층

Presheaf는 국소적인 정보들을 모두 갖고 있지만, 이를 붙여서 대역적인 정보를 얻어내는 방법이 없으므로 local-to-global property를 기대할 수 없다. Sheaf는 presheaf들 가운데에서 적절한 gluing condition을 만족하는 것들을 의미한다.

정의 1 위상공간 $X$ 위에 정의된 presheaf $\mathscr{F}$가 sheaf_층이라는 것은 다음 두 조건이 성립하는 것이다.

1. (Identity axiom) 임의의 열린집합 $U$와 open covering $\{U_i\}_{i\in I}$에 대하여, 만일 $f,g\in\mathscr{F}(U)$가 모든 $i\in I$에 대해 $f\vert_{U_i}=g\vert_{U_i}$를 만족한다면 $f=g$이다.
2. (Gluability axiom) 임의의 열린집합 $U$와 open covering $\{U_i\}_{i\in I}$에 대하여, $f_i\in\mathscr{F}(U_i)$들이 주어졌다 하고, 이들이 모든 $i,j$에 대하여 $f_i\vert_{U_i\cap U_j}=f_j\vert_{U_i\cap U_j}$를 만족한다 하자. 그럼 어떠한 $f\in \mathscr{F}(U)$가 존재하여, 모든 $i$에 대해 $f\vert_{U_i}=f_i$이다.

$\mathscr{F}$가 abelian category valued presheaf라면, $\mathscr{F}$가 sheaf가 되는 조건은 정확히 다음의 sequence

img

가 exact인 것과 동치임을 알 수 있다.

고정된 위상공간 $X$에 대하여, $\mathcal{A}$-valued sheaf들의 category $\Sh(X,\mathcal{A})$는 그 대상들이 sheaf인 $\PSh(X,\mathcal{A})$의 full subcategory로 정의한다. 즉 inclusion functor $\Sh(X, \mathcal{A})\hookrightarrow \PSh(X,\mathcal{A})$가 forgetful functor이다.

명제 2 $X$ 위에 정의된 sheaf들 사이의 morphism $\phi:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$이 주어졌다 하자. 그럼 $\phi$가 isomorphism인 것과 stalk들 사이의 morphism $\phi_p:\mathscr{F}_p \rightarrow \mathscr{G}_p$가 모두 isomorphism인 것이 동치이다.

증명

우선 $\phi$가 isomorphism이라면 $\phi_p$들이 isomorphism이 된다는 것은 자명하다. 따라서 반대 방향만 보이면 충분하다. 즉, $\phi_p$가 모두 isomorphism이라면 모든 열린집합 $U$에 대하여 $\phi\vert_U$가 isomorphism이라는 것을 증명해야 한다.

우선 $\phi\vert_U$가 항상 injective라는 것을 증명한다. $\phi(s)=0$을 만족하는 $s\in \mathscr{F}(U)$를 택하자. 그럼 모든 $p\in U$에 대하여

\[0=(\phi\vert_U)(s)_p=\phi_p(s_p)\]

이 성립하고, stalk 레벨에서 $\phi$는 isomorphism이라 가정하였으므로 모든 $p$에 대하여 $s_p=0$이다. 즉 임의의 $p\in U$마다, $p$의 적당한 열린근방 $W\subseteq U$가 존재하여 $s\vert_W=0$이 성립한다. $W$들은 $U$를 덮으므로, identity axiom으로부터 $s=0$이어야 한다.

이제 $\phi(U)$가 surjective라는 것을 증명한다. 이를 위해 임의의 $t\in \mathscr{G}(U)$를 잡고, $(\phi\vert_U)(s)=t$를 만족하는 $s\in \mathscr{F}(U)$를 만들어야 한다. Stalk 레벨에서 $\phi$는 surjective이므로, 각각의 $p\in U$에 대하여 $\phi_p(s_p)=t_p$를 만족하는 $s_p$들이 존재한다. 그럼 $p$의 적당한 열린근방 $W\subseteq U$가 존재하여, 이 위에 정의된 section $s$의 $p\in U$에서의 germ이 $s_p$가 되도록 할 수 있다. 이제

\[(\phi\vert_W)(s)_p=\phi_p(s_p)=t_p\]

이므로, 필요하다면 $W$를 더 작은 $p$의 열린근방으로 제한하여 $(\phi\vert_W)(s)=t\vert_W$이도록 할 수 있다. 우리의 주장은 이렇게 점 $p$마다 만들어낸 section들이 gluing condition을 잘 만족하므로, $U$ 전체에서 정의된 section을 만들 수 있다는 것이고, 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. $s\in \mathscr{F}(W)$를 $p\in U$에다 위의 논증을 적용해서 얻은 section이라 하고, $s’\in \mathscr{F}(W’)$를 $p’\in U$에다 위의 논증을 적용하여 얻은 section이라 하자. 그럼 $W\cap W’$ 위에서,

\[(\phi\vert_{W\cap W'})(s\vert_{W\cap W'})=t\vert_{W\cap W'}=(\phi\vert_{W\cap W'})(s'\vert_{W\cap W'})\]

이 성립하므로, $\phi\vert_{W\cap W’}$의 injectivity에 의하여 $s\vert_{W\cap W’}=s’\vert_{W\cap W’}$이 성립한다. 이러한 $s$들을 붙여 만드는 section을 $\phi$를 타고 보냈을 때 $t$가 된다는 것은 다시 $\mathscr{G}$의 identity axiom으로부터 자명하다.

층들의 가환범주

Presheaf 때와 마찬가지로, (abelian) sheaf들의 카테고리에서 diagram chasing을 하기 위해서는 sheaf들 사이의 morphism의 kernel이나 cokernel, image 등이 sheaf가 되어야 한다. 그러나 일반적으로 kernel을 제외하면 이들은 sheaf가 되지 않기 때문에 새로운 정의가 필요하다.

정의 3 임의의 위상공간 $X$와 category $\mathcal{A}$에 대하여, forgetful functor $\Sh(X,\mathcal{A})\rightarrow \PSh(X,\mathcal{A})$의 left adjoint를 sheafification functor라고 부르며, $(-)^\dagger$로 표기한다.

이 정의를 완성하기 위해서는 다음 보조정리가 필요하다.

보조정리 4 $(-)^\dagger:\PSh(X,\Set) \rightarrow \Sh(X,\Set)$가 존재한다.

이 명제에 대한 증명은 생각보다 어렵지 않다. 직관적으로 sheaf를 생각할 때 우리는 topological space 위에서 정의된 함수들의 sheaf로 생각하는데, 함수 $s$는 기본적으로 점 $p$에서의 함숫값 $s(p)$로 정의된다. 그런데 이러한 함수를 어떻게 $\mathscr{F}$로부터 정의할지를 생각해보면, 점 $p$에서의 함숫값은 germ $s_p\in \mathscr{F}_p$가 이미 알고 있는 것이다. 따라서, $\mathscr{F}^\dagger(U)$의 원소들은 각 점 $p\in U$를 대입했을 때, $\mathscr{F}_p$의 한 원소를 대응시키는 함수들로 보면 자연스러울 것이다. 물론 단순히 이 조건을 만족하는 함수들의 모임이 좋을리는 없으므로 적당한 compatibility condition을 넣어줘야 한다. 이를 제대로 쓰면 다음과 같다.

보조정리 4의 증명

각각의 열린집합 $U$에 대하여, $\mathscr{F}^\dagger(U)$를 정해주고, restriction map을 정해준 후 이들이 원하는 조건들을 만족함을 보이면 된다. 위에서 설명한 것과 같이, $\mathscr{F}^\dagger(U)$는 다음과 같이 정해진다.

임의의 열린집합 $U$에 대하여, $\mathscr{F}^\dagger(U)$의 원소들은 아래 두 조건을 만족하는 함수들 $s:U \rightarrow \bigcup_{p\in U} \mathscr{F}_p$이다.

1. 각각의 $p\in U$에 대하여, 함숫값 $s(p)$는 $\mathscr{F}_p$에 속한다.
2. 점 $p\in U$가 임의로 주어졌다 하자. 그럼 $p$의 열린근방 $V\subseteq U$와, 이 위에서 정의된 $t\in \mathscr{F}(V)$가 존재하여 $s(q)=t_q\in \mathscr{F}_q$가 모든 $q\in V$에 대해 성립한다.

$\mathscr{F}^\dagger$의 restriction map은 물론, 함수들의 restriction map으로 주어진다. 이제 $\mathscr{F}^\dagger$가 원하는 성질들을 만족한다는 것을 직접 보일 수 있다.

우선 $\mathscr{F}^\dagger$는 sheaf가 된다. Open covering $U=\bigcup U_i$가 주어졌다 하자. 만일 $s\in \mathscr{F}^\dagger(U)$가 모든 $i$에 대하여 $s\vert_{U_i}=0$을 만족한다면 $s=0$이다. 이는 임의의 $p\in U$에 대하여, $p\in U_i$라 한다면

\[s(p)=(s\vert_{U_i})(p)=0\]

이기 때문에 자명하다. Gluability axiom은 $\mathscr{F}^\dagger$가 처음부터 함수들의 presheaf로 정의되었으므로 자명하게 만족된다. Presheaf morphism $\theta:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{F}^\dagger$는 당연히, 임의의 열린집합 $U$에 대하여

\[\theta\vert_U: \mathscr{F}(U) \rightarrow \mathscr{F}^\dagger(U);\qquad s\mapsto (p\mapsto s_p)\]

으로 주어진다. Universal property의 경우, 임의의 morphism $\phi: \mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$가 주어졌다면 각각의 열린집합 $U$에 대하여 $\psi\vert_U$를 함수 $s\in \mathscr{F}^\dagger(U)$를 받은 후 각 점 $p\in U$에 대해 위의 두 번째 조건을 만족하는 열린집합 $V$와 $t\in \mathscr{F}(V)$를 잡아서, $(\phi\vert_V)(t)\in \mathscr{G}(V)$를 대응시킨 후 이들을 붙여서 만들어낸 $U$ 위에서의 section으로 정의해주면 된다.

여기서 언급해야 할 사실은 위의 명제가 $\Set$-valued presheaf 뿐 아니라 우리가 관심있는 많은 경우들, 가령 $\Ab$-valued presheaf나 $\Ring$-valued presheaf에서도 성립하며 그 증명 또한 동일하다는 사실이다. 어쨌든 이를 통해 abelian sheaf들의 카테고리를 abelian category로 만들 수 있다.

정의 5 $X$ 위에 정의된 sheaf $\mathscr{F}$, 그리고 sheaf morphism $\phi:\mathscr{F}\rightarrow \mathscr{G}$가 주어졌다 하자.

1. $\mathscr{F}$의 subsheaf는 각각의 열린집합 $U$에 대하여, $\mathscr{F}’(U)\subseteq \mathscr{F}(U)$를 만족하는 sheaf $\mathscr{F}’$를 의미한다.
2. $\phi$의 kernel은 presheaf morphism으로서의 $\phi$의 kernel이다. 만일 $\ker\phi=0$이라면 $\phi$를 injective라 부른다.
3. $\phi$의 image는 presheaf morphism으로서의 $\phi$의 image에, sheafification을 적용하여 얻어진 sheaf $(U\mapsto \im\phi\vert_U)^\dagger$를 의미하며, $\phi$가 sheaf morphism일 경우 $\im\phi$는 (presheaf morphism으로서의 image presheaf가 아니라) 이런 방식으로 얻어진 sheaf인 것으로 이해한다. 이 때 $\phi$가 surjective라는 것은 $\im\phi=\mathscr{G}$인 것이다.

비슷한 방식으로 cokernel이나 quotient 등, sheaf들의 category 안에서 값을 갖지 않는 문제가 있는 것들을 모두 sheafification을 이용해서 정의할 수 있으며, 이 때 이러한 대상들이 sheaf category $\Sh(X,\mathcal{A})$에서 그에 대응되는 universal property를 만족한다는 것은 (보조정리4와 같은 construction 없이) 정의 3의 universal property만으로 보일 수 있다.

층들의 예시들

앞선 글에서 우리는 presheaf들의 예시를 살펴보았는데, 그 중 몇몇은 sheaf이기도 하다.

예시 6 다음은 sheaf의 예시들이다.

• Skyscraper sheaf $(i_p)_\ast\underline{A}$ []
• $\mathscr{F}$가 sheaf라면, restriction $\mathscr{F}\vert_U$와 pushforward $f_\ast \mathscr{F}$도 sheaf이다.
• Constant sheaf의 sheafification $\underline{A}$ [], 그럼 $(i_p)_\ast\underline{A}$는 inclusion $i_p:\{p\}\rightarrow X$을 통해 $\{p\}$ 위의 constant sheaf $\underline{A}$를 pushforward한 것이다.
• Sheaf of sections []
• $\mathscr{G}$가 sheaf라면 $\mathscr{Hom}(\mathscr{F},\mathscr{G})$ 또한 sheaf이다.

Inverse image sheaf

우리는 앞서 sheaf $\mathscr{F}$를 $X$의 열린집합 $U$로 restrict하는 법을 살펴봤는데, inverse image sheaf를 사용하면 이를 임의의 부분집합으로 확장할 수 있다. 우선 pushforward $f_\ast$는 presheaf morphism 또한 보존하므로, $f_\ast:\PSh(X)\rightarrow \PSh(Y)$는 functor이다.

정의 7 $f_\ast:\PSh(X) \rightarrow \PSh(Y)$의 left adjoint를 inverse image sheaf라 하고, $f^{-1}$으로 표기한다.

구체적으로 $Y$ 위에 정의된 sheaf $\mathscr{G}$에 대하여 $f^{-1}\mathscr{G}$는 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, presheaf $U\mapsto \varinjlim_{V\supset f(U)}\mathscr{G}(V)$의 sheafification으로 정의된다. 특별히 열린집합의 inclusion $i:U\hookrightarrow X$에 대해서는 $f^{-1}\mathscr{F}$는 정확히 $\mathscr{F}\vert_U$와 같은 것을 확인할 수 있다.

---

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.

---