Čech Cohomology

도입

Sheaf cohomology는 derived functor로 정의되어 추상적이며 계산하기 어렵다. Čech cohomology는 open cover를 사용하여 더 구체적으로 cohomology를 계산하는 방법을 제공한다.

중요한 점은 “좋은” 조건 하에서 Čech cohomology가 sheaf cohomology와 일치한다는 것이다.

Čech Complex

정의 1 위상공간 $X$의 open cover $\mathfrak{U} = {U_i}_{i \in I}$와 sheaf $\mathcal{F}$에 대해 Čech complex $C^\bullet(\mathfrak{U}, \mathcal{F})$를 다음과 같이 정의한다:

\[C^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F}) = \prod_{i_0 < \cdots < i_p} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p})\]

Coboundary map $d: C^p \to C^{p+1}$은:

\[(d\alpha)_{i_0 \cdots i_{p+1}} = \sum_{k=0}^{p+1} (-1)^k \alpha_{i_0 \cdots \hat{i_k} \cdots i_{p+1}}|_{U_{i_0 \cdots i_{p+1}}}\]

정의 2 Čech cohomology_{체흐 코호몰로지} $\check{H}^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F})$를 cohomology of Čech complex로 정의한다:

\[\check{H}^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F}) = H^p(C^\bullet(\mathfrak{U}, \mathcal{F}))\]

예시 3 $p = 0$일 때:

\[\check{H}^0(\mathfrak{U}, \mathcal{F}) = \{(s_i) \in \prod_i \mathcal{F}(U_i) : s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j} \text{ for all } i, j\}\]

Sheaf의 gluing condition에 의해 이것은 $\Gamma(X, \mathcal{F})$와 같다.

예시 4 $p = 1$일 때:

$\check{H}^1(\mathfrak{U}, \mathcal{F})$는 $s_{ij} \in \mathcal{F}(U_i \cap U_j)$들 중 cocycle condition $s_{ij} + s_{jk} = s_{ik}$를 만족하는 것들의 coboundary $s_{ij} = t_i - t_j$에 의한 quotient이다.

이것은 $\mathcal{F}$의 torsor (또는 principal homogeneous space)를 분류한다.

Refinement와 Direct Limit

정의 5 Open cover $\mathfrak{V} = {V_j}$가 $\mathfrak{U} = {U_i}$의 refinement라는 것은 각 $j$에 대해 $V_j \subseteq U_{\tau(j)}$인 함수 $\tau: J \to I$가 존재하는 것이다.

명제 6 Refinement $\mathfrak{V} \preceq \mathfrak{U}$에 대해 natural map $\check{H}^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F}) \to \check{H}^p(\mathfrak{V}, \mathcal{F})$가 존재한다.

정의 7 Čech cohomology of $X$를 모든 open cover에 대한 direct limit로 정의한다:

\[\check{H}^p(X, \mathcal{F}) = \varinjlim_{\mathfrak{U}} \check{H}^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F})\]

Čech와 Sheaf Cohomology의 비교

정리 8 Natural map $\check{H}^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X, \mathcal{F})$가 존재한다.

정리 9 (Leray) Open cover $\mathfrak{U} = {U_i}$에 대해 $U_{i_0 \cdots i_p}$에서 $\mathcal{F}$가 acyclic (즉 $H^{>0}(U_{i_0 \cdots i_p}, \mathcal{F}) = 0$)이면:

\[\check{H}^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F}) \cong H^p(X, \mathcal{F})\]

따름정리 10 Quasi-coherent sheaf $\mathcal{F}$ on scheme $X$와 affine open cover $\mathfrak{U}$에 대해:

\[\check{H}^p(\mathfrak{U}, \mathcal{F}) \cong H^p(X, \mathcal{F})\]

(Affine scheme에서 quasi-coherent sheaf는 acyclic이므로)

예시: Circle 위의 Constant Sheaf

예시 11 ($S^1$) Circle $S^1$을 두 개의 열린 호 $U_1, U_2$로 cover하자. $U_1 \cap U_2$는 두 개의 연결성분 $V_1, V_2$를 갖는다.

Constant sheaf $\underline{\mathbb{Z}}$에 대해:

• $\check{H}^0(\mathfrak{U}, \underline{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z}$
• $\check{H}^1(\mathfrak{U}, \underline{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z}$

이것은 $H^1(S^1, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$와 일치한다.

Application: Line Bundle의 분류

명제 12 $\check{H}^1(X, \mathcal{O}_X^\ast) \cong \operatorname{Pic}(X)$이다.

증명 (Sketch)

Line bundle $L$은 open cover ${U_i}$ 위에서 transition function $g_{ij} \in \mathcal{O}_X^\ast(U_i \cap U_j)$로 표현된다. Cocycle condition:

\[g_{ij} g_{jk} = g_{ik} \quad \text{on } U_i \cap U_j \cap U_k\]

이것이 정확히 Čech 1-cocycle condition이다. Isomorphism은 coboundary $g_{ij} = h_i h_j^{-1}$에 의해 주어지므로:

\[\operatorname{Pic}(X) \cong \check{H}^1(X, \mathcal{O}_X^\ast)\]

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[God] R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, 1958.