행렬의 대각화
우리는 앞서 임의의 $n\times n$ 행렬 $A$가 주어졌을 때, $A$의 고윳값과 고유공간을 통해 $\mathbb{R}^n$을 분해하는 방법을 살펴보았고, §고유공간분해, ⁋명제 5으로부터 이러한 분해가 언제 가능한지 또한 알게 되었다.
이를 증명하기 위해 사용했던 §고유공간분해, ⁋명제 4의 증명을 다시 한 번 살펴보자. 우리는 $E_\lambda$의 basis $x_1,\ldots, x_k$에 $n-k$개의 임의의 벡터를 추가한 후, 이를 통해 행렬 $X=(x_1|\cdots|x_n)$을 정의한 후 계산을 통해
\[XAX^{-1}=\begin{pmatrix}\lambda I_k&B\\0&C\end{pmatrix}\]의 왼쪽 위 $k\times k$ 블록행렬이 대각행렬 $\lambda I_k$가 된다는 것을 보았다. 그런데 만일 $A$가 §고유공간분해, ⁋명제 5의 조건을 모두 만족한다면, $n-k$개의 벡터들 $x_{k+1},\ldots, x_n$을 마구잡이로 추가할 것이 아니라, $n$개의 벡터들 $x_1,\ldots, x_n$이 모두 $A$의 고유공간의 basis가 되도록 잡을 수 있다. 그럼 §고유공간분해, ⁋명제 4의 증명 중
\[y_i\cdot x_j=\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}\]으로부터 $C$도 대각행렬이 되고, $B$는 영행렬이 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음이 성립한다.
명제 1 §고유공간분해, ⁋명제 5의 조건을 모두 만족하는 $n\times n$ 행렬 $A$를 생각하고, 고유공간들의 basis로 이루어진 $\mathbb{R}^n$의 basis를 잡아 이를 $x_1,\ldots, x_n$이라 하자. $Ax_i=\lambda_ix_i$라 하고, $X=(x_1|\cdots|x_n)$이라 하면, 대각행렬
\[D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}\]에 대하여 $A=XDX^{-1}$이 성립한다.
따라서 이 조건을 만족하는 행렬 $A$에 그럴듯한 이름을 붙여줄 수 있다.
정의 2 §고유공간분해, ⁋명제 5의 조건을 모두 만족하는 $n\times n$ 행렬 $A$를 diagonalizable대각화가능이라 한다.
혹은, §고유공간분해, ⁋명제 5는 필요충분조건이었으므로, 대각행렬과 닮은 행렬을 diagonalizable한 행렬이라 불러도 아무런 문제가 없다.
Primary decomposition theorem, Cayley-Hamilton, Jordan canonical form
QR, LU, SVD
내적 때문에 분해정리끼리 묶기는 순서 애매하니 묶으려면 앞에 내적 끼워넣어야 함
[Goc] M.S. Gockenbach, Finite-dimensional linear algebra, Discrete Mathematics and its applications, Taylor&Francis, 2011.
[Lee] 이인석, 선형대수와 군, 서울대학교 출판문화원, 2005.
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