앞서 §대수다양체에서 살펴본 것처럼, 우리는 위상공간 위에 정의된 함수들을 다루는 방법을 알아본다. Presheaf는 그냥 위상공간의 열린집합마다 그 위에 정의된 함수들의 모임이 달려있는 구조로 생각하면 되는데, 최소한의 조건으로 함수가 어떠한 열린집합 위에서 잘 정의되었다면 그보다 더 작은 열린집합에서도 잘 정의될 것이라는 직관만 담고 있다.
준층
정의 1 위상공간 $X$에 대하여, contravariant functor $\mathscr{F}:\Open(X) \rightarrow \Set$을 $X$ 위에 정의된 집합들의 presheaf준층라 부른다.
정의에 의해 $\Open(X)$는 ordered set $(\mathcal{T}, \subseteq)$를 category로 본 것으로, $U\subseteq V$일 때마다 화살표 $U\hookrightarrow V$가 유일하게 존재한다. $\mathscr{F}$는 contravariant이므로, 이러한 $U\hookrightarrow V$가 주어질 때마다 morphism $\rho_{VU}: \mathscr{F}(V)\rightarrow \mathscr{F}(U)$가 주어질 것이며, $\mathscr{F}$는 합성을 보존하므로 $U\hookrightarrow V\hookrightarrow W$가 주어졌다면 $\rho_{WU}=\rho_{VU}\circ\rho_{WV}$가 성립해야 한다.
한편 위의 정의에서, $\Set$은 적절한 카테고리, 예를 들어 $\Ab$와 같은 카테고리로 바꿀 수도 있으며, 이 경우 $\mathscr{F}$를 $X$ 위에 정의된 abelian group들의 presheaf라 부른다. 편의상 앞으로 presheaf $\mathscr{F}: \Open(X) \rightarrow \mathcal{A}$를 $\mathcal{A}$-valued presheaf라 부르기로 한다.
예시 2 위상공간 $X$가 주어졌다 하고, $\mathscr{F}$를 다음과 같이 정의하자.
- 임의의 열린집합 $U$에 대하여, $\mathscr{F}(U)=\Hom_\Top(U, \mathbb{R})$이다.
- 열린집합 $U\subseteq V$가 주어졌을 때, $\rho_{VU}:\mathscr{F}(V) \rightarrow \mathscr{F}(U)$는 $V$에서 정의된 연속함수를 $U$로 제한하는 restriction map이다.
그럼 $\mathscr{F}$는 presheaf가 된다.
위의 예시가 presheaf의 원형이라 할 수 있다. 이를 직관으로 삼아 다음의 몇 가지 용어를 정리한다.
정의 3 위상공간 $X$ 위에서 정의된 presheaf $\mathscr{F}$가 주어졌다 하자.
- 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $\mathscr{F}(U)$의 원소들을 $U$에서의 section이라 부른다. 특별히 $\mathscr{F}(X)$의 원소들은 global section이라 부른다.
- 열린집합 $U\subseteq V$에 대하여, $\rho_{VU}:\mathscr{F}(V) \rightarrow \mathscr{F}(U)$를 $V$에서 $U$로의 restriction map이라 부른다.
- 특별히 열린집합들 $U\subseteq V$와 $f\in \mathscr{F}(V)$에 대하여, $\rho_{UV}(f)\in \mathscr{F}(U)$를 간단히 $f\vert_U$로 표기한다.
준층의 예시들
다음으로 presheaf의 몇 가지 예시들을 살펴본다. Presheaf 중 적절한 gluing condition을 만족하는 것들을 sheaf라 부르는데, 이는 다음 글에서 정의한다.
예시 4 (Skyscraper sheaf) 고정된 위상공간 $X$와 한 점 $i_p:\{p\}\hookrightarrow X$가 주어졌다 하고, 대상 $A\in \mathcal{A}$를 고정하자. 그럼 다음의 식
\[(i_p)_\ast\underline{A}(U)=\begin{cases}A&\text{if $p\in U$,}\\T&\text{if $p\not\in U$,}\end{cases}\qquad \text{$T$ a terminal object in $\mathcal{A}$}\]으로 주고, restriction map은 $\id_A$ 혹은, terminal object $T$를 이용해 주면 이는 presheaf를 정의한다. 이를 skyscraper sheaf라 부른다.
예시 5 (Constant presheaf) 이번에는 고정된 위상공간 $X$와 대상 $A\in \mathcal{A}$를 고정하고, 모든 열린집합마다 $A$를 대응시키고 restriction map들은 모두 $\id_A$로 주자. 그럼 이는 presheaf를 정의하며, 이를 constant presheaf라 부른다.
예시 6 (Sheaf of sections) 임의의 연속함수 $f: X \rightarrow Y$를 고정하자. 각각의 열린집합 $U$마다 $f\vert_U$의 section들을 모아두고, restriction map은 일반적인 센스에서의 restriction으로 정의하면 이는 presheaf를 이룬다. 특히 예시 2는 trivial vector bundle $\pi:U\times \mathbb{R} \rightarrow U$에 이 예시를 적용한 것으로 생각할 수 있다.
다음 예시들은 임의의 presheaf로부터 새로운 presheaf를 얻어내는 방법들을 보여준다.
예시 7 $X$ 위에 정의된 presheaf $\mathscr{F}$가 주어졌을 때, 임의의 열린집합 $U$에 대하여 $\mathscr{F}\vert_U$를 다음 식
\[\mathscr{F}\vert_U(V)=\mathscr{F}(V)\quad\text{for all open $V\subseteq U$}\]으로 정의할 수 있다. 그럼 $\mathscr{F}\vert_U$는 presheaf가 된다. ([위상수학] §부분공간, ⁋보조정리 2)
예시 8 (Pushforward) 연속함수 $f:X \rightarrow Y$를 고정하고, $X$ 위에 정의된 presheaf $\mathscr{F}$가 주어졌다 하자. 그럼 $\mathscr{F}$의 $f$에 의한 pushforward밂 $f_\ast \mathscr{F}$를 다음 식
\[f_\ast \mathscr{F}(U)=\mathscr{F}(f^{-1}(U))\]을 통해 정의한다.
줄기
정의 9 위상공간 $X$ 위에서 정의된 presheaf $\mathscr{F}$를 생각하자. 임의의 점 $p\in X$에 대하여, 점 $p$에서의 stalk줄기 $\mathscr{F}_p$를
\[\mathscr{F}_p=\varinjlim_{p\in U}\mathscr{F}(U)\]으로 정의한다. $\mathscr{F}_p$의 원소들을 점 $p$에서의 germ싹이라 부른다.
특히 $\mathscr{F}$가 complete category valued presheaf라면 $\mathscr{F}_p$가 항상 잘 정의된다. 한편 concrete category에서 limit의 표현을 직접적으로 나타내보면
\[\mathscr{F}_p=\{(f,U):p\in U\in\mathscr{T},f\in\mathscr{F}(U)\}/\mathnormal{\sim}\]임을 알 수 있다. 여기서 $\sim$은
\[(f,U)\sim(g,V)\iff\text{$\exists$ open neighborhood $W\subseteq U\cap V$ of $p$ satisfying $\rho_{UW}(f)=\rho_{VW}(g)$}\]을 통해 정의되는 동치관계이다. 특별히 예시 2와 같이 $X$를 manifold로 주고, $\mathscr{F}$가 differentiable function들의 presheaf라 생각하면 $\mathscr{F}_p$는 우리가 흔히 알고 있는 differentiable function의 germ들의 모임으로 생각할 수 있다. 그럼 $\mathscr{F}_p$의 원소들은 점 $p$의 무한히 작은 근방에서 일어나는 일을 알고 있는 대상들이다.
준층들 사이의 사상
정의 10 고정된 위상공간 $X$ 위에서 정의된 두 presheaf $\mathscr{F}, \mathscr{G}:\Open(X) \rightarrow \mathcal{A}$ 사이의 natural transformation을 presheaf morphism준층 사상으로 정의한다.
즉 $X$ 위에서 정의된 $\mathcal{A}$-valued presheaf들의 카테고리는 functor category $[\Open(X)^\op, \mathcal{A}]$이다. 이를 $\PSh(X, \mathcal{A})$로 표기하며, 문맥상 혼동의 여지가 없을 때에는 $\PSh(X)$로만 적기도 한다. 여담으로 예시 8의 $f_\ast$는 functor $\PSh(X, \mathcal{A})\rightarrow \PSh(Y, \mathcal{A})$이다.
우리에게 직관을 주는 예시 2를 생각해보면, 열린집합 $U$에 대하여 정의된 $\phi(U):\mathscr{F}(U) \rightarrow \mathscr{G}(U)$는 $\phi:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$를 열린집합 $U$로 제한하여 얻어지는 함수라 생각할 수 있으므로, 이를 종종 $\phi(U)$ 대신 $\phi\vert_U$로 적는다.
한편 limit cone의 universal property에 의해 다음 명제가 성립한다.
명제 11 위상공간 $X$ 위에 정의된 presheaf들 사이의 morphism $\phi:\mathscr{F}\rightarrow\mathscr{G}$가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 $p\in X$에 대하여, stalk들 사이의 morphism $\phi_p:\mathscr{F}_p\rightarrow\mathscr{G}_p$가 자연스럽게 유도된다.
다음 예시들은 위의 준층의 예시들 아래에 있었어야 했지만, 아직 presheaf morphism을 정의하지 않았었기 때문에 뒤로 밀렸다.
예시 12 (Sheaf Hom) 두 presheaf $\mathscr{F}, \mathscr{G}$를 고정하고, 임의의 $U$에 대하여
\[\mathscr{Hom}(\mathscr{F},\mathscr{G})(U)=\Hom_{\PSh(U)}(\mathscr{F}\vert_U, \mathscr{G}\vert_U)\]으로 정의한다.
예시 13 (Product) 위상공간 $X$ 위에 정의된 presheaf들의 family $(\mathscr{F}_i:\Open(X) \rightarrow \Set)_{i\in I}$에 대하여, 이들의 product $\prod_{i\in I} \mathscr{F}_i$를
\[\left(\prod_{i\in I} \mathscr{F}_i\right)(U)=\prod_{i\in I} \mathscr{F}_i(U)\]으로 정의할 수 있다.
위와 같은 정의를 이용하여 category $\mathcal{A}$에 정의된 구조, 예를 들면 product나 coproduct, limit, colimit, monoidal product 등을 $\PSh(X, \mathcal{A})$에 옮겨올 수 있다. 특히 $\PSh(X, \Ab)$는 $\Ab$ 위에 정의된 monoidal structure $(\Ab,\otimes, \mathbb{Z})$를 물려받으며 여기에서의 monoidal object는 $\PSh(X, \Ring)$이다. 같은 맥락에서 다음 예시를 이해할 수 있다.
예시 14 위상공간 $X$ 위에 정의된 $\Ring$-valued presheaf $\mathscr{O}_X$에 대하여, left $\mathscr{O}_X$-module object $\mathscr{F}\in\PSh(X,\Ab)$을 간단히 $\mathscr{O}_X$-module이라 부른다.
가환준층
지금까지 우리는 presheaf가 어떤 카테고리에서 값을 갖는지를 무시해왔는데, 이제 우리는 특별히 카테고리 $\Ab$에서 값을 갖는 presheaf들을 살펴본다.
정의 15 위상공간 $X$에 대하여, contravariant functor $\Open(X)\rightarrow\Ab$을 abelian presheaf라 부른다.
정의 16 위상공간 $X$ 위에 정의된 abelian presheaf들 사이의 morphism $\phi:\mathscr{F}\rightarrow\mathscr{G}$가 주어졌다 하자. 그럼 $\phi$의 presheaf kernel핵 준층 $\ker\phi$는
- 각각의 열린집합 $U\subseteq X$마다, $U\mapsto \ker(\phi(U))$
-
포함관계에 있는 두 열린집합 $U\subseteq V$마다 다음의 diagram
을 통해 유일하게 결정되는 restriction map $\rho_{VU}:\ker(\phi(V))\rightarrow\ker(\phi(U))$
으로 이루어진 데이터이다.
이 정의에서, $\rho_{VU}$는 $\ker(\phi(U))$의 universal property로부터 유일하게 결정되는 restriction map이다.
보조정리 17 위에서 정의한 $\ker\phi$는 $X$ 위에서의 (abelian) presheaf이다.
증명
다음의 diagram
와 kernel의 universal property에 의해 자명하다.
이와 마찬가지 방법으로, presheaf cokernel, presheaf image, presheaf coimage 혹은 presheaf quotient 등등을 모두 정의할 수 있다. 따라서 주어진 위상공간 $X$ 위에서 정의된 abelian presheaf들의 카테고리 $\PSh(X,\Ab)$은 abelian category가 된다.
참고문헌
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.
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