§스킴, ⁋정의 1 이후에 우리는 affine scheme $\Spec A$에 대하여, 임의의 원소 $f$가 open affine subscheme $D(f)\cong \Spec A_f$를 정의하는 것을 살펴보았다. 이를 보이는 것은 단순히 $D(f)$가 $\Spec A$의 열린집합이라는 것 뿐만 아니라, 이 열린집합 $D(f)$에 정의할 수 있는 두 개의 ringed space 구조 $\mathscr{O}_{\Spec A}\vert_{D(f)}$와 $\mathscr{O}_{\Spec A_f}$가 서로 같다는 것까지 보이는 것이며, 이를 비교할 수 있는 morphism을 얻기 위해 우리는 자연스러운 sheaf morphism $(\Spec \epsilon)^\sharp: \mathscr{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec \epsilon)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f}$에 다음의 adjoint
\[\Hom_{\Sh(\Spec A)}(\mathscr{O}_{\Spec A}, (\Spec \epsilon)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A_f})\cong\Hom_{\Sh(\Spec A_f)}((\Spec\epsilon)^{-1}\mathscr{O}_{\Spec A}, \mathscr{O}_{\Spec A_f})\]을 적용한 후, §스펙트럼, ⁋명제 9의 셋째 결과에 의해 $\Spec \epsilon$은 open immersion $D(f)\hookrightarrow \Spec A$이므로 $(\Spec\epsilon)^{-1}\mathscr{O}_{\Spec A}$는 그냥 $\mathscr{O}_{\Spec A}\vert_{D(f)}$에 불과하다는 사실을 이용했다.
한편 §스펙트럼, ⁋명제 9의 둘째 결과에 의해, affine scheme $\Spec A$와 $A$의 ideal $\mathfrak{a}$가 주어지면 $\Spec$ functor를 통해
\[\Spec\pi: \Spec A/\mathfrak{a}\rightarrow \Spec A\]가 주어지고, 이 때 $\Spec\pi$는 injective이며 그 image는 $Z(\mathfrak{a})$가 된다는 것을 안다. 이 경우에도 위에서와 마찬가지로 $(\Spec\pi)^\sharp: \mathscr{O}_{\Spec A} \rightarrow (\Spec\pi)_\ast \mathscr{O}_{\Spec A/\mathfrak{a}}$ 또한 잘 정의될 것이나, 다른 점은 $(\Spec\pi)^{-1}\mathscr{O}_{\Spec A}$를 표현할 수 있는 언어가 아직 존재하지 않는다는 것이다. 이번 글에서 우리는 closed subscheme을 정의하여 이를 해결한다.
닫힌 부분스킴
Scheme $X$의 closed subscheme은 당연히 위상공간으로서는 $X$의 닫힌집합이 될 것이다. 즉 $X$로의 closed immersion은 우선 위상공간에서 보았을 때는 그 image가 $X$의 닫힌집합이 되는 injective continuous map $\iota:Z\hookrightarrow X$이다. 그러나 위에서와 마찬가지로 이것이 subscheme이기 위해서는 structure sheaf에도 적절한 종류의 조건이 주어져야 한다. 이는 structure sheaf를 공간 위에서 정의된 함수들의 sheaf로 생각하는 우리의 직관을 활용하면 쉽게 줄 수 있는데, 그것은 sheaf morphism $\iota^\sharp: \mathscr{O}_X \rightarrow \iota_\ast \mathscr{O}_Z$가 surjective여야 한다는 것이다. 즉 $Z$의 함수들, 더 정확하게는 $\iota(Z)$의 함수들은 모두 $X$의 함수를 $Y$로 제한하여 얻어진 것이어야 한다.
정의 1 Scheme morphism $\iota: Z \rightarrow X$가 closed immersion닫힌 몰입이라는 것은 $\iota$가 연속함수로서 $Z$와 $X$의 닫힌집합 사이의 homeomorphism이고, sheaf morphism $\iota^\sharp: \mathscr{O}_X \rightarrow \iota_\ast \mathscr{O}_Z$가 surjective인 것이다.
Scheme $X$의 closed subscheme은 closed immersion들 위에 다음의 equivalence relation
\[(\iota: Z \rightarrow X)\sim(\iota': Z' \rightarrow X)\iff \text{there exists an isomorphism $\psi: Z' \rightarrow Z$ such that $\iota'=\iota\circ\psi$}\]을 주었을 때의 equivalence class로 정의한다.
이 정의는 자연스러운 것이지만, 우리가 앞선 글에서 정의한 scheme morphism의 성질들과는 약간 결이 다르다. 따라서 우리는 이와 동치인 다음 정의를 (증명없이) 사용한다.
명제 2 Scheme morphism $\varphi: X \rightarrow Y$에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
- $\varphi$가 closed immersion이다.
- $\varphi$가 affine morphism이고, $Y$의 임의의 affine open subset $V\cong \Spec B$가 주어질 떄마다, 그 preimage $\varphi^{-1}(V)\cong \Spec A$에 대하여 $B \rightarrow A$가 surjective이다.
증명
The equivalence of two definitions of closed subscheme, Vakil’s Ex 8.1.K, Stack Exchange.
그럼 surjective ring homomorphism $\pi:B \rightarrow A$는 first isomorphism theorem에 의하여 항상
\[B \rightarrow \im(\pi)\cong B/\ker\pi\]와 identify할 수 있으므로 closed immersion은 항상
우리는 임의의 closed immersion이 항상 국소적으로는 이러한 꼴임을 보인다. 우선 다음의 명제를 증명하자.
명제 2 임의의 scheme $X$와 affine scheme $\Spec A$, 그리고 scheme morphism $\iota: X \rightarrow \Spec A$에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.
- $\iota$는 closed immersion이다.
- $\Spec A$의 임의의 에 대하여 affineness? link
증명
우선 §아핀스킴, ⁋정리 13과 scheme morphism의 정의로부터
\[\Hom_\Sch(X, \Spec A)=\Hom_\text{LocallyRingedSpace}(X, \Spec)\cong\Hom_{\cRing}(A, \Gamma(X, \mathscr{O}_X))\]이므로 $\iota$가 주어진 것은 ring homomorphism $\iota^\sharp(A): A \rightarrow \Gamma(X, \mathscr{O}_X)$가 주어진 것과 같다. 이 때 kernel $\ker\iota^\sharp(A)$를 $\mathfrak{a}$라 적고 canonical decomposition을 사용하면
\[\iota^\sharp(A): A \twoheadrightarrow A/\mathfrak{a} \hookrightarrow \Gamma(X, \mathscr{O}_X)\]을 얻는다. 이제 여기에 다시 $\Spec$을 취하여 위의 adjoint를 거꾸로 따라가면 $\iota$의 decomposition
\[\iota: X \rightarrow \Spec (A/\mathfrak{a}) \rightarrow \Spec A\]을 얻는다.
임의의 closed immersion $\iota: Z \rightarrow X$를 생각하자. 그럼 $X$는 affine open covering $U_i=\Spec A_i$를 가지므로, 이를 통해
\[\iota\vert_{\iota^{-1}(U_i)}: \iota^{-1}(U_i) \rightarrow U_i\]를 생각할 수 있다. 만일 $\iota\vert_{\iota^{-1}(U_i)}$들이 모두 closed immersion이라면, $\iota(Z)$는 $U_i$들 각각에서 closed이므로 $X$ 전체에서도 closed이며 $\iota^\sharp$의 surjectivity는 stalk에서 체크할 수 있으므로 $\iota$가 closed immersion이 된다.
이를 증명하기 위해 준비작업이 필요하다.
정의 2 임의의 scheme $Z$에 대하여, $\mathscr{O}_Z$의 subsheaf $\mathscr{I}$를 $Z$의 ideal sheaf라 부른다. 특별히 closed immersion $\iota: Z \rightarrow X$에 대하여, $\mathscr{O}_X$의 subsheaf $\ker\iota^\sharp$를 $\iota$에 의해 정의되는 ideal sheaf라 부르고, 이를 $\mathscr{I}_{Z/X}$로 표기한다.
즉, 다음의 exact seqeunce
\[0 \rightarrow \mathscr{I}_{Z/X} \rightarrow \mathscr{O}_X \rightarrow \iota_\ast \mathscr{O}_Z \rightarrow 0\]이 존재한다. 따라서 $X$의 임의의 affine open subset $U=\Spec A$에서는
\[0 \rightarrow \mathscr{I}_{Z/X}(U) \rightarrow \mathscr{O}_X(U)\cong A \rightarrow \iota_\ast \mathscr{O}_Z(U) \rightarrow 0\]이 되므로, $\mathscr{I}_{Z/X}(U)$는 $A$의 ideal이 되므로 이 이름이 적절하다.
한편, 정의 1의 closed immersion은
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