점들의 함자
§스펙트럼, ⁋예시 7 이후에 우리는 임의의 affine scheme $\Spec A$와 한 점 $\mathfrak{p}$에 대하여, $\Spec \kappa(\mathfrak{p}) \rightarrow \Spec A$가 이 점 $\mathfrak{p}$에 대응되는 scheme morphism임을 살펴보았다. 다음 예시에서는 $\kappa(\mathfrak{p})$ 대신 다른 scheme을 넣어서 어떠한 일이 일어나는지 살펴본다.
예시 1 Affine scheme $\Spec \mathbb{Z}[\x_1,\ldots, \x_n]/(f_1,\ldots, f_r)$에 대하여, scheme morphism
\[\Spec \mathbb{Q} \rightarrow \Spec \frac{\mathbb{Z}[\x_1,\ldots, \x_n]}{(f_1,\ldots, f_r)}\]은 다음의 ring homomorphism
\[\mathbb{Z}[\x_1,\ldots, \x_n]/(f_1,\ldots, f_r) \rightarrow \mathbb{Q}\]와 같다. 이 ring homomorphism은 다시 ring homomorphism
\[\mathbb{Z}[\x_1,\ldots, \x_n] \rightarrow \mathbb{Q}; \qquad \x_i\mapsto x_i\]들 가운데 다음 조건들
\[f_1(x_1,\ldots, x_n)=\cdots=f_r(x_1,\ldots, x_n)=0\]을 만족하는 ring homomorphism이 된다. 즉, scheme morphism
\[\Spec \mathbb{Q} \rightarrow \Spec \frac{\mathbb{Z}[\x_1,\ldots, \x_n]}{(f_1,\ldots, f_r)}\]은 정수계수의 다항식들 $f_1,\ldots, f_r$들의 유리수 해에 일대일로 대응된다.
이로부터 더 일반적으로 다음의 정의를 내릴 수 있다.
정의 2 주어진 scheme $X$에 대하여, scheme $S$의 $X$-valued point를 집합 $S(X)=\Hom_\Sch(X, S)$으로 정의한다.
이 정의는 [범주론] §표현가능한 함자, ⁋정리 3과 마찬가지 맥락으로, 우리는 임의의 scheme $S$에 대한 정보가 functor
\[h^S:\Sch^\op \rightarrow \Set;\quad X\mapsto S(X)=\Hom_\Sch(X,S)\]에 담겨있다는 철학을 가지고 있으며, 이는 곧 $S$의 임의의 scheme-valued point를 살펴보아 $S$에 대한 정보를 복원할 수 있다는 것을 의미한다. 뿐만 아니라, 임의의 scheme은 affine scheme들을 붙여 만들어지므로 affine scheme-valued point만 보는 것으로 충분하다.
스킴의 사상들이 갖는 성질들
한편, $\Hom_\Sch(X,S)$의 원소들은 slice category $\Sch_{/S}$의 대상들로 이해할 수 있다. ([범주론] §범주, ⁋예시 13) Category $\cRing$이 initial object $\mathbb{Z}$를 갖는 것으로부터 $\Sch$이 terminal object $\Spec \mathbb{Z}$를 갖는다는 것을 확인할 수 있으므로, $\Sch$를 자연스럽게 $\Sch_{/\Spec \mathbb{Z}}$으로 볼 수 있다.
Grothendieck의 철학은 스킴들의 성질을 그대로 보는 것보다, 이 성질들을 scheme morphism에 대한 성질로 보는 것이 더 낫다는 것이다. 가령 다음을 정의한다.
정의 3 Scheme morphism $f:X \rightarrow S$가 quasi-compact인 것은 $S$의 임의의 quasi-compact open subset $V$에 대하여 $f^{-1}(V)$가 quasi-compact인 것이다.
명제 4 다음이 모두 동치이다.
- $f:X \rightarrow S$가 quasicommpact이다.
- $S$의 임의의 affine open subset의 preimage가 quasi-compact이다.
- $S$의 affine open covering $(V_i)$가 존재하여, $f^{-1}(V_i)$가 모두 quasi-compact이다.
증명
두 번째와 세 번째 조건이 동치임은 §스킴의 성질들, ⁋보조정리 10에 의해 얻어진다.
한편, 임의의 open affine subsubset은 quasi-compact이므로, 만일 첫째 조건이 만족된다면 이들 조건이 따라나오는 것은 자명하다. (§스킴의 성질들, ⁋예시 1)
반대로 이들 조건이 만족된다 하면, 임의의 quasi-compact open subset $V$가 주어졌을 때, 이를 덮는 affine open covering을 잡고 quasi-compactness를 사용하여 이들 중 유한 개를 추려낸 후, 2번 조건을 사용하면 충분하다.
특히 $S=\Spec \mathbb{Z}$인 경우, $f:X \rightarrow\Spec \mathbb{Z}$에 의한 $\Spec \mathbb{Z}$의 preimage는 $X$이므로 $X$가 §스킴의 성질들, ⁋정의 2의 센스에서 quasi-compact인 것과 $f:X \rightarrow \Spec \mathbb{Z}$가 quasi-compact인 것이 동치이다.
이제 우리는 scheme morphism의 성질들을 정의한다. 그 중 일부는 위의 예시와 마찬가지로 앞선 글에서 살펴보았던 것을 relative하게 적은 것이다.
우선 quasi-compactness와 같이 사용하는 정의로는 다음의 quasi-seperatedness가 있다. 이 또한 quasi-compactness와 마찬가지로 위상적인 성질이다.
정의 5 Scheme $X$가 quasi-separated인 것은 $X$의 임의의 두 quasi-compact open subset의 교집합이 quasi-compact인 것이다. Scheme morphism $f:X \rightarrow S$가 quasi-separated인 것은 임의의 affine open subset $V\subseteq S$에 대하여 $f^{-1}(V)$가 quasi-separated인 것이다.
Quasi-separatedness 또한 quasi-compactness와 마찬가지로 affine local on target이다. (명제 4) 즉, scheme morphism $f:X \rightarrow S$가 quasi-separated인 것은 $S$의 affine open covering $(V_i)$가 존재하여, $f^{-1}(V_i)$가 모두 quasi-separated인 것과 동치이다. 역시 이에 대한 증명 또한 §스킴의 성질들, ⁋보조정리 10를 사용하면 쉽게 얻어진다.
뿐만 아니라, scheme이 affine인 것 또한 다음과 같이 relative한 방식으로 적을 수 있다.
정의 6 Scheme morphism $f:X \rightarrow S$가 affine인 것은 $S$의 임의의 affine open subset $V$에 대하여 $f^{-1}(V)$가 affine인 것이다.
이 정의가 affine-local on target인 것은 앞의 두 정의와 비교하여 덜 자명하지만, 이에 대한 증명은 생략하기로 한다. [Vak]에서는 이를 다음의 보조정리를 사용하여 보인다.
보조정리 7 $X$가 quasi-compact, quasi-separated scheme이라면 임의의 $s\in\Gamma(X, \mathscr{O}_X)$에 대하여 $\Gamma(X, \mathscr{O}_X)_s \rightarrow \Gamma(X_s, \mathscr{O}_X)$가 isomorphism이다.
여기서 $X_s$는
\[X_s=\{x\in X:\text{$s_x\neq 0$ in $\mathscr{O}_{X,x}$}\}\]으로 정의되는 열린집합이다. 또, 다음을 정의한다.
정의 8 Scheme morphism $f:X \rightarrow S$가 finite인 것은 $f$가 affine morphism이고, $S$의 임의의 affine open subset $V=\Spec B$에 대하여, $f^{-1}(V)=\Spec A$라 하였을 때 $A$가 $B$-module로서 finitely generated인 것이다.
그럼 이 성질 또한 마찬가지로 §스킴의 성질들, ⁋보조정리 10의 두 조건을 만족하여 affine-local on target이 된다.
예시 9 Ring homomorphism
\[\mathbb{k}[\x] \rightarrow \mathbb{k}[\y];\qquad \x\mapsto \y^2\]에 의해 유도되는 scheme morphism $\Spec \mathbb{k}[\y] \rightarrow \Spec \mathbb{k}[\x]$는 finite이다. 이는 $\mathbb{k}[\y]$가 $\mathbb{k}[\x]$-module로서 두 원소 $1$과 $\y$에 의해 생성되기 때문이다.
기하적인 직관으로는 scheme morphism이 finite인 것은 이 scheme morphism의 fiber가 유한한 것이라고 생각할 수 있다. 이를 설명하기 위해서는 scheme morphism의 fiber를 정의해야 하므로, 잠시 뒤로 미뤄둔다. 한편 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 2를 생각하면 임의의 ring $B$에 대하여, $B$의 integral extension $A$는 항상 $B$-module로서 finitely generated이다. 이로부터 정의 8보다 다소 약한 다음 정의를 얻는다.
정의 10 Scheme morphism Scheme morphism $f:X \rightarrow S$가 integral인 것은 $f$가 affine morphism이고, $Y$의 임의의 affine open subset $V=\Spec B$에 대하여, $f^{-1}(V)=\Spec A$라 하였을 때 $A$가 $B$의 integral extension인 것이다.
어렵지 않게 integral morphism도 affine-local on target임을 확인할 수 있다.
정의 8을 약화시키는 또 다른 방법 중 하나는 다음과 같다.
정의 11 Scheme morphism $f:X \rightarrow S$가 locally of finite type인 것은 $S$의 임의의 affine open subset $V=\Spec B$와, $f^{-1}(V)$의 임의의 affine open subset $U=\Spec A$에 대하여 ring homomorphism $B \rightarrow A$가 $A$를 (algebra로서) finitely generated $B$-algebra로 만드는 것이다. Quasi-compact scheme morphism of locally finite type을 scheme morphism of finite type이라 부른다.
역시 이 성질 또한 affine-local on target임을 확인할 수 있다. 기하적인 직관으로는 scheme morphism이 finite type인 것은 그 fiber가 finite-dimension인 것이다. 아직 scheme morphism의 fiber도, scheme의 차원도 정의하지 않았지만 앞선 직관을 같이 받아들인다면 finite morphism은 finite type인 것을 납득할 수 있으며, 대수적인 증명 또한 자명하다. 더 나아가 다음이 성립한다.
명제 12 Scheme morphism $f:X \rightarrow S$가 finite인 것과, $f$가 integral of finite type인 것이 동치이다.
증명
이는 위에서 말로만 언급한 ‘‘finite$\Rightarrow$finite type’‘의 대수적인 증명, 즉 $B$-module로서 finitely generated이면 $B$-algebra로서 finitely generated라는 것보다 아주 조금만 더 증명하면 된다.
$A$가 $B$-algebra로서 $a$에 의해 생성되었다 하자. 그럼 $1,a,\ldots$가 $A$를 $B$-module로서 생성하며 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 2에 의하여, 이들 중 $1,a,\ldots, a^n$이 $A$를 $B$-module로 생성한다. 이제 나머지 부분은 $A$의 $B$-algebra로서의 generator들의 개수에 대한 귀납법으로 증명하면 된다.
Quasifinite? 7.4?
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