위상공간의 기저와 부분기저
위상공간을 표현하는 가장 확실한 방법은 열린집합을 모두 나열하여 위상구조 $\mathcal{T}$를 주는 것이지만, 이를 위해서 $\mathcal{T}$ 전체가 필요하지는 않다. 가령, 어떠한 열린집합 $U=\bigcup U_i$이고, 모든 $i$에 대해 $U\neq U_i$이며 $U_i\in\mathcal{T}$임이 알려져 있다면 $U\in\mathcal{T}$라는 정보는 불필요하게 중복되는 정보라 생각할 수 있다.
정의 1 위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대하여, $\mathcal{T}$의 부분집합 $\mathcal{B}$가 $\mathcal{T}$의 basis기저라는 것은 임의의 $U\in\mathcal{T}$에 대하여, $U=\bigcup_{i\in I} B_i$를 만족하는 $\mathcal{B}$의 원소들의 family $(B_i)_{i\in I}$가 존재하는 것이다.
특별히 $X\in\mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B}$는 $X$의 covering이기도 하다. ([집합론] §집합의 합, ⁋정의 1) 정의에 의해 $\mathcal{B}$의 원소들은 모두 열린집합들이니, 이를 $\mathcal{B}$가 $X$의 open covering열린덮개이라고 표현하면 적절할 것이다.
명제 2 위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대하여, $\mathcal{B}$가 $\mathcal{T}$의 basis인 것은 세 가지 조건
- 각각의 $x\in X$에 대하여, 적어도 하나의 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $x\in B$이고,
- 만일 $x$를 포함하는 $\mathcal{B}$의 두 원소 $B_1$, $B_2$가 존재한다면, 또 다른 $B_3\in\mathcal{B}$가 존재하여 $x\in B_3$이고 $B_3\subseteq B_1\cap B_2$를 만족하고,
- 각각의 $U\in\mathcal{T}$와 $x\in U$에 대하여, $x\in B\subseteq U$를 만족하는 $B\in\mathcal{B}$가 존재한다.
을 만족하는 것과 동치이다.
증명
우선 $\mathcal{B}$가 $\mathcal{T}$의 basis라 가정하자. 그럼 $\mathcal{B}$는 $X$의 open covering이므로, 1번 조건이 자명하게 성립된다.
한편, $B_1$, $B_2$가 2번 조건과 같이 주어졌다면, $B_1\cap B_2$도 열린집합이므로 $B_1\cap B_2=\bigcup_{i\in I} B_i$를 만족하는 $\mathcal{B}$의 원소들의 family $(B_i)_{i\in I}$가 존재한다. 이 때, $(B_i)_{i\in I}$는 $B_1\cap B_2$의 open covering이므로, 1번 조건과 마찬가지로 2번 조건도 자명하게 성립된다. 여기에서 $B_1\cap B_2$를 임의의 열린집합 $U$로 바꾸면 3번을 얻는다.
거꾸로 세 개의 조건이 만족된다고 가정하고, 임의의 열린집합 $U$를 택하자. 그럼 $x\in U$에 대해, 3번 조건에 의해 $x\in B_x\subseteq U$를 만족하는 $B_x\in\mathcal{B}$가 존재한다. 이제 $U=\bigcup_{x\in U} B_x$이므로, 증명 끝.
위의 명제로부터 다음과 같은 질문이 자연스럽게 따라온다.
임의의
집합 $X$에 앞선 조건들을 만족하는 $\mathcal{P}(X)$의 부분집합 $\mathcal{B}$가 주어졌다 하자. 그럼 $X$ 위에 위상 $\mathcal{T}$를 부여하여, $(X,\mathcal{T})$를 basis $\mathcal{B}$를 갖는 위상공간으로 생각할 수 있는가?
이 질문에 대한 답은 긍정적이며, [Mun]에서는 이를 직접 증명했지만 우리는 local basis를 정의한 후 더 간단한 방식으로 증명하기로 한다.
한편 정의 1을 더 다듬어서 다음과 같이 subbasis를 정의할 수 있다.
정의 3 위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 subbasis부분기저 $\mathcal{S}$는 임의의 $U\in\mathcal{T}$에 대하여, $S\subseteq U$인 $S\in\mathcal{S}$가 존재하는 $X$의 open covering을 의미한다.
$\mathcal{S}$의 원소들의 유한한 교집합들을 모아 새로운 모임 $\mathcal{B}$를 만들 수 있다. 이 모임이 basis인지를 체크하는 데 필요한 것은 오직 2번 조건 뿐인데, 어차피 $\mathcal{B}$의 원소들은 $\mathcal{S}$의 유한한 교집합으로 얻어지고, 따라서 $B_1\cap B_2$를 해봐야 $\mathcal{S}$의 원소들의 유한한 교집합이므로 $\mathcal{B}$가 basis가 된다.
위상공간의 국소기저
§열린집합, ⁋명제 6은 위상공간 $X$와 한 점 $x$에 대하여, $x$를 중심으로 하는 neighborhood filter $\mathcal{N}(x)$를 묘사할 수 있다면 $X$의 위상구조를 완전히 복원할 수 있다는 것을 보여준다. 한편 $\mathcal{N}(x)$는 §열린집합, ⁋명제 6의 조건들, 특히 첫째 조건을 만족하므로 이 집합을 묘사하는 데에는 $\mathcal{N}(x)$가 모두 필요하지는 않다.
정의 4 위상공간 $X$와 부분집합 $A$에 대하여, $A$에서의 local basis국소기저는 $(\mathcal{N}(A),\subseteq)$의 coinitial subset을 의미한다. ([집합론] §순서집합의 원소들)
§열린집합, ⁋정의 4와 마찬가지로, $A$가 한점집합 $\{x\}$일 경우, $A$의 local basis를 점 $x$에서의 local basis라 부른다. 그럼 다음이 성립한다.
명제 5 위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathcal{T}$의 부분집합 $\mathcal{B}$가 $X$의 basis인 것은 각각의 $x\in X$에 대하여
증명
편의상 $\mathcal{B}$의 원소들 중 $x$를 포함하는 것들을 모두 모아 이들을 $\mathcal{B}(x)$라 적자.
우선 $\mathcal{B}$가 $X$의 basis라 하고, 임의의 점 $x\in X$와 근방 $V$를 택하자. 그럼 $x\in U\subseteq V$이도록 하는 열린집합 $U$가 존재한다. 이제 $\mathcal{B}$는 $X$의 basis이므로, $U=\bigcup U_i$이도록 하는 $U_i\in\mathcal{B}$들이 존재한다. $x\in U$이므로, 어떤 $i$에 대해 $x\in U_i$이고 따라서 $U_i\in\mathcal{B}(x)$이다.
거꾸로 주어진 조건을 만족하는 $\mathcal{B}$가 주어졌다 하고, 임의의 열린집합 $U$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $x\in U$에 대하여 $U\in\mathcal{N}(x)$이므로, 주어진 조건으로부터 적당한 $V(x)\in\mathcal{B}(x)$가 존재하여 $x\in V(x)\subseteq U$이도록 할 수 있다. 이제 $U=\bigcup V(x)$이므로 원하는 결과를 얻는다.
앞서 명제 2의 첫 번째와 두 번째 조건을 만족하는 임의의 모임이 주어졌을 때, 이를 basis로 갖는 $X$의 위상이 존재하느냐는 질문을 던졌었는데, 이는 위 명제의 쉬운 따름정리가 된다.
따름정리 6 집합 $X$가 주어졌다 하고, $\mathcal{P}(X)$의 부분집합 $\mathcal{B}$가 다음의 두 조건을 만족한다 가정하자.
- 각각의 $x$에 대하여, 적어도 하나의 $B\in\mathcal{B}$가 존재하여 $x\in B$이다.
- $x$를 포함하는 $B_1,B_2\in\mathcal{B}$가 존재한다면, 또 다른 $B_3\in\mathcal{B}$가 존재하여 $x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$이다.
그럼 $X$ 위에 정의된 유일한 위상 $\mathcal{T}$가 존재하여, $\mathcal{B}$가 이 위상 $\mathcal{T}$의 basis이도록 할 수 있다.
증명
$\mathcal{B}(x)$를 앞선 명제의 증명에서와 같이
으로 정의하자. 즉 $\mathcal{N}(x)$는 주어진 $x\in X$를 포함하는 $\mathcal{B}$의 원소, 그리고 이 원소보다 큰 $\mathcal{P}(X)$의 원소들을 모두 포함하는 모임이다.
- 임의의 $V\in\mathcal{N}(x)$에 대하여, $V\subseteq V’$라 하자. $\mathcal{N}(x)$의 정의에 의하여, $U\subseteq V$를 만족하는 $U\in\mathcal{B}(x)$가 존재하며, 이러한 $U$에 대해 $U\subseteq V’$이므로 $V’\in\mathcal{N}(x)$이다.
- $\mathcal{N}(x)$의 원소들 $V_1,\ldots, V_n$이 주어졌다 하자. 그럼 $U_i\subseteq V_i$를 만족하는 $U_i\in\mathcal{B}(x)$들이 존재한다. 명제 2의 두 번째 조건을 귀납적으로 사용하면, 적당한 $U\in\mathcal{B}(x)$가 존재하여 $U\subseteq U_1\cap\cdots\cap U_n$임을 알 수 있다. 특히 $U\subseteq V_1\cap\cdots\cap V_n$이므로, $V_1\cap\cdots\cap V_n\in\mathcal{N}(x)$이다.
- $\mathcal{N}(x)$의 임의의 원소 $V$에 대하여, $W\subseteq V$를 만족하는 $W\in\mathcal{B}(x)$가 존재하므로 $x\in V$이다.
- $\mathcal{N}(x)$의 임의의 원소 $V$에 대하여, $W\subseteq V$를 만족하는 $W\in\mathcal{B}(x)$를 택하자. 그럼 임의의 $W\in\mathcal{B}$이며, 따라서 임의의 $y\in W$에 대해 $W\in\mathcal{B}(y)$이다. $W\subseteq V$이므로, 이로부터 $V\in\mathcal{N}(y)$가 모든 $y$에 대해 성립함을 안다.
이제 §열린집합, ⁋명제 6을 적용하여 위상공간 $\mathcal{T}$를 얻을 수 있고, 이 위상공간에서 $\mathcal{B}(x)$는 $x$에서의 local basis가 되므로 명제 5에 의해 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{T}$의 basis가 된다.
이 과정을 통해 $\mathcal{B}$로부터 얻어지는 위상을 $\mathcal{B}$에 의해 생성된 위상이라 부르며, 비슷하게 subbasis $\mathcal{S}$로부터 basis를 만들고, 이 basis를 통해 생성된 위상을 $\mathcal{S}$로부터 얻어지는 위상이라 부른다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki, General Topology. Elements of mathematics. Springer, 1995.
[Mun] J.R. Munkres, Topology. Featured Titles for Topology. Prentice Hall, Incorporated, 2000.
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