§Mirror Symmetry 개요에서 우리는 Grassmannian에 대한 mirror symmetry를 다루기 위해 Marsh–Rietsch의 construction을 예고하였고, §Bruhat Decomposition과 §Richardson Variety를 통해 그 geometric backbone을 살펴 보았다. 본 글에서는 이 construction의 핵심인 Landau-Ginzburg model $(\check{X}^\circ, W_q)$를 정의한다. A-model Grassmannian $X = Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$의 mirror dual인 B-model은 Langlands dual Grassmannian $\check{X} = Gr_k((\mathbb{C}^n)^\ast)$ 위에 정의되며, 그 domain $\check{X}^\circ$는 특정 anti-canonical divisor의 보충집합이다. Superpotential $W_q$는 $\check{X}^\circ$ 위의 regular function으로, Plücker coordinates의 ratio들을 조합하여 간결하게 표현된다. 우리는 먼저 Plücker embedding과 coordinates를 복습한 뒤, mirror space $\check{X}^\circ$의 정의를 내리고, Marsh–Rietsch superpotential의 정확한 formula를 제시한다. 마지막으로 $Gr(2,4)$의 구체적 예시를 통해 이 조합론적 구조를 확인한다.
Plücker embedding과 coordinates
Grassmannian $Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$은 $n$-차원 복소벡터공간 $\mathbb{C}^n$의 $(n-k)$-차원 부분공간들의 moduli space이다. 이는 projective variety로 실현될 수 있으며, 그 핵심 도구가 바로 Plücker embedding이다. 임의의 $(n-k)$-차원 부분공간 $V \subseteq \mathbb{C}^n$을 생각하고, $V$의 기저를 행렬 $M \in M_{(n-k) \times n}(\mathbb{C})$로 나타내자. $M$의 $(n-k) \times (n-k)$ minor들, 즉 $\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$개의 최대부분행렬식들을 좌표로 삼으면, 이들은 기저의 선택에 의존하지 않고 동시에 0이 되지 않으며, 서로 비례한다. 따라서 이들은 projective space $\mathbb{P}^{\binom{n}{k}-1}$ 위의 well-defined 한 점을 정의한다.
정의 1 $V \in Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$에 대하여, $V$의 기저를 나타내는 행렬 $M$의 $(n-k) \times (n-k)$ minor들을 $\Delta_I(V)$로 표기하되, 여기서 $I \subseteq {1, \dots, n}$은 열 지표의 $(n-k)$-element subset이다. 이들을 Plücker coordinates라 부른다. Plücker embedding은 다음과 같이 주어진다.
\[Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n) \longrightarrow \mathbb{P}^{\binom{n}{k}-1}, \qquad V \longmapsto [\Delta_I(V)]_{|I| = n-k}\]Plücker coordinates는 $\binom{n}{k}$개의 projective coordinate를 제공하지만, 이들은 Plücker relations라 불리는 일차다항식 관계식들을 만족한다. 따라서 Grassmannian은 $\mathbb{P}^{\binom{n}{k}-1}$의 linear section으로 실현된다. 본 글에서는 partition의 언어로 Plücker coordinates를 재색인하는 것이 편리하다. $k \times (n-k)$ 직사각형 안에 들어가는 partition $\lambda$의 집합을 $\mathcal{P}{k,n}$이라 하자. 각 $\lambda = (\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_k \geq 0)$에 대하여, 대응하는 subset $I\lambda \subseteq {1, \dots, n}$은 다음과 같이 주어진다.
\[I_\lambda = \{i_1 < i_2 < \dots < i_k\}, \qquad i_j = j + \lambda_{k-j+1}\]이 correspondence는 $\mathcal{P}{k,n}$과 $\binom{[n]}{k}$ 사이의 bijection이며, 따라서 Plücker coordinates를 $p\lambda$로 표기할 수 있다. 특히 empty partition $\emptyset$에 대응하는 coordinate는 $p_\emptyset = \Delta_{{1,2,\dots,k}}$이고, 가장 큰 partition $(n-k)^k$에 대응하는 coordinate는 $p_{(n-k)^k} = \Delta_{{n-k+1, \dots, n}}$이다.
예시 2 $Gr_2(\mathbb{C}^4)$의 경우, $k=2$, $n=4$이고 $2 \times 2$ 직사각형 안의 partition들은 다음과 같다.
\[\emptyset, \quad (1), \quad (2), \quad (1,1), \quad (2,1), \quad (2,2)\]이들에 대응하는 subset과 Plücker coordinates는 표와 같다.
| $\lambda$ | $I_\lambda$ | Plücker coordinate |
|---|---|---|
| $\emptyset$ | ${1,2}$ | $p_\emptyset = \Delta_{12}$ |
| $(1)$ | ${1,3}$ | $p_{(1)} = \Delta_{13}$ |
| $(2)$ | ${1,4}$ | $p_{(2)} = \Delta_{14}$ |
| $(1,1)$ | ${2,3}$ | $p_{(1,1)} = \Delta_{23}$ |
| $(2,1)$ | ${2,4}$ | $p_{(2,1)} = \Delta_{24}$ |
| $(2,2)$ | ${3,4}$ | $p_{(2,2)} = \Delta_{34}$ |
Anti-canonical divisor와 mirror space $\check{X}^\circ$
Marsh–Rietsch의 mirror construction에서 A-model은 Grassmannian $X = Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$이며, column vector들의 공간으로 $GL_n^\vee(\mathbb{C})$가 좌측에서 작용한다. B-model의 기하학적 물대는 Langlands dual Grassmannian $\check{X} = Gr_k((\mathbb{C}^n)^\ast)$이며, row vector들의 공간으로 $GL_n(\mathbb{C})$가 우측에서 작용한다. Type A에서는 $Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$과 $Gr_k((\mathbb{C}^n)^\ast)$가 isomorphic하지만, 이는 type A의 특수한 현상이며 일반적인 Lie type에서는 Langlands duality가 비자명하게 작용한다.
Mirror symmetry의 관점에서 Fano variety $X$의 mirror는 $X$ 위의 anti-canonical divisor $D_{ac}$의 보충집합 $X \setminus D_{ac}$ 위에 정의되는 Landau-Ginzburg model이다. Grassmannian의 경우, Marsh와 Rietsch는 $\check{X}$ 위에서 특별한 anti-canonical divisor를 정의하였다. 이 divisor는 rectangular partition들에 해당하는 Plücker coordinates의 소멸 locus로 주어진다.
정의 3 $k \times (n-k)$ 직사각형 안의 rectangular partition이란 $i \times j$ 형태의 Young diagram, 즉 $\lambda = (j, j, \dots, j)$ ($i$개의 행)으로 주어지는 partition이다. 모든 rectangular partition들에 대응하는 Plücker coordinates를 모은 집합을 $\mathcal{R}{k,n}$이라 하자. Anti-canonical divisor $D{ac} \subseteq \check{X}$는 다음과 같이 정의된다.
\[D_{ac} = \bigcup_{p_\lambda \in \mathcal{R}_{k,n}} \{p_\lambda = 0\}\]Mirror domain $\check{X}^\circ$는 이 divisor의 보충집합이다.
\[\check{X}^\circ = \check{X} \setminus D_{ac} = \{x \in \check{X} \mid p_\lambda(x) \neq 0 \text{ for all rectangular } \lambda\}\]$\check{X}^\circ$는 affine variety이며, 그 좌표환은 모든 rectangular Plücker coordinates를 반전시킨 localized coordinate ring으로 주어진다. 중요한 사실은 $\check{X}^\circ$가 §Richardson Variety, ⁋정의 6에서 소개한 open Richardson variety $\mathring{R}_{w_P, w_0}$와 isomorphic하다는 점이다. 이는 Rietsch의 Lie-theoretic construction과 Marsh–Rietsch의 Plücker coordinate formulation을 연결하는 핵심적인 geometric identification이다.
명제 4 Marsh–Rietsch의 mirror domain $\check{X}^\circ$는 차원 $k(n-k)$의 smooth affine variety이며, open Richardson variety $\mathring{R}_{w_P, w_0}$와 isomorphic하다. 여기서 $w_P$는 parabolic subgroup $P$에 해당하는 Weyl group의 최장원소이고, $w_0$는 전체 Weyl group의 최장원소이다.
증명
$\check{X}^\circ$는 rectangular Plücker coordinates를 반전시킨 localized coordinate ring을 가지므로, 기본적으로 affine open subset의 구조를 지닌다. §Richardson Variety, ⁋정의 6에서 정의한 open Richardson variety $\mathring{R}{w_P, w_0}$는 차원 $\ell(w_0) - \ell(w_P) = k(n-k)$의 smooth affine variety이다. Rietsch의 Lie-theoretic construction에 의해, 이 variety는 $B-$-equivariant isomorphism을 통해 $\check{X}^\circ$와 동일한 좌표환을 가지며, 따라서 두 variety는 isomorphic하다. 특히 이 isomorphism은 Plücker coordinates를 자연스럽게 대응시킨다.
Marsh–Rietsch superpotential $W_q$
Marsh–Rietsch superpotential의 핵심 아이디어는 Grassmannian의 quantum cohomology에서 출발한다. Quantum cohomology ring $QH^\ast(Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n))$의 basis는 Schubert class $\sigma^\lambda$들로 이루어지며, 이들은 partition $\lambda \in \mathcal{P}_{k,n}$에 의해 색인화된다. Fundamental class $\sigma^\square$에 해당하는 hyperplane class와의 quantum product는 다음과 같은 공식을 만족한다.
\[\sigma^\square \star \sigma^\lambda = \sum_{\mu} c_{\lambda, \mu} \sigma^\mu\]여기서 계수 $c_{\lambda, \mu}$는 Gromov-Witten invariant이며, 이展開에는 최대 하나의 $q$를 포함하는 항만이 나타난다. Marsh와 Rietsch는 특별한 rectangular partition들의 집합 $M(k,n)$을 선택하여, 이들에 대한 ratio들의 합으로 superpotential을 정의하였다.
정의 5 (Marsh–Rietsch superpotential) $i = 1, \dots, n$에 대하여 다음의 subset들을 정의하자.
\[J_i = [i+1, i+k] = \{i+1, i+2, \dots, i+k\}, \qquad \widehat{J}_i = [i+1, i+k-1] \cup \{i+k+1\}\]여기서 index는 modulo $n$로 이해한다. $J_i$와 $\widehat{J}i$에 대응하는 Plücker coordinates를 각각 $\Delta{J_i}$와 $\Delta_{\widehat{J}_i}$로 표기하면, Marsh–Rietsch superpotential $W_q: \check{X}^\circ \times \mathbb{C}_q^\ast \rightarrow \mathbb{C}$는 다음과 같이 주어진다.
\[W_q = q \frac{\Delta_{\widehat{J}_{n-k}}}{\Delta_{J_{n-k}}} + \sum_{i \neq n-k} \frac{\Delta_{\widehat{J}_i}}{\Delta_{J_i}}\]이 formula는 놀라울 정도로 간결하다. 각 항은 두 Plücker coordinate의 ratio이므로, $\check{X}^\circ$ 위에서는 well-defined한 regular function이다. 더욱 중요한 것은 $W_q$가 $\check{X}^\circ$의 cluster structure를 가진 좌표계에서는 Laurent polynomial으로 표현될 수 있다는 점이다. 이는 superpotential의 임계점을 구체적으로 계산할 수 있게 하며, 그 Jacobi ring이 quantum cohomology ring과 동형임을 보이는 데 결정적인 역할을 한다.
명제 6 Marsh–Rietsch superpotential $W_q$는 $\check{X}^\circ$ 위의 regular function이며,임의의 cluster chart에서 Laurent polynomial으로 표현된다. 또한 $W_q$의 Jacobi ring은 A-model Grassmannian의 small quantum cohomology ring과 동형이다.
\[\operatorname{Jac}(W_q) = \mathbb{C}[\check{X}^\circ] \big/ \left( \frac{\partial W_q}{\partial p_\lambda} \right)_{\lambda \in \mathcal{P}_{k,n}} \cong QH^\ast(Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n))\]증명
$W_q$가 $\check{X}^\circ$ 위의 regular function임은 정의에서 직접적으로 확인할 수 있다. 각 항은 두 Plücker coordinate의 ratio이며, $\check{X}^\circ$의 정의에 의해 분모에 해당하는 rectangular coordinate는 어디에서도 0이 되지 않는다. Cluster algebra의 성질에 의해, Grassmannian의 coordinate ring은 임의의 cluster chart에서 Laurent polynomial ring으로 localization될 수 있으며, $W_q$는 이 과정에서 Laurent polynomial으로 표현된다.
Jacobi ring과 quantum cohomology ring 사이의 동형을 보이기 위해서는, 먼저 $W_q$의 임계점 방정식 $\partial W_q / \partial p_\lambda = 0$가 quantum Pieri rule과 quantum Giambelli formula로부터 얻어지는 관계식들과 일치함을 확인해야 한다. Marsh와 Rietsch는 이 대응을 구체적으로 검증한 뒤, $\check{X}^\circ$ 위의 canonical volume form $\omega$와 compact torus $T$ 위의 적분
\[\mathcal{S}(q) = \int_T e^{\frac{1}{\hbar} W_q} \omega\]을 정의하였다. 이 적분은 Gauss-Manin system의 solution을 제공하며, 이 system 안에서 small Dubrovin connection의 flat section을 복원할 수 있다. 이를 통해 두 ring 사이의 explicit isomorphism을 얻는다.
Partition $\mu_i$와 $\hat{\mu}_i$의 조합론
Superpotential $W_q$의 각 항은 Plücker coordinates의 ratio로 주어지지만, 이들이 갖는 조합론적 의미를 partition의 언어로 해석하는 것이 유용하다. Subset $J_i$와 $\widehat{J}_i$는 각각 $k \times (n-k)$ 직사각형 안의 partition $\mu_i$와 $\hat{\mu}_i$에 대응한다.
일반적으로 $i \neq n-k$인 경우, $\widehat{J}i$는 $J_i$에서 하나의 원소를 치환하여 얻어지며, 이는 Young diagram의 언어로 $\mu_i$에 하나의 box를 추가하여 $\hat{\mu}_i$를 얻는 것에 해당한다. 반면 $i = n-k$인 경우에는 $\widehat{J}{n-k}$의 조합론적 변화가 다르며, 이는 quantum parameter $q$가 등장하는 항에 해당한다.
구체적으로, $J_i$에 대응하는 partition $\mu_i$는 다음과 같이 묘사된다. $J_i = {i+1, \dots, i+k}$이므로, partition으로 변환하면
\[\mu_i = (\underbrace{m_i, m_i, \dots, m_i}_{r_i \text{ 개}}, \dots)\]의 형태를 가지며, 이는 특정 직사각형 모양을 이룬다. 모든 $\mu_i$들은 $k \times (n-k)$ 직사각형의 경계와 밀접하게 관련되어 있으며, 이들의 집합은 anti-canonical class $-K = n \cdot \sigma^\square$를 구성하는 $n$개의 divisor들에 대응한다.
예시 7 $Gr(2,4)$에서 $k=2$, $n=4$이므로 $J_i$와 $\widehat{J}_i$는 다음과 같이 계산된다. Index는 modulo $4$로 처리한다.
- $i=1$: $J_1 = {2,3}$, $\widehat{J}_1 = {2,4}$
- $i=2$: $J_2 = {3,4}$, $\widehat{J}_2 = {3,5} \equiv {1,3}$
- $i=3$: $J_3 = {4,5} \equiv {1,4}$, $\widehat{J}_3 = {4,4} \cup {6} \equiv {1,2}$
- $i=4$: $J_4 = {5,6} \equiv {1,2}$, $\widehat{J}_4 = {5,5} \cup {7} \equiv {1,3}$
이를 partition으로 변환하면 다음과 같다.
| $i$ | $J_i$ | $\mu_i$ | $\widehat{J}_i$ | $\hat{\mu}_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ${2,3}$ | $(1,1)$ | ${2,4}$ | $(2,1)$ |
| 2 | ${3,4}$ | $(2,2)$ | ${1,3}$ | $(1)$ |
| 3 | ${1,4}$ | $(2)$ | ${1,2}$ | $\emptyset$ |
| 4 | ${1,2}$ | $\emptyset$ | ${1,3}$ | $(1)$ |
따라서 $n-k = 2$이므로 superpotential은
\[W_q = \frac{\Delta_{24}}{\Delta_{23}} + q \frac{\Delta_{13}}{\Delta_{34}} + \frac{\Delta_{12}}{\Delta_{14}} + \frac{\Delta_{13}}{\Delta_{12}}\]로 주어진다. Partition notation으로 표기하면
\[W_q = \frac{p_{(2,1)}}{p_{(1,1)}} + q \frac{p_{(1)}}{p_{(2,2)}} + \frac{p_\emptyset}{p_{(2)}} + \frac{p_{(1)}}{p_\emptyset}\]이 된다. 이 formula는 $\check{X}^\circ$ 위에서는 regular function이지만, cluster chart로 제한하면 Plücker relations를 통해 더 간단한 형태로 정리될 수 있다.
$Gr(2,4)$에서의 구체적 계산
$Gr(2,4)$는 가장 간단한 non-toric Grassmannian이며, Marsh–Rietsch mirror의 전형적인 behavior를 관찰하기에 적합하다. A-model $X = Gr_2(\mathbb{C}^4)$의 dimension은 $2 \cdot (4-2) = 4$이고, B-model $\check{X} = Gr_2((\mathbb{C}^4)^\ast)$ 역시 동일한 차원을 가진다. Mirror domain $\check{X}^\circ$는 rectangular Plücker coordinates $p_\emptyset, p_{(1)}, p_{(2)}, p_{(1,1)}, p_{(2,2)}$가 모두 0이 되지 않는 점들로 구성된다. 여기서 $p_{(2,1)}$은 non-rectangular coordinate이므로 $\check{X}^\circ$ 위에서는 0이 될 수 있다.
예시 7에서 얻은 superpotential
\[W_q = \frac{p_{(2,1)}}{p_{(1,1)}} + q \frac{p_{(1)}}{p_{(2,2)}} + \frac{p_\emptyset}{p_{(2)}} + \frac{p_{(1)}}{p_\emptyset}\]은 $\check{X}^\circ$ 위의 regular function이다. 그러나 이를 cluster chart에서 계산하기 위해서는 Plücker relations가 필요하다. $Gr(2,4)$의 대표적인 Plücker relation은
\[p_{(1)} p_{(2,1)} = p_\emptyset p_{(2,2)} + p_{(2)} p_{(1,1)}\]이다. 이를 이용하면 첫 번째 항을 변형할 수 있다.
\[\frac{p_{(2,1)}}{p_{(1,1)}} = \frac{p_\emptyset p_{(2,2)} + p_{(2)} p_{(1,1)}}{p_{(1)} p_{(1,1)}} = \frac{p_\emptyset p_{(2,2)}}{p_{(1)} p_{(1,1)}} + \frac{p_{(2)}}{p_{(1)}}\]rectangles cluster chart에서는 $z_{ij} = p_{i \times j} / p_{(i-1) \times (j-1)}$ 형태의 좌표를 사용한다. $Gr(2,4)$에서 rectangular coordinates는 $p_\emptyset, p_{(1)}, p_{(2)}, p_{(1,1)}, p_{(2,2)}$이고, 이들 사이의 관계를 통해 $W_q$를 Laurent polynomial으로 표현할 수 있다. 구체적으로, $p_\emptyset = 1$로 normalization하고 $z_1 = p_{(1)} / p_\emptyset$, $z_2 = p_{(2)} / p_{(1)}$, $z_3 = p_{(1,1)} / p_{(1)}$, $z_4 = p_{(2,2)} / p_{(2)}$ 또는 유사한 좌표를 도입하면, superpotential은 $(\mathbb{C}^\ast)^4$ 위의 Laurent polynomial으로 쓰여진다.
$W_q$의 임계점을 계산하면, $\partial W_q / \partial z_i = 0$로부터 quantum cohomology ring의 관계식을 복원할 수 있다. 이 ring의 차원은 $\binom{4}{2} = 6$이며, 이는 $\check{X}^\circ$ 위의 volume form에 대한 적분이 Gauss-Manin system의 rank와 일치함을 의미한다. Marsh와 Rietsch는 이러한 대응이 Grassmannian의 모든 cohomology 정보를 B-model로부터 완벽하게 복원함을 보였다.
참고문헌
[MR] R. J. Marsh, K. Rietsch, The B-model connection and mirror symmetry for Grassmannians, Adv. Math. 319 (2017), 352–416.
[Rie08] K. Rietsch, A mirror symmetric construction of $qH_T^\ast(G/P)_{(q)}$, Adv. Math. 217 (2008), 2401–2442.
[RW19] K. Rietsch, L. Williams, Newton-Okounkov bodies, cluster duality, and mirror symmetry for Grassmannians, Duke Math. J. 168 (2019), 3437–3527.
[Kal] E. Kalashnikov, Quantum hooks and mirror symmetry for flag varieties, arXiv:2011.08093.
댓글남기기