[Line Bundles]에서 우리는 line bundle의 개념을 정의하고, line bundle들의 tensor product와 dual을 살펴보았다. 이제 우리는 line bundle들의 isomorphism class들이 자연스러운 group 구조를 갖는다는 것을 보일 것이다. 이 group을 Picard group이라 부르며, [Line Bundles] §명제 16에서 보듯 divisor class group과 자연스럽게 동형이다.
Picard group은 다양체의 “twisting structure”를 분류하는 중요한 불변량이다. 예를 들어, $\operatorname{Pic}(\mathbb{A}^n) = 0$이지만 $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$이다. 이는 affine space가 “twist가 없는” 공간인 반면, projective space는 “twist”를 허용한다는 것을 보여준다.
Picard Group의 정의
정의 1 다양체 $X$의 Picard group $\operatorname{Pic}(X)$는 $X$ 위의 line bundle들의 isomorphism class들의 집합이다. Group 연산은 tensor product $[\mathcal{L}] \cdot [\mathcal{M}] = [\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}]$으로 주어진다.
명제 2 $\operatorname{Pic}(X)$는 abelian group이다. 항등원은 $[\mathcal{O}_X]$이고, $[\mathcal{L}]$의 역원은 $[\mathcal{L}^\vee]$이다.
증명
- 항등원: [Line Bundles] §명제 6에서 $\mathcal{L} \otimes \mathcal{O}_X \cong \mathcal{L}$이다.
- 역원: [Line Bundles] §명제 8에서 $\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^\vee \cong \mathcal{O}_X$이다.
- 교환법칙: Tensor product는 commutative이므로 $\mathcal{L} \otimes \mathcal{M} \cong \mathcal{M} \otimes \mathcal{L}$이다.
예시들
예시 3 $\mathbb{A}^n$의 Picard group: $\operatorname{Pic}(\mathbb{A}^n) = 0$이다. 모든 line bundle이 trivial이기 때문이다. 이는 [Line Bundles] §예시 11에서 이미 보였다.
예시 4 $\mathbb{P}^n$의 Picard group: $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$이다. 생성원은 hyperplane bundle $\mathcal{O}{\mathbb{P}^n}(1)$이다. 임의의 line bundle은 $\mathcal{O}{\mathbb{P}^n}(d)$ for some $d \in \mathbb{Z}$와 동형이다.
예시 5 곡선의 Picard group: 기약 projective curve $C$에 대해, $\operatorname{Pic}(C)$는 $C$ 위의 점들로 생성되는 group이다. Degree map $\deg: \operatorname{Pic}(C) \to \mathbb{Z}$가 존재하며, 그 kernel은 Jacobian variety $J(C)$라 부른다.
Picard Group과 Divisor Class Group
[Line Bundles] §명제 16에서 우리는 smooth variety $X$에 대해 $\operatorname{Pic}(X) \cong \operatorname{Cl}(X)$임을 보였다. 이 절에서는 이 동형의 구체적인 의미를 살펴보자.
명제 6 Cartier divisor $D = {(U_i, f_i)}$에 대하여, line bundle $\mathcal{O}X(D)$의 transition functions은 $g{ij} = f_i/f_j$이다. 이 대응 $D \mapsto \mathcal{O}_X(D)$은 $\operatorname{Cl}(X)$에서 $\operatorname{Pic}(X)$로의 group isomorphism을 유도한다.
이 동형의 의미는 다음과 같다. Divisor $D$는 “다양체를 나누는 hypersurface”이고, $\mathcal{O}_X(D)$는 “이 hypersurface에 수직인 line bundle”이다. Principal divisor $\operatorname{div}(f)$는 trivial bundle에 대응되고, 일반적인 divisor는 nontrivial bundle에 대응된다.
예시 7 $\mathbb{P}^n$에서의 대응: Hyperplane divisor $H = V(\x_0)$에 대응하는 line bundle은 $\mathcal{O}{\mathbb{P}^n}(1)$이다. 일반적으로 divisor $dH$에 대응하는 line bundle은 $\mathcal{O}{\mathbb{P}^n}(d)$이다. 이는 [Divisors] §예시 10에서 $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$임과 일치한다.
Pullback of Line Bundles
명제 8 Morphism $\varphi: X \to Y$와 $Y$ 위의 line bundle $\mathcal{L}$에 대하여, pullback $\varphi^\ast \mathcal{L}$은 $X$ 위의 line bundle이다. 그 transition functions은 ${g_{ij} \circ \varphi}$이다. 여기서 ${g_{ij}}$는 $\mathcal{L}$의 transition functions이다.
증명
| Pullback $\varphi^\ast \mathcal{L}$은 sheaf pullback $\varphi^{-1} \mathcal{L} \otimes_{\varphi^{-1} \mathcal{O}_Y} \mathcal{O}_X$으로 정의된다. Local trivialization $\phi_i: \mathcal{L} | {U_i} \to \mathcal{O}{U_i}$에 대해, $\varphi^\ast \mathcal{L} | {\varphi^{-1}(U_i)} \to \mathcal{O}{\varphi^{-1}(U_i)}$가 자연스럽게 정의된다. Transition function은 $g_{ij} \circ \varphi$이다. |
명제 9 Pullback은 group homomorphism $\varphi^\ast: \operatorname{Pic}(Y) \to \operatorname{Pic}(X)$를 유도한다.
증명
$\varphi^\ast(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}) \cong \varphi^\ast \mathcal{L} \otimes \varphi^\ast \mathcal{M}$이고 $\varphi^\ast \mathcal{O}_Y \cong \mathcal{O}_X$이므로, pullback은 group homomorphism이다.
예시 10 Embedding의 pullback: Embedding $i: C \hookrightarrow \mathbb{P}^n$에 대해, $i^\ast \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$은 curve $C$ 위의 line bundle이다. 이를 $C$ 위의 hyperplane bundle이라 부르며, $\mathcal{O}_C(1)$로 표기한다.
Picard Group의 계산
명제 11 Affine variety $X = \operatorname{Spec} A$에 대해, $\operatorname{Pic}(X) \cong \operatorname{Cl}(X)$이다. 만약 $A$가 unique factorization domain이면 $\operatorname{Pic}(X) = 0$이다.
증명
$A$가 UFD이면 모든 height 1 prime ideal은 principal이다. 따라서 모든 Weil divisor가 principal divisor와 동치이고, $\operatorname{Cl}(X) = 0$이다. [Line Bundles] §명제 16에 의해 $\operatorname{Pic}(X) \cong \operatorname{Cl}(X) = 0$이다.
예시 12 Smooth quadric surface: $X = V(\x_0 \x_3 - \x_1 \x_2) \subset \mathbb{P}^3$는 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$과 isomorphic하다. 따라서
\[\operatorname{Pic}(X) \cong \operatorname{Pic}(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\]이다. 두 생성원은 각각 $\mathbb{P}^1 \times {\text{point}}$와 ${\text{point}} \times \mathbb{P}^1$에 대응하는 line bundle들이다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
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