완전열
정의 1 $A$-module들의 열
\[\cdots\longrightarrow E\overset{f}{\longrightarrow} F\overset{g}{\longrightarrow} G\longrightarrow \cdots\]이 주어졌다 하자. 이 열이 $F$에서 semi-exact라는 것은 $gf=0$인 것이다. 만일 주어진 $A$-module들의 열이 각 성분에서 모두 semi-exact라면 이를 chain complex사슬복합체라 부른다.
조건 $gf=0$은 $\im(f)\subseteq\ker(g)$와 동치이다. 특별히 $\im(f)=\ker(g)$가 성립할 경우, 우리는 위의 열이 $F$에서 exact완전하다 하고, 각 성분에서 모두 exact인 열을 exact sequence완전열라 부른다.
임의의 $A$-module $E$에 대하여, zero module $0$에서 $E$로 가는 유일한 map은 $0$을 $0$으로 보내는 영함수뿐이고, $E$에서 $0$으로 가는 함수 또한 $X$의 모든 원소를 $0$으로 보내는 영함수뿐이다. 이러한 상황에서는
\[0\longrightarrow E,\qquad E\longrightarrow 0\]와 같이 함수에 따로 이름을 붙이지 않는다. 한편, 임의의 두 $A$-module $E,F$에 대하여, $E$의 모든 원소를 $0\in F$로 보내는 영함수 또한 생각할 수 있는데, 이러한 영함수는 두 함수 $E\rightarrow 0$과 $0\rightarrow F$의 합성으로 생각할 수 있으므로 열
\[\cdots\longrightarrow D\longrightarrow E\overset{0}{\longrightarrow} F\longrightarrow G\longrightarrow\cdots\]이 주어진 것은 두 개의 열
\[\cdots\longrightarrow D\longrightarrow E\longrightarrow 0,\qquad 0\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow \cdots\]이 주어진 것으로 생각해도 무방하다.
유한한 열
\[E\longrightarrow \cdots\longrightarrow G\]이 주어졌다 하면, 항상
\[\cdots\longrightarrow 0\longrightarrow 0\longrightarrow E\longrightarrow \cdots\longrightarrow G\longrightarrow 0\longrightarrow 0\longrightarrow\cdots\]을 통해 이를 무한한 열로 취급할 수 있다. 뿐만 아니라, 임의의 함수 $f$에 영함수를 합성하면 그 결과는 항상 영함수이므로, 만일 처음의 열이 exact sequence였다면 아래와 같이 무한하게 확장한 열 또한 exact sequence가 된다. 따라서 임의의 열은 항상 $\mathbb{Z}$로 index가 주어졌다고 생각할 수 있다.
예시 2 임의의 $A$-module $E$에 대하여, 다음의 열
\[0\longrightarrow E\overset{f}{\longrightarrow}F\]이 exact라는 것은 $\ker(f)=0$이라는 것이다. 즉 $f$는 단사이다. 비슷하게, 다음의 열
\[E\overset{f}{\longrightarrow}F\longrightarrow 0\]이 exact라는 것은 $\im(f)=F$라는 것, 즉 $f$가 전사라는 것이다. 따라서 다음의 열
\[0\longrightarrow E\overset{f}{\longrightarrow}F\longrightarrow 0\]이 exact라는 것은 $\ker(f)=0$이고 $\im(f)=F$라는 것이므로, $f$가 전단사라는 것이다.
따라서 exact sequence의 자명하지 않은 예시 중 가장 짧은 것은 다음의 sequence
\[0\longrightarrow E\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow 0\]이다. 이를 short exact sequence짧은 완전열이라 부른다.
예시 3 임의의 $A$-module $E$가 주어졌다 하자. Submodule $M\subseteq E$에 대하여, quotient module $E/M$를 생각하면 자연스러운 projection map $p:E\rightarrow E/M$가 존재하며, $\ker(p)=A$이다. 따라서 $M$에서 $E$로의 inclusion map을 생각하면, 다음의 열
\[0\longrightarrow M\longrightarrow E\longrightarrow E/M\longrightarrow 0\]은 short exact sequence가 된다.
혹은, 반대로 임의의 전사함수 $f:E\rightarrow F$가 주어졌다 하면 다음의 열
\[0\longrightarrow \ker f\longrightarrow E\overset{f}{\longrightarrow}F\longrightarrow 0\]이 short exact sequence가 된다.
더 일반적으로 다음과 같이
명제 7 두 $A$-module $E,F$와 이들 사이의 map $f:E \rightarrow F$에 대하여, 다음의 sequence
\[0\longrightarrow\ker(f)\longrightarrow E\overset{f}{\longrightarrow}F\longrightarrow \coker(f)\longrightarrow 0\]은 exact sequence가 된다.
이제 다음 글부터 우리는 exact sequence를 통하여 module의 성질들을 살펴본다. 기본적으로, exactness를 보존하는 연산들은 정보를 일어버리지 않는 것들이고, 그렇지 못한 것들은 원래의 정보를 잃어버리는 것으로 생각하는 것이 큰 흐름이다.
Product/sum 정도 하고 split/free 하고 change of scalar 하고
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참고문헌
[Hu] S.T. Hu, Introduction to homological algebra. University Microfilms, 1979.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: foundations of algebraic geometry. 2015. Preprint. 링크
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