이제 우리는 scheme이 갖는 여러가지 성질들을 정의한다. 여기에서는 §대수다양체에서와 같이 $\mathbb{A}^2$에서의 그림이 도움이 된다.
Integrality
정의 1 Scheme $X$가 connected인 것은 $\lvert X\rvert$가 connected인 것이다. 비슷하게, $X$가 irreducible인 것은 $\lvert X\rvert$가 irreducible인 것이다.
위의 두 성질들은 $\lvert X\rvert$의 언어로 표현된다는 점에서 위상적인 성질들이라 할 수 있다. Connected가 아닌 scheme의 예시는 $V(x(x-1))$이 있으며, connected이지만 irreducible하지 않은 scheme의 예시로는 $V(xy)$이 있다.
한편 $X$는 대수적인 대상이기도 하므로, 대수적인 성질들을 정의할 수도 있다.
정의 2 Scheme $X$가 reduced인 것은 임의의 열린집합 $U$에 대하여 $\mathscr{O}_X(U)$가 reduced인 것이다. 비슷하게, $X$가 integral인 것은 임의의 열린집합 $U$에 대하여 $\mathscr{O}_X(U)$가 integral domain인 것이다. ([대수적 구조] §정역, ⁋정의 11)
Non-reduced scheme의 예시로는 $V(y-x^2)$이 있다.
이는 대수적으로는
\[\mathbb{C}[x,y]/(y-x^2)\cong \mathbb{C}[x]/(x^2)\]이므로, $x$가 nilpotent element이기 때문이다.
명제 4는 이러한 대수적인 성질과 위상적인 성질들 사이의 관계를 보여준다. 증명을 위해서는 다음 보조정리를 먼저 보이는 것이 쓸만하다.
보조정리 3 Affine scheme $\Spec A$가 irreducible인 것은 nilradical $\mathfrak{N}(A)$가 prime ideal인 것과 동치이다.
증명
$\Spec A$가 irreducible인 것은 이 공간의 임의의 두 basis $D(f),D(g)\neq\emptyset$에 대하여 $D(fg)\neq\emptyset$인 것과 동치이다. 그런데 다음 동치관계
\[D(f)\neq\emptyset\iff f\not\in \mathfrak{p}\text{ for some $\mathfrak{p}$}\iff f\not\in \mathfrak{N}(A)\]로부터, ([대수적 구조] §정역, ⁋명제 14) 명제 $D(f),D(g)\neq\emptyset\implies D(fg)\not\in\emptyset$은 다음 명제
\[f,g\not\in \mathfrak{N}(A)\implies fg\not\in \mathfrak{N}(A)\]와 동치임을 안다.
명제 4 $X$가 integral인 것과, $X$가 reduced, irreducible인 것이 동치이다.
증명
우선 $X$가 integral이라 하자. 임의의 integral domain은 항상 reduced이므로 $X$는 reduced scheme이다. 만일 $X$가 irreducible scheme이 아니라 하면, 서로소인 두 열린집합 $U_1,U_2\neq\emptyset$가 존재한다. 그럼 이제 $\mathcal{O}(U_1\cup U_2)=\mathcal{O}(U_1)\times \mathcal{O}(U_2)$가 되어 $X$가 integral이라는 가정에 모순이 된다.
반대로 $X$가 reduced이고 irreducible이라 가정하고, $X$가 integral scheme임을 보이자. 이를 위해서 우리는 임의의 affine open subset $U$에 대해 $\mathcal{O}(U)$가 integral임을 보인다. 우선 $A=\mathcal{O}(U)$는 가정에 의해 reduced이고, $U=\Spec A$는 irreducible space의 열린집합이므로 irreducible이고, 따라서 $\mathfrak{N}(A)=0$가 prime ideal이다. 즉 $\mathcal{O}(U)$가 integral이다.
이제 임의의 열린집합 $V\subseteq X$를 생각하면, scheme의 정의에 의하여 적당한 affine open subset $U\subseteq V$가 존재하고, 따라서 restriction map $\rho_{VU}:\mathcal{O}(V) \rightarrow \mathcal{O}(U)$이 존재한다. 그럼 $\rho_{VU}$는 injective이고, integral domain의 subring은 integral이므로 $\mathcal{O}(V)$가 integral domain이 된다.
따라서 증명을 완료하기 위해서는 $\rho_{VY}$가 injective임을 보이면 충분하다. $f\in\ker\rho_{VU}$라 하자. $f=0$임을 보이기 위해서는 $V$에 속하는 임의의 다른 affine open subset $W$에 대하여 $f$가 $W$에서 $0$이 됨을 보이면 충분하다. 그런데 $\mathcal{O}(W)$는 앞서 증명한 것에 의해 integral이고, $f$가 $U\cap W$에서 $0$이므로 $f$는 $W$에서 $0$이 되어야 한다.
Finiteness
정의 5 Scheme $X$가 locally noetherian인 것은 $X$의 적당한 open affine cover $\{\Spec A_i\}$가 존재하여 각각의 $A_i$가 모두 noetherian인 것이다. 만일 $X$가 추가적으로 quasicompact이기도 하다면 $X$를 noetherian이라 부른다.
이름으로부터, locally noetherian scheme과 noetherian scheme 사이에는 적당한 관계가 있어야 한다.
명제 6 Scheme $X$가 locally noetherian인 것과 임의의 affine open subset $U=\Spec A$에 대하여 항상 $A$가 noetherian이 되는 것이 동치이다.
증명
한쪽 방향은 자명하다. 따라서 $X$가 locally noetherian이라 하고, 임의의 affine open subset $U=\Spec A$를 택하자. 우선 다음 주장을 보인다.
주장 1. Locally noetherian scheme $X$는 noetherian ring들의 spectrum으로 이루어진 basis를 갖는다.
증명. 우선 $X$가 locally noetherian이므로, $X$를 noetherian ring들의 spectrum $\Spec B_i$들로 덮을 수 있다. 한편, $B_i$들의 localization $(B_i)_f$들은 모두 noetherian이고, $D(f)\cong \Spec(B_i)_f$들이 $\Spec B_i$의 basis를 이룬다. 이제 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대해 $U_i=U\cap\Spec B_i$라 하면 $U_i$는 $\Spec B_i$의 열린집합이고, 따라서 $\Spec(B_i)_f$들의 합집합으로 나타날 수 있다. 이로부터 임의의 열린집합 $U\subseteq X$가 noetherian ring들의 spectrum들의 합집합으로 쓰일 수 있음을 안다.
주장 1에 의해, 임의의 affine open set $U=\Spec A$는 noetherian ring들의 spectrum으로 덮일 수 있다. 이제 다음 주장을 보이자.
주장 2. 만일 affine scheme $U=\Spec A$가 noetherian ring들의 spectrum으로 덮일 수 있다면, 유한 개의 $f_1,\ldots, f_r\in A$가 존재하여 $U$를 $\Spec A_{f_1},\ldots, \Spec A_{f_r}$로 덮을 수 있다.
\[X=\bigcup \Spec(A_f)\iff A=\sum A_f\iff 1\in\sum A_f\]
증명. 우선 가정을 통해, $U$의 open affine subset $V=\Spec B$을 $B$가 noetherian이도록 잡자. 그럼 적당한 $f\in A$에 대하여 $D(f)\subseteq V$이도록 할 수 있다. 한편, $f$의 $B$에서의 image를 $\bar{f}$라 하면 $A_f\cong B_{\bar{f}}$가 성립한다. 이로부터 $A_f$가 noetherian임을 안다. 이러한 방식으로 $U$를 noetherian ring들 $A_f$들의 spectrum $\Spec A_f$들로 덮을 수 있다. 그런데이고, 가장 우측의 조건은 유한 개의 $A_{f_1},\ldots, A_{f_r}$들과, 이들의 원소 $x_1,\ldots, x_r$가 존재하여 $x_1+\cdots+x_r=1$이라는 뜻이므로 이러한 $\Spec A_f$들은 유한 개만이 필요하다.
따라서 우리가 보이고자 하는 것은 다음의 대수적인 주장이다.
주장 3. Ring $A$의 원소들 $f_1,\ldots, f_r$이 다음 조건을 만족한다 하자.
- $(f_1,\ldots, f_r)=A$이다.
- $A_{f_i}$들은 모두 noetherian ring들이다.
그럼, $A$도 noetherian이다.
\[\varphi_i(\mathfrak{a}_1)A_{f_i}\subseteq\varphi_i(\mathfrak{a}_2)A_{f_i}\subseteq\cdots\]
증명. $A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a}$와 localization map $\varphi_i:A \rightarrow A_{f_i}$에 대하여, $\mathfrak{a}=\bigcap\varphi_i^{-1}(\varphi_i(\mathfrak{a})\cdot A_{f_i})$이 성립한다. 따라서, 임의의 ascending chain $\mathfrak{a}_1\subseteq \mathfrak{a}_2\subseteq\cdots$에 대하여이 언젠가 반드시 멈춰야 한다는 사실을 이용하면 원하는 결과를 얻는다.
여전히 더 많은 종류의 성질들이 남아있다.
정의 7 Scheme morphism $f:X \rightarrow Y$가 locally of finite type인 것은 $Y$의 affine open cover $\{V_i=\Spec B_i\}$가 존재하여, 각각의 $i$마다 다시 $f^{-1}(V_i)$를 affine open subset들 $U_{ij}=\Spec A_{ij}$로 덮을 수 있는 것이다. 여기서 $A_{ij}$는 finitely generated $B_i$-algebra들이다. 만일 각각의 $f^{-1}(V_i)$들이 유한하게 많은 $U_{ij}$들로 덮일 수 있다면 이를 of finite type이라 부른다.
예를 들어, inclusion $k[x]\rightarrow k[x,y]$를 생각하면, 이로부터 나오는 projection $\mathbb{A}_k^2 \rightarrow \mathbb{A}_k^1$은 morphism of finite type이다. 이와 같이 finite type morphism은 기하적으로는 (generic) fiber가 finite dimensional인 것으로 생각할 수 있으며, 이는 대수적으로 $k[x,y]$가 finitely generated $k[x]$-algebra인 것으로 설명된다.
정의 8 Scheme morphism $f:X \rightarrow Y$가 finite인 것은 $U$의 affine open cover $\{V_i=\Spec B_i\}$가 존재하여, $f^{-1}(V_i)=\Spec A_i$들이 affine이고 $A_i$가 $B_i$-module로서 finitely generated인 것이다.
예를 들어, 위의 inclusion $k[x] \rightarrow k[x,y]$에 projection $k[x,y] \rightarrow k[x,y]/(y^2-x)$을 합성하면 ring homomorphism $k[x] \rightarrow k[x,y]/(y^2-x)$을 얻으며, 기하적으로 이는 포물선 $y^2=x$에서 $x$축 방향으로 수선의 발을 내리는 projection map에 해당한다. 이 또한 기하적으로는 fiber가 유한집합이라는 것과 관련이 있다. $\Spec k[x]$의 prime ideal $(x-a)$를 생각하면, 이 prime ideal의 projection에 대한 fiber는 두 개, 즉 $(x-a,y-\sqrt{a})$와 $(x-a,y+\sqrt{a})$의 두 개가 있다.
Dimension
우리는 fiber가 어떤 의미인지 정확하게 알고 있으므로 (ref),
정의 9 Scheme $X$의 dimension은 irreducible closed subset들의 chain
\[\empty=C_0\subsetneq\cdots\subsetneq C_n\]의 length $n$의 supremum으로 정의한다. 비슷하게 만일 $Z$가 $X$의 irreducible closed subset이라면, $Z$의 $X$에서의 codimension은 orreducible closed subset들의 chain
\[Z=Z_0\subsetneq \cdots \subsetneq Z_n\]의 length $n$의 supremum을 뜻하며, 이를 $\codim(Z,X)$로 적는다. 이를 이용해 임의의 닫힌집합 $Y$에 대하여
\[\codim(Y,X)=\inf_\text{\scriptsize $Z\subseteq Y$ irred.} \codim(Z,X)\]으로 정의한다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
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