이의 homeomorphism이고, sheaf morphism \(\iota^\sharp: \mathscr{O}_X \rightarrow \iota_\ast \mathscr{O}_Z\)가 surjective인 것이다.

연속함수 \(\iota\)에 대한 조건은 자명한 것이며, \(\iota^\sharp\)에 대한 직관 또한 기하적인 해석이 가능한데, 그것은 \(Z\)의 함수들, 더 정확하게는 \(\iota(Z)\)의 함수들은 모두 \(X\)의 함수를 \(Z\)로 제한하여 얻어진 것이어야 한다는 것이다. 혹은, 반대로 말하면 \(Z\)의 임의의 함수가 주어졌을 때 이를 \(X\)에서의 함수로 확장하는 것이 가능해야 한다는 것이다. 한편 만일 \(\iota\)가 open embedding이라면, \(\iota^\sharp\)는 isomorphism이어야 한다.

이 정의는 자연스러운 것이지만, 우리가 앞선 글에서 정의한 scheme morphism의 성질들과는 약간 결이 다르다. 따라서 우리는 이와 동치인 다음 정의를 (증명없이) 사용한다.

명제 3 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

1. \(\varphi\)가 closed embedding이다.
2. \(\varphi\)가 affine morphism이고, \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V\cong \Spec B\)가 주어질 떄마다, 그 preimage \(\varphi^{-1}(V)\cong \Spec A\)에 대하여 \(B \rightarrow A\)가 surjective이다.

증명

The equivalence of two definitions of closed subscheme, Vakil’s Ex 8.1.K, Stack Exchange.

그럼 임의의 closed embedding은 국소적으로는 항상 위에서 살펴본 것과 같이 적당한 \(\pi: A \rightarrow A/\mathfrak{a}\)로부터 오는 것으로 생각할 수 있다. 특히 \(Y\)가 affine scheme \(\Spec B\)라 하면 위의 동치에 의해 \(Y\)로의 임의의 closed embedding \(\varphi: X \rightarrow Y\)는 정확하게 \(B \rightarrow B/\mathfrak{b}\)에 대응되는 것을 안다.

닫힌 매장의 성질들

명제 3를 받아들이고 나면 임의의 closed embedding은 항상 affine-local on target이고, closed embedding은 합성에 대해서도 닫혀있다는 것을 안다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 4 임의의 closed embedding은 항상 finite morphism이다.

이는 정의에 의해 자명하며, §스킴 사상의 성질들, ⁋예시 15에서 만든 (quasi-)finite morphism의 기하학적 직관에 비추어볼 때, 적어도 closed embedding은 항상 quasi-finite이어야 하는 것이 자명하고, 여기에서 더 나아가 finite이기도 하다는 기하적인 해석이 가능하다.

정의 5 임의의 scheme \(Z\)에 대하여, \(\mathscr{O}_Z\)의 subsheaf \(\mathscr{I}\)를 \(Z\)의 ideal sheaf라 부른다. 특별히 closed embedding \(\iota: Z \rightarrow X\)에 대하여, \(\mathscr{O}_X\)의 subsheaf \(\ker\iota^\sharp\)를 \(\iota\)에 의해 정의되는 ideal sheaf라 부르고, 이를 \(\mathscr{I}_{Z/X}\)로 표기한다.

즉, 다음의 exact seqeunce

\[0 \rightarrow \mathscr{I}_{Z/X} \rightarrow \mathscr{O}_X \rightarrow \iota_\ast \mathscr{O}_Z \rightarrow 0\]

이 존재한다. 따라서 \(X\)의 임의의 affine open subset \(U=\Spec A\)에서는

\[0 \rightarrow \mathscr{I}_{Z/X}(U) \rightarrow \mathscr{O}_X(U)\cong A \rightarrow \iota_\ast \mathscr{O}_Z(U) \rightarrow 0\]

이 되므로, \(\mathscr{I}_{Z/X}(U)\)는 \(A\)의 ideal이 되어 이 이름이 적절하다 할 수 있다.

우리는 명제 3 직후에 임의의 affine scheme \(Y=\Spec B\)의 closed subscheme은 정확하게 \(B\)의 ideal에 대응되는 것을 살펴보았다. 한편 임의의 scheme은 affine scheme을 붙여서 만들어지므로, 이러한 affine scheme들마다 ideal들이 정의되고, 이들이 적당한 gluing condition을 만족한다면 이를 통해 원래 scheme의 closed subscheme이 정의될 것이다.

명제 6 Scheme \(X\)의 임의의 affine open subset \(\Spec A\)마다, ideal \(\mathscr{I}(A)\subseteq A\)가 주어져있다고 하자. 만일 각각의 \(f\in A\)에 대하여, \(A \rightarrow A_f\)에 의해 isomorphism \(\mathscr{I}(A_f)\cong \mathscr{I}(A)_f\)가 유도된다면, 이들 데이터는 \(X\)의 유일한 closed subscheme \(Z\hookrightarrow X\)를 유도한다.

증명

우선 \(X\)를 affine open subset들 \(\{\Spec A_i\}\)들로 덮자. 그럼 우리가 보여야 할 것은 임의의 \(i,j\)에 대하여, \(\Spec A_i\)에서 ideal \(\mathscr{I}(A_i)\)에 의해 정의되는 closed subscheme과 \(\Spec A_j\)에서 ideal \(\mathscr{I}(A_j)\)에 의해 정의되는 closed subscheme이 \(\Spec A_i\)와 \(\Spec A_j\)의 교집합에서 같은 closed subscheme을 정의한다는 것이다.

우선 §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11로부터 우리는 \(\Spec A_i\)와 \(\Spec A_j\)의 교집합을 principal open subset들

\[\Spec (A_i)_{f_i}\cong\Spec (A_j)_{f_j}\]

들로 덮을 수 있다. 이제 \(\Spec A_i\)에서 \(\mathscr{I}(A_i)\)가 정의하는 closed subscheme을 \(D(f_i)\cong\Spec (A_i)_{f_i}\)로 제한하면 \(\mathscr{I}(A_i)_{f_i}\)이고, 주어진 가정에 의해 이는 \(\mathscr{I}((A_i)_{f_i})\)와 isomorphic하며 이것은 \(\mathscr{I}((A_j)_{f_j})\)와 같은 것이므로 이들을 붙여 closed subscheme \(Z\)를 만들 수 있다.

이제 임의의 scheme \(X\)와 global section \(s\in \Gamma(X, \mathscr{O}_X)\)가 주어졌다 하자. 그럼 각각의 affine cover \(U\cong\Spec A\)에 대하여, \(s\vert_U\)는 \(A\)의 ideal \(\mathscr{I}(A)=(s\vert_U)\)를 정의하며 이렇게 정의된 \(\mathscr{I}(A)\)들은 명제 6의 조건을 만족하는 것이 자명하다.

정의 7 Scheme \(X\)와 \(X\)의 global section \(s\in \Gamma(X, \mathscr{O}_X)\)에 대하여, 위와 같이 정의된 scheme \(Z(s)\)를 \(s\)의 vanishing scheme이라 부른다.

더 일반적으로, global section들의 집합 \(S\)에 대하여 \(Z(S)\)를 어떻게 정의해야 하는지도 자명하며, 따라서 특별히 \(X=\Spec A\)이고 \(S=\mathfrak{a}\)가 \(A\)의 ideal인 경우 \(Z(\mathfrak{a})\)를 어떻게 정의해야 하는지도 자명하며, 이는 affine scheme \(\Spec A/\mathfrak{a}\)의 structure sheaf를 \(\Spec\pi\)를 통해 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{a})\)에 옮겨준 것이다. 앞으로 \(Z(\mathfrak{a})\)는 항상 이러한 scheme structure가 주어져 있는 것으로 생각한다.

정의 8 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 locally closed embedding이라는 것은 \(Y\)의 적당한 open subscheme \(\iota:Z\hookrightarrow Y\)가 존재하여, 다음의 canonical decomposition

\[X\overset{\varphi\vert^Z}{\longrightarrow}Z\overset{\iota}{\longrightarrow} Y\]

을 통해 \(\varphi\vert^Z\)가 closed embedding인 것이다.

그럼 명제 4에 의하여, 임의의 locally closed embedding은 항상 locally of finite type인 것을 안다.

스킴 사상의 상

이제 우리는 스킴 사상의 상을 정의한다. 당연히 임의의 scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌을 떄, 우리는 그 image \(\im\varphi\) 또한 스킴 구조가 주어지기를 바랄 것이다. 그러나 위상공간 \(Y\)의 부분집합으로서 \(\im\varphi\)는 열린집합도, 닫힌집합도 아닐 수 있으므로 \(Y\)의 structure sheaf를 이용하여 \(\im\varphi\)에 structure sheaf를 정의하는 것은 요원해보인다.

이에 대한 해결책은 \(\varphi\)의 image를 포함하는 closed subscheme 중 가장 작은 것을 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image로 정의하는 것이다. 이를 위해서는 우선 \(X\)의 closed subscheme이 다른 closed subscheme보다 작다는 것이 무엇인지를 살펴보아야 한다.

보조정리 9 두 closed embedding \(\iota_1: Z_1 \rightarrow X\), \(\iota_2: Z_2 \rightarrow X\)가 주어졌다 하자. 그럼 적당한 scheme morphism \(\varphi: Z_1 \rightarrow Z_2\)가 존재하여 \(\iota_1=\iota_2\circ\varphi\)를 만족하는 것은 \(\mathscr{I}_{Z_2/X}\subseteq \mathscr{I}_{Z_1/X}\)인 것과 동치이다. 이 경우 \(\varphi\)는 closed embedding이 된다.

이는 affine open subset \(\Spec A\)에서 보면 두 closed embedding은 각각

\[A \rightarrow A/\mathscr{I}_{Z_1/X}(A),\qquad A \rightarrow A/\mathscr{I}_{Z_2/X}(A)\]

에 대응되며, 위의 조건을 만족하는 \(\varphi\)가 존재하는 것은 ring homomorphism \(A \rightarrow A/ \mathscr{I}_{Z_1/X}(A)\)이 \(A \rightarrow A/ \mathscr{I}_{Z_2/X}(A)\)로 factor through해야 하는 것과 같은 것이며 이것이 다시 \(\mathscr{I}_{Z_2/X}(A)\subseteq \mathscr{I}_{Z_1/X}(A)\)와 동치이기 때문이다.

Scheme \(X\)의 두 closed subscheme \(Z_1,Z_2\)에 대하여, closed embedding \(\varphi:Z_1 \rightarrow Z_2\)가 존재한다면 \(Z_1\)이 \(Z_2\)보다 작은 closed subscheme인 것으로 생각하자.

정의 10 임의의 scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\varphi\)의 image가 closed subscheme \(\iota: Z \rightarrow Y\)에 포함된다는 것은 다음의 합성

\[\mathscr{I}_{Z/Y} \rightarrow \mathscr{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathscr{O}_X\]

이 \(0\)이 되는 것이다. 이 때, \(\varphi\)의 image를 포함하는 \(Y\)의 closed subscheme 중 가장 작은 것을 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image라 부른다.

만일 위의 식에서 \(Y\)가 affine scheme \(\Spec B\)라면, \(Y\)의 closed subscheme은 \(B\)의 ideal \(\mathfrak{b}\)에 의해 완전하게 결정된다. 따라서 이 경우, \(Y\)의 scheme-theoretic image는 \(\mathscr{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathscr{O}_X\)의 kernel이 정의하는 \(Y\)의 closed subscheme이 될 것이다. 더 특수한 경우로 만일 \(X\)도 affine scheme이라면, \(\mathscr{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathscr{O}_X\)는 ring homomorphism \(\phi\)로부터 나오는 것이므로 명시적인 계산을 해 줄 수 있다.

예시 11 예시 1에서 살펴본 closed embedding의 예시 \(\Spec\pi: \Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2) \rightarrow \Spec \mathbb{K}[\x]\)를 약간 변형한 예시를 살펴보자. 이 예시에서는 구별을 위해 \(\mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)를 \(\mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\)으로 적는다.

우리는 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에 의하여 \(\mathbb{K}\)-algebra homomorphism \(\phi:\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n] \rightarrow \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\)는 \(\x_i\)의 값에 의해 완전히 결정된다는 것을 안다. 따라서 \(\phi(\x_i)=a_i+b_i\epsilon\)이라 하자. 만일 \(0\)이 아닌 \(b_i\)가 존재한다면 \(\phi\)가 surjective임을 보일 수 있고, 따라서 \(\Spec\phi\)는 closed embedding이며 \(\Spec\phi\)의 scheme-theoretic image는 \(\Spec\phi\)가 정의하는 closed subscheme 자기 자신이다. 구체적으로 이를 써 보면 \(\Spec\phi\)는 \(\mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\)의 유일한 prime ideal \((\epsilon)\)을 \(\Spec \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 prime ideal

\[(\Spec\phi)(\epsilon)=\phi^{-1}(\epsilon)=\left(\frac{\x_1}{b_1}-\frac{a_1}{b_1},\ldots \frac{\x_n}{b_n}-\frac{a_n}{b_n}\right)=(\x_1-a_1,\ldots, \x_n-a_n)\]

로 보낸다. 즉 연속함수로서 \(\Spec\phi\)는 한점공간 \(\Spec \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\)을 \(\mathbb{A}^n\)의 한 점 \((a_1,\ldots, a_n)\)으로 보낸다.

기하적으로 \(\Spec\phi\)는 \(\mathbb{A}^n\)의 한 점 \((a_1,\ldots, a_n)\)에서의 tangent vector \((b_1,\ldots, b_n)\)에 대응된다. 이는 \(\mathbb{A}^n\)의 임의의 함수 \(f\in \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 점 \((a_1,\ldots, a_n)\)에서 벡터 \((b_1,\ldots, b_n)\)의 방향으로의 방향미분이 정확히 \(\phi(f)\)로 주어진다는 것으로부터 확인할 수 있다. 더 일반적으로 \(\Spec \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^2)\) 대신 \(\Spec \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^k)\)를 생각하면 우리는 \(k-1\)차 미분계수까지 볼 수 있게 된다.

위의 예시에서 \(X\)가 affine scheme이라고 가정하기는 하였지만, \(\varphi^\sharp:\mathscr{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathscr{O}_X\)는 어차피 scheme morphism \(\varphi\)가 포함하고 있는 정보이므로 여기에는 새로울 것이 없다. 차이는 \(Y\)를 일반적인 scheme으로 일반화할 때 나오게 되는데, \(Y\)의 임의의 affine open subset \(V=\Spec B\)가 주어질 때마다 ideal

\[\mathscr{I}(V):=\ker(\varphi^\sharp(V))\subset B\]

가 \(V\)의 closed subscheme을 정의하지만, 이들을 이어붙여 \(Y\) 전체에서 정의된 단일한 closed subscheme을 만들 수 있는지는 다른 문제이기 때문이다. 물론 우리는 이를 위해 명제 6을 사용할 것이며, 이 가정은 특히 \(X\)가 reduced scheme이거나 \(\varphi\)가 quasi-compact일 경우 만족된다.

따름정리 12 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 만일 \(X\)가 reduced이거나, \(\varphi\)가 quasi-comapct라면 위에서 정의한 ideal sheaf \(\mathscr{I}\)는 명제 6의 조건을 만족하고 따라서 \(\mathscr{I}\)는 \(Y\)의 closed subscheme을 정의하며 이것이 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image가 된다.

위의 조건을 가정하고 \(\varphi\)의 image를 각각의 affine open subset에서 확인해보면 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image는 \(\varphi\)의 (연속함수로서의) image의 closure 위에 structure sheaf가 정의된 형태임을 확인할 수 있다.

따름정리 12의 가정이 없을 경우 이러한 일은 일어나지 않는다.

예시 13 Scheme \(X\)를 다음의 식

\[X=\coprod_{k\geq 0} \Spec \mathbb{K}[\epsilon]/(\epsilon^k)\]

으로 정의하고 \(Y=\Spec \mathbb{K}[\x]\)이라 하자. 이제 \(X\)의 각각의 component마다 \(\x\mapsto \epsilon\)을 통해 scheme morphism \(X \rightarrow Y\)를 정의할 수 있다. 그럼 예시 11으로부터 우리는 \(X \rightarrow Y\)의 (연속함수로서의) image는 한 점 \(0\in \mathbb{A}^1\)인 것을 안다.

그러나 scheme morphism \(\varphi:X \rightarrow Y\)의 scheme-theoretic image는 \(0\)이 아니다. 이를 위해 structure sheaf들 사이의 morphism \(\varphi^\sharp:\mathscr{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathscr{O}_X\)를 관찰하자. 그럼 \(\mathcal{O}_Y\)의 원소 \(f\)가 \(\varphi^\sharp(f)=0\)을 만족하기 위해서는 임의의 \(k\)에 대하여 \(f\)의 \(k\)차 근사식이 \(0\)이 되어야 하므로, 반드시 \(f=0\)이어야 한다. 즉, \(\mathscr{I}_{Z/Y}\)는 \(0\)이 되어야 하고 이로부터 \(\varphi\)의 scheme-theoretic image는 자기 자신임을 안다.

닫힌집합 위에 정의된 기약스킴구조

이 글의 서두에서 우리는 affine scheme \(\Spec A\)의 임의의 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{a})\) 위에 두 개의 structure sheaf \((\Spec\pi)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\) 그리고 \(\iota^{-1} \mathscr{O}_{\Spec A}\)를 정의할 수 있었다. 이 중 \((\Spec\pi)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A/ \mathfrak{a}}\)를 우리는 \(Z(\mathfrak{a})\) 위에 정의된 올바른 스킴 구조로 생각하기로 하였다. 이제 우리는 \(\iota^{-1} \mathscr{O}_{\Spec A}\)에 대해 살펴본다.

더 일반적으로 임의의 scheme \(Y\)와 \(Y\)의 닫힌집합 \(X\)를 생각하자. 그럼 \(Y\)의 임의의 열린집합 \(\Spec B\)에 대하여, \(\Spec B\)의 닫힌집합 \(X\cap \Spec B\)는 §스펙트럼, ⁋정리 15에 의하여 \(B\)의 radical ideal \(\mathfrak{b}\)에 대해 \(Z(\mathfrak{b})\)의 꼴로 쓸 수 있다. 뿐만 아니라, \(\mathfrak{b}\)는 정의에 의하여 \(X\cap \Spec B= Z(\mathfrak{b}')\)이도록 하는 \(B\)의 ideal들 중 가장 큰 것이므로 보조정리 9에 의하여 \(X\cap \Spec B\)에 줄 수 있는 closed subscheme 구조 중 가장 작은 것이다.

정의 14 Scheme \(Y\)의 임의의 닫힌집합 \(X\)에 대하여, \(X\) 위에 앞에서 정의한 scheme 구조를 준 것을 reduced scheme structure라 부르고 \(X^\red\)으로 적는다.

그럼 특히 \(X=Y\)인 경우, 임의의 affine subset \(\Spec B\)에 대하여 \(\Spec B=Z(0)\)이라 적으면 \(\mathfrak{b}=\sqrt{(0)}\)이 되어 \(B/\sqrt{(0)}\)은 reduced ring이 된다. 한편 위에서 살펴본 sheaf morphism

\[\iota^{-1}\mathscr{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\pi\vert^{Z(\mathfrak{a})})_\ast \mathscr{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}\]

은 단순히 보조정리 9에서 얻어지는 canonical한 scheme morphism이다.

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.

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