준사영다양체 위의 함수들

준사영다양체 위의 정칙함수들

이제 우리는 quasiprojective variety 위의 함수들에 대해 살펴본다. 특히 quasiprojective variety 위에서 rational function을 다루는 것이 문제가 될 수 있는데, 이는 아주 간단한 예시인 $\mathbb{P}^n$에서조차 rational function을 임의의 두 homogeneous polynomial들 $F,G\in \mathbb{k}[\X_0,\ldots, \X_n]$에 대하여

\[f(\X_0,\ldots,\X_n)=\frac{F(\X_0,\ldots,\X_n)}{G(\X_0,\ldots,\X_n)}\]

으로 정의하더라도, 만일 $F$와 $G$의 차수가 다르다면 다음 식

\[f(\lambda\X_0,\ldots,\lambda\X_n)=\frac{F(\lambda\X_0,\ldots,\lambda\X_n)}{G(\lambda\X_0,\ldots,\lambda\X_n)}=\frac{\lambda^{\deg F}F(\X_0,\ldots,\X_n)}{\lambda^{\deg G}G(\X_0,\ldots,\X_n)}\]

으로 인해 $f$가 homogeneous가 아닐 수 있기 때문이다. 이러한 이유로 우리는 $F,G$가 같은 degree에 있을 것을 요구하게 된다. $\deg f=\deg F-\deg G$라 한다면 이는 $\deg f=0$일 것을 요구하는 것과 같다.

정의 1 Quasiprojective variety $X\subseteq \mathbb{P}^n$이 주어졌다 하자. Degree $0$의 homogeneous function $f=F/G$가 주어졌다 하자. 만일 $G(x)\neq 0$이라면, 이 함수가 $x\in X$에서 regular라 말하고, $X$의 모든 점에서 regular인 함수를 regular function이라 부른다. 모든 regular function들의 모임을 $\mathbb{k}[X]$로 적는다.

특별히 $X$가 irreducible affine algebraic set일 경우 이 개념은 원래 정의한 regular function과 일치한다. (§유리함수, ⁋명제 5) 이를 조금 더 확장하면 임의의 affine algebraic set일 경우에도 $\mathbb{k}[X]$는 원래 정의한 센스에서의 regular function과 같다는 것을 보일 수 있다.

이제 더 일반적으로 quasiprojective variety에서 정의된 regular map을 정의한다. 공역이 affine set일 경우에는 어려울 것이 없다.

정의 2 Quasiprojective variety $X$에서 affine space $\mathbb{A}^m$으로 가는 함수 $f=(f_1,\ldots, f_m)$이 regular map인 것은 각각의 $f_i$들이 모두 regular인 것이다.

이제 일반적으로 quasiprojective variety 사이의 함수 $f:X \rightarrow Y$가 regular라는 것이 어떤 것인지를 정의해야 한다. 이를 위해서는 공역을 projective space $\mathbb{P}^m$에 넣은 후, $f(x)$를 포함하는 $\mathbb{P}^m$의 affine chart $V_i$를 잡고 $f$를 여기로 제한한 것이 regular일 것을 요구하면 된다.

정의 3 Quasiprojective variety 사이의 함수 $f:X \rightarrow Y$가 주어졌다 하고, $Y\subseteq \mathbb{P}^m$이라 하자. 그럼 $f$가 regular map이라는 것은 임의의 $x\in X$와, $f(x)$를 포함하는 affine piece $V_i$에 대하여, $x$의 적당한 neighborhood $U$를 잡아 $f(U) \subseteq V_i$이고, $f\vert_U:U \rightarrow V_i$가 quasiprojective variety에서 affine space로의 map으로서 regular인 것이다.

물론 이를 위해서는 위에서 정의한 regularity가 affine piece $V_i$의 선택에 의존하지 않음을 보여야 하지만, 이는 거의 자명하다. 이를 살펴보는 대신, 정의 3을 조금 더 명시적인 형태로 바꿔보자. 주어진 regular map $f:X \rightarrow Y$와 $x\in X$, 그리고 $f(x)$를 포함하는 $\mathbb{P}^m$의 affine piece $V_i$와, $f(U)\subseteq V_i$이도록 하는 $x$의 neighborhood $U$를 고정하자. 그럼 정의에 의하여, $f$는 regular function들

\[f=(f_1,\ldots, f_m)=\left(\frac{F_0}{G_0},\ldots, \widehat{\frac{F_i}{G_i}},\ldots,\frac{F_m}{G_m}\right)=\left(\frac{P_0}{P_i},\ldots, \widehat{\frac{P_i}{P_i}},\ldots,\frac{P_m}{P_i}\right)\]

로 나타낼 수 있다. 여기서 가장 오른쪽 항은 두 번째 표현의 분모를 모두 통분하여 같은 분모들을 갖도록 맞춰준 형태이다. 이제 이를 다시 $\mathbb{P}^m$으로 돌려놓으면 $f$가 다음의 꼴

\[f(x)=(P_0(x):\cdots P_m(x))\]

으로 주어지는 것을 알 수 있다. 그럼 이 때, $P_j$들은 모두 같은 차수여야 하고, $P_j(x)\neq 0$이도록 하는 $j$가 적어도 하나는 존재해야 한다. 또 앞선 식에서 통분을 하는 방법은 유일하지 않으므로 또 다른 함수 $(Q_0:\cdots:Q_m)$이 주어졌다 할 때, $F_iQ_j=F_jQ_i$가 모든 $i,j$에 대해 성립하면 이를 같은 것으로 취급해야 한다.

이렇게 quasiprojective variety와 이들 사이의 함수를 정의하였으므로, quasiprojective variety들의 카테고리가 존재한다. 이제 이 카테고리 안에서, affine space의 닫힌집합과 isomorphic한 quasiprojective variety를 affine variety, projective space의 닫힌집합과 isomorphic한 quasiprojective variety를 projective variety라 부른다. 지금까지 살펴본 예시와 정의들은 affine variety 혹은 projective variety에 대한 것이 대부분이고, 우리가 실제로 관심을 가지는 것들도 주로 이들 둘이기는 하지만, affine variety도, projective variety도 아닌 quasiprojective variety 또한 존재한다.

국소적인 성질들

기하학에서, 어떠한 성질 $P$가 local property라는 것은 대상 $X$의 각 점 $x\in X$의 적당한 열린집합에 대해서 $P$가 성립한다는 것을 보이면 $X$ 전체에서도 $P$가 성립하는 것을 의미한다. 완전히 동일한 상황은 아니지만, 정의 3 또한 비슷한 맥락에서 이해할 수 있다. 우리는 조만간 이러한 성질들을 살펴보게 될 것인데, 이번 글에서는 아주 간단한 몇 가지의 경우만 살펴본다.

보조정리 4 Quasiprojective variety $Y\subseteq X$가 닫힌집합인 것은 local property이다.

즉, $X=\bigcup U_\alpha$라 했을 때, $Y\cap U_\alpha$들이 $U_\alpha$ 각각에서 닫힌집합임을 보여야 한다. 이는 단순한 위상수학의 계산이므로 생략한다. 이를 이용하면 다음 보조정리 또한 자명하다.

보조정리 5 Quasiprojective variety의 임의의 점 $x\in X$는 항상 affine variety와 isomorphic한 neighborhood를 갖는다.

이에 대한 증명은, 당연히 $X\subseteq \mathbb{P}^n$으로 두고 $\mathbb{P}^n$의 affine chart를 이용하면 된다. 이 과정에서는 필연적으로 projective variety (의 closed subset)의 open subset을 생각해야만 하고, 이들은 그 여집합을 정의하는 다항식이 $0$이 아니도록 하는 집합이므로 다음을 정의하는 것이 자연스럽다.

정의 6 Affine variety $X$에 대하여, $D(f)=X\setminus Z(f)$를 principal open set이라 부른다.

위에서 간략하게 언급한 증명을 조금 더 자세히 서술한다.

보조정리 5의 증명

$X\subseteq \mathbb{P}^n$으로 두고, 편의상 $x\in U_0$이라 하자. 그럼 $x\in X_0=X\cap U_0$이고, $X$가 quasiprojective라는 것으로부터 $U_0$의 두 closed subset $Y$과 $Y_1\subseteq Y$을 잡아 $X_0=Y\setminus Y_1$이라 할 수 있다. 한편 $Y_1$은 $U_0$의 closed subset이고, $x\not\in Y_1$이므로 $Y_1$에서는 $0$이지만 $x$에서의 함숫값은 $0$이 아닌 다항식 $F$를 찾을 수 있고, 이 다항식 $F$에 대하여 $D(F)$가 원하는 affine variety가 된다.

뿐만 아니라 $D(f)$ 위에서는 $f\neq 0$이므로, $F/f$ 꼴의 함수는 $D(f)$에서는 모든 점에서 regular이므로 $D(f)$의 regular function을 정의한다. 이로부터 $\mathbb{k}[D(f)]=\mathbb{k}[X][f^{-1}]$임을 유도할 수 있다.

예시 7 $\mathbb{P}^n$ 위에 정의된 $n-d$개의 일차식으로 정의된 linear subspace $E$를 생각하자. 즉

\[E=\{L_1=\cdots=L_{n-d}=0\}\]

이다. $E$는 $d$차원 공간이므로, $\mathbb{P}^{n}$의 $(n-d-1)$차원 linear subspace 중 $E$와 만나지 않는 것이 존재한다. 이를 $H$라 하자. 그럼 함수 $\pi:\mathbb{P}^n\setminus E \rightarrow \mathbb{P}^{n-d-1}$을 다음의 식

\[\pi(x)=(L_1(x):\cdots:L_{n-d}(x))\]

으로 정의할 수 있으며, 이 함수는 regular map이 된다. 이 함수의 기하적인 의미를 보기 위해 적당한 변수변환을 통해 $\mathbb{P}^n$에서 $E$와 $H$의 방정식을

\[E=\{x_0=\cdots=x_{n-d-1}=0\},\quad H=\{x_{n-d}=\cdots=x_n=0\}\]

으로 적자. 그럼 임의의 $\xi\in \mathbb{P}^n\setminus E$는

\[\xi=(\xi_0:\cdots:\xi_{n-d-1}:\xi_{n-d}:\cdots:\xi_n),\qquad\text{$\xi_i\neq 0$ for some $0\leq i\leq n-d-1$}\]

의 꼴로 적을 수 있으며, 따라서 $\xi$와 $E$의 한 점 $\zeta=(0:\cdots:0:\zeta_{n-d}:\cdots:\zeta_n)$를 지나는 직선은

\[(\lambda\xi_0:\cdots:\lambda\xi_{n-d-1}:\eta\zeta_{n-d}+\lambda\xi_{n-d}:\cdots:\eta\zeta_n+\lambda\xi_n)\]

의 꼴로 쓸 수 있으며, 이 직선이 $H$와 만나기 위해서는 $(\zeta_{n-d}:\cdots:\zeta_n)$과 $(\xi_{n-d}:\cdots\xi_n)$이 같을 때, 한 점 $(\xi_0:\cdots:\xi_{n-d-1}:0:\cdots:0)$에서 만나며 이것이 정확히 위에서 정의한 $\pi(x)$와 같다는 것을 안다.

유리함수들

Quasiprojective variety $X$ 위에서의 rational function을 정의하기 위해서는 $X$가 $\mathbb{P}^n$ 안에 있는 것으로 두고 앞서 살펴본 $\mathbb{P}^n$의 rational function을 사용하면 된다. 몇가지 표기를 고정하자. 우선 $X$ 위에 정의된 rational function들 $f=P/Q$의 모임을 $\mathcal{O}_X$라 적는다. 여기에서, $Q$는 $X$ 위에서 항등적으로 $0$은 아니어야 한다. 그럼 $\mathcal{O}_X$가 ring인 것을 쉽게 보일 수 있으며, 이 때 $P$가 $X$ 위에서 항등적으로 $0$이 되는 함수들을 생각하면 이 모임은 $\mathcal{O}_X$의 maximal ideal $\mathfrak{m}_X$를 이룬다. 이로부터 다음을 정의한다.

정의 7 Irreducible quasiprojective variety $X\subseteq \mathbb{P}^n$에 대하여, $\mathbb{k}(X)=\mathcal{O}_X/\mathfrak{m}_X$로 정의한다.

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