우리는 지금까지 위상수학의 기초적인 내용을 다뤘다. 역사적으로 보았을 때, 열린집합들의 모임 $\mathcal{T}$를 위상공간으로 정의하는 것은 그렇게까지 오래되지는 않았고, 여러 정의가 존재해왔다. 현재에도 연구분야에 따라 이들 정의들이 유용할 때가 있다. 이번 글에서는 지금까지 살펴본 개념들을 사용하여 다른 방식으로 위상수학을 정의하는 법을 살펴본다.
닫힌집합
§집합의 내부, 폐포, 경계, ⁋명제 2에 의하여, 집합 $X$ 위에
Closure axiom
정의 1 (Kuratowski closure axiom) 임의의
- $A\subset\cl(A)$
- $\cl(\cl(A))=\cl(A)$
- $\cl(A\cup B)=\cl(A)\cup\cl(B)$
- $\cl(\emptyset)=\emptyset$
이 조건들을 만족하는 함수를 closure operator라 부른다. ([집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋정의 8)
세 번째 조건으로부터, 만일 $A\subseteq B$라면
\[\cl(A)\subset\cl(A)\cup\cl(B)=\cl(A\cup B)=\cl(B)\]임을 알 수 있다.
임의의 위상공간 $X$에 대하여, $X$의 임의의 부분집합 $A$를 $A$의 closure로 보내는 함수 $\cl:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$가 위의 조건을 만족한다는 것은 자명하다.
거꾸로 임의의 집합 $X$ 위에 위의 조건을 만족하는 closure operator $\cl:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$이 주어졌다 하자. 이제 $\mathcal{P}(X)$의 원소들 중 $\cl(C)=C$를 만족하는 집합들의 모임을 $\mathcal{C}$로 적자. 그러면
- $\cl(\emptyset)=\emptyset$이므로, $\emptyset\in\mathcal{C}$이다. 한편 $X\subset\cl(X)$이므로 $\cl(X)=X$이고 따라서 $X\in\mathcal{C}$이다.
- 임의의 $A,B\in\mathcal{C}$에 대하여, $A\cup B=\cl(A)\cup\cl(B)=\cl(A\cup B)$가 성립하므로 $A\cup B\in\mathcal{C}$가 성립한다.
-
임의의 index set $I$와 $A_i\in\mathcal{C}$들에 대하여, $\bigcap A_i\subset\cl(\bigcap A_i)$이고, 또 $\bigcap A_i\subseteq A_i$으로부터
\[\cl(\bigcap A_i)\subset\cl(A_i)=A_i\]가 성립하므로 $\cl(\bigcap A_i)\subset\bigcap A_i$ 또한 성립한다.
이로부터 다음의 정리가 얻어진다.
정리 2 정의 1의 조건을 모두 만족하는 함수 $\cl:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$가 주어졌다 하자. $\mathcal{C}$를
물론 집합의 interior를 이용하여도 어렵지 않게 위상구조를 하나 정의할 수 있다. 이 경우, interior operator $\interior$가 만족해야 할 공리들은 다음과 같다.
Interior axiom. 임의의 집합 $X$에 대하여, 함수 $\interior:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$가 다음의 조건들을 만족한다 하자.
- $\interior(A)\subseteq A$
- $\interior(\interior(A))=\interior(A)$
- $\interior(A\cap B)=\interior(A)\cap\interior(B)$
- $\interior(X)=X$
이 조건들을 만족하는 함수를 interior operator라 부른다.
Neighborhood filter
우리는 §열린집합, ⁋명제 6에서 각 점 $x$마다 neighborhood filter $\mathcal{N}(x)$를 주면, 이 정보 또한 유일한 방식으로 $X$에 위상구조를 준다는 것을 확인했다. 해당 명제에서 $\mathcal{N}(x)$가 만족해야 할 첫 번째부터 세 번째 조건은 filter의 조건이며, 다음 정의 또한 이미 정의하였던 것이지만 나중의 reference를 위해 남겨둔다.
정의 3 집합 $X$ 위에서 정의된 filter라는 것은 다음의 세 조건을 만족하는 $\mathcal{P}(X)$의 부분집합 $\mathcal{F}$를 뜻한다.
- $\mathcal{F}$의 원소를 포함하는 $X$의 부분집합은 $\mathcal{F}$에 속한다.
- $\mathcal{F}$의 원소들의 유한한 교집합은 $\mathcal{F}$에 속한다.
- $\emptyset\not\in\mathcal{F}$이다.
Ordered set $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$를 생각하면, 위 정의는 [집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋정의 1에서 정의한 것과 동일하지만 조건 $\emptyset\not\in\mathcal{F}$가 추가된 것으로 생각할 수 있다. 그럼 $\mathcal{N}(x)$가 만족해야 할 네 가지 조건 중 앞의 세 가지는 $\mathcal{N}(x)$가 모든 $x$에 대하여 filter 구조를 갖는다는 것으로 축약할 수 있다. 네 번째 조건은 별도로 이름을 갖는다.
Neighborhood axiom. 임의의 $z\in X$와, 각각의 원소가 $z$를 포함하는 $X$의 filter $\mathcal{N}(z)$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $S\in\mathcal{N}(z)$마다 적당한 $S’\in\mathcal{N}(z)$가 존재하여,
뿐만 아니라, $\mathcal{N}(x)$를 local base와 같은 역할을 한다고 생각하면, 이를 통해 위상공간이 basis $\mathcal{B}$를 통해서도 정의됨을 보일 수 있었다. (§위상공간의 기저, ⁋따름정리 6)
서두에서 말한 것과 같이, 이번 글은 본질적으로는 우리가 그 동안 다뤄왔던 개념들을 다른 방식으로 적은 것에 불과하다. 다른 분야, 특히 해석학에서 많이 쓰이는 일반화는 지금까지 살펴본 내용과는 별개의 것이며 이를 제대로 살펴보기 위해서는 약간 더 기다릴 필요가 있다. <#ref#>
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