스펙트럼의 위상구조

이 카테고리의 모든 글들에서 ring은 commutative ring (with unity)를 의미한다.

이번 글에서 우리는 대수기하학의 가장 기본적인 대상인 스펙트럼을 정의한다. 스펙트럼은 적당한 structure sheaf가 주어져 있는 위상공간으로, 우리는 우선 이번 글에서 이를 집합으로서 정의하고, 그 위에 위상을 정의할 것이다. 그 후, 다음 글에서는 $\Spec A$ 위에 structure sheaf를 정의하게 된다.

집합으로서의 $\Spec A$

정의 1 Ring $A$에 대하여, $\Spec A$는 $A$의 모든 prime ideal들의 모임이고, 이를 $A$의 spectrum_스펙트럼이라 부른다.

이제 ring homomorphism $\phi: A \rightarrow B$가 주어졌다 하자. 그럼 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 9에 의하여, 다음의 함수

\[\Spec\phi: \Spec B \rightarrow \Spec A;\qquad \mathfrak{q}\mapsto \phi^{-1}(\mathfrak{q})\]

가 잘 정의된다.

명제 2 위에서 정의한 $\Spec: \cRing^\op \rightarrow \Set$은 functor이다.

즉, $\Spec(\phi\circ\psi)=(\Spec\psi)\circ(\Spec\phi)$이고 $\Spec(\id_A)=\id_{\Spec A}$이며, 그 증명 또한 어렵지 않다.

위상공간으로서의 $\Spec A$

이제 우리는 $\Spec A$ 위에 적절한 위상구조를 정의하자.

정의 3 Ring $A$와 그 spectrum $\Spec A$를 고정하자. $A$의 임의의 부분집합 $S$에 대하여, $\Spec A$의 부분집합 $Z(S)$을 다음 식

\[Z(S)=\{\mathfrak{p}\in\Spec A: S\subseteq \mathfrak{p}\}\]

으로 정의한다.

그럼 몇 가지 사실을 쉽게 증명할 수 있다. 우선, $Z$는 inclusion-reversing이다. 즉, 만일 $A$의 두 부분집합 $S_1\subseteq S_2$가 주어졌다면,

\[Z(S_1)=\{\mathfrak{p}\in\Spec A: S_1\subseteq \mathfrak{p}\}\supseteq \{\mathfrak{p}\in\Spec A: S_2\subseteq \mathfrak{p}\}=Z(S_2)\]

이다. 그러나 위의 포함관계는 strict가 아닐 수도 있다.

명제 4 Ring $A$와 그 spectrum $\Spec A$를 고정하자. $A$의 임의의 부분집합 $S$, 그리고 $S$에 의해 생성되는 $A$의 ideal $(S)$에 대하여, $Z(S)=Z((S))$이다.

증명

자명하게 $S\subseteq (S)$이므로, 포함관계 $Z((S))\subseteq Z(S)$는 위의 논의로부터 자명하다. 따라서 반대방향을 증명하면 충분하다. $Z(S)$의 임의의 원소 $\mathfrak{p}$가 주어졌다 하자. 즉 $S\subseteq \mathfrak{p}$이다. 그런데 $A$의 부분집합 $\mathfrak{p}$에 의해 생성되는 ideal은 자기 자신이므로, 이로부터 $(S)\subseteq (\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$임을 안다.

뿐만 아니라, $A$의 두 ideal $\mathfrak{a}_1\subseteq \mathfrak{a}_2$에 대해서도, 포함관계 $Z(\mathfrak{a}_1)\supseteq Z(\mathfrak{a}_2)$는 일반적으로 등호가 될 수도 있다.

명제 5 Ring $A$와 그 spectrum $\Spec A$를 고정하자. $A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a}$와 그 radical $\sqrt{\mathfrak{a}}$에 대하여, $Z(\mathfrak{a})=Z(\sqrt{\mathfrak{a}})$이 성립한다.

증명

역시 마찬가지로 포함관계 $\mathfrak{a}\subseteq \sqrt{\mathfrak{a}}$로부터 $Z(\sqrt{\mathfrak{a}})\subseteq Z(\mathfrak{a})$임은 자명하다. 거꾸로 임의의 $\mathfrak{p}\in Z(\mathfrak{a})$에 대하여, [가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8를 사용하면

\[\sqrt{\mathfrak{a}}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{q}$ a prime containing $\mathfrak{a}$}\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{p}\]

이므로 $\mathfrak{p}\in Z(\sqrt{\mathfrak{a}})$임을 안다.

$\Spec A$ 위에 위상구조를 정의할 때 가장 중요한 것은 다음의 보조정리다.

보조정리 6 다음이 성립한다.

1. $A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여, $Z(\mathfrak{ab})=Z(\mathfrak{a})\cup Z(\mathfrak{b})$가 성립한다.
2. $A$의 ideal들의 모임 $\{\mathfrak{a}_i\}$에 대하여, $Z(\sum \mathfrak{a}_i)=\bigcap Z(\mathfrak{a}_i)$가 성립한다.
3. $A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여, $Z(\mathfrak{a})\subseteq Z(\mathfrak{b})\iff \sqrt{\mathfrak{a}}\supseteq \sqrt{\mathfrak{b}}$이 성립한다.

증명

1. $\mathfrak{a}$ 혹은 $\mathfrak{b}$를 포함하는 prime ideal $\mathfrak{p}$는 그보다 작은 ideal $\mathfrak{ab}$ 또한 포함하는 것이 자명하므로, 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. $\mathfrak{p}\supset \mathfrak{ab}$라 가정하자. 만일 $\mathfrak{p}\not\supseteq \mathfrak{b}$라 하면, $b\not\in \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{b}$의 원소 $b$를 찾을 수 있다. 한편, 임의의 $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, $ab\in \mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p}$이고, 앞선 가정에 의해 $b\not\in \mathfrak{p}$이므로 반드시 $a\in \mathfrak{p}$이고 따라서 $a\subseteq \mathfrak{p}$가 성립한다.
2. 이는 $\sum \mathfrak{a}_i$가 ideal들 $\mathfrak{a}_i$ 각각을 모두 포함하는 ideal 중 가장 작은 것으로 정의되므로 자명하다.
3. [가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8.

그럼 [위상수학] §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 2에 의하여, $Z(\mathfrak{a})$들을 닫힌집합으로 갖는 유일한 위상 $\mathcal{T}$가 존재하여 $\Spec A$를 위상공간으로 만들어준다.

정의 7 위와 같이 정의된 $\Spec A$의 위상을 Zariski topology_{자리스키 위상}이라 부른다.

앞서 우리는 명제 2에서 $\Spec$을 functor $\Spec: \cRing^\op \rightarrow \Set$으로 취급할 수 있음을 살펴보았다. 뿐만 아니라, $\Spec$은 $\cRing^\op$에서 $\Top$으로의 functor이기도 하다.

명제 8 Ring $A$의 spectrum $\Spec A$ 위에 정의 7의 위상구조를 주면, 명제 2의 functor $\Spec: \cRing^\op \rightarrow \Top$은 functor이다.

증명

명제 2에서 추가로 보여야 할 것은 임의의 ring homomorphism $\phi: A \rightarrow B$가 주어졌을 때, $\Spec \phi: \Spec B \rightarrow \Spec A$가 연속함수라는 것이다. 따라서 $\Spec A$의 임의의 닫힌집합을 가져왔을 때, 이 닫힌집합의 $\Spec\phi$에 의한 preimage도 $\Spec B$에서의 닫힌집합임을 보이면 충분하다. ([위상수학] §집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 2)

한편 $\Spec A$의 임의의 닫힌집합은 모두 $Z(\mathfrak{a})$의 꼴이고, $\Spec B$의 닫힌집합은 모두 $Z(\mathfrak{b})$의 꼴이므로 이를 보이기 위해서는 임의의 $A$의 ideal $\mathfrak{a}$가 주어질 때마다 다음의 식

\[(\Spec\phi)^{-1}(Z(\mathfrak{a}))=Z(\mathfrak{b})\]

을 만족하는 $B$의 ideal $\mathfrak{b}$가 존재함을 보이면 충분하다. 우리의 주장은 다음의 식

\[(\Spec\phi)^{-1}(Z(\mathfrak{a}))=Z(\phi(\mathfrak{a}))\]

이 성립한다는 것이다. 그럼 $\phi(\mathfrak{a})$로 생성되는 ideal이 위의 식을 만족하므로 증명이 완료된다.

우선 $\mathfrak{q}\in\Spec B$가 좌변에 속한다 하자. 즉 $(\Spec\phi)(\mathfrak{q})=\phi^{-1}(\mathfrak{q})\in Z(\mathfrak{a})$가 성립한다. 그럼 $\mathfrak{a}\subseteq \phi^{-1}(\mathfrak{q})$인 것으로부터 $\phi(\mathfrak{a})\subseteq \mathfrak{q}$이므로 $\mathfrak{q}\in Z(\phi(\mathfrak{a}))$이 성립한다.

거꾸로 $\mathfrak{q}\in\Spec B$가 우변에 속한다 하자. 그럼 $\phi(\mathfrak{a})\subseteq \mathfrak{q}$인 것으로부터, 다음의 포함관계

\[\mathfrak{a}\subseteq \phi^{-1}(\phi(\mathfrak{a}))\subseteq\phi^{-1}(\mathfrak{q})=(\Spec\phi)(\mathfrak{q})\]

를 얻고 이것이 곧 $(\Spec\phi)(\mathfrak{q})\in Z(\mathfrak{a})$, 즉 $\mathfrak{q}\in (\Spec\phi)^{-1}(Z(\mathfrak{a}))$임을 증명한다.

우리가 앞으로 사용할 두 가지의 중요한 ring homomorphism은 quotient $\pi:A \rightarrow A/\mathfrak{a}$와 localization $\epsilon: A \rightarrow S^{-1}A$이다. ([가환대수학] §기본 개념들, ⁋명제 11 그리고 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8)

명제 9 위에서 정의한 $\pi:A \rightarrow A/\mathfrak{a}$와 $\epsilon: A \rightarrow S^{-1}A$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\Spec\pi$와 $\Spec\epsilon$은 모두 injective이며, 이들은 각자의 image로의 homeomorphism을 정의한다.
2. $\Spec\pi$의 $\Spec A$에서의 image는 닫힌집합이다.
3. 만일 어떠한 $f\in A$에 대하여 $S=\{1,f,f^2,\ldots\}$라면, $\Spec \epsilon$의 $\Spec A$에서의 image는 열린집합이다.

증명

첫 번째 결과는 앞서 언급한 두 명제 [가환대수학] §기본 개념들, ⁋명제 11 그리고 [가환대수학] §국소화, ⁋명제 8의 결과이다. 두 번째 결과의 경우, $\Spec\pi$의 $\Spec A$에서의 image는 정확히 $Z(\mathfrak{a})$이다. 마지막으로 셋째 결과의 경우, $\Spec\epsilon$의 원소들은 $f$를 포함하지 않는 prime ideal들의 모임이고 이들은 $\Spec A\setminus Z(f)$으로 쓸 수 있다.

위상공간으로서 $\Spec A$의 base가 존재하는 것은 당연하지만, 우리는 이 base 또한 $A$의 대수적인 구조와 모종의 관계가 있기를 바란다. 다음을 정의하자.

정의 10 Ring $A$의 임의의 원소 $f\in A$에 대하여, $V(f)$의 $\Spec A$에서의 complement $\Spec A\setminus Z(f)$를 $D(f)$라 적는다. 이러한 꼴의 열린집합을 principal open set이라 부른다.

보조정리 11 Principal open set들의 모임은 $\Spec A$의 base를 이룬다. ([위상수학] §위상공간의 기저, ⁋정의 1)

증명

임의의 열린집합 $\Spec A \setminus Z(S)$에 대하여, 보조정리 6의 둘째 결과을 활용하면 다음의 계산

\[\Spec A\setminus Z(S)=\Spec A\setminus Z\left(\sum_{f\in S} (f)\right)=\Spec A\setminus\left(\bigcap_{f\in S}Z(f)\right)=\bigcup_{f\in S} (\Spec A\setminus Z(f))=\bigcup_{f\in S} D(f)\]

이 성립한다.

그럼 이 보조정리와 유사한 계산을 통해 $D(fg)=D(f)\cap D(g)$임을 확인할 수 있다. 다만, 이 계산은 보조정리 6의 첫째 결과를 사용하므로, 일반적으로 무한한 index에 대해 확장할 수는 없다.

갈루아 대응

정의에 의해 $Z$는 $A$의 ideal을 받아 $\Spec A$의 닫힌집합을 내놓는 함수이다. 거꾸로 다음을 정의한다.

정의 12 임의의 부분집합 $T\subseteq \Spec A$에 대하여,

\[I(T)=\{f\in A:\text{$f\in \mathfrak{p}$ for all $\mathfrak{p}\in T$}\}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ a prime in $T$} \mathfrak{p}\]

으로 정의한다.

그럼 $I(T)$는 ideal들의 교집합이므로 ideal이다. 뿐만 아니라, 만일 $T_1\subseteq T_2$라면 $I(T_2)\subseteq I(T_1)$임이 자명하다.

이제 정의 3과 정의 12을 종합하면, 우리는 두 ordered set $\mathcal{P}(A)$, $\mathcal{P}(\Spec A)$ 사이의 두 함수

\[Z: \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(\Spec A);\quad S\mapsto Z(S),\qquad I: \mathcal{P}(\Spec A) \rightarrow \mathcal{P}(A);\quad T\mapsto I(T)\]

을 정의했다. 그럼 임의의 $S\in \mathcal{P}(A)$와 임의의 $T\in \mathcal{P}(\Spec A)$에 대하여,

\[T\subseteq Z(S)\iff\text{$\mathfrak{p}\in Z(S)$ for all $\mathfrak{p}\in T$}\iff\text{$f\in \mathfrak{p}$ for all $f\in S$ and all $\mathfrak{p}\in T$}\iff S\subseteq I(T)\]

이므로, $(Z, I)$는 $\mathcal{P}(A)$와 $\mathcal{P}(\Spec A)$ 사이의 antitone Galois connection을 정의한다. ([집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋정의 6) 따라서, 다음의 두 식

\[Z(I(Z(S)))=Z(S),\qquad I(Z(I(T)))=I(T)\]

이 모든 $S\in \mathcal{P}(A)$와 임의의 $T\in \mathcal{P}(\Spec A)$에 대해 성립한다.

이제 두 closure operator $IZ: \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$, $ZI: \mathcal{P}(\Spec A) \rightarrow \mathcal{P}(\Spec A)$를 생각하자.

명제 13 Closure operator $IZ: \mathcal{P}(A) \rightarrow \mathcal{P}(A)$, $ZI: \mathcal{P}(\Spec A) \rightarrow \mathcal{P}(\Spec A)$에 대하여, 다음이 성립한다.

1. $IZ(S)=\sqrt{(S)}$
2. $ZI(T)=\cl(T)$

증명

1. 이는 다음의 식

   \[I(Z(S))=I(Z((S)))=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ a prime in $Z((S))$} \mathfrak{p}=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ a prime containing $(S)$} \mathfrak{p}=\sqrt{(S)}\]

   으로부터 자명하다.

2. 이는 다음의 식

   \[\cl(T) =\bigcap_\text{\scriptsize $Z(S)\supseteq T$} Z(S) =\bigcap_\text{\scriptsize $S\subseteq I(T)$} Z(S) =Z\left(\sum_\text{\scriptsize $S\subseteq I(T)$}(S)\right) =Z(I(T))\]

   으로부터 자명하다.

즉, 다음을 얻는다.

정리 14 Ring $A$의 radical ideal들과, $\Spec A$의 닫힌집합들 사이의 Galois correspondence가 존재한다.

고전적인 대수기하학

다음 글에서 structure sheaf를 정의하기 전에, 간략하게 고전적인 대수기하학을 살펴보는 것이 도움이 된다. 남은 부분에서 우리는 algebraically closed field $\mathbb{k}$를 고정한다. 그럼 field $\mathbb{k}$ 위에 정의된 affine $n$-space_아핀공간는 다음 집합

\[\mathbb{A}_\mathbb{k}^n=\{(x_1,\ldots, x_n)ㅣ x_1,\ldots, x_n\in \mathbb{k}\}\]

을 의미한다. 이 때, $\mathbb{A}_\mathbb{k}^n$의 각 원소 $x=(x_1,\ldots, x_n)$을 점_point라 하고, 각각의 $x_i$들을 $x$의 $i$번째 좌표_{$i$-th coordinate}라 부른다.

이제 $\mathbb{k}$를 계수로 갖는 다항식들로 이루어진 polynomial ring $A=\mathbb{k}[\x_1,\ldots,\x_n]$를 생각하자. 그럼 임의의 $x=(x_1,\ldots, x_n)\in \mathbb{A}_\mathbb{k}^n$에 대하여, $A$의 ideal $\mathfrak{m}_x$를

\[\mathfrak{m}_x=(\x_1-x_1,\ldots, \x_n-x_n)\subseteq \mathbb{k}[\x_1,\ldots, \x_n]\]

으로 정의할 수 있으며 [가환대수학] §영점정리에서 우리는 이것이 $A=\mathbb{k}[\x_1,\ldots, \x_n]$의 모든 maximal ideal이라는 것을 증명했다.

그럼 임의의 $f\in A$를 다음의 식

\[\mathbb{A}_\mathbb{k}^n \rightarrow \mathbb{k};\qquad (x_1,\ldots, x_n)\mapsto f(x_1,\ldots, x_n)\]

을 통해 $\mathbb{A}_\mathbb{k}^n$에서 $\mathbb{k}$로의 함수로 취급할 수 있다. 이제 $A$의 임의의 부분집합 $T$에 대하여, $\mathbb{A}_\mathbb{k}^n$의 부분집합 $Z(T)$를 다음의 식

\[Z(T)=\{(x_1,\ldots, x_n): \text{$f(x_1,\ldots, x_n)=0$ for all $f\in T$}\}\]

으로 정의하자. 즉 $Z(T)$는 $\mathbb{A}_\mathbb{k}^n$ 위에 정의된 함수들의 모임 $T$의 공통근들으로 생각할 수 있다.

한편, 부분집합 $T$로 생성되는 $A$의 ideal $\mathfrak{a}$를 생각하면, $Z(T)=Z(\mathfrak{a})$임이 자명하다. 한편 $A$는 noetherian이므로 (##ref##) 이러한 $\mathfrak{a}$는 유한히 많은 원소들 $f_1,\ldots, f_r$로 생성될 수 있고 따라서 임의의 $Z(T)$는 항상 유한히 많은 함수들의 공통근들의 모임으로 쓸 수 있다.