곱공간 (작성중)

정의 1 위상공간들의 family $(X_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하자. 이들의 곱_product은 곱집합 $X=\prod_{i\in I}X_i$ 위에 함수들 $\pr_i:X\rightarrow X_i$에 대한 initial topology가 주어진 위상공간이다.

그럼 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 2에 의하여 $X$ 위에 주어진 product topology는 다음의 집합

\[\mathcal{S}=\{\pr_i^{-1}(U_i)\mid U_i\text{ open in }X_i\}\]

을 subbasis로 하여 생성된 공간이다. 이 때, $\mathcal{S}$에 의하여 생성되는 basis $\mathcal{B}$는

\[\prod_{i\in I} U_i,\qquad \text{$U_i$ open in $X_i$, $U_i=\emptyset$ for all but finitely many $i$}\]

들의 모임이다. 한편 §Initial topology와 final topology, ⁋명제 3을 적용하면 다음을 얻는다.

명제 2 곱공간 $X=\prod_{i\in I}X_i$와 위상공간 $Y$가 주어졌다 하고, 함수들 $f_i:Y\rightarrow X_i$이 주어졌다 하자. 그럼 함수 $f=(f_i): Y\rightarrow X$가 연속인 것은 각각의 $f_i$가 연속인 것과 동치이다.

따름정리 3 Index set $I$를 공유하는 두 곱공간 $X=\prod_{i\in I}X_i$, $Y=\prod_{i\in I}Y_i$이 주어졌다 하고, $f_i:X_i\rightarrow Y_i$들이 주어졌다 하자. 그럼 $f:(x_i)\mapsto (f_i(x_i))$이 연속인 것은 각각의 $f_i$가 연속인 것과 동치이다.

따름정리 4 위상공간 $X,Y$와 함수 $f:X\rightarrow Y$에 대하여, $f$가 연속인 것은 함수 $g:x\mapsto (x,f(x))$가 $X$에서 $\Gamma(f)$로의 homeomorphism인 것과 동치이다.

특히, 상수함수 $f$는 항상 연속이고, $f$가 모든 $x\in X$를 $y\in Y$로 보낸다고 하면 $\Gamma(f)=X\times\{y\}$가 된다. 따라서 $X$와 $X\times\{y\}$가 항상 homeomorphic하며, 비슷하게 $Y$와 $\{x\}\times Y$ 또한 항상 homeomorphic하다.

Closure와 곱집합