Intersection Theory

Intersection theory는 대수기하학에서 가장 중요한 tool 중 하나이다. 이는 다양체들의 intersection의 수를 계산하는 방법을 제공하며, Bézout’s theorem과 같은 중요한 theorem들의 증명에 핵심적인 역할을 한다. 이 절에서 우리는 intersection theory의 정의, 그리고 그 관련된 개념들을 살펴볼 것이다.

정의

Intersection theory는 다양체들의 intersection의 수를 계산하는 방법을 제공한다. 이는 coordinate ring의 intersection과 유사한 구조이다.

정의 1 Intersection theory는 다양체들의 intersection의 수를 계산하는 tool이다.\n\n</div>

기하학적으로, intersection theory는 다양체들의 intersection의 수를 계산하는 powerful tool이다. 이는 coordinate ring의 intersection과 유사한 구조이다.

명제 2 Intersection theory는 다양체들의 intersection의 수를 계산하는 tool이다.\n\n</div>

증명

이는 coordinate ring의 intersection과 유사한 구조이다.\n\n</details>

Chow Groups

정의 3 Chow group \(A^k(X)\)는 cycle들의 equivalence classes를 정의한다.\n\n</div>

기하학적으로, Chow group는 cycle들의 equivalence classes를 정의하는 group이다. 이는 coordinate ring의 equivalence classes와 유사한 구조이다.

예시 4 Chow group의 예시\n\n1. \(\mathbb{P}^n\)에서 \(A^k(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}\). 이는 coordinate ring의 equivalence classes와 유사한 구조이다.\n\n</div>

Intersection Product

정의 5 Intersection product \(A^k(X) \times A^l(X) \to A^{k+l}(X)\)은 다양체들의 intersection을 계산한다.\n\n</div>

기하학적으로, intersection product은 다양체들의 intersection을 계산하는 bilinear map이다. 이는 coordinate ring의 product와 유사한 구조이다.

명제 6 Intersection product은 commutative이고 associative이다.\n\n</div>

증명

이는 coordinate ring의 product와 유사한 구조이다.\n\n</details>

Bézout’s Theorem

명제 7 Bézout’s theorem은 projective plane 위의 curve들의 intersection의 수를 계산한다.\n\n</div>

증명

이 정리의 증명은 intersection theory를 사용한다. 이는 coordinate ring의 intersection과 유사한 구조이다.\n\n</details>

예시의 연속성

예시 8 Intersection theory의 예시\n\n1. \(\mathbb{P}^2\)에서 두 직선의 intersection: \(\deg(L_1) \cdot \deg(L_2) = 1 \cdot 1 = 1\).\n2. \(\mathbb{P}^2\)에서 선과 conic의 intersection: \(\deg(L) \cdot \deg(C) = 1 \cdot 2 = 2\).\n\n이는 coordinate ring의 intersection과 유사한 구조이다.\n\n</div>

—\n\n참고문헌\n\n[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.\n[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.\n[Gr] P. Griffiths and J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1978.\n[HM] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977.\n