K

Grad. student in mathematics

앞선 글에서 우리는 scheme morphism을 살펴보는 몇 가지 관점을 살펴보았다. 이번 글에서 우리는 본격적으로 scheme morphism이 갖는 성질들을 정의한다. 우선 이들이 공유하는 다음 성질을 정의한다.

정의 1 Scheme morphism의 성질 PP가 local on target이라는 것은 다음 두 조건이 성립하는 것이다.

  1. 만일 scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y가 PP를 만족할 경우, YY의 임의의 open subscheme VV에 대하여 scheme morphism φ∣φ−1(V):φ−1(V)→V\varphi\vert_{\varphi^{-1}(V)}: \varphi^{-1}(V) \rightarrow V 또한 PP를 만족한다.
  2. 만일 scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y에 대하여, YY의 open covering {Vj}\{V_j\}가 존재하여 φ∣φ−1(Vj):φ−1(Vj)→Vj\varphi\vert_{\varphi^{-1}(V_j)}: \varphi^{-1}(V_j) \rightarrow V_j가 모두 PP를 만족한다면 φ\varphi 또한 그러하다.

Scheme은 affine scheme으로부터 만들어진다. Scheme morphism의 성질 PP가 local on target이라면, scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y의 target YY를 Spec⁡B\Spec B로 가정하여도 되고, 그럼 adjoint

Hom⁡Sch(X,Spec⁡B)≅Hom⁡cRing(B,Γ(X,OX))\Hom_\Sch(X, \Spec B)\cong \Hom_\cRing(B, \Gamma(X, \mathscr{O}_X))

를 통해 우리는 scheme morphism X→Spec⁡BX \rightarrow \Spec B의 성질을 ring homomorphism B→Γ(X,OX)B \rightarrow \Gamma(X, \mathscr{O}_X)의 성질을 통해 정의할 수 있다.

준옹골사상과 준분리사상Permalink

정의 2 Scheme morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y가 quasi-compact준옹골이라는 것은 임의의 affine open subset V⊆YV\subseteq Y가 주어질 때마다 φ−1(V)\varphi^{-1}(V)가 quasi-compact인 것이다.

명제 3 Scheme morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y가 quasi-compact인 것은 YY의 임의의 quasi-compact open subset의 preimage가 quasi-compact인 것과 동치이다.

증명

임의의 affine scheme은 quasi-compact이므로 (§스펙트럼, ⁋보조정리 12) 주어진 조건이 정의 2의 조건을 함의하는 것은 당연하다.

거꾸로 quasi-compact morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y가 주어졌다 하자. 이제 YY의 임의의 quasi-compact open subset VV가 주어졌다 하면, VV를 덮는 유한히 많은 affine open subset들의 covering {Vj}\{V_j\}가 존재하며 이들의 preimage φ−1(Vj)\varphi^{-1}(V_j)는 모두 quasi-compact이다. 이제

φ−1(V)=φ−1(⋃j∈JVj)=⋃j∈Jφ−1(Vj)\varphi^{-1}(V)=\varphi^{-1}\left(\bigcup_{j\in J} V_j\right)=\bigcup_{j\in J}\varphi^{-1}(V_j)

이고 quasi-compact set의 유한한 합집합은 다시 quasi-compact이므로 원하는 결과를 얻는다.

그럼 명제 3의 동치로부터, 임의의 quasi-compact morphism의 합성은 다시 quasi-compact임을 안다. 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 4 Noetherian scheme XX에 대하여, scheme morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y는 항상 quasi-compact이다.

증명

임의의 affine open subset V⊆YV\subseteq Y가 주어졌다 하고, φ−1(V)\varphi^{-1}(V)가 quasi-compact임을 보여야 한다. 그런데 [위상수학] §차원, ⁋명제 12와 [위상수학] §차원, ⁋명제 13의 첫째 결과로부터 noetherian인 위상공간의 임의의 부분공간은 quasi-compact이다.

비슷하게 우리는 quasi-separated morphism을 정의한다. 이를 위해서는 quasi-separated scheme을 먼저 정의해야 한다.

정의 5 Scheme XX가 quasi-separated준분리인 것은 XX의 임의의 두 quasi-compact open subset의 교집합이 다시 quasi-compact인 것이다. Scheme morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y가 quasi-separated인 것은 임의의 affine open set V⊆YV\subseteq Y에 대하여, φ−1(V)\varphi^{-1}(V)가 quasi-separated인 것이다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 6 Locally noetherian scheme은 항상 quasi-separated이다.

증명

Locally noetherian scheme XX의 임의의 두 affine open subset V1=Spec⁡B1,V2=Spec⁡B2V_1=\Spec B_1, V_2=\Spec B_2가 주어졌다 하고 V1∩V2V_1\cap V_2가 quasi-compact임을 보여야 한다.

우선 XX가 locally noetherian이므로, XX를 noetherian ring들의 스펙트럼 Spec⁡Ai\Spec A_i로 덮을 수 있다. 이제 각각의 ii에 대하여, §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11에 의하여 Ui∩V1U_i\cap V_1을 noetherian ring들의 스펙트럼 Spec⁡(Ai)g\Spec (A_i)_g들로 덮을 수 있다. 이들을 모두 모으면 V1V_1을 noetherian ring들의 스펙트럼들로 덮을 수 있으며, §스펙트럼, ⁋보조정리 12에 의해 V1=Spec⁡B1V_1=\Spec B_1은 유한히 많은 noetherian ring들의 스펙트럼으로 덮인다. 따라서 §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 13에 의해 B1B_1은 noetherian ring이고 따라서 V1=Spec⁡B1V_1=\Spec B_1은 noetherian이다. 다시 [위상수학] §차원, ⁋명제 12와 [위상수학] §차원, ⁋명제 13의 첫째 결과로부터 noetherian인 위상공간의 임의의 부분공간은 quasi-compact이므로, 특히 V1∩V2V_1\cap V_2 또한 quasi-compact이다.

그럼 quasi-compactness와 quasi-separatedness는 정의 1의 성질을 만족할 뿐만 아니라, 다음 명제에서 확인할 수 있듯이 affine-local on target이다. (§스킴의 위상구조, ⁋정의 9)

명제 7 Scheme morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y에 대하여 다음이 성립한다.

  1. 만일 YY의 affine open covering {Vj}\{V_j\}가 존재하여 각각의 φ−1(Vj)\varphi^{-1}(V_j)가 quasi-compact라면, φ\varphi는 quasi-compact이다.
  2. 만일 YY의 affine open covering {Vj}\{V_j\}가 존재하여 각각의 φ−1(Vj)\varphi^{-1}(V_j)가 quasi-separated라면, φ\varphi는 quasi-separated이다.
증명
  1. YY의 임의의 affine open subset VV가 주어졌다 하자. 그럼 §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11에 의하여 VV와 VjV_j 각각에서 principal open set이 되는 열린집합들로 V∩VjV\cap V_j를 덮을 수 있고, 이를 모든 jj에 대해 고려한 후 VV의 quasi-compactness를 사용하면 이러한 것들 중 유한히 많은 것만 택할 수 있다. 이를 V=⋃WlV=\bigcup W_l이라 하자.
    한편 각각의 jj에 대하여, φ−1(Vj)\varphi^{-1}(V_j)는 quasi-compact이므로, 이를 유한히 많은 affine open subset들 UjkU_{jk}들로 덮을 수 있고, 이제 φ−1(Wl)∩Ujk\varphi^{-1}(W_l)\cap U_{jk}는 §스펙트럼, ⁋명제 8에 의해 UjkU_{jk}의 principal open set이므로 φ−1(Wl)\varphi^{-1}(W_l) 각각을 affine open set들의 유한한 합집합으로 표현할 수 있고, 따라서 φ−1(V)\varphi^{-1}(V)도 affine open set들의 유한한 합집합으로 표현할 수 있다. 이제 quasi-compact space의 유한한 합집합은 quasi-compact이므로 원하는 결과를 얻는다.
  2. 이 또한 첫째 결과와 마찬가지 방식으로, §스킴의 위상구조, ⁋보조정리 11를 사용하여 임의의 affine open subset V=Spec⁡BV=\Spec B를 그 preimage가 quasi-separated인 principal open subset들로 덮은 후 증명을 하면 된다.

아핀사상Permalink

우리는 adjoint

Hom⁡Sch(X,Spec⁡B)≅Hom⁡cRing(B,Γ(X,OX))\Hom_\Sch(X, \Spec B)\cong\Hom_\cRing (B, \Gamma(X, \mathscr{O}_X))

에서, 특별히 X=Spec⁡AX=\Spec A인 경우

Hom⁡Sch(Spec⁡A,Spec⁡B)≅Hom⁡cRing(B,A)\Hom_\Sch(\Spec A,\Spec B)\cong\Hom_\cRing (B, A)

가 성립하는 것을 안다. (§아핀스킴, ⁋명제 11) 따라서, 위와 같이 affine-local on target인 스킴 사상의 성질을 살펴볼 때에는, YY의 임의의 affine open subset V≅Spec⁡BV\cong\Spec B에 대하여 U=φ−1(V)U=\varphi^{-1}(V)도 XX의 open subscheme U≅Spec⁡AU\cong \Spec A이고, 따라서 φ∣U:U→V\varphi\vert_U: U \rightarrow V가 affine scheme들 사이의 morphism이 되어 이 성질을 ring homomorphism

(φ∣U)♯(V):OV(V)→φ∗OU(V)=OU(U)(\varphi\vert_U)^\sharp(V): \mathscr{O}_V(V) \rightarrow \varphi^\ast \mathscr{O}_U(V)=\mathscr{O}_U(U)

으로부터 얻어낼 수 있으면 좋을 것이다. 그러나 물론 임의의 scheme morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y에 대하여, YY의 affine open subset의 preimage가 affine이 되지는 않는다. (§스킴, ⁋예시 8)

정의 8 Scheme morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y가 affine이라는 것은 YY의 임의의 affine open subset VV에 대하여 φ−1(V)\varphi^{-1}(V)가 XX의 affine open subset인 것이다.

그럼 affine morphism의 합성이 affine인 것은 자명하다. 뿐만 아니라 이 성질은 정의 1의 성질 또한 만족하는데, 이에 대한 증명은 다소 길어지는 감이 있어 생략한다.

명제 9 Scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y에 대하여, 만일 YY의 affine open covering {Vj}\{V_j\}가 존재하여 각각의 φ−1(Vj)\varphi^{-1}(V_j)가 affine라면, φ\varphi는 affine이다.

유한사상, 정수형사상과 유한형사상Permalink

정의 10 Scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y가 finite유한인 것은 φ\varphi가 affine이고, YY의 임의의 affine open subset VV에 대하여, ring homomorphism

(φ∣φ−1(V))♯(V):OV(V)→φ∗Oφ−1(V)(\varphi\vert_{\varphi^{-1}(V)})^\sharp(V): \mathscr{O}_V(V) \rightarrow \varphi^\ast \mathscr{O}_{\varphi^{-1}}(V)

이 finite ring homomorphism인 것이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3)

이해를 돕기 위해 affine open subset V⊆YV\subseteq Y를 Spec⁡B\Spec B라 쓰자. 그럼 φ\varphi가 affine이라는 가정으로부터 U=φ−1(V)U=\varphi^{-1}(V)는 XX의 affine open subset이고 따라서 U≅Spec⁡AU\cong\Spec A이도록 하는 AA가 존재한다. 이러한 identification을 통해, scheme morphism φ∣U:U→V\varphi\vert_U: U \rightarrow V는 스펙트럼 사이의 morphism Spec⁡A→Spec⁡B\Spec A \rightarrow \Spec B와 같은 것이고, 이제 φ\varphi가 finite이라는 것은 이 morphism에 해당하는 ring homomorphism B→AB \rightarrow A가 finite인 것이다. 비슷하게 다음을 정의한다.

정의 11 Scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y가 integral정수형인 것은 φ\varphi가 affine이고, YY의 임의의 affine open subset VV에 대하여, ring homomorphism

(φ∣φ−1(V))♯(V):OV(V)→φ∗Oφ−1(V)(V)(\varphi\vert_{\varphi^{-1}(V)})^\sharp(V): \mathscr{O}_V(V) \rightarrow \varphi^\ast \mathscr{O}_{\varphi^{-1}(V)}(V)

이 integral ring homomorphism인 것이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3)

이제 그 정의로부터 finite morphism과 integral morphism이 합성에 대해 닫혀있다는 것을 안다. 또, 이들이 정의 1의 조건을 만족하는 것은 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 14와 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋명제 15로부터 알 수 있으므로 이들은 모두 affine-local on target이다.

우리는 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋보조정리 4에 의해 임의의 finite morphism은 integral인 것을 안다. 이제 이 보조정리를 완전하게 대수기하의 언어로 서술하기 위해서는 finite type morphism을 정의해야 한다.

정의 12 Scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y가 locally of finite type국소적으로 유한형인 것은 YY의 임의의 affine open subset VV와 φ−1(V)\varphi^{-1}(V)의 임의의 affine open subset UU에 대하여,

(φ∣U)♯(V):OV(V)→φ∗Oφ−1(V)(V)(\varphi\vert_{U})^\sharp(V): \mathscr{O}_V(V) \rightarrow \varphi^\ast \mathscr{O}_{\varphi^{-1}(V)}(V)

이 finite type인 것이다. ([가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3)

역시 위와 마찬가지로, V≅Spec⁡BV\cong \Spec B라 하고 U≅Spec⁡A⊆φ−1(V)U\cong\Spec A\subseteq \varphi^{-1}(V)라 하자. 그럼 scheme morphism φ∣U:U→V\varphi\vert_U: U \rightarrow V를 Spec⁡A→Spec⁡B\Spec A \rightarrow \Spec B로 볼 수 있고, 이에 대응하는 ring homomorphism B→AB \rightarrow A가 finite type일 것을 요구하는 것이다. 그럼 finite type morphism은 다음과 같이 정의된다.

정의 13 Scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y가 morphism of finite type유한형사상이라는 것은 φ\varphi가 quasi-compact morphism locally of finite type인 것이다.

정의로부터 morphism of locally finite type은 affine-local on target임이 명확하다. 또, quasi-compact morphism은 명제 7로부터 affine-local on target이므로 finite type morphism 또한 affine-local on target이다.

그럼 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋보조정리 4에 의해 다음이 성립한다.

명제 14 Scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y가 finite인 것은 φ\varphi가 integral morphism (locally) of finite type인 것과 동치이다.

증명

한쪽 방향은 자명하다. 반대쪽 방향은 우선 φ\varphi가 integral이라는 가정으로부터 임의의 affine open subset V⊆YV\subseteq Y에 대하여 φ−1(V)\varphi^{-1}(V)가 XX의 affine open subset임을 알고, 이렇게 얻어진 ring map에 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋보조정리 4를 적용하면 된다.

위의 명제에서 φ\varphi는 integral morphism이므로 affine morphism이고, 따라서 quasi-compact morphism이므로 (§스펙트럼, ⁋보조정리 12) φ\varphi가 finite type이든, locally finite type이든 똑같은 가정이 된다.

예시 15 이번 절에서 살펴본 morphism들의 예시를 살펴보자. Affine scheme들의 세상에서 이는 그저 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋정의 3의 예시들을 보는 것에 지나지 않는다. 이번 예시의 목적은 이들에 기하학적인 직관을 부여하는 것이다.

우선 algebraically closed field k\mathbb{k}에 대하여, ring map ι:k[x]→k[x,y]\iota:\mathbb{k}[\x] \rightarrow \mathbb{k}[\x,\y]를 생각하면 k[x,y]\mathbb{k}[\x,\y]는 k[x]\mathbb{k}[\x]-algebra로서 하나의 원소 y\y에 의해 생성되므로 finite type ring homomorphism이지만, k[x]\mathbb{k}[\x]-module로서는 유한하게 생성되지 않으므로 finite ring homomorphism은 아니다.

이제 이에 대응되는 scheme morphism Spec⁡ι:Spec⁡k[x,y]→Spec⁡k[x]\Spec\iota: \Spec \mathbb{k}[\x,\y] \rightarrow\Spec \mathbb{k}[\x]를 생각하자. 이는 임의의 prime ideal p⊂k[x,y]\mathfrak{p}\subset \mathbb{k}[\x,\y]를 받아 k[x]\mathbb{k}[\x]의 prime ideal p∩k[x]\mathfrak{p}\cap \mathbb{k}[\x]를 내놓는 함수이다. 이는 기하적으로는 affine plane Ak2\mathbb{A}^2_\mathbb{k}의 점 (x,y)(x,y)를 affine line Ak1\mathbb{A}^1_\mathbb{k}의 점 xx에 대응시키는 함수이다.

finite_type_morphism

이와 관련된 finite morphism의 예시로는 위의 ring homomorphism ι:k[x]→k[x,y]\iota:\mathbb{k}[\x]\rightarrow \mathbb{k}[\x,\y]에 projection map π:k[x,y]→k[x,y]/(x−y2)\pi:\mathbb{k}[\x,\y] \rightarrow \mathbb{k}[\x,\y]/(\x-\y^2)을 합성한 것이 있다. 그럼 k[x,y]/(x−y2)\mathbb{k}[\x,\y]/(\x-\y^2)은 k[x]\mathbb{k}[\x]-module로서 11과 y\y에 의해 생성되므로 ϕ:k[x]→k[x,y]/(x−y2)\phi:\mathbb{k}[\x] \rightarrow \mathbb{k}[\x,\y]/(\x-\y^2)은 finite morphism이다.

한편 우리는 ring homomorphism π:A→A/a\pi:A \rightarrow A/\mathfrak{a}는 기하적으로 a\mathfrak{a}가 정의하는 닫힌집합의 inclusion에 해당하는 것을 안다. 따라서 합성

ϕ:k[x]→k[x,y]→k[x,y]/(x−y2)\phi: \mathbb{k}[\x] \rightarrow \mathbb{k}[\x,\y] \rightarrow \mathbb{k}[\x,y]/(\x-\y^2)

이 정의하는 scheme morphism

Spec⁡ϕ:Spec⁡k[x,y](x−y2)→Spec⁡k[x,y]→Spec⁡k[x]\Spec\phi: \Spec \frac{\mathbb{k}[\x,\y]}{(\x-\y^2)}\rightarrow \Spec \mathbb{k}[\x,\y] \rightarrow \Spec\mathbb{k}[\x]

은 기하적으로 x=y2\x=\y^2의 zero set Z(x−y2)Z(\x-\y^2)에서 xx축으로의 projection으로 볼 수 있다.

finite_morphism

이 두 예시의 기하학적인 차이는 꽤나 명확하다. 첫 번째 예시의 경우, target의 한 점에서의 fiber가 무한집합인 반면 두 번째 예시의 경우 한 점에서의 fiber가 유한집합이다. 대수적으로 이는 target Ak1\mathbb{A}_\mathbb{k}^1의 임의의 점 p=(x−a)\mathfrak{p}=(\x-a)를 가져왔을 때, 임의의 qb=(x−a,y−b)∈Ak2\mathfrak{q}_b=(\x-a, \y-b)\in \mathbb{A}_\mathbb{k}^2는 (Spec⁡ι)(qb)=p(\Spec\iota)(\mathfrak{q}_b)=\mathfrak{p}를 만족하는 반면, 두 번째 예시에서는 오직 두 개의 점 q+=(x−a,y−a)\mathfrak{q}_+=(\x-a, \y-\sqrt{a})와 q−=(x−a,y+a)\mathfrak{q}_-=(\x-a, \y+\sqrt{a})만이 (Spec⁡ϕ)(q±)=p(\Spec\phi)(\mathfrak{q}_\pm)=\mathfrak{p}를 만족하는 것으로 확인할 수 있다.

이와 같이, finite type morphism은 기하적으로는 fiber가 유한차원인 것과 관련이 있고, finite morphism은 fiber가 유한집합인 것과 관련이 있다.

아직은 위의 예시 15과 같은 상황에서 scheme morphism의 fiber를 계산하기 위해서는 그때그떄 상황에 맞추어 우직하게 계산을 해 나가는 수밖에 없지만, 나중에 fiber product를 계산하고 나면 조금 더 정형화된 방식을 사용할 수 있게 된다. 그 떄를 위해 다음을 정의한다.

정의 16 Scheme morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y가 quasi-finite준유한인 것은 φ\varphi가 morphism of finite type이고 임의의 y∈Yy\in Y에 대하여 집합 φ−1(y)\varphi^{-1}(y)가 항상 유한집합인 것이다.

그럼 예시 15에서의 finite morphism에 대한 기하학적 직관은 항상 참이다. 즉, 임의의 finite morphism은 항상 quasi-finite이다. 이는 지금 당장 증명하는 것도 가능하지만, fiber product를 정의하고 난 후로 미룬다.

마지막으로 다음을 정의한다.

정의 17 Scheme morphism φ:X→Y\varphi: X \rightarrow Y가 locally of finite presentation국소유한표시사상이라는 것은 YY의 임의의 affine open subset V≅Spec⁡BV\cong \Spec B가 주어질 때마다, φ−1(V)\varphi^{-1}(V)의 covering φ−1(V)=⋃Spec⁡Ai\varphi^{-1}(V)=\bigcup \Spec A_i가 존재하여 B→AiB \rightarrow A_i가 모두 finitely presented인 것이다. 만일 scheme morphism φ:X→Y\varphi:X \rightarrow Y가 quasi-compact, quasi-separated, locally of finite presentation이라면 φ\varphi가 morphism of finite presentation유한표시사상이라 부른다.

대부분의 경우 우리는 모든 scheme들이 locally noetherian인 경우를 생각하고, 이 경우 [가환대수학] §기본 개념들, ⁋명제 9에 의하여 이 개념은 새로운 것이 아니다.

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