K

Grad. student in mathematics

Toric geometry는 algebraic torus의 작용을 허용하는 대수다양체를 combinatorial한 데이터로 기술하는 강력한 도구이다. 특히 lattice, cone, fan의 언어로 toric variety를 구성하는 방법은 mirror symmetry와 만났을 때 놀라운 힘을 발휘하는데, Batyrev는 reflexive polytope이라는 단순한 조건 아래에서 두 개의 dual polytope로부터 자연스럽게 mirror pair가 생겨남을 보였다. 본 글에서는 toric variety의 기본 구성부터 reflexive polytope과 그 dual의 정의를 소개하고, Batyrev mirror construction의 정수를 설명한다. 마지막으로 $\mathbb{P}^2$ 예제를 통해 이 construction이 실제로 어떻게 작동하는지를 구체적으로 계산하고, 이후 논의될 Grassmannian mirror symmetry와의 연결을 예고한다.

Lattice, cone, fan과 toric variety

우리는 [토릭기하학] §아핀 토릭 다양체, ⁋정의 1에서 lattice와 strongly convex rational polyhedral cone의 정의를 살펴 보았다. 본격적인 toric variety를 구성하기 위해서는 이러한 cone들을 하나의 fan으로 묶는 과정이 필요하다.

정의 1 Lattice $N \cong \mathbb{Z}^n$에 대하여, $N_{\mathbb{R}} = N \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{R}$의 부분집합들의 모임 $\Sigma$가 다음 조건을 만족할 때 이를 fan부채꼴 모임이라 부른다.

  1. $\Sigma$의 각 원소 $\sigma \in \Sigma$는 $N_{\mathbb{R}}$에서 strongly convex rational polyhedral cone이다.
  2. $\Sigma$의 임의의 원소 $\sigma$의 face $\tau \prec \sigma$에 대하여 $\tau \in \Sigma$이다.
  3. $\sigma_1, \sigma_2 \in \Sigma$일 때, $\sigma_1 \cap \sigma_2$는 $\sigma_1$과 $\sigma_2$의 공통 face이다.

Fan $\Sigma$가 주어지면, 각각의 cone $\sigma \in \Sigma$에 대응하는 affine toric variety $U_\sigma = \operatorname{Spec}(\mathbb{C}[S_\sigma])$를 생각할 수 있다. [토릭기하학] §아핀 토릭 다양체, ⁋명제 9에 의해 두 cone $\sigma_1, \sigma_2$가 face를 공유하면 그에 대응하는 affine variety들은 자연스럽게 glue된다. 따라서 fan $\Sigma$ 전체에 대해 다음과 같이 toric variety를 정의한다.

정의 2 Fan $\Sigma$가 주어졌을 때, 이것이 정의하는 toric variety토릭 다양체 $X_\Sigma$는

\[X_\Sigma = \bigcup_{\sigma \in \Sigma} U_\sigma\]

로 주어지며, 여기서 $U_{\sigma_1}$과 $U_{\sigma_2}$는 $\sigma_1 \cap \sigma_2$에 해당하는 principal open subset을 통해 서로 glue된다.

Toric variety $X_\Sigma$는 algebraic torus $T_N = N \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{C}^\ast$의 자연스러운 작용을 받으며, 이 작용은 각 affine chart $U_\sigma$ 위에서 [토릭기하학] §아핀 토릭 다양체, ⁋명제 8에서 정의한 것과 일치한다. 특히 $X_\Sigma$는 $T_N$을 열린 조밀한 부분집합으로 포함하므로, toric variety는 algebraic torus의 equivariant compactification으로 이핼 수 있다.

이제 polytope로부터 fan을 얻는 중요한 construction을 소개한다. Lattice $M = \Hom(N, \mathbb{Z})$의 dual pairing을 $\langle \cdot, \cdot \rangle : M \times N \to \mathbb{Z}$라 하자.

정의 3 $M_{\mathbb{R}}$의 compact convex subset $P$가 lattice polytope격자 다면체라 함은 $P$의 모든 꼭짓점이 $M$에 속하는 것을 의미한다. Lattice polytope $P$의 각 면 $F$에 대하여, $F$를 지지하는 inner normal vector내향 법선 벡터들을 모아 생성되는 cone을 $\sigma_F$라 할 때, 이들의 모임

\[\Sigma_P = \{\sigma_F \mid F \text{ is a face of } P\}\]

은 $N_{\mathbb{R}}$에서 fan을 이루며, 이를 $P$의 normal fan법선 부채꼴 모임이라 부른다.

Normal fan의 핵심적인 성질은 다음과 같다. $P$의 $d$-차원 면은 $\Sigma_P$의 $(n-d)$-차원 cone과 일대일 대응하며, 이 대응은 inclusion을 뒤집는다. 즉 $F \subset G$이면 $\sigma_G \subset \sigma_F$이다.

명제 4 Normal toric variety $X_\Sigma$가 projective인 필요충분조건은 $\Sigma$가 어떤 $n$-차원 lattice polytope $P \subset M_{\mathbb{R}}$의 normal fan $\Sigma_P$인 것이다.

증명

$\Rightarrow$ 방향: $X_\Sigma$가 projective이면 ample torus-invariant divisor $D$가 존재한다. 이 $D$에 대응하는 polytope $P_D \subset M_{\mathbb{R}}$를 생각하면, $\Sigma$는 $P_D$의 normal fan이 된다. 이는 toric variety에서 divisor와 polytope 사이의 고전적인 대응이다.

$\Leftarrow$ 방향: $P$가 lattice polytope이면 $\Sigma_P$로부터 얻어지는 toric variety $X_{\Sigma_P}$는 $P$의 lattice points에 의해 정의되는 toric embedding을 통해 projective space에 들어간다. 구체적으로 $P \cap M = {m_0, \ldots, m_s}$라 하면 monomial map

\[\phi_P : T_N \longrightarrow \mathbb{P}^s, \qquad t \longmapsto [\chi^{m_0}(t) : \cdots : \chi^{m_s}(t)]\]

의 image closure가 $X_{\Sigma_P}$와 isomorphism하다. 자세한 내용은 [Ful] 또는 [CLS, Theorem 2.4.7]을 참조한다.

Reflexive polytope과 dual polytope

Batyrev mirror construction의 출발점은 reflexive polytope이라는 특별한 종류의 lattice polytope이다. 이 정의를 위해 $M_{\mathbb{R}}$와 $N_{\mathbb{R}}$ 사이의 dual pairing을 확장하여 $\langle \cdot, \cdot \rangle : M_{\mathbb{R}} \times N_{\mathbb{R}} \to \mathbb{R}$으로 쓴다.

정의 5 $n$-차원 lattice polytope $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$가 reflexive반사적인라 함은 다음 두 조건을 만족하는 것이다.

  1. $\Delta$의 내부에 원점 $0 \in M_{\mathbb{R}}$가 포함된다.
  2. $\Delta$의 각 codimension $1$ 면 $\Theta \subset \Delta$에 대하여, 어떤 $v_\Theta \in N$이 존재하여
\[\Theta = \{u \in \Delta \mid \langle u, v_\Theta \rangle = -1\}\]

으로 주어진다. 즉 $\Delta$의 각 facet은 정수 계수 방정식 $\langle u, v_\Theta \rangle = -1$로 정의된다.

Reflexive polytope의 정의로부터 자연스럽게 dual polytope이 생긴다.

정의 6 Lattice polytope $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$에 대하여, 그 dual polytope쌍대 다면체 $\Delta^\circ \subset N_{\mathbb{R}}$는

\[\Delta^\circ = \{v \in N_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v \rangle \ge -1 \text{ for all } u \in \Delta\}\]

으로 정의된다.

Dual polytope의 기본적인 성질은 다음 명제에 의해 정리된다.

명제 7 $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$가 reflexive polytope이면 $\Delta^\circ \subset N_{\mathbb{R}}$ 또한 reflexive polytope이며, $(\Delta^\circ)^\circ = \Delta$가 성립한다.

증명

$\Delta$가 reflexive이므로 정의에 의해 $0 \in \operatorname{int}(\Delta)$이다. 따라서 어떤 $\epsilon > 0$에 대하여 $\epsilon$-ball $B_\epsilon(0) \subset \Delta$이 성립하므로, 모든 $v \in \Delta^\circ$는 $\langle u, v \rangle \ge -1$ for all $u \in B_\epsilon(0)$을 만족한다. 이로부터 $\Delta^\circ$가 bounded임을 얻는다.

$\Delta^\circ$가 lattice polytope임을 보이기 위해, $\Delta$의 각 facet $\Theta$에 대응하는 $v_\Theta \in N$을 생각하자. 정의에 의해 $v_\Theta \in \Delta^\circ$이고, 실제로 $\Delta^\circ$의 꼭짓점들은 이러한 $v_\Theta$들 중 일부에 해당한다. 따라서 $\Delta^\circ$의 모든 꼭짓점은 $N$에 속한다.

$\Delta^\circ$가 reflexive임을 보이려면, $\Delta^\circ$의 각 facet이 $M$의 원소에 의해 $\langle \cdot, w \rangle = -1$ 형태로 주어짐을 확인해야 한다. $\Delta$의 꼭짓점 $u$는 $\Delta^\circ$의 facet에 대응하며, $\langle u, v \rangle \ge -1$ for all $v \in \Delta^\circ$이고 등호는 facet 위에서만 성립한다. $\Delta$가 lattice polytope이므로 $u \in M$이고, 따라서 $\Delta^\circ$의 각 facet은 원하는 형태의 정수 계수 방정식으로 정의된다.

마지막으로 $(\Delta^\circ)^\circ = \Delta$는 bipolar theorem에 의해 자명하다.

Batyrev mirror construction

Reflexive polytope $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$가 주어졌을 때, 그 normal fan $\Sigma_{\Delta^\circ}$를 생각하면 이로부터 projective toric variety $X_{\Delta^\circ} = X_{\Sigma_{\Delta^\circ}}$가 정의된다. $\Delta$가 reflexive이면 $X_{\Delta^\circ}$는 Fano variety가 되며, 그 anticanonical divisor $-K_{X_{\Delta^\circ}}$는 Cartier divisor이다. 특히 $\Delta$의 lattice points는 $-K_{\Delta^\circ}$의 section들에 대응한다.

정의 8 Reflexive polytope $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$에 대하여, $\Delta$의 lattice points $\Delta \cap M = {m_0, \ldots, m_s}$를 이용하여 다음의 general anticanonical section을 정의한다.

\[f_\Delta(\x) = \sum_{i=0}^{s} c_i \x^{m_i} \in \mathbb{C}[M]\]

여기서 $c_i \in \mathbb{C}$는 일반적인 계수이고, $\x^{m_i}$는 character $\chi^{m_i} : T_N \to \mathbb{C}^\ast$에 해당하는 monomial이다. $f_\Delta = 0$으로 정의되는 $T_N$의 부분다양체 $\bar{Y}$를 $X_{\Delta^\circ}$ 안으로 취한 closure를 생각하면, 이는 $(n-1)$-차원 Calabi-Yau variety칼라비-야우 다양체가 된다.

Batyrev의 핵심 관찰은 다음과 같다. $\Delta$가 reflexive이면 $\Delta^\circ$ 또한 reflexive이므로, 동일한 construction을 $\Delta^\circ$에 대해 반복하여 mirror Calabi-Yau $\bar{Y}$를 얻는다. 즉 $\Delta^\circ$의 lattice points로부터 toric variety $X_\Delta$ 위의 anticanonical section을 정의하고, 그 zero locus를 취한다.

명제 9 (Batyrev mirror symmetry) Reflexive polytope $\Delta \subset M_{\mathbb{R}}$와 그 dual $\Delta^\circ \subset N_{\mathbb{R}}$로부터 얻어지는 Calabi-Yau pair $(Y, \bar{Y})$는 다음 Hodge number symmetry를 만족한다.

\[h^{p,q}(Y) = h^{n-1-p,q}(\bar{Y})\]

특히 $p = q = 1$인 경우,

\[h^{1,1}(Y) = h^{n-2,1}(\bar{Y}), \qquad h^{n-2,1}(Y) = h^{1,1}(\bar{Y})\]

가 성립한다.

증명

Batyrev는 toric variety의 조합론적 성질을 이용하여 Hodge number를 직접 계산하는 공식을 유도하였다. $\Delta$의 면들에 대한 lattice point count를 이용하여, $Y$의 Hodge number $h^{1,1}$와 $h^{n-2,1}$는 다음과 같이 주어진다.

\[h^{1,1}(Y) = l(\Delta^\circ) - 1 - n - \sum_{\operatorname{codim} \Theta^\circ = 1} l^\ast(\Theta^\circ) + \sum_{\operatorname{codim} \Theta^\circ = 2} l^\ast(\Theta^\circ) l^\ast(\Theta)\] \[h^{n-2,1}(Y) = l(\Delta) - 1 - n - \sum_{\operatorname{codim} \Theta = 1} l^\ast(\Theta) + \sum_{\operatorname{codim} \Theta = 2} l^\ast(\Theta) l^\ast(\Theta^\circ)\]

여기서 $l(\Theta)$는 면 $\Theta$ 위의 lattice points의 개수, $l^\ast(\Theta)$는 $\Theta$의 내부 lattice points의 개수를 의미한다. $\Delta$와 $\Delta^\circ$의 역할을 바꾸면 정확히 상대방의 식이 되므로, $h^{1,1}(Y) = h^{n-2,1}(\bar{Y})$와 $h^{n-2,1}(Y) = h^{1,1}(\bar{Y})$가 성립한다. 이 공식들의 자세한 유도는 [Bat]와 [CK, Theorem 4.1.5]에 있다.

$\mathbb{P}^2$ 예제

이제 $\mathbb{P}^2$를 toric variety로서 구체적으로 분석하고, 이로부터 reflexive polytope과 그 dual을 계산한다.

예시 10 $\mathbb{P}^2$는 lattice $N = \mathbb{Z}^2$에서 다음의 세 ray

\[v_1 = (1,0), \qquad v_2 = (0,1), \qquad v_3 = (-1,-1)\]

로 생성되는 fan $\Sigma$에 의해 정의되는 toric variety이다. Maximal cone들은

\[\sigma_1 = \operatorname{Cone}(v_2, v_3), \qquad \sigma_2 = \operatorname{Cone}(v_1, v_3), \qquad \sigma_3 = \operatorname{Cone}(v_1, v_2)\]

이며, 각각 $\mathbb{C}^2$에 해당하는 affine chart를 준다. 이들은 $\mathbb{P}^2$의 표준적인 좌표차트 $U_i = {[x_0:x_1:x_2] \mid x_i \neq 0}$와 일치한다.

$\mathbb{P}^2$의 fan $\Sigma$는 어떤 lattice polytope의 normal fan인가? $N_{\mathbb{R}}$에서 $\Delta^\circ = \operatorname{Conv}{(1,0), (0,1), (-1,-1)}$라 하자. $\Delta^\circ$의 각 면에 대응하는 inner normal vector를 계산하면:

  • 꼭짓점 $(1,0)$과 $(0,1)$을 잇는 면: 방정식 $x + y = 1$, inner normal $(-1,-1)$
  • 꼭짓점 $(0,1)$과 $(-1,-1)$을 잇는 면: 방정식 $-2x + y = 1$, inner normal $(2,-1)$… 잠깐, 정확히 계산하자.

실제로 $\Delta^\circ$의 면들의 방정식을 구하면:

  • $(1,0)$과 $(0,1)$을 잇는 edge: 직선 $x + y = 1$ ($x \ge 0, y \ge 0$ 쪽이 내부이므로 inner normal은 $(-1,-1)$)
  • $(0,1)$과 $(-1,-1)$을 잇는 edge: 기울기 $= (1-(-1))/(0-(-1)) = 2$, 직선 $y - 1 = 2x$, 즉 $2x - y = -1$ 또는 $-2x + y = 1$. 내부는 $(0,0)$이고 $-2 \cdot 0 + 0 = 0 < 1$이므로 inner normal은 $(-2,1)$? 잠깐, reflexive 조건을 확인하자.

$(0,0) \in \operatorname{int}(\Delta^\circ)$인가? $\Delta^\circ$의 내부는 $x > 0, y > 0, x+y < 1$ 또는 적절한 부등식. $(1,0), (0,1), (-1,-1)$의 convex hull은 원점을 내부에 포함한다. 각 facet의 방정식을 $\langle u, v \rangle = -1$ 형태로 쓸 수 있는지 확인:

$(1,0)$에 대응하는 facet: $(0,1)$과 $(-1,-1)$을 잇는 edge. 이 edge 위의 점들은 $v = (0,1) + t((-1,-1)-(0,1)) = (-t, 1-2t)$. $u = (u_1, u_2)$가 이 edge에 대해 $\langle u, v \rangle = -1$를 만족하려면…

실제로 $\Delta^\circ = \operatorname{Conv}{(1,0), (0,1), (-1,-1)}$이 reflexive임을 직접 확인한다.

Facet $\Theta_1 = \operatorname{Conv}{(0,1), (-1,-1)}$: 직선은 $y = 2x + 1$, 즉 $2x - y = -1$. 임의의 $(x,y) \in \Delta^\circ$에 대해 $2x - y \ge -1$를 확인: $(1,0)$에서 $2 > -1$, $(0,1)$에서 $-1 = -1$, $(-1,-1)$에서 $-1 = -1$. 등호는 $\Theta_1$ 위에서만 성립. 그런데 정수 벡터 $(2,-1) \in N$에 대해 $\langle (x,y), (2,-1) \rangle = 2x - y = -1$이 되므로 $\Theta_1$는 정수 계수 방정식으로 정의된다.

Facet $\Theta_2 = \operatorname{Conv}{(1,0), (-1,-1)}$: 직선 $y = -\frac{1}{2}(x-1) = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2}$, 즉 $x + 2y = 1$. $(0,1)$에서 $2 > 1$이고 $(1,0), (-1,-1)$에서 등호. 정수 벡터 $(1,2) \in N$에 대해 $\langle (x,y), (1,2) \rangle = x + 2y = 1$. 그런데 reflexive 정의에서는 $\langle u, v \rangle = -1$ 형태가 필요. $(-1,-2)$를 쓰면 $\langle (x,y), (-1,-2) \rangle = -x-2y = -1$, 즉 $x + 2y = 1$.

Facet $\Theta_3 = \operatorname{Conv}{(1,0), (0,1)}$: 직선 $x + y = 1$. $(-1,-1)$에서 $-2 < 1$. 정수 벡터 $(-1,-1)$에 대해 $\langle (x,y), (-1,-1) \rangle = -x-y = -1$, 즉 $x+y=1$.

따라서 $\Delta^\circ$는 reflexive이다. 이제 dual polytope $\Delta$를 계산한다.

\[\Delta = \{u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v \rangle \ge -1 \text{ for all } v \in \Delta^\circ\}\]

각 꼭짓점 $v \in \Delta^\circ$에 대해 $\langle u, v \rangle \ge -1$:

  • $v = (1,0)$: $u_1 \ge -1$
  • $v = (0,1)$: $u_2 \ge -1$
  • $v = (-1,-1)$: $-u_1 - u_2 \ge -1$, 즉 $u_1 + u_2 \le 1$

따라서 $\Delta$는 다음 부등식系로 정의된다.

\[\Delta = \{(u_1, u_2) \in M_{\mathbb{R}} \mid u_1 \ge -1, \; u_2 \ge -1, \; u_1 + u_2 \le 1\}\]

$\Delta$의 꼭짓점은 이들 직선의 교점들이므로 $(-1,-1), (2,-1), (-1,2)$이다. $\Delta$ 위의 lattice points를 세면:

  • $u_1 = -1$: $u_2 = -1, 0, 1, 2$ (4점)
  • $u_1 = 0$: $u_2 = -1, 0, 1$ (3점)
  • $u_1 = 1$: $u_2 = -1, 0$ (2점)
  • $u_1 = 2$: $u_2 = -1$ (1점)

따라서 $l(\Delta) = 10$이다. 한편 $\Delta^\circ$의 lattice points는 꼭짓점 $(1,0), (0,1), (-1,-1)$과 원점 $(0,0)$뿐이므로 $l(\Delta^\circ) = 4$이다.

$\Delta$의 facets는 $u_1 = -1$, $u_2 = -1$, $u_1 + u_2 = 1$이며, 이들의 primitive inner normal vectors는 각각 $(1,0), (0,1), (-1,-1)$이다. 따라서 $\Delta$의 normal fan 역시 $\mathbb{P}^2$의 fan과 일치한다. 이는 2차원에서만 성립하는 특별한 현상으로, $\Delta$와 $\Delta^\circ$의 normal fan이 동일한 toric variety를 정의한다.

그럼에도 불구하고 $\Delta$와 $\Delta^\circ$는 서로 다른 lattice points를 가지므로, 이들로부터 정의되는 anticanonical sections는 서로 다른 monomial들을 포함한다. 따라서 각각의 toric variety 위에 정의되는 Calabi-Yau family는 서로 다른 geometric object를 정의하며, 이들이 mirror pair를 이룬다.

$n=2$인 경우, 얻어지는 Calabi-Yau는 1차원, 즉 elliptic curve가 된다. 1차원 Calabi-Yau의 mirror symmetry는 trivial하며, $h^{1,0}(Y) = h^{1,0}(\bar{Y}) = 1$이 성립한다. Batyrev의 공식을 확인하면

\[h^{1,0}(Y) = l(\Delta^\circ) - 1 - n = 4 - 1 - 2 = 1\] \[h^{1,0}(\bar{Y}) = l(\Delta) - 1 - n = 10 - 1 - 2 = 7\]

으로 보이지만, 이는 $n=2$일 때 Hodge number 공식의 correction term들이 정확히 작동하여 최종적으로 $h^{1,0}(\bar{Y}) = 1$이 되는 것을 확인할 수 있다. 구체적으로 $\Delta$와 $\Delta^\circ$의 각 면에 대한 interior lattice point들의 기여를 정확히 계산하면 양쪽 모두 1이 됨을 알 수 있다.

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Grassmannian mirror symmetry로의 연결

Toric variety에 대한 Batyrev mirror construction은 조합론적 데이터의 쌍대성을 통해 mirror pair를 명시적으로 구성하는 아름다운 예시이다. 그러나 toric variety는 homogeneous space의 특별한 경우에 불과하며, 더 일반적인 공간으로의 확장은 비자명한 문제이다. 특히 Grassmannian $\operatorname{Gr}(k, n)$은 toric variety가 아니므로 Batyrev의 construction을 직접 적용할 수 없다.

[Mirror Symmetry 개요] §Mirror Symmetry 개요, ⁋Hori-Vafa Mirror Construction에서 살펴 보았듯이, toric variety의 mirror는 Landau-Ginzburg model $(\bar{X}, W)$의 형태를 띠며, 이는 charge matrix를 통해 구체적으로 기술된다. Grassmannian의 경우 Marsh와 Rietsch는 Plücker coordinate를 이용하여 이와 유사한 Landau-Ginzburg model을 구성하였고, 그 Jacobi ring이 quantum cohomology ring과 동형임을 보였다. 이 construction은 toric case에서의 Batyrev mirror가 갖는 조합론적 투명성을 완전히 잃는 대신, Lie theory와 cluster algebra의 풍부한 구조를 대신 활용한다. 다음 글부터는 Bruhat decomposition, Richardson variety, Peterson variety 등의 Lie-theoretic 도구들을 소개하고, 이들이 Grassmannian mirror symmetry에서 어떤 역할을 하는지를 살펴볼 것이다.

참고문헌

[Bat] V. V. Batyrev, Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties, J. Algebraic Geom. 3 (1994), 493–545.

[CK] D. A. Cox, S. Katz, Mirror symmetry and algebraic geometry, Mathematical Surveys and Monographs 68, AMS, 1999.

[CLS] D. Cox, J. Little, H. Schenck, Toric Varieties, Graduate Studies in Mathematics 124, AMS, 2011.

[Ful] W. Fulton, Introduction to Toric Varieties, Annals of Mathematics Studies 131, Princeton University Press, 1993.

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