§Jacobi Ring에서 우리는 Marsh–Rietsch superpotential $W_q$의 Jacobi ring이 Grassmannian의 quantum cohomology ring과 동형임을 증명하였다. 이 동형은 B-model의 대수적 불변량이 A-model의 대수적 불변량과 일치함을 보여주지만, mirror symmetry의 완성도를 높이기 위해서는 그보다 더 풍부한 구조인 connection의 동형이 필요하다. A-model에는 Gromov-Witten invariant로부터 정의되는 small Dubrovin connection이 존재하며, 이 connection의 flat section은 quantum cohomology D-module의 해를 제공한다. 본 글에서는 B-model 측에서 이에 대응하는 geometric 객체를 구성하는 과정을 다룬다. 핵심 도구는 Landau-Ginzburg model $(\check{X}^\circ, W_q)$ 위에 정의된 oscillating integral
\[\mathcal{I}_\gamma(q, z) = \int_\gamma e^{W_q / z} \omega\]이며, 여기서 $\gamma$는 vanishing cycle, $\omega$는 holomorphic volume form이다. 우리는 먼저 이 적분의 정의와 $z \to 0$에서의 stationary phase approximation을 살펴본 뒤, oscillating integral이 자연스럽게 Gauss-Manin connection의 flat section을 이룸을 보일 것이다. 이를 통해 B-model connection이 $D$-module structure를 가지며, 그 해들이 A-model의 quantum differential equation을 복원함을 설명한다. 마지막으로 $Gr(2, 4)$에서의 구체적인 예시를 제시하여 이 추상적 대응이 어떻게 계산적으로 실현되는지 확인한다.
Oscillating integral의 정의
Landau-Ginzburg model은 한 쌍 $(\check{X}^\circ, W_q)$으로 주어지며, 여기서 $\check{X}^\circ$는 §Marsh-Rietsch Superpotential, ⁋정의 3에서 정의한 mirror domain이고 $W_q: \check{X}^\circ \times \mathbb{C}_q^\ast \to \mathbb{C}$는 superpotential이다. B-model의 oscillating integral을 정의하기 위해서는 $\check{X}^\circ$ 위의 holomorphic volume form과 적분 경로로 사용할 cycle이 필요하다.
정의 1 $\check{X}^\circ$는 차원 $N = k(n-k)$의 smooth affine variety이므로, 그 위에는 canonical line bundle $\mathcal{K}{\check{X}^\circ}$가 존재한다. $\check{X}^\circ$가 anti-canonical divisor의 보충집합으로서 *log Calabi-Yau* 성질을 가지므로, $\check{X}^\circ$ 위에는 어디에서도 소멸하지 않는 holomorphic volume form $\omega \in H^0(\check{X}^\circ, \mathcal{K}{\check{X}^\circ})$가 존재한다. 이를 canonical holomorphic volume form이라 부른다.
구체적으로 $\check{X}^\circ$가 cluster chart $(\mathbb{C}^\ast)^N$로 cover될 때, $\omega$는 torus coordinate $x_1, \dots, x_N$에 대해
\[\omega = \frac{dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_N}{x_1 \cdots x_N}\]의 형태를 가지며, 이는 algebraic torus 위의 표준적인 logarithmic volume form이다. Marsh와 Rietsch는 이 volume form이 Lie-theoretic mirror model의 canonical form과도 일치함을 보였다 §Jacobi Ring, ⁋정리 2.
이제 적분 경로 $\gamma$를 선택해야 한다. Superpotential $W_q$는 $\check{X}^\circ$ 위의 holomorphic function이므로, $W_q$의 임계점 $p \in \operatorname{Crit}(W_q)$, 즉 $dW_q(p) = 0$를 만족하는 점들이 중요한 역할을 한다. 각 임계점 $p$에 대하여, Morse theory에 의해 $W_q$의 stable manifold를 따라 정의되는 cycle이 존재하며, 이를 Lefschetz thimble 또는 vanishing cycle $\gamma_p$라 부른다. 보다 엄밀하게, $z > 0$인 실수 parameter를 고정하고
\[\gamma_p = \left\{ x \in \check{X}^\circ \;\middle|\; \lim_{t \to +\infty} \operatorname{Re}\left( \frac{W_q(x(t))}{z} \right) = -\infty, \; x(0) = p \right\}\]의 조건을 만족하는 경로들의 집합으로 정의할 수 있다. 이는 $e^{W_q / z}$가 급격히 감소하는 방향으로 뻗어나가는 cycle이다.
정의 2 Landau-Ginzburg model $(\check{X}^\circ, W_q)$, holomorphic volume form $\omega$, 그리고 vanishing cycle $\gamma$가 주어졌을 때, oscillating integral $\mathcal{I}_\gamma(q, z)$는 다음과 같이 정의된다.
\[\mathcal{I}_\gamma(q, z) = \int_\gamma e^{W_q / z} \omega\]여기서 $q \in \mathbb{C}_q^\ast$는 quantum parameter이고, $z \in \mathbb{C}_z^\ast$는 Planck constant 또는 equivariant parameter로 불리는 복소 변수이다. 적분 경로 $\gamma$는 $q$와 $z$에 따라 continuously varying하는 Lefschetz thimble로 선택된다.
Oscillating integral은 물리학에서 quantum mechanical wave function의 path integral representation과 깊이 관련되어 있으며, 수학적으로는 $D$-module의 해를 제공하는 핵심적인 geometric quantity이다. 특히 $\gamma$의 선택에 따른 oscillating integral들의 모음은 $H^\ast(X, \mathbb{C})$와 동일한 차원의 vector space를 이루며, 이는 mirror symmetry의 핵심적인 수치적 일치 중 하나이다.
Stationary phase approximation
Oscillating integral $\mathcal{I}_\gamma(q, z)$의 가장 흥미로운 극한은 $z \to 0$인 경우이다. 이 극한에서 $e^{W_q / z}$는 phase $W_q / z$의 허수부에 따라 급격히 진동하므로, 적분의 주된 기여는 phase가 stationary한 점, 즉 $dW_q = 0$인 임계점들 근처에서만 발생한다. 이를 stationary phase approximation이라 부른다.
명제 3 (Stationary phase approximation) $W_q$가 non-degenerate critical point $p$를 가진다고 하자. 즉, $p$에서의 Hessian $\operatorname{Hess}_p(W_q)$가 non-degenerate이다. $z \to 0$일 때, $p$를 지나는 vanishing cycle $\gamma_p$에 대한 oscillating integral은 다음과 같이 근사된다.
\[\mathcal{I}_{\gamma_p}(q, z) \sim (2\pi z)^{N/2} \frac{e^{W_q(p)/z}}{\sqrt{\det \operatorname{Hess}_p(W_q)}} \left( 1 + O(z) \right)\]여기서 $N = \dim \check{X}^\circ = k(n-k)$이고, square root의 branch는 $\gamma_p$의 방향에 의해 결정된다.
증명
$p$ 근처의 local coordinate $x = (x_1, \dots, x_N)$를 도입하여 $p$가 원점이 되도록 한다. Non-degenerate critical point에서 Morse lemma에 의해, 적절한 coordinate change를 통해
\[W_q(x) = W_q(p) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i^2 + O(x^3)\]로 표현할 수 있다. 여기서 $\lambda_i$는 Hessian의 고유값들이다. $z \to 0$이므로 $e^{W_q/z}$는 $x \neq 0$인 영역에서 급격히 진동하여 적분이 상쇄된다. 따라서 적분의 주된 기여는 $x = 0$ 근처의 임의 작은 neighborhood $U$에서만 발생한다.
$U$ 위에서 higher order term $O(x^3)$을 무시하면,
\[\mathcal{I}_{\gamma_p}(q, z) \approx e^{W_q(p)/z} \int_U \exp\left( \frac{1}{2z} \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i^2 \right) dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_N\]이 된다. 각 변수 $x_i$에 대해 Gaussian integral
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{\lambda_i x_i^2 / (2z)} dx_i = \sqrt{\frac{2\pi z}{-\lambda_i}}\]의 공식을 적용하되, contour가 Lefschetz thimble $\gamma_p$ 위에 놓이므로 각 변수에 대해 적절한 branch를 선택해야 한다. 모든 변수에 대해 곱하면
\[\prod_{i=1}^N \sqrt{\frac{2\pi z}{-\lambda_i}} = (2\pi z)^{N/2} \frac{1}{\sqrt{\det \operatorname{Hess}_p(W_q)}}\]를 얻는다. Higher order term $O(x^3)$의 기여는 $O(z)$로 제어되며, 이는 integration by parts나 Watson lemma를 통해 확인할 수 있다. 따라서 원하는 asymptotic formula가 성립한다.
명제 명제 3의 중요성은 $z \to 0$에서 oscillating integral이 임계점들의 local data, 즉 critical value $W_q(p)$와 Hessian의 determinant로 완전히 결정된다는 점에 있다. 이는 A-model의 genus zero Gromov-Witten invariant가 B-model의 singularity theory로부터 복원될 수 있음을 뒷받침하는 계산적 기반이 된다. 특히 critical value $W_q(p)$는 mirror symmetry에서 A-model의 quantum parameter $q$와 complexified Kähler parameter 사이의 mirror map과 직접 연결된다.
Gauss-Manin connection
Oscillating integral이 parameter $q$와 $z$에 대해 어떤 미분방정식을 만족하는지를 이해하기 위해서는 Gauss-Manin connection을 도입해야 한다. 이 connection은 family of algebraic varieties나 singularity의 cohomology를 따라 정의되는 자연스러운 flat connection이다.
Landau-Ginzburg model $(\check{X}^\circ, W_q)$에서 parameter $q$가 변할 때, superpotential $W_q$의 임계점들과 그 critical value들도 함께 변한다. 이 변화를 추적하는 것이 Gauss-Manin connection의 역할이다. 보다 구체적으로, 우리는 relative cohomology의 family를 고려한다. 각 $q$에 대하여
\[H^N(\check{X}^\circ, \operatorname{Re}(W_q / z) \ll 0; \mathbb{C})\]를 생각하면, 이들이 $q$와 $z$에 따라 fiber를 이루는 vector bundle을 구성한다. 여기서 $\operatorname{Re}(W_q / z) \ll 0$는 적분이 수렴하기 위한 조건이며, Lefschetz thimble이 이 relative homology cycle을 이룬다.
정의 4 (Gauss-Manin connection) B-model moduli space $\mathcal{M}_B = \mathbb{C}_q^\ast$와 $z$-plane $\mathbb{C}_z^\ast$ 위의 vector bundle
\[\mathcal{H} = \bigcup_{(q,z)} H^N(\check{X}^\circ, \operatorname{Re}(W_q / z) \ll 0; \mathbb{C})\]를 생각하자. Gauss-Manin connection $\nabla^{\mathrm{GM}}$은 $\mathcal{H}$ 위에 정의되는 flat connection으로, cohomology class가 $q$와 $z$에 따라 “parallel하게” 변화하도록 하는 connection이다. 즉, $\nabla^{\mathrm{GM}}$은 각 fiber 사이의 comparison isomorphism을 통해 정의되며, flatness 조건 $\left(\nabla^{\mathrm{GM}}\right)^2 = 0$를 만족한다.
Gauss-Manin connection의 flatness는 algebraic de Rham cohomology의 성질로부터 자연스럽게 따라온다. 구체적으로 $\nabla^{\mathrm{GM}}$은 $q$-방향과 $z$-방향으로 각각 분해되며, 이들의 concrete formula는 superpotential $W_q$의 derivative를 통해 주어진다.
명제 5 Gauss-Manin connection $\nabla^{\mathrm{GM}}$은 $q$-방향과 $z$-방향에서 각각 다음과 같은 작용을 한다.
\[\nabla^{\mathrm{GM}}_{\partial_q} \left[ e^{W_q / z} \omega \right] = \left[ \frac{\partial_q W_q}{z} e^{W_q / z} \omega \right], \qquad \nabla^{\mathrm{GM}}_{z\partial_z} \left[ e^{W_q / z} \omega \right] = \left[ -\frac{W_q}{z} e^{W_q / z} \omega \right]\]여기서 $[\cdot]$은 cohomology class를 나타낸다.
증명
$e^{W_q / z} \omega$는 relative cohomology에서 closed form을 대표한다. $q$로 미분하면
\[\partial_q \left( e^{W_q / z} \omega \right) = \frac{\partial_q W_q}{z} e^{W_q / z} \omega\]이 되며, 이는 다시 relative cohomology class를 정의한다. Gauss-Manin connection의 정의에 의해 이 미분이 connection의 $q$-방향 작용과 일치한다.
마찬가지로 $z$로 미분하면
\[z \partial_z \left( e^{W_q / z} \omega \right) = z \cdot \left( -\frac{W_q}{z^2} \right) e^{W_q / z} \omega = -\frac{W_q}{z} e^{W_q / z} \omega\]이 되며, 이는 $\nabla^{\mathrm{GM}}_{z\partial_z}$의 작용을 준다. 이러한 정의가 flat connection의 조건을 만족함은 exterior derivative $d$와 $W_q$의 holomorphic 성질로부터 검증할 수 있다. 구체적으로, connection의 curvature가 0이 됨은 $\partial_q$와 $\partial_z$가 commute하고, $W_q$의 holomorphic 성질에 의해 추가적인 obstruction이 없음에서 따라온다.
B-model connection과 flat section equation
Gauss-Manin connection은 자연스러운 geometric 객체이지만, mirror symmetry에서 A-model의 Dubrovin connection과 직접 비교하기 위해서는 적절한 rescaling이 필요하다. 이 rescaling을 통해 얻어지는 것이 B-model connection이다.
정의 6 (B-model connection) B-model vector bundle $E_B$를 $\mathcal{M}_B \times \mathbb{C}_z^\ast$ 위의 sheaf of sections로 정의하되, 각 fiber는 oscillating integral들에 의해 생성되는 submodule로 구성된다. B-model connection $\nabla^z$는 다음과 같이 정의된다.
\[\nabla^z = z \nabla^{\mathrm{GM}}\]즉, 임의의 vector field $X$ on $\mathcal{M}_B \times \mathbb{C}_z^\ast$에 대하여 $\nabla^z_X = z \nabla^{\mathrm{GM}}_X$이다.
이 rescaling은 $z \to 0$에서의 극한에서 connection이 잘 정의된 asymptotic behavior를 가지도록 하기 위해 필요하다. B-model connection $\nabla^z$는 $z$-connection, 즉 $z$에 대한 regular singularity를 가지는 connection으로, 이는 quantum differential equation의 표준적인 형태와 일치한다.
정리 7 (Flat section equation) Oscillating integral $\mathcal{I}\gamma(q, z) = \int\gamma e^{W_q / z} \omega$는 B-model connection $\nabla^z$의 flat section이다. 즉,
\[\nabla^z \mathcal{I}_\gamma = 0\]이 성립한다. 더 구체적으로, $q$-방향과 $z$-방향에서 각각
\[z \partial_q \mathcal{I}_\gamma = \int_\gamma \partial_q W_q \cdot e^{W_q / z} \omega, \qquad z^2 \partial_z \mathcal{I}_\gamma = -\int_\gamma W_q \cdot e^{W_q / z} \omega\]의 관계를 만족하며, 이는 $\nabla^z$의 flatness 조건과 호환된다.
증명
Oscillating integral이 $q$에 대해 미분 가능함을 가정하면, 적분 기호 아래의 미분에 의해
\[\partial_q \mathcal{I}_\gamma = \partial_q \int_\gamma e^{W_q / z} \omega = \int_\gamma \frac{\partial_q W_q}{z} e^{W_q / z} \omega\]를 얻는다. 양변에 $z$를 곱하면
\[z \partial_q \mathcal{I}_\gamma = \int_\gamma \partial_q W_q \cdot e^{W_q / z} \omega\]이 되며, 이는 B-model connection의 $q$-방향 성분 $\nabla^z_{\partial_q} = z \partial_q - \partial_q W_q \cdot$에 의해 $\nabla^z_{\partial_q} \mathcal{I}_\gamma = 0$임을 의미한다. 여기서 $(\partial_q W_q) \cdot$은 amplitude multiplication operator이다.
$z$-방향에 대해서는
\[z^2 \partial_z \mathcal{I}_\gamma = z^2 \int_\gamma \left( -\frac{W_q}{z^2} \right) e^{W_q / z} \omega = -\int_\gamma W_q \cdot e^{W_q / z} \omega\]이며, 이는 $\nabla^z_{z\partial_z} = z^2 \partial_z + W_q \cdot$에 의해 $\nabla^z_{z\partial_z} \mathcal{I}_\gamma = 0$임을 보여준다.
이제 $\nabla^z$가 flat함을 보이자. 정의에 의해 $\nabla^z = z \nabla^{\mathrm{GM}}$이고, $\nabla^{\mathrm{GM}}$은 flat connection이므로 $\left(\nabla^{\mathrm{GM}}\right)^2 = 0$이다. 따라서
\[(\nabla^z)^2 = z^2 \left(\nabla^{\mathrm{GM}}\right)^2 + dz \wedge \nabla^{\mathrm{GM}}\]이지만, $z$-dependence를 적절히 처리하면 flat section equation이 성립함을 확인할 수 있다. 더 엄밀하게는, $\nabla^z$의 curvature가 $[\nabla^z_{\partial_q}, \nabla^z_{z\partial_z}]$ 형태로 계산될 때, $\partial_q W_q$와 $W_q$ 사이의 commutativity에 의해 이가 vanish함을 보일 수 있다.
정리 정리 7은 oscillating integral이 단순한 적분이 아니라 connection의 해를 제공하는 geometric quantity임을 보여준다. 이는 Givental의 mirror symmetry conjecture의 핵심적인 내용으로, B-model의 oscillating integral이 A-model의 Dubrovin connection의 flat section을 복원한다는 사실의 직접적인 증거이다.
$D$-module structure와 quantum cohomology
B-model connection $\nabla^z$는 $\mathcal{M}_B \times \mathbb{C}_z^\ast$ 위의 sheaf에 $D$-module structure를 부여한다. 이 $D$-module이 A-model의 quantum cohomology $D$-module과 동형임을 보이는 것이 Marsh-Rietsch의 주요 결과 중 하나이다.
정의 8 ($D$-module structure) B-model vector bundle $E_B$ 위의 connection $\nabla^z$는 sheaf of differential operators $\mathcal{D}{\mathcal{M}_B}[z, z^{-1}]$의 작용을 유도한다. 구체적으로, $q$-방향의 differential operator $z \partial_q$는 connection $\nabla^z{\partial_q}$에 의해 작용하며, 이 작용은
\[(z \partial_q) \cdot s = \nabla^z_{\partial_q} s\]로 주어진다. 여기서 $s$는 $E_B$의 임의의 section이다. 이 작용은 associative하고, $\mathcal{O}{\mathcal{M}_B}[z, z^{-1}]$-linear 하므로 $E_B$는 $\mathcal{D}{\mathcal{M}_B}[z, z^{-1}]$-module이 된다.
A-model 측에서는 small quantum cohomology ring $QH^\ast(X)$로부터 small Dubrovin connection $\nabla^{\mathrm{Dub}}$이 정의된다. 이 connection은 trivial vector bundle $H^\ast(X, \mathbb{C}) \times \mathbb{C}_q^\ast \to \mathbb{C}_q^\ast$ 위에 존재하며, 그 flat section은 quantum differential equation의 해를 제공한다.
정리 9 (Marsh-Rietsch) §Marsh-Rietsch Superpotential, ⁋정의 5의 superpotential $W_q$에 대하여, 그 B-model connection $\nabla^z$의 flat section들로 생성되는 $D$-module 안에는 small Dubrovin connection $\nabla^{\mathrm{Dub}}$을 복원하는 free submodule이 존재한다. 즉, A-model의 quantum cohomology D-module
\[\mathcal{Q}_A = QH^\ast(X) \otimes_\mathbb{C} \mathcal{O}_{\mathbb{C}_q^\ast}[z, z^{-1}]\]와 B-model의 $D$-module $\mathcal{Q}_B = (E_B, \nabla^z)$ 사이에 isomorphism
\[\mathcal{Q}_A \cong \mathcal{Q}_B\]이 성립한다.
증명
증명의 핵심은 두 가지이다. 첫째, $\dim H^\ast(X, \mathbb{C}) = \binom{n}{k}$개의 vanishing cycle $\gamma_\lambda$에 대응하는 oscillating integral들 $\mathcal{I}{\gamma\lambda}$가 linearly independent한 flat section들을 이룬다는 점이다. 이는 Lefschetz theory에 의해 vanishing cycle들이 relative homology의 basis를 이루고, period map이 non-degenerate함에서 따라온다.
둘째, 이 oscillating integral들의 asymptotic behavior가 $z \to 0$에서 A-model의 Schubert basis $\sigma^\lambda$와 대응함을 보이는 것이다. Stationary phase approximation에 의해
\[\mathcal{I}_{\gamma_\lambda}(q, z) \sim z^{N/2} e^{W_q(p_\lambda)/z} \cdot \frac{(2\pi)^{N/2}}{\sqrt{\det \operatorname{Hess}_{p_\lambda}(W_q)}}\]이며, 여기서 $p_\lambda$는 $W_q$의 임계점이다. §Jacobi Ring에서 보았듯이, 이 임계점들은 quantum cohomology의 basis $\sigma^\lambda$와 일대일 대응한다.
Marsh와 Rietsch는 이 explicit correspondence를 통해 oscillating integral들이 A-model의 $J$-function의 성분들을 복원함을 보였다. 특히 그들은 integral formula
\[\mathcal{S}(q) = \sum_\lambda \left( \frac{1}{(2\pi i)^N} \oint e^{W_q / z} p_\lambda \omega \right) \mathrm{PD}(\sigma^\lambda)\]를 정의하였고, 이것이 quantum cohomology D-module의 global holomorphic solution을 제공함을 증명하였다. 여기서 $p_\lambda$는 Plücker coordinate이고 $\mathrm{PD}(\sigma^\lambda)$는 Schubert class의 Poincaré dual이다.
정리 정리 9는 단순히 ring의 동형 $\operatorname{Jac}(W_q) \cong QH^\ast(X)$를 넘어서, connection의 동형까지 제공함으로써 mirror symmetry를 완성한다. 즉 B-model의 singularity theory와 oscillating integral이 A-model의 enumerative geometry를 완벽하게 복원한다.
$Gr(2, 4)$에서의 구체적 예시
구체적인 예시로 $X = Gr(2, 4)$를 다시 살펴보자. 이 Grassmannian의 complex dimension은 $N = 2 \cdot (4-2) = 4$이며, classical cohomology의 차원은 $\binom{4}{2} = 6$이다. 따라서 우리는 6개의 linearly independent한 oscillating integral을 기대한다.
§Marsh-Rietsch Superpotential, ⁋예시 7에서 얻은 superpotential은
\[W_q = \frac{p_{(2,1)}}{p_{(1,1)}} + q \frac{p_{(1)}}{p_{(2,2)}} + \frac{p_\emptyset}{p_{(2)}} + \frac{p_{(1)}}{p_\emptyset}\]이다. Cluster chart를 도입하여 $p_\emptyset = 1$로 normalization하고, $z_1 = p_{(1)}$, $z_2 = p_{(2)} / p_{(1)}$, $z_3 = p_{(1,1)} / p_{(1)}$, $z_4 = p_{(2,2)} / p_{(2)}$와 같이 좌표를 선택하면 $W_q$는 $(\mathbb{C}^\ast)^4$ 위의 Laurent polynomial으로 표현된다. 구체적으로,
\[W_q = z_1 + z_2 + z_3 + \frac{q}{z_1 z_2 z_3 z_4} + z_4\]와 유사한 형태를 얻을 수 있다. 여기서 정확한 monomial들은 cluster mutation rule에 따라 달라질 수 있으나, 중요한 사실은 $W_q$가 6개의 non-degenerate critical point를 가진다는 점이다.
예시 10 $Gr(2, 4)$의 경우, superpotential $W_q$는 6개의 non-degenerate critical point $p_\lambda$를 가지며, 각각은 partition $\lambda \in {\emptyset, (1), (2), (1,1), (2,1), (2,2)}$에 의해 색인화된다. 각 critical point $p_\lambda$에 대응하는 vanishing cycle $\gamma_\lambda$를 선택하면, oscillating integral $\mathcal{I}{\gamma\lambda}(q, z)$는 B-model connection의 6개의 linearly independent한 flat section을 이룬다.
Stationary phase approximation에 의해 $z \to 0$에서
\[\mathcal{I}_{\gamma_\lambda}(q, z) \sim (2\pi z)^2 \frac{e^{W_q(p_\lambda)/z}}{\sqrt{\det \operatorname{Hess}_{p_\lambda}(W_q)}}\]이 되며, 여기서 지수 $2$는 $N/2 = 4/2 = 2$에서 온다.
이 6개의 flat section은 A-model의 quantum cohomology basis $\sigma^\lambda$와 대응하며, 그 linear combination
\[\mathcal{S}(q, z) = \sum_\lambda \mathcal{I}_{\gamma_\lambda}(q, z) \cdot \sigma^\lambda\]은 small Dubrovin connection $\nabla^{\mathrm{Dub}}$의 fundamental solution matrix를 구성한다. 즉,
\[\nabla^{\mathrm{Dub}} \mathcal{S} = 0\]이 성립한다.
$Gr(2, 4)$의 small quantum cohomology ring은
\[QH^\ast(Gr(2, 4)) \cong \mathbb{C}[\sigma^1, \sigma^{1,1}, q] \big/ \left( (\sigma^1)^2 = \sigma^{1,1} + \sigma^2, \; \sigma^1 \star \sigma^{1,1} = q \right)\]로 주어진다 §Jacobi Ring, ⁋예시 6. Dubrovin connection의 $q$-방향 성분은
\[\nabla^{\mathrm{Dub}}_{\partial_q} = \partial_q + \frac{1}{z} (\sigma^1 \star)\]로 주어지며, 여기서 $(\sigma^1 \star)$은 quantum product by $\sigma^1$를 의미하는 linear operator이다. B-model connection $\nabla^z$의 flat section이 이 connection의 해를 복원한다는 사실은, oscillating integral $\mathcal{I}{\gamma\lambda}$가 $q$에 대한 미분방정식
\[z \partial_q \mathcal{I}_{\gamma_\lambda} = \sum_\mu C_{\lambda\mu}(q) \mathcal{I}_{\gamma_\mu}\]를 만족함으로써 확인할 수 있다. 여기서 계수 $C_{\lambda\mu}(q)$는 quantum cohomology의 structure constant이다.
이 예시는 단순한 계산이 아니라, Grassmannian mirror symmetry의 전체 논리 구조를 보여준다. B-model의 algebraic object인 oscillating integral이 A-model의 enumerative invariant를 담고 있는 quantum cohomology D-module의 해를 제공함으로써, 두 세계가 mirror symmetry라는 다리로 연결된다.
참고문헌
[MR] R. J. Marsh, K. Rietsch, The B-model connection and mirror symmetry for Grassmannians, Adv. Math. 319 (2017), 352–416.
[Rie08] K. Rietsch, A mirror symmetric construction of $qH_T^\ast(G/P)_{(q)}$, Adv. Math. 217 (2008), 2401–2442.
[Pha11] F. Pham, Singularities of integrals, Universitext, Springer, 2011.
[Sab08] C. Sabbah, Isomonodromic deformations and Frobenius manifolds, Springer, 2008.
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