Mirror Symmetry 개요
역사적 배경과 Hori-Vafa mirror
최근 글
파노 다양체
Reflexive polytope과 그에 대응하는 Gorenstein Fano 토릭 다양체
토러스 인자와 선다발
Fan의 ray로부터 얻어지는 torus-invariant divisor와 line bundle
토릭 다양체의 정의
Fan으로부터 아핀 토릭 다양체들을 이어붙여 얻는 일반적 토릭 다양체
저우 군
Chow groups and the cycle class map
교차곱
The intersection product on Chow groups
고다이라 소멸정리
Kodaira vanishing theorem과 그 응용
곡면에서의 리만-로흐 정리
Intersection theory on surfaces and its applications
곡선에서의 리만-로흐 정리
The Riemann–Roch theorem for curves
세르 쌍대성
Serre duality theorem and its applications
유도카테고리
Chain complex와 quasi-isomorphism을 통한 derived category 구성
스펙트럼 열
Filtered complex의 cohomology를 page 단위로 근사하는 spectral sequence
사영공간의 코호몰로지
Bott’s formula and the cohomology of line bundles on projective space
층 코호몰로지
Sheaf cohomology and its applications
표준선다발
Canonical bundle and canonical divisor
선형계
Complete linear systems, base loci, and ampleness
인자
Weil divisors, Cartier divisors, and divisor class groups
선다발과 벡터다발
Line bundles, invertible sheaves, and the Picard group
그라스만 다양체
Grassmannians as parameter spaces of linear subspaces
차원
Dimension of algebraic varieties
접공간과 매끄러움
Tangent spaces and smoothness of algebraic varieties
준사영다양체
Quasi-projective varieties and regular maps
유리사상
Rational maps and birational equivalence
베주 정리
Bézout’s theorem and its applications
아핀다양체
Affine varieties and their basic properties
사영다양체
Projective varieties and homogeneous coordinates
대수적 군
Algebraic group action
아핀 토릭 다양체
Strongly convex rational polyhedral cone으로부터 아핀 토릭 다양체의 구성
Borel subgroup과 flag variety
Dynkin diagram, ADE 분류, 그리고 flag variety
원환면의 작용
Torus의 작용과 weight space decomposition
표현의 지표
Character function의 정의와 orthogonality relation
유한군의 표현론
유한군의 representation 정의와 기약분해
조르당 표준형
일반화된 고유공간 분해를 통한 Jordan 표준형의 구성
근계
Adjoint representation의 weight decomposition으로 얻는 root system
특성류
Fiber bundle의 특성류 정의와 분류공간을 통한 해석
푸앵카레 쌍대성
방향층과 fundamental class를 통한 호몰로지와 코호몰로지의 쌍대성
Acyclic models theorem
Category with models 위에서의 acyclic models 정리와 응용
합곱
코호몰로지의 외적과 cup product의 정의, 그리고 ring 구조
코호몰로지
코호몰로지의 정의와 universal coefficient theorem
호몰로지의 계산
Relative homology와 Mayer-Vietoris를 통한 호몰로지의 실제 계산
피복공간
Simply connected의 동치조건과 covering space, Seifert-van Kampen 정리
호모토피
위상적 불변량과 fundamental group을 통한 공간의 분류
위상다양체
Locally Euclidean 공간으로서의 topological manifold 정의와 성질
갈루아 이론의 기본정리
Subgroup과 intermediate field 사이의 Galois correspondence
갈루아 군의 성질들
Krull 위상을 갖는 무한 Galois group의 구조