준사영다양체

사영공간의 정의

임의의 $(n+1)$차원 $\mathbb{k}$-벡터공간 $V$에 대하여, $V$의 projectivization $\mathbb{P}(V)$를 생각하자. 그럼 $V$의 좌표 $\xi_0,\ldots, \xi_n$은 $\mathbb{P}(V)$에서의 homogeneous coordinate $(\xi_0:\cdots:\xi_n)$을 주며, 정의에 의해 임의의 $\lambda\in \mathbb{k}^\times$에 대하여 $(\xi_0:\cdots:\xi_n)$과 $(\lambda\xi_0:\cdots:\lambda\xi_n)$는 같은 점을 나타낸다.

편의상 $V$의 좌표 $\xi_0,\ldots,\xi_n$을 고정하여 $\mathbb{P}(V)$를 $\mathbb{P}^n$으로 취급하자. 우리가 이번 글에서 처음으로 할 일은 $\mathbb{P}^n$에서 §대수적 집합에서와 유사한 이론을 전개하는 것이다. 이를 위해서는 다항식 $f\in \mathbb{k}[\X_0,\ldots, \X_n]$에 대하여 $Z(f)$를 정의하는 것으로 시작해야 하는데, 이를 위해서는 다소 주의해야 할 것이, $\mathbb{P}^n$의 한 점에는 대응되는 여러 개의 표현이 존재하므로 $Z(f)$는 이러한 표현의 선택에 의존하지 않고 $0$이 되어야 한다는 것이다. 즉 다음과 같이 정의한다.

정의 1 다항식 $f\in \mathbb{k}[\X_0,\ldots, \X_n]$가 $\xi\in \mathbb{P}^n$에서 죽는다는 것은 $\xi$의 임의의 homogeneous coordinate $(\xi_0:\cdots:\xi_n)$에 대하여 $f(\xi_0,\ldots,\xi_n)=0$이 성립하는 것이다.

그럼 특히 임의의 $\lambda\in \mathbb{k}^\times$에 대하여 $f(\lambda\xi_0,\ldots,\lambda\xi_n)=0$이 성립해야 한다. 한편, $f$가 $\xi$에서 죽는다 하고 $f$를 degree별로 쪼개어 $f=f_0+f_1+\cdots+ f_r$이라 하자. 그럼

\[0=f(\lambda\xi_0,\ldots,\lambda\xi_n)=f_0(\xi_0,\ldots, \xi_n)+\lambda f_1(\xi_0,\ldots,\xi_n)+\cdots+\lambda^r f_r(\xi_0,\ldots,\xi_n)\]

이 성립한다. 그럼 $\mathbb{k}$는 algebraically closed이므로 무한집합이고, 따라서 각각의 $f_i$들이 모두 $\xi$에서 죽어야 한다는 것을 안다.

정의 2 $\mathbb{P}^n$의 부분집합 $X$가 닫혀있다는 것은 $X$의 점들이 정확히 유한히 많은 다항식들 $f_1,\ldots, f_m$들이 죽는 점들로 이루어진 것이다.

그럼 $X$는 $\mathbb{k}[\X_0,\ldots, \X_n]$의 ideal $I(X)$를 정의하며, 위의 논의로부터 $I(X)$는 homogeneous ideal인 것을 안다. 물론, 반대로 $\mathbb{k}[\X_0,\ldots, \X_n]$의 임의의 homogeneous ideal은 $\mathbb{P}^n$의 closed subset $X$를 정의한다.

아핀공간과 사영공간

정의 2를 따라 $\mathbb{P}^n$의 closed subset을 정의할 때에는 다소 주의해야 할 점이 있다. §대수적 집합, ⁋따름정리 6에서 살펴본 대응을 따르면, 우리는 $\mathbb{P}^n$의 closed subset과 homogeneous radical ideal들 사이에 일대일대응이 있기를 바라지만 이는 일반적으로 참이 아니라는 것이다.

정의 3 임의의 graded ring $A=\bigoplus_{i=0}^\infty A_i$에 대하여, $A$의 irrelevant ideal $A_+$를 $A_+=\bigoplus_{i=1}^\infty A_i$으로 정의한다.

가령 $A=\mathbb{k}[\X_0,\ldots, \X_n]$라면 $A_+=(\X_0,\ldots,\X_n)$이다. 만일 다항식들 $f_1,\ldots, f_m$들로 만들어진 ideal이 $A_+$를 포함한다면, $Z(A_+)=\emptyset$이 된다. 즉 $\mathbb{P}^n$의 닫힌집합 $\emptyset$에 대응되는 ideal이 $(1)$을 제외하고도 존재한다. 따라서, 그 radical이 irrelevant ideal을 포함하는 ideal들을 우리의 논의대상에서 제외시킬 필요가 있다.

보조정리 4 $A=\mathbb{k}[\X_0,\ldots, \X_n]$의 homogeneous ideal $\mathfrak{a}$가 공집합에 대응되는 것은 $\mathfrak{a}$가 ideal $\bigoplus_{i=s}^\infty A_i$를 포함하는 것과 동치이다.

$\mathbb{P}^n$ 위에 정의된 다항식 $\X_i=0$으로 주어지는 닫힌집합을 생각하자. 그럼 이 닫힌집합의 여집합은 $\mathbb{P}^n$의 점들 $(\xi_0:\cdots:\xi_n)$ 가운데 $\xi_i\neq 0$을 만족하는 점들의 집합이며, 이는 다음의 대응

\[\xi=(\xi_0:\cdots:\xi_n)\mapsto \left(\frac{\xi_0}{\xi_i},\ldots, \widehat{\frac{\xi_i}{\xi_i}},\ldots, \frac{\xi_n}{\xi_0}\right)\in U_i=\mathbb{A}^n\]

을 통해 $U_i=\mathbb{A}^n$과 일대일대응에 있다. 또, 이러한 $U_i$들이 $\mathbb{P}^n$의 cover가 됨도 자명하다.

이제 $\mathbb{P}^n$ 위에 있는 임의의 닫힌집합 $X$에 대하여, $X$는 다음 교집합

\[X_i=X\cap U_i\]

을 통해 정의된 $U_i$의 부분집합들 $X_i$들을 모은 것으로 생각할 수 있다. 만일 $X$가 degree $d$짜리 homogeneous equation $F=0$ 하나로 정의된다면, $\xi_i\neq 0$을 만족하는 $X$의 점들에 대해서는 다음 식

\[F(\xi_0,\ldots, \xi_n)=\xi_i^dF\left(\frac{\xi_0}{\xi_i},\ldots, \frac{\xi_{i-1}}{\xi_i}, 1,\frac{\xi_{i+1}}{\xi_i}\ldots, \frac{\xi_n}{\xi_0}\right)\]

으로부터 $X_i$는 $U_i$ 위에서 다음 식

\[F(\x_0, \ldots, \x_{i-1}, 1, \x_{i+1}, \ldots, \x_n)=0\]

으로 정의된 $\mathbb{k}[\x_0, \ldots, \hat{\x}_i, \ldots, \x_n]$의 함수의 zero set으로 볼 수 있다. 즉 $X_i$는 $U_i$의 닫힌집합이며 그 방정식 또한 어렵지 않게 구할 수 있다. 이를 $X$의 $U_i$에서의 affine piece라 부른다.

한편 affine space $\mathbb{A}^n$ 안의 closed set $U$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathbb{A}^n$을 $\mathbb{P}^n$ 안에 $U_0$으로 들어가 있는 것처럼 생각한 후, $U$의 $\mathbb{P}^n$에서의 closure를 취하여 $\overline{U}\subseteq \mathbb{P}^n$을 얻을 수 있으며, 이 때

\[U=\overline{U}\cap \mathbb{A}_0^n\]

이 성립한다.

정의 5 Closed projective set의 open subset을 quasiprojective variety_{준사영다양체}라 부른다.

그럼 위의 논의로부터, 임의의 closed affine set은 quasiprojective variety임을 알고, closed projective set은 자명한 이유로 quasiprojective variety임을 안다. 따라서 앞으로는 quasiprojective variety에 대한 이론을 전개하기로 한다.

그라스만 다양체

위에서의 맥락과는 별개로 projective variety의 중요한 예시 하나를 소개하며 이 글을 마친다.

예시 6 (Grassmannian) 위에서 정의한 projective space $\mathbb{P}(V)$는 $V$의 1차원 subspace들을 parametrize하는 기하적인 대상으로 생각할 수 있다. 즉, vector space $V$의 1차원 부분공간들을 받아 $\mathbb{P}(V)$의 한 점에 대응시키는 자연스러운 방법이 존재한다.

이를 일반화하여 다음과 같이 Grassmannian을 정의한다. 이는 앞으로도 많이 쓰이는 예시이므로, 혼동을 방지하기 위해 $V$가 $n$차원 $\mathbb{k}$-벡터공간이고, $e_1,\ldots, e_n$이 $V$의 basis라고 고정하자. 그럼 $\Gr(r, V)$는 $V$의 $r$차원 부분공간을 parametrize하는 기하적인 대상이며, 이번 예시의 목적은 이것이 $\mathbb{P}(\bigwedge^r V)$의 적당한 closed subset이 된다는 것을 보이는 것이다.

$\mathbb{k}$-벡터공간 $V$의 $r$차원 부분공간 $W$가 주어질 때마다, $W$의 아무 basis $w_1,\ldots, w_r$을 받아온 후 이들의 wedge product

\[w_1\wedge\cdots\wedge w_r\in \bigwedge^r V\]

를 생각하자. 이 대응은 물론 $W$의 basis의 선택에 의존하지만, $W$의 basis를 다르게 잡더라도 결과적으로 나오는 $\bigwedge^r V$의 원소는 오직 상수배 만큼의 차이밖에 나지 않는다. 즉, 이 과정을 통해 $W$를 받아 $w_1\wedge\cdots\wedge w_r$을 내놓는 대응은, 그 공역을 $\mathbb{P}(\bigwedge^r V)$로 잡아주면 잘 정의된 대응이 된다.

한편, $V$의 basis $e_1,\ldots, e_n$을 고정하면 $\bigwedge^r V$의 basis는

\[e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r},\qquad i_1\lt i_2\lt \cdots\lt i_r\]

들로 주어지는 것을 알고 있다. ([다중선형대수학] §텐서대수, ⁋명제 13) 이로부터 위의 $w_1\wedge w_r$을

\[w_1\wedge\cdots\wedge w_r=\sum_{i_1\lt\cdots\lt i_r} p_{i_1\cdots i_r} e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_r}\]

으로 적을 수 있다. 이렇게 얻어지는 $p_{i_1\cdots i_r}$들을 $W$의 Plücker coordinate라고 부르며, 이는 $W$를 나타내는 $\mathbb{P}(\bigwedge^r V)$의 점의 homogeneous coordinate로 생각할 수 있다. 이렇게 $\Gr(r, V)$를 $\mathbb{P}(\bigwedge^r V)$의 subset으로 보는 embedding $P$를 Plücker embedding이라고 한다.

이제 $P$의 image가 closed set임을 보여야 한다. 이를 위해서는 $P$를 나타내는 식을 유도해야 한다. 즉, 임의의 $x\in \bigwedge^r V$가 주어졌을 때, 적당한 $f_1,\ldots, f_r\in V$에 대하여 $x=f_1\wedge\cdots \wedge f_r$로 쓸 수 있는지의 여부를 판별하는 (동차)식이 필요하며, 이 식의 zero set이 $\Gr(r,V)$를 정의하는 식이 될 것이다. 이는 Plücker relation이라고 부르는 다음의 식들

\[\sum_{k=1}^{r+1}(-1)^k p_{i_1\cdots i_{r-1}j_k}p_{j_1\cdots\hat{j}_k\cdots j_{r+1}}=0,\qquad i_1\lt\cdots\lt i_{r-1},\quad j_1\lt\cdots\lt j_{r+1}\]

으로 주어진다는 사실이 잘 알려져 있다.

특별히 $\dim V=4$이고 $r=2$인 경우를 생각하자. 그럼 $\bigwedge^2V$의 basis는

\[e_1\wedge e_2,\quad e_1\wedge e_3,\quad e_1\wedge e_4, \quad e_2\wedge e_3, \quad e_2\wedge e_4,\quad e_3\wedge e_4\]

이며, 이 basis에 대한 임의의 $x\in \mathbb{P}(\bigwedge^2V)$의 좌표가 $p_{ij}$들이라 한다면 위의 Plücker relation은 하나의 식

\[-p_{12}p_{34}+p_{13}p_{24}-p_{14}p_{23}=0\]

을 준다.