Frobenius manifold

우리는 §Mirror Symmetry 개요에서 toric Fano variety \(X_\Sigma\)의 mirror symmetry가 Jacobi ring과 quantum cohomology 사이의 isomorphism

\[\Jac(W_q) \cong QH^\ast(X_\Sigma)\]

로 요약된다는 것을 살펴보았다. 그러나 해당 글에서도 살펴보았듯 quantum cohomology는 이 ring 동형이 잡아내는 것 이상의 구조를 갖는데, 이는 Novikov parameter \(q\)의 변화에 따라 product 자체가 변형되기 때문이다. 이러한 deformation을 담아낼 수 있는 구조가 Frobenius로, 이번 글에서 우리는 우선 finite-dimensional Frobenius algebra의 정의를 짚은 뒤 Dubrovin의 Frobenius manifold 개념과 WDVV equation을 차례로 살펴본다.

프로베니우스 대수

Frobenius manifold는 직관적으로 각 점에서 Frobenius algebra structure를 갖는 manifold이다.

정의 1 Finite-dimensional commutative, associative \(\mathbb{C}\)-algebra \(A\)와 그 위에 정의된 non-degenerate symmetric bilinear form \(\eta: A \otimes A \to \mathbb{C}\)가 주어졌다 하자. 만일 모든 원소 \(x,y,z\in A\)에 대하여 다음의 식

\[\eta(x \cdot y,z) = \eta(x,y \cdot z)\]

이 성립한다면, 이 pair \((A, \eta)\)를 Frobenius algebra_{프로베니우스 대수}라 부른다.

위 조건은 \(A\)의 곱셈 \(\cdot : A \otimes A \to A\)와 bilinear form \(\eta\)가 호환되어, 세 인수 모두에 대해 대칭인 trilinear form \(c(x,y,z) := \eta(x \cdot y,z)\)를 정의함을 의미한다. 실제로 commutativity로부터

\[c(x,y,z) = \eta(x \cdot y,z) = \eta(y \cdot x,z) = c(y,x,z)\]

이고, Frobenius 조건으로부터

\[c(x,y,z) = \eta(x,y \cdot z) = \eta(y \cdot z, x) = c(y,z,x)\]

이다. 따라서 \(c\)는 세 변수에 대해 완전히 symmetric하며, 이 trilinear form이 Frobenius structure의 모든 정보를 담고 있다.

예시 2 Compact Kähler manifold \(X\)의 cohomology ring \(H^\ast(X, \mathbb{C})\)는 cup product와 Poincaré pairing

\[\eta(\alpha, \beta) = \int_X \alpha \smile \beta\]

에 대해 Frobenius algebra이다. 이는 다음의 식

\[\eta(\alpha \smile \beta, \gamma) = \eta(\alpha, \beta \smile \gamma)\]

이 모든 \(\alpha,\beta,\gamma\)에 대해 성립한다는 것이며, 이 식은 cup product의 결합법칙으로 얻어지는 것이다.

한편, 우리는 §Mirror Symmetry 개요의 예시에서 Landau-Ginzburg model을 소개했는데, 이는 주어진 manifold \(\check{X}\) 위에 주어진 holomorphic function \(W\)로 이루어지며, \(W\)의 critical point들을 담고 있는 Jacobi ring이 B-model의 정보를 들고 있었다. 국소적으로 이는 다음과 같이 적힌다.

정의 3 Holomorphic function \(f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}\)가 원점에서 isolated hypersurface singularity를 갖는다는 것은 다음의 두 조건이 성립하는 것이다.

1. \(f(0) = 0\), \(df(0) = 0\).
2. 원점이 \(f\)의 critical point들 중 isolated인 것, 즉 원점의 어떤 근방 안에서 \(df = 0\)의 해가 원점 하나뿐이다.

표준적인 예시는 \(f(\x) = \x^{k+1}\) (\(k \geq 1\))이며, 우리는 이를 \(A_k\)-type singularity라 부른다.

이제 다항식 \(f:\mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}\)의 모든 critical point가 isolated hypersurface singularity라 하자. 그럼 우리는 그 Jacobi ring

\[\Jac(f) = \mathbb{C}[\x_1, \ldots, \x_n]/(\partial_1 f, \ldots, \partial_n f)\]

을 생각할 수 있다. 그 차원 \(\mu(f)=\dim \Jac(f)\)는 \(f\)의 singularity의 개수를 order를 포함해서 센 것으로, 직관적으로는 약간의 perturbation을 통하여 \(\mu(f)\)개의 simple critical point들을 갖는 것으로 생각할 수도 있다. Singularity theory에서는 이 \(\mu(f)\)를 \(f\)의 Milnor number라 부른다.

예시 4 모든 critical point가 isolated hypersurface singularity인 다항식 \(f : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}\)의 Jacobi ring \(\Jac(f)\) 위에 residue pairing \(\eta\)를 다음의 식

\[\eta(g, h) := \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\Gamma_\epsilon} \frac{g(\x) h(\x) \, d\x_1 \wedge \cdots \wedge d\x_n}{\partial_1 f \cdots \partial_n f}\]

으로 정의한다. 여기서 적분경로 \(\Gamma_\epsilon\)은 \(\Crit(f)=\{df=0\}\)의 모든 점을 둘러싸는 작은 contour 위에서 이루어지는 것으로, 이 적분은 critical point를 multiplicity 정보가 포함된 fat point로 봤을 때 해당 점에서의 적분값이라 생각할 수 있다.

즉, 직관적으로 이는 예시 2의 manifold 전체 적분 \(\int_X\)를 critical scheme의 (유한 개) 점들에서의 적분으로 localize한 것으로 생각할 수 있으며, \((\Jac(f), \eta)\)가 실제로 Frobenius algebra가 되는 것도 해당 예시에서와 비슷한 방식으로 보일 수 있다.

일반적으로 \(f\)의 모든 critical point가 non-degenerate인 경우, 즉 각 \(p \in \Crit(f)\)에서 Hessian \(\Hess_p(f) = (\partial_i \partial_j f(p))_{ij}\)가 invertible한 경우, 위의 적분은

\[\eta(g, h) = \sum_{p \in \Crit(f)} \frac{g(p)\, h(p)}{\det \Hess_p(f)}\]

로 간단히 계산할 수 있으며, 더 근본적으로는 \(\Jac(f)\) 자체가

\[\Jac(f)=\bigoplus_{p\in \Crit(f)}\mathbb{C}\]

로 분해되며, 이 basis에 대하여 residue pairing은 critical point basis 위에서 \(\operatorname{diag}(1/\det \Hess_p(f))\)로 대각화되는 것을 확인할 수 있다.

특별한 예시로 §Mirror Symmetry 개요, ⁋예시 5에서 본 \(\mathbb{P}^1\)의 Hori-Vafa superpotential

\[W_q = \x + \frac{q}{\x}\]

를 생각하면, 그 critical point는 \(\x_\pm = \pm\sqrt{q}\) 두 점이다.

다소 주의할 것은 ambient space \(\check{X}\)은 affine space가 아니라 algebraic torus라는 것으로, 이 위에 정의된 differential form은 단순히 \(d\x\)가 아니라는 것이다. 실제로 이 위의 differential form은 [토릭 기하학] §토릭 다양체 위의 로그 미분형식, ⁋정의 1에 의하여 \(d\x/\x\)로 주어지며, 이는 torus 위의 좌표가 \(\u=\log\x\)로 주어진 것이라 보면 된다. 그럼 \(d\u=d\x/\x\)이고 \(\partial_\u=\x\partial_\x\)가 되며, Hessian을 계산하기 위해 이 좌표에서 \(W_q\)의 도함수를 차례로 구하면

\[\partial_\u W_q = \x \partial_\x W_q = \x - q/\x, \qquad \partial_\u^2 W_q = \partial_\u(\x - q/\x) = \x + q/\x\]

가 되며, critical point \(\x_\pm = \pm\sqrt{q}\)에서는

\[\Hess_{\x_\pm}(W_q)=\partial_\u^2 W_q \big\vert_{\x_\pm} = \x_\pm + q/\x_\pm = 2\x_\pm = \pm 2\sqrt{q}\]

가 된다. 위 식을 두 critical point에 대해 적용하면 residue pairing은

\[\eta(g, h) = \frac{g(\sqrt{q})\,h(\sqrt{q})}{2\sqrt{q}} + \frac{g(-\sqrt{q})\,h(-\sqrt{q})}{-2\sqrt{q}}\]

가 된다. 이제 이를 \(\Jac(W_q) = \mathbb{C}[\x^{\pm 1}, q^{\pm 1}]/(\x^2 - q)\)의 basis \(\{1, \x\}\) 위에서 직접 계산하면

\[\eta(1, 1) = \frac{1}{2\sqrt{q}} + \frac{1}{-2\sqrt{q}} = 0, \qquad \eta(1, \x) = \frac{\sqrt{q}}{2\sqrt{q}} + \frac{-\sqrt{q}}{-2\sqrt{q}} = 1, \qquad \eta(\x, \x) = \frac{q}{2\sqrt{q}} + \frac{q}{-2\sqrt{q}} = 0\]

이 되어, 이 basis에 대한 \(\eta\)의 행렬표현은 \(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)이다. 이는 정확히 \(\mathbb{P}^1\)의 classical Poincaré pairing과 일치하며, ring isomorphism \(\Jac(W_q) \cong QH^\ast(\mathbb{P}^1)\)이 실은 Frobenius algebra isomorphism이었음을 보여준다.

같은 방식으로 §Mirror Symmetry 개요, ⁋예시 6에서 본 \(\mathbb{P}^2\)의 Hori-Vafa superpotential

\[W_q = \z_1 + \z_2 + \frac{q}{\z_1 \z_2}\]

를 생각하자. Log coordinate \(\u_i = \log \z_i\)에서 \(W_q\)의 도함수를 구하면

\[\partial_{\u_1} W_q = \z_1 - q/(\z_1 \z_2), \qquad \partial_{\u_2} W_q = \z_2 - q/(\z_1 \z_2)\]

이고, 둘 모두가 \(0\)이라 하면 \(\z_1 = \z_2 = \z\)이고 \(\z^3 = q\)여야 하므로 critical point는 세 점

\[\z_k = \omega^k q^{1/3},\qquad k = 0, 1, 2\]

으로 주어지며 \(\Jac(W_q) \cong \mathbb{C}[\z, q^{\pm 1}]/(\z^3 - q)\)는 basis \(\{1, \z, \z^2\}\)를 갖는다. Hessian을 계산하기 위해 log coordinate에서 \(W_q\)의 이계 도함수를 모으면

\[\Hess(W_q) = \begin{pmatrix} \z_1 + \frac{q}{\z_1 \z_2} & \frac{q}{\z_1 \z_2} \\ \frac{q}{\z_1 \z_2} & \z_2 + \frac{q}{\z_1 \z_2} \end{pmatrix}\]

이며, critical point에서는 \(q/(\z_1 \z_2) = \z^3/\z^2 = \z\)이므로

\[\Hess_{\z_k}(W_q) = \begin{pmatrix} 2\z_k & \z_k \\ \z_k & 2\z_k \end{pmatrix}, \qquad \det \Hess_{\z_k}(W_q) = 3\z_k^2\]

가 된다. 위 식을 세 critical point에 대해 적용하면 residue pairing은

\[\eta(\z^a, \z^b) = \sum_{k=0}^{2} \frac{(\omega^k q^{1/3})^{a+b}}{3 (\omega^k q^{1/3})^2} = \frac{q^{(a+b-2)/3}}{3} \sum_{k=0}^{2} \omega^{k(a+b-2)}\]

이고,

\[\sum_{k=0}^{2} \omega^{km} = 3\iff m \equiv 0 \pmod 3\]

이며 그 외의 경우에는 이 값이 \(0\)이 된다. 즉, \(0 \leq a, b \leq 2\)에서는 \(a + b = 2\)일 때만 \(\eta(\z^a, \z^b) = 1\)이며 그 외의 경우에는 \(0\)이다. 즉 이 basis에 대한 \(\eta\)의 행렬표현은 이번 경우에도 \(\mathbb{P}^2\)의 classical Poincaré pairing과 일치하는 다음의 행렬

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

로 주어지는 것을 확인할 수 있다.

프로베니우스 다양체

앞선 절에서 우리는 프로베니우스 대수를 정의하고, 이것이 mirror symmetry의 ring isomorphism \(\Jac(W_q) \cong QH^\ast(X_\Sigma)\)를 Frobenius algebra 차원으로 격상시킨다는 것을 확인하였다. 그러나 mirror symmetry isomorphism

\[\Jac(W_q)\cong QH^\ast(X)\]

는 여전히 그 full power로 state된 게 아닌데, mirror symmetry의 자연스러움이 isomorphism은 일종의 naturality 또한 가진다는 데에 있다. 즉, 이 isomorphism은 \(q\)의 변화를 따라 매끄럽게 변형되는 isomorphism들의 family를 정의하며, 이를 실제로 구현하려면 우선 Frobenius algebra가 특정한 변수 (\(q\))로 parametrize되는 상황을 생각해야 한다.

이를 위해 우리는 Frobenius manifold의 개념을 정의한다. 당연히 Frobenius manifold는 각 점에서의 tangent space가 Frobenius algebra인 manifold겠지만, 그것이 전부는 아니며, 당연히 이 구조가 base manifold를 따라 매끄럽게 움직여야 한다.

우선 Frobenius manifold \(M\) 위에 정의된 tangent bundle \(TM\)에 대하여, \(TM\)의 각 점이 Frobenius algebra여야 하므로, 각각의 점 \(p\in M\)에서 \(T_pM\)은 algebra로서의 곱셈 \(\circ\), 이 곱셈에 대한 항등원 \(e\), 그리고 Frobenius algebra의 pairing \(\eta\)가 필요하다. 이들이 smooth structure를 구성하기 위해서는 \(\circ\)는 \(p\)에 대해 smooth하게 변하는 \(\circ_p:T_pM\otimes T_pM\rightarrow T_pM\)이며, \(\eta\)는 smooth non-degenerate bilinear form \(\eta\)가 되어야 할 것이다. 또, 항등원은 \(TM\)의 (smooth) section, 즉 vector field가 되어야 한다.

미분기하학에서 서로 다른 tangent space를 비교하게 해 주는 것은 connection이었다. ([리만기하학] §접속, ⁋정의 1) 일반적으로 임의의 pseudo-Riemannian manifold \(M\) 위에는 항상 그에 호환되는 Levi-Civita connection \(\nabla\)가 존재하므로 ([리만기하학] §레비-치비타 접속, ⁋정리 4) 이를 사용하면 충분하다.

한편, 임의의 connection \(\nabla\)가 주어진다면, \(M\) 위에 놓여진 곡선 \(\gamma\)를 통해 곡선의 시작점 \(x_0\)과 \(x_1\)을 이어주는 parallel transport가 존재했다. ([리만기하학] §레비-치비타 접속, ⁋정의 7) Manifold의 점을 parameter로 삼아 Frobenius algebra를 변형하려면 우리는 이 parallel transport를 사용해야 하는데, 이 변형이 한 점에서 다른 점으로 옮기는 곡선에 의존한다면 이는 별로 좋은 상황은 아닐 것이다. ([리만기하학] §리만 곡률, ⁋예시 1) 즉, 우리는 이 \(\nabla\)가 flat이기를 바란다. ([리만기하학] §리만 곡률, ⁋정의 6)

마지막으로 \(QH^\ast(X)\)에는 이미 grading이 주어져있으므로 이를 반영할 데이터가 추가로 필요하다. 여기서 \(QH^\ast(X)\)의 grading은 classical cohomology \(H^\ast(X)\)에 Novikov ring의 grading으로부터 나오는 grading을 더하여 얻어졌던 것을 기억하자. 즉 \(QH^\ast(X) = H^\ast(X) \otimes_\mathbb{C} \Lambda\)라 할 때, 임의의 generator \(T_\alpha \otimes q^\beta\)의 degree는 \(\deg(T_\alpha \otimes q^\beta) = p_\alpha + 2\, c_1 \cdot \beta\)로 주어졌었다. ([사교기하학] §양자 코호몰로지, ⁋정의 2)

이러한 grading 자료를 manifold \(M\) 위의 vector field로 부호화한 것이 Euler vector field \(E\)이다. \(E\)의 flow를 따라 곱셈 \(\circ\)를 흘려보냈을 때 그 무한소 deformation이 Lie derivative \(\Lie_E(\circ)\)로 주어지는데, §양자 코호몰로지에서 살펴본 quantum product가 degree를 respect한다는 사실은 이 deformation이 정확히 \(\circ\) 자기 자신과 같다는 식

\[\Lie_E(\circ) = \circ\]

으로 나타낼 수 있다. 비슷하게, 우리의 직관에서 \(\eta\)는 Poincaré pairing이며 (예시 2), 이는 오직 top degree에서만 살아남으므로 이 degree 조건은

\[\Lie_E(\eta) = (2 - d)\eta\]

로 번역된다. 이제 Euler vector field는 \(\nabla^2 E=0\)을 만족하는 affine vector field로, 정확하게 이들 두 조건이 \(E\)를 완전하게 결정한다.

이제 우리는 Frobenius manifold를 정의하기 위한 모든 재료를 완성했다.

정의 5 쌍 \((M, \eta, \circ, e, E)\)가 Frobenius manifold_{프로베니우스 다양체}라는 것은 다음의 조건이 모두 성립하는 것이다.

1. \(TM\) 위의 symmetric non-degenerate bilinear form \(\eta\)가 유도하는 Levi-Civita connection이 flat이다.
2. 각 \(p\in M\)마다 commutative associative product \(\circ_p: T_p M \otimes T_p M \to T_p M\)이 존재하며 이는 \(p\)에 대해 smooth이다.
3. 모든 점에서 곱셈 \(\circ\)의 항등원이 되는 vector field \(e\)가 존재하며 \(\nabla e = 0\)이다.

4. Affine 조건 \(\nabla^2 E=0\)을 만족하는 vector field \(E\)가 존재하여, 적당한 상수 \(d\in \mathbb{C}\)에 대해

   \[\Lie_E(\circ)=\circ,\qquad \Lie_E(\eta)=(2-d)\eta\]

   가 성립한다.

5. 모든 vector field \(X,Y,Z\)에 대해 \(\eta(X \circ Y, Z) = \eta(X, Y \circ Z)\)가 성립한다.
6. (Potentiality) Trilinear form \(c(X,Y,Z):=\eta(X\circ Y, Z)\)가 정의하는 \(4\)-tensor \(\nabla c\)는 네 변수에 대하여 모두 대칭이다.

WDVV equation

정의 5의 마지막 조건이 potentiality라 불리는 이유는 이것이 trilinear form \(c\)를 적절한 scalar function \(F:M \rightarrow \mathbb{C}\)의 삼계도함수로 표현해주기 때문이다.

명제 6 Frobenius manifold \((M, \eta, \circ, e, E)\)의 flat coordinate \(t^1, \ldots, t^n\)에 대해, \(M\) 위에 (국소적으로) 정의된 holomorphic function \(F: M \to \mathbb{C}\)가 존재하여

\[c_{\alpha\beta\gamma}(t) := \eta(\partial_{t^\alpha} \circ \partial_{t^\beta}, \partial_{t^\gamma}) = \frac{\partial^3 F}{\partial t^\alpha \partial t^\beta \partial t^\gamma}\]

가 모든 \(\alpha, \beta, \gamma\)에 대해 성립한다.

증명

Flat coordinate \(t^\alpha\)에 대해 \(\nabla_{\partial_{t^\delta}}\)는 단순한 편미분 \(\partial_{t^\delta}\)와 일치하므로, 정의 5의 potentiality 조건은

\[\partial_{t^\delta} c_{\alpha\beta\gamma} = \partial_{t^\alpha} c_{\delta\beta\gamma}\]

가 네 인덱스에 대해 대칭으로 성립한다는 의미이다. 한편 \(c\) 자체가 세 인덱스에 대해 대칭이므로, 이를 함께 모으면 1-form \(\omega_{\beta\gamma} := \sum_\alpha c_{\alpha\beta\gamma} dt^\alpha\)가 closed임을 얻는다. Poincaré lemma로부터 국소적으로 함수 \(G_{\beta\gamma}\)가 존재해 \(\partial_{t^\alpha} G_{\beta\gamma} = c_{\alpha\beta\gamma}\)이며, \(c\)의 대칭성으로부터 \(G_{\beta\gamma} = G_{\gamma\beta}\)이고 또한 \(\partial_{t^\alpha} G_{\beta\gamma} = \partial_{t^\beta} G_{\alpha\gamma}\)가 성립한다. 다시 Poincaré lemma를 한 단계 더 적용하면 함수 \(H_\gamma\)가 존재해 \(\partial_{t^\beta} H_\gamma = G_{\beta\gamma}\)이고, \(H_\gamma\)의 대칭성 \(\partial_{t^\delta} H_\gamma = \partial_{t^\gamma} H_\delta\)로부터 마지막으로 scalar function \(F\)가 존재해 \(\partial_{t^\gamma} F = H_\gamma\)가 성립한다. 종합하면 \(\partial_{t^\alpha} \partial_{t^\beta} \partial_{t^\gamma} F = c_{\alpha\beta\gamma}\)이다.

이러한 \(F\)를 Frobenius manifold의 potential이라 부른다. 이로부터 만일 flat coordinate을 잡고, \(\eta^{\alpha\beta}\)를 \(\eta_{\alpha\beta}\)의 역행렬이라 하면 곱셈의 structure constant는

\[\partial_{t^\alpha} \circ \partial_{t^\beta} = \sum_{\gamma, \delta} \frac{\partial^3 F}{\partial t^\alpha \partial t^\beta \partial t^\delta} \eta^{\delta\gamma} \partial_{t^\gamma}\]

로 주어진다. 그런데 이 곱셈 \(\circ\)는 associative이므로, 이를 structure constant로 직접 계산하면 다음을 얻는다.

명제 7 (Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde) 명제 6의 potential \(F\)는 모든 \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\)에 대해 다음의 방정식

\[\sum_{e, f} \frac{\partial^3 F}{\partial t^\alpha \partial t^\beta \partial t^e} \eta^{ef} \frac{\partial^3 F}{\partial t^f \partial t^\gamma \partial t^\delta} = \sum_{e, f} \frac{\partial^3 F}{\partial t^\alpha \partial t^\gamma \partial t^e} \eta^{ef} \frac{\partial^3 F}{\partial t^f \partial t^\beta \partial t^\delta}\]

을 만족한다.

증명

곱셈 \(\circ\)의 associativity \((\partial_{t^\alpha} \circ \partial_{t^\beta}) \circ \partial_{t^\gamma} = \partial_{t^\alpha} \circ (\partial_{t^\beta} \circ \partial_{t^\gamma})\)을 structure constant로 풀어 쓰자. \(C_{\alpha\beta}{}^\gamma := \sum_\delta c_{\alpha\beta\delta} \eta^{\delta\gamma}\)로 정의하면 곱셈은

\[\partial_{t^\alpha} \circ \partial_{t^\beta} = \sum_\gamma C_{\alpha\beta}{}^\gamma \partial_{t^\gamma}\tag{1}\]

이고, associativity는

\[\sum_e C_{\alpha\beta}{}^e C_{e\gamma}{}^\delta = \sum_e C_{\alpha\gamma}{}^e C_{e\beta}{}^\delta\]

로 표현된다. 여기에 명제 6의 결과 \(c_{\alpha\beta\gamma} = \partial_{t^\alpha} \partial_{t^\beta} \partial_{t^\gamma} F\)를 대입하면

\[\sum_{e, f} \frac{\partial^3 F}{\partial t^\alpha \partial t^\beta \partial t^e} \eta^{ef} \frac{\partial^3 F}{\partial t^f \partial t^\gamma \partial t^\delta} = \sum_{e, f} \frac{\partial^3 F}{\partial t^\alpha \partial t^\gamma \partial t^e} \eta^{ef} \frac{\partial^3 F}{\partial t^f \partial t^\beta \partial t^\delta}\]

를 얻는다. 역으로 이 PDE 시스템을 만족하는 \(F\)로부터 정의된 곱셈은 자동으로 associative하므로 WDVV equation은 Frobenius manifold의 associativity와 정확히 동치인 조건이 된다.

WDVV equation은 \(F\)의 삼계도함수들 사이의 quadratic relation이며, \(F\) 자체에 대해서는 3차 비선형 편미분방정식 시스템이다. Mirror symmetry의 A-model 측에서 quantum cohomology의 Gromov-Witten potential은 이 equation을 만족하는 대표적 예시로, 이는 splitting axiom ([사교기하학] §Gromov-Witten 불변량, ⁋명제 6)에 반영되어 있다.

위의 증명에서 알 수 있듯 Frobenius manifold의 언어에서 WDVV equation은 본질적으로 \(\circ\)의 associativity이지만, A-model에서는 이와 같이 덜 자명한 splitting axiom의 형태를 띤다는 것에 주목하자. 반면 B-model에서 \(\circ\)의 associativity는, \(\Jac(W)\)이 ring의 quotient이므로, 자명하게 얻어지는 것이다. 반대로, A-model에서는 Gromov-Witten potential이 \(F\)의 역할을 하는 것이 투명하게 보이지만 B-model에서 이를 만들기 위해서는 꽤나 많은 작업이 필요하다. 이는 mirror symmetry의 철학을 다시 보여주는 예시로, 한쪽에서는 어려운 문제를 mirror를 통해 반대쪽 모델로 옮기면 상대적으로 쉬운 문제로 바뀐다는 것이다.

예시

다음 예시는 가장 기본적인 Frobenius manifold이며, 이후의 더 복잡한 quantum cohomology 예시와 비교 기준이 된다.

예시 8 \(M = \mathbb{C}^n\) 위에 좌표 \(t^1, \ldots, t^n\)을 도입하고

\[\eta = \sum_{i=1}^n dt^i \otimes dt^i,\qquad \partial_{t^i} \circ \partial_{t^j} = \delta_{ij} \partial_{t^i}\]

으로 두자. 이는 그냥 Euclidean space 정의를 \(\mathbb{C}\)로 올리기만 한 것으로, \(\eta\)가 flat이고, \(t^i\)들이 flat coordinate을 이루고, \(e=\sum \partial_{t^i}\)가 곱셈에 대한 단위원이라는 등의 사실은 거의 자명하게 얻어진다.

이제 이 manifold의 Euler vector field는 우리가 미적분학 시간에 Euler vector field라 부르는 바로 그 vector field \(\sum_i t^i\partial_{t^i}\)가 된다. 실제로, flat coordinate들에서 \(E(t^i)=t^i\)이므로 Lie derivative들을 구해보면

\[\Lie_E(dt^i)=d(E(t^i))=dt^i,\qquad \Lie_E(\partial_{t^i})=[E, \partial_{t^i}]=-\partial_{t^i}\]

가 되며, 이로부터

\[\Lie_E(\eta) = \sum_i \bigl( \Lie_E(dt^i) \otimes dt^i + dt^i \otimes \Lie_E(dt^i) \bigr) = 2 \sum_i dt^i \otimes dt^i = 2\eta\]

임을 안다. 비슷하게 곱셈의 경우, \(\circ=\sum dt^i\otimes dt^i\otimes\partial_{t^i}\)로 쓴 후 위와 비슷한 계산을 수행하면 \(\Lie_E(\circ)=\circ\)임을 확인할 수 있다.

Potentiality는 거의 자명하게 얻을 수 있으며, \(i,j,k\) 방향으로 순서대로 미분했을 때 \(\delta_{ijk}\)가 나오는 함수가 무엇일지 역산해보면 (당연히)

\[F=\frac{1}{6}\sum_i (t^i)^3\]

으로 두면 되는 것을 확인할 수 있다. \(\circ\)가 associative이므로, WDVV equation은 자명하게 성립할 것이나, 굳이 계산해본다면 \(\eta^{ef} = \delta_{ef}\)을 사용하면 structure constant가 \(C_{\alpha\beta}{}^e = \delta_{\alpha\beta}\delta_{\beta e}\)가 되어

\[\sum_e C_{\alpha\beta}{}^e C_{e\gamma}{}^\delta = \delta_{\alpha\beta}\delta_{\alpha\gamma}\delta_{\gamma\delta} = \delta_{\alpha\beta\gamma\delta} = \delta_{\alpha\gamma}\delta_{\alpha\beta}\delta_{\beta\delta} = \sum_e C_{\alpha\gamma}{}^e C_{e\beta}{}^\delta\]

로 자명하게 성립하는 것을 다시 확인할 수 있다.

이 예시에서 좌표들 \(t^i\)는 몹시 좋은데, 이들 좌표에서는 곱셈 \(\circ\)이 자연스레 대각화된다. 일반적으로 우리는 곱셈 \(\circ_p\)가 generic point에서 idempotent들의 direct sum으로 나타나는 경우 이를 semisimple Frobenius manifold라 부르는데, 예시 8은 그러한 것들 중 가장 단순한 예시라 할 수 있다.

예시 9 Compact Kähler manifold \(X\)의 cohomology vector space \(H^\ast(X, \mathbb{C})\) 위에 formal coordinate \(t = \sum_\alpha t^\alpha \sigma^\alpha\)를 도입하자. 여기서 \(\{\sigma^\alpha\}\)는 cohomology basis이다. 그럼 Gromov-Witten potential

\[F(t) = \sum_{n \ge 3} \sum_\beta \frac{1}{n!} \langle t, \ldots, t \rangle_{0, n, \beta}^X\]

는 splitting principle ([사교기하학] §Gromov-Witten 불변량, ⁋명제 6)에 의하여 WDVV equation을 만족하며, 이 potential의 삼계도함수 \(\partial_{t^\alpha}\partial_{t^\beta}\partial_{t^\gamma} F\)가 정의하는 곱셈 \(\circ_t\)는 [사교기하학] §양자 코호몰로지, ⁋정의 12의 big quantum product가 된다. 이들 \(\circ_t\)는 각각의 \(t\)에 대하여, tangent space \(T_tH^\ast(X)\)를 Frobenius algebra로 만들며, 이 위에 \(\eta\)를 Poincaré pairing으로, 항등원을 \(1 \in H^0(X)\)로, Euler vector field를

\[E = \sum_\alpha \Bigl(1 - \frac{1}{2}\deg \sigma^\alpha\Bigr) t^\alpha \partial_{t^\alpha} + \sum_\alpha r^\alpha \partial_{t^\alpha}, \qquad c_1(X) = \sum_\alpha r^\alpha \sigma^\alpha\]

로 두면 Frobenius manifold 구조를 얻는다.

위 곱셈 \(\circ_t\)가 \(t\)에 따라 변한다는 것을 명시적으로 확인하기 위해 \(X = \mathbb{P}^1\)인 경우를 계산하자. Manifold \(M = H^\ast(\mathbb{P}^1) = \mathbb{C}\langle 1, H\rangle\)는 그 자체가 vector space이므로, 그 위의 좌표는 cohomology basis \(\{1, H\}\)의 dual로 주어진다. 이를 각각 \(t^0, t^1\)이라 하자.

이제 \(\mathbb{P}^1\)의 Gromov-Witten potential은

\[F(t^0, t^1) = \frac{1}{2}(t^0)^2 t^1 + e^{t^1}\]

로 주어진다. 여기서 첫째 항은 classical cup product의 기여이고, 둘째 항은 §Mirror Symmetry 개요, ⁋예시 5에서의 degree-\(1\) rational curve의 기여 \(\langle H, H, H\rangle_{0,3,1} = 1\)이 \(H^2\) 방향 좌표 \(t^1\)에 대해 (Euler vector field를 타고) 지수함수로 누적된 것이다. Metric은 이미 예시 4에서 계산하였으며, 위의 식을 따라 \(F\)의 삼계도함수들을 계산하면

\[\partial_{t^0}^3 F = 0,\qquad \partial_{t^0}^2\partial_{t^1} F = 1,\qquad \partial_{t^0}\partial_{t^1}^2 F = 0,\qquad \partial_{t^1}^3 F = e^{t^1}\]

이다. 이제 \(\eta\)의 inverse matrix는 어차피 자기자신이므로, (1)를 사용해 계산하면

\[\partial_{t^0} \circ_t \partial_{t^\alpha} = \partial_{t^\alpha}, \qquad \partial_{t^1} \circ_t \partial_{t^1} = e^{t^1}\, \partial_{t^0}\]

을 얻는다. 그럼 첫째 식은 \(\partial_{t^0}\)가 항등원 \(e\) 역할을 한다는 것을 보여주며, 둘째 식의 우변이 \(t^1\)에 의존한다는 것이 곧 곱셈이 manifold 위에서 변형됨을 보여준다.

Euler field는 위 일반식에 \(\deg 1 = 0\), \(\deg H = 2\), \(c_1(\mathbb{P}^1) = 2H\)를 대입하여

\[E = t^0 \partial_{t^0} + 2\partial_{t^1}\]

로 주어진다. \(E(t^0) = t^0\), \(E(t^1) = 2\)이므로 각 성분의 Lie derivative는

\[\Lie_E(dt^0) = dt^0, \quad \Lie_E(dt^1) = 0, \quad \Lie_E(\partial_{t^0}) = [E, \partial_{t^0}] = -\partial_{t^0}, \quad \Lie_E(\partial_{t^1}) = [E, \partial_{t^1}] = 0\]

이며, 이를 metric \(\eta = dt^0 \otimes dt^1 + dt^1 \otimes dt^0\)에 적용하면 각 항이 weight \(1 + 0 = 1\)이므로

\[\Lie_E(\eta) = \Lie_E(dt^0)\otimes dt^1 + dt^1 \otimes \Lie_E(dt^0) = dt^0 \otimes dt^1 + dt^1 \otimes dt^0 = \eta\]

가 되어 \(2 - d = 1\)을 얻고, 이는 즉 \(\dim_\mathbb{C}\mathbb{P}^1\)의 값과 같다. 비슷한 계산으로, 곱셈 \(\circ\)의 비자명한 부분은 tensor \(e^{t^1}\, dt^1 \otimes dt^1 \otimes \partial_{t^0}\) (즉 \(\partial_{t^1} \circ \partial_{t^1} = e^{t^1}\partial_{t^0}\)) 이며, \(\Lie_E(e^{t^1}) = E(e^{t^1}) = 2e^{t^1}\) (weight \(2\)), \(dt^1\) 둘이 weight \(0\), \(\partial_{t^0}\)이 weight \(-1\)이므로

\[\Lie_E\bigl(e^{t^1}\, dt^1 \otimes dt^1 \otimes \partial_{t^0}\bigr) = (2 + 0 + 0 - 1)\, e^{t^1}\, dt^1 \otimes dt^1 \otimes \partial_{t^0} = e^{t^1}\, dt^1 \otimes dt^1 \otimes \partial_{t^0}\]

가 되어 \(\Lie_E(\circ) = \circ\)이다.

이제 Novikov variable을 \(q = e^{t^1}\)로 두면, 둘째 식은 \(\partial_{t^1} \circ \partial_{t^1} = qe\)가 되며, 이는 다시 cohomology 언어로 옮겨오면 \(H \star H = q \cdot 1\)이므로 §Mirror Symmetry 개요, ⁋예시 5에서의 small quantum ring을 복원한다. 뿐만 아니라, 이제 이 isomorphism은 \(q=e^{t^1}\)의 변화에 따라 parametrize되어 기존의 ring isomorphism 수준에서의 mirror symmetry를 더 업그레이드한 것이다.

이렇듯 Frobenius manifold는 quantum cohomology의 ring structure를 deformation parameter \(t\)의 함수로서 일관성 있게 다룰 수 있는 무대를 제공한다. 다음 글부터 우리는 이제 본격적인 mirror symmetry를 탐구할 수 있다.

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참고문헌

[Dub] B. Dubrovin, Geometry of \(2\)D topological field theories, Integrable systems and quantum groups (Montecatini Terme, 1993), Lecture Notes in Math. 1620, Springer, 1996, 120–348.

[Her] C. Hertling, Frobenius Manifolds and Moduli Spaces for Singularities, Cambridge Tracts in Mathematics 151, Cambridge University Press, 2002.

[Man] Yu. I. Manin, Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces, American Mathematical Society Colloquium Publications 47, AMS, 1999.

[HM] C. Hertling, Yu. Manin, Weak Frobenius manifolds, Internat. Math. Res. Notices 1999, no. 6, 277–286.