노름과 대각합

원소의 노름과 대각합

언제나처럼 commutative ring $A$가 주어졌다 하고, 이번에는 unital associative $A$-algebra $E$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $E$-module은 항상 restriction of scalar를 통해 $A$-module로 생각할 수 있다.

정의 1 $E$-module $M$이 주어졌다 하고, $M$이 $A$-module로서 유한한 basis를 갖는다 하자. 임의의 $\alpha\in E$에 대하여, 다음의 $E$-module endomorphism

\[\alpha_M: x\mapsto \alpha x\]

이 주어졌다 하자. 그럼 $\alpha_M$의 trace, determinant, characteristic polynomial을 각각 $\alpha$의 trace, norm, characteristic polynomial이라 부르고,

\[\tr_{M/A}(\alpha)=\tr(\alpha_M),\qquad N_{M/A}(\alpha)=\det(\alpha_M),\qquad \chi_{M/A,\alpha}(\x)=\chi_{\alpha_M}(\x)\]

으로 표기한다.

그럼 trace와 determinant의 성질로부터

\[\tr_{M/A}(\alpha+\beta)=\tr_{M/A}(\alpha)+\tr_{M/A}(\beta),\qquad \tr_{M/A}(\alpha\beta)=\tr_{M/A}(\beta\alpha),\qquad N_{M/A}(\alpha\beta)=N_{M/A}(\alpha)N_{M/A}(\beta)\]

를 얻는다. 또, 이들을 행렬의 trace, determinant, characteristic polynomial로 볼 수 있는 것도 앞선 글에서 살펴보았다.

주목할 만한 사실은 위의 선택은 $M$의 isomorphism class에만 의존한다는 것이다. 이는 $M$에서 $M’$로의 isomorphism이 있다면 이 isomorphism을 따라 $M$의 basis가 $M’$의 basis로 옮겨지며, 이 basis에 대해 $\alpha_{M’}$을 행렬로 나타낸 것이 원래의 basis에 대해 $\alpha_M$을 행렬로 나타낸 것과 같기 때문이다.

한편