정의에 의해 \(\Sch\)는 \(\LRS\)의 full subcategory이다. (§스킴, ⁋정의 1) 즉 두 scheme \(X,Y\)가 주어졌을 떄, \(X\)에서 \(Y\)로의 scheme morphism은 연속함수 \(\varphi: X \rightarrow Y\)와 structure sheaf 사이의 morphism \(\varphi^\sharp: \mathscr{O}_Y \rightarrow \varphi_\ast \mathscr{O}_X\)으로 주어지며, 이 때 \(\varphi^\sharp\)는 각각의 stalk으로 제한하였을 때 local homomorphism이 되어야 한다. (§아핀스킴, ⁋정의 2)
위와 같이 scheme morphism \(f:X \rightarrow Y\)은 기본적으로 이미 우리가 정의했던 대상이다. 다음 글에서 우리는 scheme morphism의 성질들에 대해 살펴볼 것인데, 그 전에 우리는 scheme morphism을 이해하는 네 가지 방법을 제시한다.
환 준동형사상의 gluing
가장 첫 번째 관점은 꽤나 자연스러운 것이다. Scheme은 본질적으로 affine scheme들을 붙여서 만드는 것이고, categorical equivalence \(\AffSch\cong\cRing^\op\)에 의하여 affine scheme 사이의 morphism은 본질적으로 ring homomorphism이다. 따라서 scheme morphism 또한 affine scheme들 사이의 morphism을 붙여서 만드는 것으로 이해할 수 있어야 할 것이다. 즉 다음 명제를 기대하는 것이 합당하다.
명제 1 Scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(X\)의 affine open subset \(U\cong\Spec A\)와 \(Y\)의 affine open subset \(V\cong\Spec B\)가 \(\varphi(U)\subseteq V\)를 만족한다면, \(\varphi\vert_U: U \rightarrow V\)는 affine scheme들 사이의 morphism이다.
거꾸로 \(X,Y\)의 두 affine open covering \(\{U_i\}\)와 \(\{V_j\}\)가 주어졌다 하고, affine scheme들 사이의 morphism \(\varphi_{ij}: U_i \rightarrow V_j\)가 주어졌다 하자. 만일 이들이 각각의 교집합 위에서 gluing condition을 만족하여 잘 정의된다면 \(\varphi_{ij}\)들은 scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)를 만든다.
한쪽 방향은 §아핀스킴, ⁋명제 11에 의해 \(\AffSch\)이 \(\LRS\)의 full subcategory라는 주장의 새로운 버전일 뿐이며, 그 역을 위한 gluing 또한 자명한 방식으로 얻어진다.
예시 2 Affine scheme들 사이의 morphism이 아닌 scheme morphism의 예시로, §사영스킴, §§사영공간에서 motivation을 위해 처음 등장했던 map
\[\varphi:\mathbb{A}_\mathbb{K}^{n+1}\setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{P}^n_\mathbb{K}\]이 있다. 이 식은 전통적으로 projective space를 만들 때 사용하는 식이었으나, §사영스킴, ⁋예시 12에서 전통적인 projective space를 대수기하의 언어로 옮길 때는 등장하지 않았었다. 이 morphism은 물론 식 \((x_0,\ldots, x_n)\mapsto [x_0:\cdots:x_n]\)을 만족하지만, \(\mathbb{A}^{n+1}_\mathbb{K}\)의 점들이 이러한 꼴만 있는 것은 아니고, 또 이 식은 structure sheaf에 대한 정보를 하나도 담고 있지 않으므로 scheme morphism이라 칭하기는 부적절할 것이다.
이제 scheme morphism으로서 \(\varphi\)를 정의하기 위해 \(\mathbb{P}^n_{\mathbb{K}}\)의 affine open subscheme
\[D_+(\x_i)\cong \Spec \mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]_{(\x_i)}\cong \Spec \mathbb{K}[\x_{0/i},\ldots, \x_{n/i}]/(\x_{i/i}-1)\]을 생각하자. (§사영스킴, ⁋예시 12) 또, affine space
\[\mathbb{A}^{n+1}_\mathbb{K}=\Spec \mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]\]을 생각하자. 그럼
\[\mathbb{A}^{n+1}_\mathbb{K}\setminus \{0\}=\bigcup_{i=0}^n D(\x_i)\]이고, \(D(\x_i)\cong \Spec \mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]_{\x_i}\)이다. 이제 각각의 \(i\)에 대하여, \(\varphi_i: D(\x_i) \rightarrow D_+(\x_i)\)는 affine scheme들 사이의 morphism이므로 ring homomorphism과 동일하다. 그럼 다음 식
\[\phi_i:\mathbb{K}[\x_{0/i},\ldots, \x_{n/i}]\rightarrow\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]_{\x_i};\qquad \x_{k/i}\mapsto \frac{\x_k}{\x_i}\]에 first isomorphism theorem을 적용하여 정의된 affine scheme 사이의 morphism \(\varphi_i\)가 원하는 morphism이 된다. 이들이 명제 1의 조건을 만족하는 것도 약간의 계산을 통해 확인할 수 있다. 이제 §사영스킴, §§사영공간에서의 표기를 다시 빌려오면, 이들은 각각의 \(D(\x_i)\) 위에서 다음 식
\[(x_0,\ldots, x_n) \rightarrow \left[\frac{x_0}{x_i}:\cdots:\frac{x_{i-1}}{x_i}:1:\frac{x_{i+1}}{x_i}:\cdots:\frac{x_n}{x_i} \right]\]으로 주어지므로, 이를
\[(x_0,\ldots, x_n)\rightarrow [x_0:\cdots:x_n]\]으로 표기하면 적절할 것이다.
우리는 이 관점을 거의 정의로 받아들일 것이며, 남은 부분에서 소개할 세 가지 관점은 이를 해석하는 방법에 가깝다.
스킴 위의 스킴
우선 우리는 다음을 정의한다.
정의 3 임의의 scheme \(S\)에 대하여, slice category \(\Sch_{/S}\) over \(S\)를 \(S\)-scheme들의 category라 부른다. ([범주론] §범주, ⁋예시 13)
즉 \(S\)-scheme은 \(S\)로의 scheme morphism \(X \rightarrow S\)를 부르는 다른 이름이며, 이를 structure morphism이라 부르기도 한다.
이는 다음 예시를 살펴보면 조금 더 직관적이다.
예시 4 Affine \(n\)-space \(\mathbb{A}^n_\mathbb{K}=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)을 생각하자. 그럼 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)은 \(\mathbb{K}\)-algebra이며, 이는 structure morphism
\[\mathbb{K}\hookrightarrow \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\]을 통해 \(\mathbb{K}\)-algebra가 주어진 것이다. ([대수적 구조] §대수, ⁋정의 1 이후의 논증)
그럼 이 structure morphism을 통해 우리는 \(\mathbb{A}^n_\mathbb{K}\)를 \(\Spec\mathbb{K}\)-scheme
\[\mathbb{A}^n_\mathbb{K}=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n] \rightarrow \Spec \mathbb{K}\]으로 볼 수 있다.
위와 같이 \(S\)가 affine scheme \(S=\Spec A\)인 경우, \(S\)-scheme \(X\)를 약간의 abuse of language를 통해 \(A\)-scheme이라 부르는 것이 일반적이다. 그럼 §아핀스킴, ⁋정리 13에 의하여, 임의의 ring \(A\)를 고정하고, scheme \(X\)에 \(A\)-scheme의 구조를 주는 것은 정확하게
\[\Hom_\Sch(X, \Spec A)=\Hom_\LRS(X, \Spec A)\cong \Hom_\cRing(A, \Gamma(X, \mathscr{O}_X))\]와 같다. 즉, scheme \(X\)에 \(A\)-scheme 구조를 주는 것은 대수적으로는 \(\Gamma(X, \mathscr{O}_X)\)에 \(A\)-algebra 구조를 주는 것과 동등하다. 특히 \(A=\mathbb{Z}\)인 경우, \(\mathbb{Z}\)는 \(\cRing\)의 initial object이므로 모든 scheme은 유일한 방식으로 \(\mathbb{Z}\)-scheme으로 생각할 수 있다.
이제 예시 2를 더욱 일반화하는 다음의 예시를 보자.
예시 5 Ring \(A\)와 \(A\)-scheme \(X\)를 생각하고, \(X\) 위에 정의된 함수들 \(f_0,\ldots, f_n\in \Gamma(X, \mathscr{O}_X)\)이 주어졌다 하고, \(X\)의 affine open covering \(X=\bigcup U_j\)를 생각하자. 그럼
\[U_{ij}:=D(f_i)\cap U_j=D(f_i\vert_{U_j})\subseteq U_j\]이 \(X\)의 affine open covering이 된다. 한편 \(A\) 위에 정의된 projective space
\[\mathbb{P}^n_A=\Proj A[\x_0,\ldots, \x_n]\]을 생각하고, 이 공간의 open covering \(D_+(\x_i)\)를 생각하자. 이제 \(i,j\) 쌍이 주어질 때마다, 함수 \(\varphi_{ij}: U_{ij} \rightarrow D_+(\x_i)\)를 ring homomorphism
\[A[\x_{0/i},\ldots, \x_{n/i}]\rightarrow \Gamma(U_{ij});\qquad \x_{k/i}\mapsto \frac{f_k\vert_{U_{ij}}}{f_i\vert_{U_{ij}}}\]을 통해 정의하자. 그럼 정의에 의해 이 morphism이 명제 1의 gluing condition을 만족하는 것이 자명하고, 따라서 이들이 scheme morphism
\[X \rightarrow \mathbb{P}^n_A\]을 정의한다. 명시적으로 이 scheme morphism은, 예시 2와 마찬가지 방식으로,
\[x\mapsto [f_0(x):\cdots: f_n(x)]\]으로 주어진다.
점
또, 다음을 정의한다.
정의 6 Scheme morphism \(f: X \rightarrow Y\)를 \(Y\)의 \(X\)-point라 부른다.
마찬가지로 \(X\)가 affine scheme인 경우를 살펴보는 것이 직관적으로 도움이 된다.
예시 7 Algebraically closed field \(\mathbb{K}\)와 그 위에 정의된 affine \(n\)-space \(Y=\mathbb{A}^n_\mathbb{K}=\Spec \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)과 \(X=\Spec \mathbb{K}\)를 생각하자. 그럼 scheme morphism \(X \rightarrow Y\)는 affine scheme 사이의 morphism
\[\Spec \mathbb{K} \rightarrow \Spec \mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\]이므로, ring homomorphism
\[\phi:\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n] \rightarrow \mathbb{K}\]에 대응된다. 그럼 이 ring homomorphism은 반드시 surjective이다. Ring homomorphism의 정의로부터 \(\phi(1)=1\)이고 따라서 임의의 \(x\in \mathbb{K}\)에 대하여 \(\phi(x)=x\)이기 때문이다. 따라서 first isomorphism theorem에 의하여
\[\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]/\ker\phi\cong \mathbb{K}\]이다. 그럼 [대수적 구조] §몫환, 환 동형사상, ⁋정리 3의 넷째 결과에 의하여 \(\ker\phi\)는 \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 maximal ideal이어야 하고, 따라서 [가환대수학] §영점정리, ⁋보조정리 5로부터
\[\ker\phi=(\x_1-x_1,\ldots, \x_n-x_n)\]의 꼴이며 \(\phi\)는 점 \(x=(x_1,\ldots, x_n)\)에서의 evaluation homomorphism \(\ev_x\)가 된다. 뿐만 아니라 해당 보조정리의 증명을 생각하면 \(x_i=\phi(\x_i)\)인 것 또한 알 수 있다. 즉, 역함수 관계에 있는 다음의 두 일대일대응
\[\begin{aligned}\{\text{$\mathbb{K}$-point $\Spec \phi:\Spec\mathbb{K}\rightarrow \mathbb{A}^n_\mathbb{K}$}\}&\rightarrow \{\text{points $(x_1,\ldots, x_n)\in \mathbb{A}^n_\mathbb{K}$}\}\\\Spec\phi&\mapsto (\phi(\x_1),\ldots,\phi(\x_n))\end{aligned}\]그리고
\[\begin{aligned}\{\text{points $(x_1,\ldots, x_n)\in \mathbb{A}^n_\mathbb{K}$}\}&\rightarrow \{\text{$\mathbb{K}$-point $\Spec \phi:\Spec\mathbb{K}\rightarrow \mathbb{A}^n_\mathbb{K}$}\}\\a=(a_1,\ldots, a_n)&\mapsto \Spec \ev_a\end{aligned}\]이 존재한다.
위에서와 마찬가지로, \(X\)가 \(\Spec A\) 꼴이라면 이를 간단히 \(A\)-point라 부른다. 이 개념의 유용성은 다음 예시에서도 확인할 수 있다.
예시 8 \(\mathbb{C}\)-scheme \(X=\Spec\frac{\mathbb{C}[\x_1,\ldots, \x_n]}{(f_1,\ldots, f_r)}\)이 주어졌다 하고, 이 scheme의 \(\mathbb{Q}\)-point를 생각하자. 그럼 [가환대수학] §영점정리, ⁋보조정리 5와 예시 6의 계산으로부터 우리는 \(X\)의 \(\mathbb{Q}\)-point \(\Spec\phi: \Spec \mathbb{Q}\rightarrow X\)와,
\[f_1(x_1,\ldots, x_n)=\cdots=f_r(x_1,\ldots, x_n)=0\]의 유리수해 사이의 일대일대응이 존재함을 안다. 비슷하게 위의 방정식의 정수해는 정확히 \(X\)의 \(\mathbb{Z}\)-point에 대응된다.
이러한 관점을 바탕으로 다음을 정의한다.
정의 9 Functor \(\Hom_\Sch(-,X): \Sch^\op \rightarrow \Set\)을 functor of points of \(X\)라 부른다.
그럼 \(\Hom_\Sch(-,X)\)는 scheme \(S\)를 받아서, \(X\)의 \(S\)-valued point들의 집합을 내놓는 functor이다.
스킴의 족
마지막 관점은 아직 엄밀하게 정의하기에는 우리가 가진 언어가 부족하므로, 기하학적인 직관만 설명하기로 한다. 우리는 scheme morphism \(f:X \rightarrow S\)를 family parametrized by \(S\) 혹은 간단히 \(S\)-family라 부른다. 따라서 정의에 의하여 \(\Sch_{/S}\)는 \(S\)로 parametrize된 family들의 category로 생각할 수 있다.
기하학적인 직관을 위해서는 기본적으로 다음과 같은 (scheme이 아닌) 상황을 생각하면 된다.
예시 10 좌표공간 \(\mathbb{R}^3\)에서 정의된 구 \(S:x^2+y^2+z^2=1\)과, \(x\)축으로의 projection \(\pi: S \rightarrow \mathbb{R}_x\)를 생각하자. 그럼 임의의 \(x_0\in \mathbb{R}_x\)에 대하여,
\[\pi^{-1}(x_0)=\{(x_0,y,z)\in \mathbb{R}: y^2+z^2=1-x_0^2\}\]이다. 이를 기하학적으로 표현하면, 각각의 \(x_0\in \mathbb{R}_x\)마다 원 \(y^2+z^2=1-x_0^2\)가 대응된 상황으로 볼 수 있으며, 따라서 \(\pi\)를
이 예시를 스킴으로 바로 나타낼 수 없는 이유 중 덜 본질적인 것은 \(S\)가 \(\mathbb{R}^3\)의 닫힌집합이고, 우리는 닫힌집합 위에 scheme structure를 주는 방법은 모른다는 것이다. 이는 §닫힌 부분스킴에서 해결하게 된다. 더 미묘하고 본질적인 부분은 함수 \(\pi\)의 점 \(x_0\)에서의 fiber \(\pi^{-1}(x_0)\)을 나타낼 방법이 없는 것이다. 물론 scheme morphism은 기본적으로 연속함수이므로 이를 연속함수의 fiber로 볼 수 있겠지만, 그렇게 하였을 경우 \(\pi^{-1}(x_0)\)에 scheme structure를 주는 방법이 (§닫힌 부분스킴의 내용을 가정하더라도) 존재하지 않는다. 이를 설명하기 위해서 우리는 조금 더 기다려야 한다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
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