K

Grad. student in mathematics

§리 미분, ⁋명제 4에서 우리는 주어진 벡터장 XX 방향으로의 벡터장 YY의 미분

LXY=lim⁡t→0(dϕ−t)ϕt(p)(Yϕt(p))−Ypt\mathcal{L}_XY=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{(d\phi^{-t})_{\phi^t(p)}(Y_{\phi^t(p)})-Y_p}{t}

를 정의했으며, 그 값이 Lie bracket [X,Y][X,Y]와 같다는 것을 살펴봤다. 한편, 벡터장 X,YX,Y에 대하여, 다음의 식

(XY)f=X(Yf)(XY)f=X(Yf)

으로 정의된 연산자 XYXY는 라이프니츠 법칙을 만족하지 않고 따라서 XY∉X(M)XY\not\in\mathfrak{X}(M)이므로, 이와 같은 곱셈에 대하여 X(M)\mathfrak{X}(M)은 C∞(M)C^\infty(M)-algebra가 되지 않았다. 반면 [X,Y]∈X(M)[X,Y]\in\mathfrak{X}(M)이므로, [−,−][-,-]을 X(M)\mathfrak{X}(M)의 곱셈으로 삼으면 이를 C∞(M)C^\infty(M)-algebra로 생각할 수 있다. 이러한 구조를 Lie algebra리 대수라 부른다.

이번 글에서 우리의 목표는 리 대수와 리 군에 대한 정의를 내리고, 이들의 성질을 간단하게 살펴보는 것이다.

리 군Permalink

정의 1 Group GG가 Lie group리 군이라는 것은 GG가 그 자체로 manifold 구조를 가지고 있으며, 이 manifold 구조에 대하여 다음의 함수

G×G→G;(x,y)↦xy−1G\times G\rightarrow G;\qquad (x,y)\mapsto xy^{-1}

가 C∞C^\infty인 것이다.

예시 2 Lie group은 우리가 이미 알고 있는 많은 예시들을 포함하는 개념이다.

  1. Rn\mathbb{R}^n에 덧셈구조를 주면 Rn\mathbb{R}^n은 Lie group이 된다. 이는 (x,y)↦x−y(\mathbf{x},\mathbf{y})\mapsto \mathbf{x}-\mathbf{y}으로 정의된 연산 Rn×Rn→Rn\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n이 C∞C^\infty이기 때문이다.
  2. 두 Lie group G,HG,H에 대하여, G×HG\times H 또한 Lie group이 된다.
  3. GL⁡(n,R)\GL(n,\mathbb{R})의 곱셈, 그리고 역원은 (분모가 00이 되지 않는) 유리함수에 불과하므로 C∞C^\infty이고, 따라서 GL⁡(n,R)\GL(n,\mathbb{R}) 또한 Lie group이다.
  4. 정의에 의하여 SL⁡(n,R)\SL(n,\mathbb{R})은 GL⁡(n,R)\GL(n,\mathbb{R})의 원소들 가운데 행렬식이 11인 것만을 모아둔 집합이다. 그런데 행렬식은 GL⁡(n,R)\GL(n,\mathbb{R})에서 R×\mathbb{R}^\times로의 함수이고, 이 함수는 다항식으로 정의되었으므로 C∞C^\infty 함수이고, 또 모든 점에서 regular임을 확인할 수 있다. 따라서 §음함수 정리, ⁋따름정리 4로부터 SL⁡(n,R)\SL(n,\mathbb{R})은 n2−1n^2-1차원 manifold가 된다는 것을 알 수 있다. 또, 이 때 inclusion map SL⁡(n,R)↪GL⁡(n,R)\SL(n,\mathbb{R})\hookrightarrow\GL(n,\mathbb{R})이 embedding이므로 SL⁡(n,R)\SL(n,\mathbb{R})에 정의된 곱셈과 역원이 모두 C∞C^\infty임을 보일 수 있다.

위와 같이, 특별한 경우를 제외하고는 대수학에서의 표기를 따라 GG의 항등원은 ee로, GG에서의 연산은 xyxy와 같이 표기한다. 다만 행렬들의 모임의 경우, 우리는 항등원을 II로 적는 것이 더 익숙하므로 이 관례는 그대로 유지하기로 한다.

리 대수Permalink

리 군이 정의되면, 이 위에 정의된 자연스러운 리 대수의 구조가 존재한다. 이를 위해서는 우선 리 대수가 무엇인지를 정의해야 한다.

정의 3 R\mathbb{R}-벡터공간 g\mathfrak{g}가 R\mathbb{R} 위에 정의된 Lie algebra리 대수라는 것은 이 위에 다음의 두 조건

  1. (anticommutativity) [x,y]=−[y,x][x,y]=-[y,x],
  2. (Jacobi identity) [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0

을 만족하는 Lie bracket리 브라켓 [−,−]:g×g→g[-,-]:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}가 정의된 것이다.

이 정의는 사실 이전에 이미 살펴본 적이 있다.

예시 4 임의의 manifold MM이 주어졌을 때, 그 위에 정의된 벡터장들의 모임 X(M)\mathfrak{X}(M)은 §리 미분, ⁋정의 5에서 정의된 연산 [−,−]:X(M)×X(M)→X(M)[-,-]:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\rightarrow\mathfrak{X}(M)를 bracket으로 하는 Lie algebra를 이룬다.

리 군과 리 대수Permalink

정의 5 Lie group GG와, GG의 임의의 원소 g∈Gg\in G에 대하여, gg에 의한 left translation LgL_g는

Lg:G→G;x↦gxL_g:G\rightarrow G;\qquad x\mapsto gx

으로 정의된 C∞C^\infty 함수이다. 비슷하게, right translation RgR_g는

Rg:G→G;x↦xgR_g:G\rightarrow G;\qquad x\mapsto xg

으로 정의된다.

Lie group GG 위에 정의된 벡터장 XX에 대하여, XX가 left invariant라는 것은 XX가 자기 자신과 LgL_g-related인 것이다. 즉, 다음의 식

d(Lg)∘X=X∘Lgd(L_g)\circ X=X\circ L_g

이 성립하는 것이며, 더 명시적으로는 임의의 p∈Gp\in G에 대하여

(d(Lg))(Xp)=Xgp\left(d(L_g)\right)(X_p)=X_{gp}

이 항상 성립하는 것이다.

위의 식으로부터, GG 위에 정의된 left invariant인 벡터장 XX를 명시하기 위해서는 오직 하나의 점 p∈Gp\in G에서의 값 XpX_p만 알면 충분하다는 것을 알 수 있으며, 당연하게도 가장 평범한 pp의 선택은 GG의 항등원 ee이다. 또, 각 점에서의 XX의 값이 이러한 방식으로 정의되었기 때문에, XX가 left-invariant라는 사실이 XX의 smoothness를 줄 것이라는 것도 추측할 수 있다.

명제 6 Lie group GG가 주어졌다 하고, g\mathfrak{g}를 GG 위에서 정의된 모든 left invariant vector field들의 모임이라 하자.

  1. g\mathfrak{g}는 R\mathbb{R}-벡터공간이며, α:g→TeG\alpha:\mathfrak{g} \rightarrow T_eG 를 다음의 식

    α(X)=Xe\alpha(X)=X_e

    으로 정의하면 α\alpha는 isomorphism이 된다.

  2. 임의의 X∈gX\in\mathfrak{g}는 C∞C^\infty이다.
  3. 임의의 X,Y∈gX,Y\in\mathfrak{g}에 대하여, XX와 YY의 Lie bracket (예시 4) [X,Y][X,Y] 또한 left-invariant이고, 따라서 g\mathfrak{g}는 R\mathbb{R} 위에서 정의된 Lie algebra가 된다.
증명

  1. 벡터장들의 덧셈과 스칼라곱에 대하여 g\mathfrak{g}가 R\mathbb{R}-벡터공간이 된다는 것은 자명하고, 또 α\alpha가 linear map이라는 것 또한 자명하다. 이제 α\alpha가 isomorphism임을 보여야 하는데, TeGT_eG는 유한차원 벡터공간이므로 α\alpha가 전단사임을 보이면 충분하다. 우선 α(X)=α(Y)\alpha(X)=\alpha(Y)를 만족하는 두 X,Y∈gX,Y\in\mathfrak{g}가 존재한다 가정하면, 임의의 g∈Gg\in G에 대하여

    Xg=(dLg)e(Xe)=(dLg)e(Ye)=YgX_g=(dL_g)_e(X_e)=(dL_g)_e(Y_e)=Y_g

    이므로 X=YX=Y이다. 거꾸로 임의의 v∈TeGv\in T_eG에 대하여 XgX_g를 (dLg)e(v)(dL_g)_e(v)으로 정의하면 XX가 left invariant인 벡터장이고, α(X)=v\alpha(X)=v를 만족함이 자명하다.

  2. X∈gX\in\mathfrak{g}가 C∞C^\infty임을 보이기 위해서는 임의의 함수 ff에 대하여 XfXf가 C∞C^\infty임을 보이면 충분하다. (§벡터장, ⁋명제 2) 한편 임의의 p∈Gp\in G에 대하여,

    (Xf)(p)=Xpf=(dLp)e(Xe)f=Xe(f∘Lp)(Xf)(p)=X_pf=(dL_p)_e(X_e)f=X_e(f\circ L_p)

    이므로 이는 다시 함수 p↦Xe(f∘Lp)p\mapsto X_e(f\circ L_p)가 C∞C^\infty를 보이는 문제와 같다. GG의 곱셈을 m:G×G→Gm:G\times G\rightarrow G로 쓰고, GG에서 G×GG\times G로의 자연스러운 두 embedding을

    ι1p:x↦(x,p),ι2p:x↦(p,x)\iota_1^p: x\mapsto (x,p),\qquad \iota_2^p:x\mapsto (p,x)

    으로 적고, Ye=XeY_e=X_e를 만족하는 C∞C^\infty 벡터장을 택하여 G×GG\times G 위에 정의된 새로운 벡터장 (0,Y)(0,Y)을 생각하자. 그럼 f∘mf\circ m은 C∞C^\infty 함수이고 (0,Y)(0,Y)는 C∞C^\infty 벡터장이므로 (0,Y)(f∘m)(0,Y)(f\circ m)은 C∞C^\infty 함수가 되고, 따라서 합성 ((0,Y)(f∘m))∘ι1e\bigl((0,Y)(f\circ m)\bigr)\circ\iota_1^e 또한 C∞C^\infty이다. 그런데 임의의 p∈Gp\in G에 대하여, isomorphism

    T(x,y)(M×N)≅TxM⊕TyNT_{(x,y)}(M\times N)\cong T_xM\oplus T_yN

    을 통하면

    ((0,Y)(f∘m))(ι1e(p))=(0,Y)(p,e)(f∘m)=0p(f∘m∘ι1e)+Ye(f∘m∘ι2p)=Xe(f∘m∘ι2p)=Xe(f∘Lp)\begin{aligned}\bigl((0,Y)(f\circ m)\bigr)(\iota_1^e(p))&=(0,Y)_{(p,e)}(f\circ m)=0_p(f\circ m\circ\iota_1^e)+Y_e(f\circ m\circ\iota_2^p)\\&=X_e(f\circ m\circ\iota_2^p)=X_e(f\circ L_p)\end{aligned}

    이므로 원하는 결과를 얻는다.

  3. §리 미분, ⁋명제 9에 의하여 자명하다.

위의 과정을 통해 얻어진 Lie algebra g\mathfrak{g}를 GG의 Lie algebra라 부른다. 일반적으로 Lie group을 GG라 적으면, 이에 해당하는 프락투어 소문자 g\mathfrak{g}를 통해 GG의 Lie algebra를 적는 것이 보통이다.

Left invariant formsPermalink

정의 7 Lie group GG 위에 정의된 form ω\omega가 left invariant라는 것은 임의의 g∈Gg\in G에 대하여 (dLg)ω=ω(dL_g)\omega=\omega가 성립하는 것이다. GG 위에 정의된 left invariant kk-form들의 모임은 Ωl.invk(G)\Omega_\text{l.inv}^k(G)로 적고, GG 위에 정의된 모든 left invariant form들의 모임은 Ωl.inv∗(G)\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)으로 적는다.

특별히 Ωl.inv1(G)\Omega_\text{l.inv}^1(G)의 원소들은 Maurer-Cartan form이라 부른다.

명제 6과 마찬가지 방식으로 다음 명제를 증명할 수 있다.

명제 8 Lie group GG와 Ωl.inv∗(G)\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)에 대하여 다음이 성립한다.

  1. Ωl.inv∗(G)\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)의 임의의 원소는 C∞C^\infty이다.
  2. Ωl.inv∗(G)\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)는 Ω∗(G)\Omega^\ast(G)의 C∞(G)C^\infty(G)-subalgebra이며, 함수 ω↦ωe\omega\mapsto\omega_e는 Ωl.inv∗(G)\Omega_\text{l.inv}^\ast(G)에서 ⋀(Te∗G)\bigwedge(T_e^\ast G)로의 C∞(G)C^\infty(G)-algebra isomorphism이다.
  3. 임의의 ω∈Ωl.inv1(G)\omega\in\Omega_\text{l.inv}^1(G)와 left invariant인 벡터장 XX에 대하여, ω(X)\omega(X)는 GG 위에서 정의된 상수함수이다.

  4. 임의의 ω∈Ωl.inv1(G)\omega\in\Omega_\text{l.inv}^1(G)와 X,Y∈gX,Y\in\mathfrak{g}에 대하여

    dω(X,Y)=−ω[X,Y]d\omega(X,Y)=-\omega[X,Y]

    이 성립한다.

  5. g\mathfrak{g}의 basis X1,…,XdX_1,\ldots, X_d와 그 dual basis ω1,…,ωd\omega_1,\ldots,\omega_d에 대하여, 다음의 식

    [Xi,Xj]=∑k=1dcijkXk[X_i,X_j]=\sum_{k=1}^d c_{ij}^kX_k

    을 만족하는 d3d^3개의 상수들 cijkc_{ij}^k이 존재한다. 이들은 다음 두 조건

    cijk+cjik=0,∑r(cijrcrks+cjkrcris+ckircrjs)=0for all sc_{ij}^k+c_{ji}^k=0,\qquad\sum_r (c_{ij}^rc_{rk}^s+c_{jk}^rc_{ri}^s+c_{ki}^rc_{rj}^s)=0\quad\text{for all $s$}

    을 만족하며, 따라서 다음의 식

    dωi=∑j<kcjkiωk∧ωjd\omega_i=\sum_{j < k} c_{jk}^i\omega_k\wedge\omega_j

    이 성립한다.

참고문헌

[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013

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