Toric variety에서는 moment polytope을 통해 A-model의 기하학과 B-model의 superpotential이 자연스럽게 대응된다. (§Mirror Symmetry 개요, ⁋mirror symmetry의 기본 직관) 그러나 Grassmannian과 같은 non-toric variety에서는 이러한 대응이 덜 자명하며, 적절한 polytope를 구성하기 위한 새로운 도구가 필요하다. Newton–Okounkov body는 graded algebra에 대한 valuation으로부터 얻어지는 convex body로서, toric variety의 moment polytope를 임의의 projective variety로 확장한 것이다. (§Marsh–Rietsch Superpotential, ⁋정의 5, §Cluster Algebra, ⁋정리 4)
Rietsch와 Williams는 Grassmannian $Gr(k,n)$이 가지는 cluster structure를 활용하여, A-model의 Newton–Okounkov body가 B-model의 superpotential tropicalization으로부터 얻어지는 polytope와 정확히 일치함을 보였다. 이 결과는 Grassmannian에 대한 mirror symmetry가 단순히 ring의 동형을 넘어서, 기하학적 객체인 polytope의 수준에서도 성립함을 의미한다. 본 글에서는 Newton–Okounkov body의 정의부터 시작하여, Grassmannian 위의 valuation 구성, superpotential polytope의 정의, 그리고 Rietsch–Williams의 일치 정리와 이로부터 얻어지는 toric degeneration을 살펴 본다.
Newton–Okounkov body의 정의
Newton–Okounkov body는 Okounkov의 아이디어를 바탕으로 Kaveh–Khovanskii와 Lazarsfeld–Mustaţă에 의해 독립적으로 정립되었다. 이는 toric variety에서의 Newton polytope 개념을 임의의 projective variety로 확장한 것으로, graded algebra의 asymptotic behavior를 convex body의 기하학으로 변환하는 강력한 도구이다.
우리는 먼저 valuation의 정의를 제시한다. 여기서는 value group으로서 lexicographic order를 갖는 $\mathbb{Z}^d$를 사용한다.
정의 1 $R$이 $\mathbb{C}$ 위의 정수환(integral domain)이라 하자. Valuation $\nu: R \setminus {0} \to \mathbb{Z}^d$는 다음 세 가지 조건을 만족하는 함수이다.
- $\nu(fg) = \nu(f) + \nu(g)$,
- $\nu(cf) = \nu(f)$ for $c \in \mathbb{C}^\ast$,
- $\nu(f+g) \ge \min{\nu(f), \nu(g)}$ (단, $f+g \neq 0$).
여기서 $\mathbb{Z}^d$의 순서는 lexicographic order를 사용한다. 또한 $\nu$가 one-dimensional leaves를 가진다는 것은, $\nu(f) = \nu(g)$이면 어떤 $c \in \mathbb{C}^\ast$가 존재하여 $\nu(g-cf) > \nu(g)$이거나 $g-cf=0$임을 의미한다.
Valuation $\nu$는 $R$에 filtration을 주며, 이로부터 associated graded ring을 구성할 수 있다. 특히 projective variety $X$와 그 위의 ample line bundle $L$이 주어졌을 때, section ring
\[R(X, L) = \bigoplus_{m \ge 0} H^0(X, L^{\otimes m})\]에 대한 valuation을 고려하면 Newton–Okounkov body를 얻는다.
정의 2 Projective variety $X$와 ample line bundle $L$, 그리고 function field $\mathbb{C}(X)$ 위의 valuation $\nu: \mathbb{C}(X)^\times \to \mathbb{Z}^d$가 주어졌다고 하자. 이때 $d = \dim X$라 하자. Newton–Okounkov body $\Delta_\nu(L)$은 다음과 같이 정의된다.
\[\Delta_\nu(L) = \overline{\operatorname{conv} \left( \bigcup_{m \ge 1} \frac{1}{m} \nu\left(H^0(X, L^{\otimes m}) \setminus \{0\}\right) \right)} \subseteq \mathbb{R}^d.\]Newton–Okounkov body는 유계인 convex compact set이지만, 일반적으로는 polytope가 아니다. 그러나 적절한 valuation을 선택하면 lattice polytope가 되며, 이 경우 Anderson의 결과에 의해 $X$에서 해당 toric variety로의 flat degeneration이 존재한다. 또한 Newton–Okounkov body의 $d$-차원 Euclidean volume은 line bundle $L$의 degree와 밀접하게 관련된다. 구체적으로,
\[\operatorname{vol}_X(L) = d! \cdot \operatorname{vol}_{\mathbb{R}^d}(\Delta_\nu(L))\]가 성립한다.
Grassmannian 위의 Plücker valuation
Grassmannian $X = Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$ 위에서 Newton–Okounkov body를 구성하기 위해서는, coordinate ring $\mathbb{C}[X]$ 위에 자연스러운 valuation을 정의해야 한다. Rietsch와 Williams는 plabic graph $G$로부터 얻어지는 cluster structure를 이용하여 이러한 valuation을 구성하였다.
구체적으로, reduced plabic graph $G$ of type $\pi_{k,n}$이 주어졌을 때, 이에 대응하는 cluster chart
\[\Phi_G: (\mathbb{C}^\ast)^{\mathcal{P}_G} \longrightarrow X\]는 $X$의 Zariski open subset으로의 birational map을 준다. 여기서 $\mathcal{P}G$는 $G$의 face들에 label된 non-empty partition들의 집합이다. 이 cluster chart에서 Plücker coordinate $p\mu$ ($\mu \in \mathcal{P}G$)는 좌표 함수가 되며, 임의의 유리함수 $f \in \mathbb{C}(X)$는 $p\mu$들에 관한 Laurent polynomial으로 표현된다.
정의 3 Plabic graph $G$에 대응하는 cluster chart에서, 각 Plücker coordinate $p_\mu$ ($\mu \in \mathcal{P}G$)에 독립 변수를 할당하고, lexicographic order를 사용하여 monomial의 leading term을 정의한다. *Plücker valuation* $\nu_G: \mathbb{C}(X)^\times \to \mathbb{Z}^{\mathcal{P}_G}$는 $f$를 $p\mu$들에 관한 Laurent polynomial으로 전개한 후, 그 leading term의 지수 벡터를 $f$의 valuation으로 정의한다. 즉,
\[f = \sum_{\alpha \in \mathbb{Z}^{\mathcal{P}_G}} c_\alpha p^\alpha\]이고 $c_\alpha \neq 0$인 지수들 중 lexicographic order로 최소인 $\alpha_0$에 대하여 $\nu_G(f) = \alpha_0$로 정의한다.
Plücker valuation은 one-dimensional leaves를 가지며, 이는 cluster monomials가 $\mathbb{C}[X]$의 $\mathbb{C}$-기저를 이루는 theta basis의 성질과 깊이 연결되어 있다. 특히 Gross–Hacking–Keel–Kontsevich의 canonical basis가 pointed element들로 구성됨을 이용하면, 서로 다른 plabic graph $G$와 $G’$ 사이의 valuation 변화가 tropicalized cluster mutation으로 주어짐을 보일 수 있다.
명제 4 두 reduced plabic graph $G$와 $G’$가 single square move(M1)에 의해 연결되어 있다고 하자. 이때 $G$와 $G’$에 대응하는 Newton–Okounkov body $\Delta_G$와 $\Delta_{G’}$는 다음의 tropicalized cluster mutation에 의해 서로 변환된다.
\[V_{\mu_1'} = \min(V_{\mu_2} + V_{\mu_4}, V_{\mu_3} + V_{\mu_5}) - V_{\mu_1},\] \[V_{\mu_i'} = V_{\mu_i} \quad (i \neq 1).\]여기서 $\mu_1, \ldots, \mu_5$는 square move가 일어나는 국소 영역의 face label들이다.
증명
Square move는 cluster mutation에 대응하며, Plücker coordinate $p_{\mu_1}$가 $p_{\mu_1’}$로 교체된다. Mutation formula
\[p_{\mu_1} p_{\mu_1'} = p_{\mu_2} p_{\mu_4} + p_{\mu_3} p_{\mu_5}\]에서 양변의 valuation을 취하면,
\[\nu(p_{\mu_1}) + \nu(p_{\mu_1'}) = \min(\nu(p_{\mu_2}) + \nu(p_{\mu_4}), \nu(p_{\mu_3}) + \nu(p_{\mu_5}))\]이 성립한다. Valuation의 additive 성질에 의해 이는 tropicalized cluster mutation의 정의와 일치한다. 다른 좌표들은 변하지 않으므로, 전체 Newton–Okounkov body는 주어진 piecewise-linear transformation으로 변환된다.
Superpotential polytope
B-model에서는 Marsh–Rietsch superpotential $W_q$의 tropicalization을 통해 polytope를 구성한다. (§Marsh–Rietsch Superpotential, ⁋정의 5) 이는 B-model의 관점에서 자연스러운 construction으로, Laurent polynomial의 tropicalization은 그 계수들의 valuation과 monomial의 지수들을 조합하여 piecewise-linear 함수를 만든다.
정의 5 Cluster chart $G$에서 Marsh–Rietsch superpotential $W_q$를 Plücker coordinate $p_\mu$ ($\mu \in \mathcal{P}G$)에 관한 Laurent polynomial으로 전개한 것을 $W_q^G$라 하자. 이때 $q = t^r$로 치환하고 Puiseux series 계수를 갖는 Laurent polynomial으로 본다. Laurent monomial $c(t) \prod{\mu} p_\mu^{a_\mu}$의 tropicalization은
\[\operatorname{Trop}\left(c(t) \prod_{\mu} p_\mu^{a_\mu}\right)((v_\mu)) = m + \sum_{\mu} a_\mu v_\mu\]로 정의된다. 여기서 $c(t) = a_m t^m + \sum_{j>m} a_j t^j$이고 $a_m > 0$이다. 두 Laurent polynomial의 합에 대해서는 $\operatorname{Trop}(f+g) = \min(\operatorname{Trop}(f), \operatorname{Trop}(g))$로 정의한다.
Tropicalization은 multiplicative 구조를 additive하게, additive 구조는 $\min$ 연산으로 변환하는 연산이다. 이는 $(\max, +)$-semiring에서의 homomorphism으로 이해될 수 있으며, mirror symmetry에서는 B-model의 algebraic 데이터를 A-model의 combinatorial 데이터로 변환하는 핵심적인 절차가 된다.
정의 6 Reduced plabic graph $G$와 양의 정수 $r$가 주어졌을 때, superpotential polytope $\Gamma_G^r$는 다음과 같이 정의된다.
\[\Gamma_G^r = \{ v \in \mathbb{R}^{\mathcal{P}_G} \mid \operatorname{Trop}_G(W)(v, r) \ge 0 \}.\]특히 $r=1$인 경우를 $\Gamma_G$로 표기한다. 여기서 $\operatorname{Trop}_G(W)(v, r) \ge 0$는 $W_q^G$의 각 Laurent monomial에 대응하는 linear inequality들의 system을 의미한다.
Superpotential polytope는 정의상 linear inequalities의 교집합이므로 항상 convex polyhedron이다. Marsh–Rietsch superpotential의 universal positivity에 의해, 이 polytope는 bounded이며 따라서 polytope가 된다. 각 inequality는 $W_q$의 한 항에서 유도되므로, superpotential의 algebraic structure가 polytope의 facet structure를 직접 결정한다.
Rietsch–Williams의 일치 정리
Rietsch와 Williams의 핵심적인 결과는 A-model의 Newton–Okounkov body와 B-model의 superpotential polytope가 임의의 plabic graph $G$에 대하여 일치한다는 것이다. 이는 Grassmannian의 mirror symmetry가 toric variety의 경우와 유사하게, 두 polytope의 동일성으로 표현될 수 있음을 보여준다.
정리 7 (Rietsch–Williams, 2019) 임의의 reduced plabic graph $G$ of type $\pi_{k,n}$에 대하여, A-model의 Newton–Okounkov body $\Delta_G$와 B-model의 superpotential polytope $\Gamma_G$는 $\mathbb{R}^{\mathcal{P}_G}$에서 일치한다. 즉,
\[\Delta_G = \Gamma_G.\]증명
증명의 핵심 아이디어는 먼저 특별한 seed인 rectangles seed $G_{k,n}^{rec}$에서 일치를 확인한 후, mutation이 일어날 때 양쪽 모두 동일한 tropicalized cluster mutation으로 변환됨을 보이는 것이다.
Step 1: Rectangles seed에서의 일치. Rectangles seed $G_{k,n}^{rec}$에서, Newton–Okounkov body $\Delta_{G_{k,n}^{rec}}$는 Gelfand–Tsetlin polytope와 일치함이 알려져 있다. 한편 rectangles seed에서 Marsh–Rietsch superpotential $W_q$는 각 항이 단순한 monomial ratio로 표현되므로, 그 tropicalization은 Gelfand–Tsetlin pattern의 inequalities와 동일한 linear system을 준다. 따라서 $\Gamma_{G_{k,n}^{rec}}$ 역시 동일한 Gelfand–Tsetlin polytope가 된다.
Step 2: Mutation 하의 호환성. 두 seed $G$와 $G’$가 single square move로 연결되어 있다고 하자. 명제 4에 의해 $\Delta_G$는 tropicalized cluster mutation $\Psi_{G,G’}$로 $\Delta_{G’}$로 변환된다. 한편 superpotential polytope $\Gamma_G$는 $W_q$의 tropicalization으로 정의되며, mutation이 일어날 때 $W_q$의 Laurent expansion이 cluster mutation formula를 따르므로, $\Gamma_G$ 역시 동일한 $\Psi_{G,G’}$로 변환됨을 확인할 수 있다. 이는 tropicalization이 Laurent monomial의 곱셈을 덧셈으로, 덧셈을 $\min$으로 변환하기 때문에, exchange relation의 tropicalization이 tropicalized cluster mutation을 유도함을 의미한다.
Step 3: Exchange graph상의 전파. 임의의 두 reduced plabic graph는 square move의 sequence로 연결된다. Rectangles seed에서의 일치와 mutation 하의 호환성을 반복적으로 적용하면, exchange graph상의 임의의 seed $G$에 대하여 $\Delta_G = \Gamma_G$가 성립함을 얻는다.
정리 7의 중요한 함의는 Newton–Okounkov body가 단순히 convex hull로 정의되는 A-model의 객체인 동시에, B-model의 superpotential tropicalization으로부터 linear inequalities로 완전히 기술될 수 있다는 점이다. 이는 mirror symmetry의 두 측면이 combinatorial한 polytope의 동일성으로 통합됨을 의미하며, toric degeneration의 존재를 암시한다.
Cluster duality와의 연결
정리 7의 결과는 Fock–Goncharov의 cluster duality와 Gross–Hacking–Keel–Kontsevich의 canonical basis 이론의 맥락에서 보다 깊이 이해될 수 있다. Grassmannian $X = Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$은 cluster algebra의 $A$-model, 즉 $A$-cluster variety로 볼 수 있다. (§Cluster Algebra, ⁋정의 3) 이에 대응하는 $X$-cluster variety는 Langlands dual Grassmannian $\check{X} = Gr_k((\mathbb{C}^n)^\ast)$ 위에 정의되며, 이는 B-model의 기하학적 무대가 된다.
Cluster duality의 핵심은 $A$-cluster variety와 $X$-cluster variety 사이에 canonical pairing이 존재하여, $A$-variety의 tropical points가 $X$-variety의 regular functions을 parameterize한다는 것이다. 구체적으로, plabic graph $G$에 대응하는 $A$-cluster chart의 tropical points는 Newton–Okounkov body의 lattice points를 이루고, 이들은 $X$-cluster chart에서 superpotential $W_q$의 tropicalization으로부터 정의되는 inequalities를 만족한다.
Rietsch와 Williams는 theta basis가 pointed element들로 구성됨을 이용하여, Newton–Okounkov body의 lattice points가 $H^0(X, \mathcal{O}(rD))$의 basis를 parameterize함을 보였다. 이는 Gelfand–Tsetlin pattern의 lattice points가 irreducible representation의 weight basis를 parameterize하는 classical result의 자연스러운 확장이다. 이러한 관점에서 정리 7은 cluster duality가 Grassmannian의 mirror symmetry를 polytope의 수준에서 실현함을 보여주는 강력한 증거이다.
Toric degeneration
Newton–Okounkov body가 lattice polytope일 때, Anderson의 일반 이론에 의해 이로부터 원래 variety의 toric degeneration을 구성할 수 있다. Rietsch–Williams의 결과에 의해 Grassmannian의 경우 $\Delta_G = \Gamma_G$는 항상 rational polytope이며, 적절한 조건 하에서 lattice polytope가 되므로 toric degeneration이 존재한다.
정리 8 (Anderson, 2013; Rietsch–Williams, 2019) Reduced plabic graph $G$에 대하여, Newton–Okounkov body $\Delta_G$가 lattice polytope이면 Grassmannian $X = Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$은 $\Delta_G$에 대응하는 toric variety $Y(\Delta_G)$로 flat degeneration한다. 즉, 한 매개변수 family $\pi: \mathcal{X} \to \mathbb{A}^1$가 존재하여 $t \neq 0$인 fiber가 $X$와 isomorphic하고, central fiber $\pi^{-1}(0)$가 toric variety $Y(\Delta_G)$와 isomorphic하다.
증명
Anderson의 construction은 Newton–Okounkov body $\Delta_\nu(L)$으로부터 Rees algebra를 구성하는 것에 기반한다. 구체적으로, valuation $\nu$에 의한 filtration $\mathcal{F}_\lambda = {f \in R \mid \nu(f) \ge \lambda}$를 고려하고, 이로부터 graded algebra
\[\mathcal{R} = \bigoplus_{m \ge 0} t^{-m} \mathcal{F}_{m \lambda} \subseteq R[t, t^{-1}]\]를 정의하면, $\operatorname{Proj}(\mathcal{R}) \to \mathbb{A}^1$가 원하는 flat degeneration을 준다. Central fiber는 associated graded ring $\operatorname{gr}\nu(R)$의 Proj로 주어지며, 이는 semigroup algebra $\mathbb{C}[S]$의 Proj로 동형이다. 여기서 $S$는 valuation의 image semigroup이다. $\Delta\nu(L)$이 lattice polytope이면 이 semigroup algebra가 toric variety를 정의하므로, central fiber는 toric variety가 된다.
Grassmannian의 경우, Rietsch–Williams는 $\Delta_G = \Gamma_G$가 rational polytope임을 보였고, 적절한 정수 배 $r\Delta_G$가 lattice polytope가 되도록 할 수 있다. 이는 line bundle $L^{\otimes r}$에 대한 Newton–Okounkov body를 구성함으로써 toric degeneration을 얻는다.
Toric degeneration은 Grassmannian의 복잡한 대수적 구조를 toric variety의 조합론적 구조로 단순화하는 강력한 도구이다. 특히 Gromov–Witten invariant나 quantum cohomology의 계산을 toric variety에서의 계산으로 환원할 수 있으며, Rietsch–Williams의 결과는 이러한 degeneration이 superpotential $W_q$의 tropicalization으로부터 직접 읽을 수 있음을 보여준다.
예시: $Gr(2,4)$에서의 Newton–Okounkov body
구체적인 이해를 위해 가장 간단한 non-trivial 예시인 $Gr(2,4)$를 살펴 보자. $Gr(2,4)$는 4차원 projective variety이며, $k=2, n=4$이므로 mirror dual은 $Gr_2((\mathbb{C}^4)^\ast) \cong Gr(2,4)$이다.
예시 9 ($Gr(2,4)$) $Gr(2,4)$의 Plücker coordinates는 $p_\emptyset, p_{(1)}, p_{(2)}, p_{(1,1)}, p_{(2,1)}, p_{(2,2)}$이며, 이들 사이의 관계는
\[p_{(1)} p_{(2,1)} = p_\emptyset p_{(2,2)} + p_{(2)} p_{(1,1)}\]로 주어진다. Rectangles seed $G_{2,4}^{rec}$에서는 cluster variables가 $p_{(1)}$과 $p_{(2,1)}$이고, frozen variables는 $p_\emptyset, p_{(2)}, p_{(1,1)}, p_{(2,2)}$이다. 이 seed에서 superpotential $W_q$는
\[W_q = \frac{p_{(2,1)}}{p_{(1,1)}} + q \frac{p_{(1)}}{p_{(2,2)}} + \frac{p_\emptyset}{p_{(2)}} + \frac{p_{(1)}}{p_\emptyset}\]로 주어진다. (§Marsh–Rietsch Superpotential, ⁋예시 7)
Rectangles cluster chart에서 $p_\emptyset = 1$로 normalization하고, 좌표를 $z_1 = p_{(1)}, z_2 = p_{(2)}, z_3 = p_{(1,1)}, z_4 = p_{(2,2)}$로 두면, Plücker relation에 의해
\[p_{(2,1)} = \frac{z_2 z_3 + z_4}{z_1}\]이다. 따라서 $W_q$를 rectangles cluster 좌표 $(z_1, z_2, z_3, z_4)$로 표현하면,
\[W_q = \frac{z_2 z_3 + z_4}{z_1 z_3} + q \frac{z_1}{z_4} + \frac{1}{z_2} + z_1\]가 된다. 이를 tropicalization하면 $q = t^r$로 두었을 때 다음의 piecewise-linear 함수를 얻는다.
\[\operatorname{Trop}(W_q)(v_1, v_2, v_3, v_4) = \min(v_2 - v_1, v_4 - v_1 - v_3, r + v_1 - v_4, -v_2, v_1).\]조건 $\operatorname{Trop}(W_q)(v) \ge 0$는 각각의 linear form이 동시에 nonnegative해야 함을 의미하는 것은 아니지만, rectangles seed에서의 특수한 구조에 의해 $W_q$의 각 monomial term이 서로 다른 chamber에서 minimal term이 되므로, 결과적으로 얻어지는 polytope는 각 term의 tropicalization이 $\ge 0$로부터 유도되는 inequalities의 system과 일치한다. 이 system은 Gelfand–Tsetlin pattern의 inequalities와 동일하다. 구체적으로 $r=1$인 경우, $\Delta_G = \Gamma_G$는 4차원 공간에서의 polytope로서, Gelfand–Tsetlin triangle
\[\begin{array}{ccc} a_{11} & & a_{12} \\ & a_{21} & \end{array}\]의 조건 $a_{11} \ge a_{21} \ge a_{12} \ge 0$와 $a_{11} - a_{21} \le 1$, $a_{21} - a_{12} \le 1$ 등으로 주어진다.
$Gr(2,4)$의 예시는 cluster structure가 non-toric variety의 mirror symmetry를 어떻게 구체화하는지를 잘 보여준다. Rectangles seed에서의 Gelfand–Tsetlin polytope는 classical representation theory의 객체이며, 이는 cluster duality를 통해 B-model의 superpotential tropicalization과 자연스럽게 연결된다. Mutation을 통해 다른 seed로 변환하면, polytope의 모양은 tropicalized cluster mutation으로 변화하지만, 그 내부의 lattice points 개수는 invariant를 유지하며, 이는 Hilbert function의 안정성을 반영한다.
결론
우리는 Newton–Okounkov body의 정의를 살펴보고, Grassmannian $Gr(k,n)$ 위의 plabic graph $G$로부터 구성되는 Plücker valuation을 제시하였다. Marsh–Rietsch superpotential $W_q$의 tropicalization으로부터 정의되는 superpotential polytope $\Gamma_G$는 B-model의 algebraic 데이터를 combinatorial한 linear inequalities로 변환하는 자연스러운 construction이다. Rietsch와 Williams의 핵심 정리는 이 두 객체, 즉 A-model의 Newton–Okounkov body $\Delta_G$와 B-model의 superpotential polytope $\Gamma_G$가 임의의 cluster seed $G$에 대하여 일치함을 보이는 것이다.
이 일치는 단순한 계산적 우연이 아니라, cluster duality의 깊은 구조적 결과이다. $A$-cluster variety의 tropical points가 $X$-cluster variety의 regular functions을 parameterize하는 Fock–Goncharov duality는 Grassmannian의 mirror symmetry를 polytope의 수준에서 실현하게 하며, Anderson의 toric degeneration 이론은 이로부터 구체적인 기하학적 degeneration을 유도한다. $Gr(2,4)$의 예시는 이러한 일반 이론이 가장 간단한 non-trivial 경우에서 어떻게 작동하는지를 명확히 보여준다.
Newton–Okounkov body와 superpotential polytope의 일치는 최근에도 활발한 연구 주제로, Schubert variety나 positroid variety 등으로의 확장이 진행 중이다. 이러한 결과들은 cluster algebra와 mirror symmetry의 상호작용이 보다 광범위한 algebraic geometry의 맥락에서 필수적인 도구임을 보여주며, toric degeneration을 통한 대수적 불변량의 계산에도 중요한 응용을 가진다.
참고문헌
[RW19] K. Rietsch, L. Williams, Newton–Okounkov bodies, cluster duality, and mirror symmetry for Grassmannians, Duke Math. J. 168 (2019), 3437–3527.
[And13] D. Anderson, Okounkov bodies and toric degenerations, Math. Ann. 356 (2013), 1183–1202.
[KK12] K. Kaveh, A. G. Khovanskii, Newton-Okounkov bodies, semigroups of integral points, graded algebras and intersection theory, Ann. of Math. 176 (2012), 925–978.
[LM09] R. Lazarsfeld, M. Mustaţă, Convex bodies associated to linear series, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 42 (2009), 783–835.
[MR] R. J. Marsh, K. Rietsch, The B-model connection and mirror symmetry for Grassmannians, Adv. Math. 319 (2017), 352–416.
[GHKK14] M. Gross, P. Hacking, S. Keel, M. Kontsevich, Canonical bases for cluster algebras, J. Amer. Math. Soc. 31 (2018), 497–608.
[FG06] V. Fock, A. Goncharov, Cluster ensembles, quantization and the dilogarithm, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 42 (2009), 865–930.
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