이제 우리는 몫집합 위에 위상을 정의하는 방법을 살펴본다. ([집합론] §동치관계, ⁋정의 6)
Locally closed subspace
정의 1 위상공간 $X$가 주어졌다 하자. 부분집합 $A$가 $x\in A$에서 locally closed라는 것은 $X$에서 $x$의 근방 $V$가 존재하여, $A\cap V$가 $V$에서 닫힌집합인 것이다. 만약 $A$가 모든 $x\in A$에서 locally closed라면 $A$ 자체를 locally closed라 부른다.
명제 2 위상공간 $X$와 부분집합 $A$에 대하여 다음이 모두 동치이다.
- $A$가 $X$에서 locally closed이다.
- $A$은 $X$의 열린집합과 닫힌집합의 교집합이다.
- $A$은 자기 자신의 ($X$에서의) closure $\cl A$에 대하여 열린집합이다.
증명
우선 $A$가 locally closed라 하고, 임의의 $x\in A$에 대하여 정의 1의 조건을 만족하는 $X$에서의 $x$의 열린근방을 $V_x$라 하자. 그럼 $U=\bigcup_{x\in A} V_x$는 열린집합이다. 또, §부분공간, ⁋명제 6 (1)을 적용하면 $A$는 $U$에서 닫힌집합임을 안다. 따라서 $X$의 적당한 닫힌집합 $C$에 대하여 $A=U\cap C$이므로 둘째 조건이 성립한다.
이제 $X$의 열린집합 $U$와 닫힌집합 $C$에 대하여 $A=U\cap C$가 성립한다고 가정하자. 그럼 $\cl A\subseteq C$이므로,
\[A\subseteq U\cap\cl A\subseteq U\cap C=A\]가 성립하고, 특히 $A=U\cap\cl A$이다. 이로부터 $A$가 $\cl A$의 열린집합임을 안다.
마지막으로 만일 $A=U\cap\cl A$를 만족하는 $X$의 열린집합 $U$가 존재한다면, $A$는 집합 $U$의 닫힌집합이고 따라서 locally closed이다.
특히 2번 조건으로부터, 연속함수 $f:X\rightarrow Y$와 $Y$의 locally closed subset $B$가 주어졌다면 $f^{-1}(B)$ 또한 $X$에서 locally closed임을 알 수 있다.
몫공간
정의 3 위상공간 $X$가 주어졌다 하고, 집합 $X$ 위에 동치관계 $R$이 주어졌다 하자. 그럼 $R$에 의한 $X$의 몫공간quotient space은 canonical projection $p:X\rightarrow X/R$에 의해 정의되는 final topology가 주어진 공간 $X/R$을 의미한다.
§Initial topology와 final topology, ⁋명제 5에 의하여 $X/R$에서의 열린집합은 정확하게 $p^{-1}(U)$가 $X$에서 열린집합이도록 하는 집합을 의미한다.1 [집합론] §동치관계, ⁋정의 13의 언어로 이를 풀어쓰면, $X/R$ 위의 열린집합들은 $R$에 대해 saturated인 $X$의 열린집합에 일대일로 대응된다는 것을 확인할 수 있다.
한편 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 6에 의하여 다음이 성립한다.
명제 4 위상공간 $X$와 몫공간 $X/R$, 그리고 canonical projection $p:X\rightarrow X/R$이 주어졌다 하자. 임의의 위상공간 $Y$에 대하여, 함수 $f:X/R\rightarrow Y$가 연속인 것은 $f\circ p$가 $X$에서 $Y$로의 연속함수인 것과 동치이다.
명제 5 위상공간 $X$와, $X$ 위에 정의된 두 동치관계 $R,S$를 생각하자. 만일 $S$가 $R$보다 세밀한 동치관계라면, $X/S$ 위에 정의된 동치관계 $R/S$에 대하여 전단사함수 $(X/S)/(R/S)\rightarrow X/R$는 homeomorphism이 된다.
증명
$(X/S)/(R/S)\rightarrow X/R$이 전단사함수가 되는 것은 [집합론] §동치관계, ⁋정의 16에서 이미 보인 것이다. 명제 4에 의하여, 이 함수가 연속인 것은 $X/S\rightarrow X/R$이 연속인 것과 동치이고, 다시 이 함수의 연속성은 $X\rightarrow X/R$이 연속인 것으로부터 얻어진다.
이와 유사하게 $X/R\rightarrow(X/S)/(R/S)$의 연속성은 $X\rightarrow(X/S)/(R/S)$의 연속성으로부터 얻어지며, 이 함수는 두 연속함수의 합성
\[X\longrightarrow X/S\longrightarrow (X/S)/(R/S)\]과 같으므로 연속이다.
한편 위상공간 $X,Y$와 연속함수 $f:X\rightarrow Y$가 주어졌다 하고, $f$에 의해 정의된 동치관계 $R$을 생각하자. ([집합론] §동치관계, ⁋정의 5) 그럼 $f$의 canonical decomposition
\[X\overset{p}{\longrightarrow}X/R\overset{\bar{f}}{\longrightarrow}f(X)\overset{i}{\longrightarrow}Y\]을 생각할 수 있다. 이제 $f(X)$에 부분위상을 부여하면, 명제 4와 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 3에 의하여 $\bar{f}$가 연속인 것은 자명하다. 또, canonical decomposition의 정의에 의하여 $\bar{f}$는 전단사함수이다. 일반적으로 $\bar{f}$가 homeomorphism이 될 필요는 없지만 (§연속함수, ⁋예시 5), 다음의 성립한다.
명제 6 위의 diagram에 대하여, 다음이 동치이다.
- $\bar{f}$가 $X/R$에서 $f(X)$로의 homeomorphism이다.
- $R$에 대해 saturated인 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $f(U)$는 $f(X)$에서 열린집합이다.
- $R$에 대해 saturated인 닫힌집합 $C\subseteq X$에 대하여, $f(C)$는 $f(X)$에서 닫힌집합이다.
이는 두 번째 혹은 세 번째 조건이 정확히 $\bar{f}^{-1}$ 또한 연속이라는 의미이기 때문에 자명하다.
한편, 위와 동일한 상황에서 $f$의
이고, 위의 식의 왼쪽에 $\bar{f}^{-1}$, 오른쪽에 $\bar{f}$를 각각 합성해주면
\[(p\circ s)\circ\bar{f}=\id_{X/R}\]를 얻는다. 따라서 이 경우 $\bar{f}$는 homeomorphism이 된다.
몫공간과 부분공간
이제 위상공간 $X$와 부분집합 $A$, $X$ 위에 주어진 동치관계 $R$을 생각하자. $p:X\rightarrow X/R$을 canonical projection이라 하면, $p|_A:A\rightarrow X/R$의 canonical decomposition
\[A\overset{q}{\longrightarrow}A/(R|_A)\overset{\overline{(p|_A)}}{\longrightarrow} f(A)\overset{j}{\longrightarrow}X/R\]이 정의되며 위와 동일한 논증에 의해 $\overline{(p|_A)}$는 연속인 bijection이 된다. 다음 명제 또한 거의 자명하다.
명제 7 위의 decomposition에서 다음이 모두 동치이다.
- $\overline{(p|_A)}$가 homeomorphism이다.
- $R|_A$-saturated인 열린집합 $U\subseteq A$은 $R$-saturated인 $X$의 열린집합과 $A$의 교집합이다.
- $R|_A$-saturated인 닫힌집합 $C\subseteq A$은 $R$-saturated인 $X$의 닫힌집합과 $A$의 교집합이다.
-
[§부분공간]에서와 마찬가지로, [Mun]에서는 이를 몫위상의 정의로 삼는다. ↩
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