Sheaves on Varieties

도입

Variety $X$를 연구할 때, $X$ 위의 “함수들”을 이해하는 것이 중요하다. 하지만 단순히 전역 함수 $\mathcal{O}(X)$만 고려하는 것으로는 부족하다. 각 열린집합 $U \subseteq X$ 위의 함수 $\mathcal{O}(U)$를 함께 고려해야 $X$의 국소적 성질을 파악할 수 있다.

Sheaf는 이러한 “함수들의 체계”를 형식화한 도구이다. Sheaf는 위상공간 위에 정의된 대수적 구조로, 국소적 데이터를 전역적 데이터와 연결해준다.

Presheaf와 Sheaf

정의 1 위상공간 $X$ 위의 presheaf_전층 $\mathcal{F}$는 다음 데이터로 구성된다:

1. 각 열린집합 $U \subseteq X$에 대해 abelian group $\mathcal{F}(U)$
2. 각 inclusion $V \subseteq U$에 대해 restriction map $\rho_{UV}: \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$

이들이 다음을 만족한다:

• $\mathcal{F}(\emptyset) = 0$
• $\rho_{UU} = \operatorname{id}$
• $W \subseteq V \subseteq U$이면 $\rho_{UW} = \rho_{VW} \circ \rho_{UV}$

정의 2 Presheaf $\mathcal{F}$가 sheaf_층라는 것은 다음 두 조건을 만족하는 것이다:

1. Locality: 열린집합 $U$의 open cover ${U_i}$와 $s, t \in \mathcal{F}(U)$에 대해, 모든 $i$에 대해 $s

   _{U_i} = t

   _{U_i}$이면 $s = t$이다.

2. Gluing: 열린집합 $U$의 open cover ${U_i}$와 $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$에 대해, 모든 $i, j$에 대해 $s_i

   _{U_i \cap U_j} = s_j

   _{U_i \cap U_j}$이면 $s \in \mathcal{F}(U)$가 존재하여 $s

   _{U_i} = s_i$이다.

예시 3 (Structure sheaf) Variety $X$의 structure sheaf_구조층 $\mathcal{O}_X$는 각 열린집합 $U$에 정칙함수 $\mathcal{O}_X(U)$를 대응시킨다. 이것은 sheaf이다.

예시 4 (Constant presheaf) 위상공간 $X$와 abelian group $A$에 대해, 모든 열린집합 $U \neq \emptyset$에 대해 $\mathcal{F}(U) = A$로 정의하면 이것은 presheaf이지만 일반적으로 sheaf가 아니다.

Sheaf로 만들려면 constant sheaf $\underline{A}$를 정의해야 한다: $\underline{A}(U)$는 $U$ 위의 locally constant function $U \to A$이다.

Stalk과 Sheafification

정의 5 점 $x \in X$에서의 stalk_줄기 $\mathcal{F}_x$를 다음과 같이 정의한다:

\[\mathcal{F}_x = \varinjlim_{U \ni x} \mathcal{F}(U)\]

즉, $x$의 열린근방 $U$ 위의 section들의 direct limit이다.

명제 6 Presheaf $\mathcal{F}$에 대해, 이를 포함하는 최소의 sheaf $\mathcal{F}^+$가 존재한다. 이를 sheafification_층화이라 한다.

Locally Free Sheaf

정의 7 $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{E}$가 locally free국소 자유 층라는 것은 각 점 $x \in X$에 대해 열린근방 $U$와 isomorphism $\mathcal{E}

_U \cong \mathcal{O}_U^{\oplus r}$가 존재하는 것이다.

Rank $r$의 locally free sheaf는 rank $r$의 vector bundle에 대응한다. Rank 1의 locally free sheaf는 line bundle (= invertible sheaf)이다.

예시 8 (Tangent sheaf) Smooth variety $X$의 tangent sheaf_접선층 $\mathcal{T}_X$는 vector field들의 sheaf이다. 이것은 rank $n = \dim X$의 locally free sheaf이다.

예시 9 (Cotangent sheaf) $\Omega_X^1 = \mathcal{T}_X^\vee$는 cotangent sheaf이다. Rank $n$의 locally free sheaf이다.

Sheaf Hom과 Tensor

정의 10 두 $\mathcal{O}_X$-module $\mathcal{F}, \mathcal{G}$에 대해:

\[\mathscr{H}om_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})(U) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_U}(\mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\] \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}(U) = \mathcal{F}(U) \otimes_{\mathcal{O}_X(U)} \mathcal{G}(U)\]

명제 11 $\mathcal{E}$가 locally free of rank $r$이면 $\mathscr{H}om(\mathcal{E}, \mathcal{F}) \cong \mathcal{E}^\vee \otimes \mathcal{F}$이다. 여기서 $\mathcal{E}^\vee = \mathscr{H}om(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)$는 dual이다.

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참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[God] R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, 1958.