완전교차

차원부터

닫힌 부분스킴의 중요한 예시 중 하나는 §닫힌 부분스킴, ⁋정의 7에서 정의한 vanishing scheme이며, 이에 대한 motivation은 당연히 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)과 그 위에서 정의되는 함수 \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)에 대하여 \(f^{-1}(0)\)으로 정의되는 \(\mathbb{R}^n\)의 초곡면 \(f=0\)이다.

한편 우리는 더 일반적으로 global section들의 (유한한) family \(s_1,\ldots, s_k\in \Gamma(X, \mathscr{O}_X)\)가 주어졌을 때 이들이 정의하는 vanishing scheme \(Z(s_1,\ldots, s_k)\)에도 관심이 있다. 직관적으로 이는 우선 \(X\)에서 global section \(s_1\)을 사용하여 만든 vanishing scheme \(\iota_1:Z(s_1)\hookrightarrow X\)을 생각한 후, \(Z(s_1)\)의 global section

\[s_2\vert_{Z(s_1)}=\iota^\sharp(X)(s_2)\in(\iota_1)_\ast \mathscr{O}_{Z(s_1)}(X)=\Gamma(Z(s_1), \mathscr{O}_{Z(s_1)})\]

을 통해 \(Z(s_1)\)에서 \(s_2\vert_{Z(s_1)}\)의 vanishing scheme을 찾아나가는 것을 반복하여 얻어질 것이며, 물론 이를 위해서는 이 과정이 \(s_1, \ldots, s_k\)의 순서에 무관하게 같은 scheme을 주어야 할 것이다.

Locally principal embedding

정의 1 Closed embedding \(\iota: Z \hookrightarrow X\)가 locally principal이라는 것은 \(X\)의 적당한 open cover \(\{U_i\}\)가 존재하여, \(\iota\)의 공역을 각각의 \(U_i\)로 제한하여 얻어지는 closed embedding들

\[\iota\vert^{U_i}: \iota^{-1}(U_i) \rightarrow U_i\]

마다 적당한 \(s_i\in \Gamma(U_i, \mathscr{O}_X)\)가 존재하여 두 closed embedding \(\iota\vert^{U_i}\)와 \(Z(s_i)\hookrightarrow U_i\)가 isomorphic한 것이다.

그럼 만일 \(\iota: Z\hookrightarrow X\)가 locally principal이라면, 정의의 \(U_i\)들 각각을 affine open set들로 덮고 \(s_i\)들을 이들로 제한시키면 \(\{U_i\}\)들이 affine open covering이라 가정하여도 된다.

정의 2 Closed embedding \(\iota: Z \hookrightarrow X\)가 effective Cartier divisor라는 것은 \(X\)의 affine open cover \(\{U_i=\Spec A_i\}\)가 존재하여, 각각의 closed embedding들

\[\iota\vert^{U_i}:\iota^{-1}(U_i) \rightarrow U_i\]

마다 적당한 non-zerodivisor \(s_i\in A_i=\Gamma(U_i, \mathscr{O}_X)\)가 존재하여 두 closed embedding \(\iota^{U_i}\)와 \(Z(s_i)\hookrightarrow U_i\)가 isomorphic한 것이다.

정의에 의해 locally principal embedding은 대략적으로 ideal sheaf가 (국소적으로는) 하나의 원소로 생성되는 것, 즉 principal ideal인 것이고 effecetive Cartier divisor는 적절한 affine cover를 잡으면 이 하나의 원소가 non-zerodivisor이도록 할 수 있는 것이다. 따라서 임의의 effective Cartier divisor는 locally principal이지만 그 역은 성립하지 않는다.