대수적 구조 카테고리에서 우리는 group과 ring을 정의하고, 이들의 기본적인 성질들을 탐구한다. 이들은 집합 위에 이항연산의 구조를 추가하여 얻어지는데, group은 하나의 연산을, ring은 두 개의 연산을 추가하여 얻어지는 구조이다. 이들에 추가적으로 ring의 action을 주면 module과 algebra를 얻는다. 이들 대수적 구조 외에 갈루아 이론이나 tensor algebra 등은 별도의 카테고리로 분리하였다.
이항연산
이번 글에서 우리는 이항연산이 하나 주어져 있는 대수적 구조인 마그마를 살펴본다. 이 구조는 너무 적은 정보를 가지고 있어서 앞으로 사용할 일은 없지만, 앞으로 새로운 대수적 구조를 정의할 때마다 이번 글에서 정의할 부분구조나 몫구조 등을 생각하게 된다.
정의 1 집합 $A$에 대하여, $A\times A$에서 $E$로의 함수 $\star$를 이항연산이라 부른다. 이항연산이 주어져 있는 집합을 마그마라 부른다.
이항연산 $\star$의 함수값 $\star(x,y)$는 $x\ast y$로 줄여쓴다. 마그마는 집합 $A$ 뿐만 아니라 그 위에 정의된 연산까지도 포함하는 구조이므로, 문맥상 명확할 경우를 제외하면 마그마를 나타낼 때에는 $(A,\star)$와 같이 연산과 집합을 모두 표기해준다.
예시 2 임의의 집합 $X$에 대하여, $(\mathcal{P}(X),\cup)$과 $(\mathcal{P}(X),\cap)$은 모두 마그마이다.
$\mathbb{N}$ 위에 정의된 연산 $x-y$ 또한 이항연산이므로, $(\mathbb{N}, -)$ 또한 마그마이다.
두 마그마 $(\mathcal{P}(X),\cup)$과 $\mathcal{P}(X),\cap)$에서는 다음의 식
\[A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C,\qquad A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C\]이 모든 $A,B,C\in\mathcal{P}(X)$에 대해 성립한다. 반면
\[4-(1-2)=5\neq 1=(4-1)-2\]이므로 $(\mathbb{N},-)$에서는 이러한 성질이 성립하지 않는다.
정의 3 마그마 $(A,\star)$에 대하여, 임의의 $x$, $y$, $z\in A$에 대해 다음의 식
\[x\star(y\star z)=(x\star y)\star z\]가 항상 성립하다면, $\star$가 결합법칙을 만족한다associative고 하고, 마그마 $A$를 결합법칙을 만족하는 마그마associative magma라 부른다.
만일 $\star$가 결합법칙을 만족한다면, 표현 $x\star y\star z$을 두 가지 방법으로 계산하여도
\[(x\star y)\star z=x\star(y\star z)\]이므로 혼동의 여지 없이 $x\star y\star z$가 명확한 의미를 갖는다.
한편, 앞선 연산들은 또 다른 차이점이 있다.
정의 4 마그마 $(A, \star)$에 대하여, 만일 임의의 $x,y\in A$에 대해 다음의 식
\[x\star y=y\star x\]가 항상 성립한다면, $\star$가 교환법칙을 만족한다commutative고 하고, 마그마 $A$를 교환법칙을 만족하는 마그마commutative magma라 부른다.
일반적으로 교환법칙이 성립하더라도 결합법칙은 성립하지 않을 수 있고, 거꾸로 결합법칙이 성립하더라도 교환법칙이 성립하지 않을 수도 있다.
예시 5 마그마들의 family $(A_i, \star_i)_{i\in I}$를 생각하자. 곱집합 $\prod A_i$ 위에, 다음과 같은 연산
\[(x_i)_{i\in I}\star(y_i)_{i\in I}=(x_i\star_i y_i)_{i\in I}\]을 주면 $\prod A_i$는 $\star$에 대해 마그마 구조를 갖는다. 이렇게 얻어지는 마그마 $(\prod A_i, \star)$를 곱product magma이라고 부른다. 만일 $\star_i$들이 모두 교환법칙을 만족하거나, 모두 결합법칙을 만족한다면 $\star$ 또한 그렇다는 것을 쉽게 알 수 있다.
준동형사상과 부분구조
두 마그마 $A$, $A’$가 주어졌다 하자. 집합으로서 이들 사이에는 함수 $f:A\rightarrow A’$가 존재하지만, 이들은 단순한 집합이 아니라 이항연산이 추가된 대수적인 구조이므로 함수 또한 이항연산을 보존하는 것이 자연스럽다.
정의 6 두 마그마 $(A,\star)$, $(A’,\star’)$ 사이의 함수 $f:A\rightarrow A’$가 다음의 식
\[f(x\star y)=f(x)\star'f(y)\]을 모든 $x$, $y\in A$에 대해 만족한다면, 이 함수 $f$를 homomorphism준동형사상, 강조가 필요할 때는 magma homomorphism마그마 준동형사상이라 부른다. 만약 또 다른 homomorphism $g:A’\rightarrow A$가 존재하여
\[g\circ f=\id_A,\qquad f\circ g=\id_{A'}\]가 성립한다면, $f$와 $g$가 서로의 역inverse이라 부르고, $f$와 $g$를 isomorphism동형사상이라 부른다. 이 때, $A$와 $A’$는 isomorphic동형하다고 부르고, 기호로 $A\cong A’$와 같이 표기한다.
어렵지 않게 전단사인 magma homomorphism은 magma isomorphism이라는 것을 안다. 또, 다음이 성립한다.
명제 7 Magma homomorphism $f:A_1\rightarrow A_2$, $g:A_2\rightarrow A_3$에 대하여 합성 $g\circ f$는 magma homomorphism이다.
증명
임의의 $x,y\in A_1$에 대하여,
\[(g\circ f)(x\star_1 y)=g(f(x\star_1y))=g(f(x)\star_2f(y))=g(f(x))\star_3g(f(y))=(g\circ f)(x)\star_3(g\circ f)(y)\]이 성립한다.
따라서 magma들을 대상으로, magma homomorphism을 morphism으로 갖는 카테고리 $\Magma$가 존재한다.
대수학에서는 $f$의 image를 $f(A)$ 대신 $\im f$와 같이 적는 것이 보통이다. 임의의 $w,z\in\im f$를 택하자. 그럼 어떤 $x,y\in A$가 존재하여 $w=f(x)$이고, $z=f(y)$이다. 이제
\[w\star'z=f(x)\star'f(y)=f(x\star y)\]이고, $x\star y\in A$이므로, $w\star’z\in\im f$가 성립한다.
이와 같이 연산에 대해 닫혀있는 마그마의 부분집합을 다음과 같이 정의한다.
정의 8 마그마 $(A,\star)$에 대하여, 만일 $A$의 어떤 부분집합 $S$가 $\star$에 대해 닫혀있다면, $S$를 $A$의 부분마그마submagma라고 부른다.
그럼 마그마 $(A,\star)$와 부분마그마들의 family $(S_i)_{i\in I}$에 대하여, 교집합 $S=\bigcap S_i$ 또한 부분마그마가 되는 것은 자명하다. 임의의 $a,b\in S$를 택하면, 모든 $i$에 대해 $a,b\in S_i$인 것으로부터 $a\star b\in S_i$인 것을 얻고, 따라서 $a\star b\in S$이기 때문이다.
몫구조
집합 위에는 동치관계가 존재하므로, 마그마 위에도 동치관계를 정의할 수 있다. 그러나 함수와 마찬가지로, 모든 동치관계들이 우리의 관심의 대상인 것은 아니다.
마그마 $A$와 동치관계 $R$에 대하여 $x\equiv x’\pmod{R}$, $y\equiv y’\pmod{R}$가 성립한다 가정하자. $x$와 $x’$, 그리고 $y$와 $y’$가 $R$에 의해 같은 원소로 취급되고 있으므로, 다음의 식
\[x\star y\equiv x'\star y'\pmod{R}\]을 기대하는 것이 합리적이다. 하지만 $R$에 어떤 조건도 걸려있지 않다면 이 식이 성립할 이유가 없다. 따라서, 다음과 같은 조건을 추가로 정의한다.
정의 9 마그마 $(A,\star)$ 위에 동치관계 $R$이 정의되었다고 하자. 임의의 $a\in A$에 대하여
\[x\equiv x'\implies a\star x\equiv a\star x'\]을 만족한다면, $R$이 $\star$와 left compatible하다고 말한다. 비슷하게 만일
\[x\equiv x'\implies x\star a\equiv x'\star a\]가 모든 $a$에 대하여 성립한다면, $R$이 $\star$와 right compatible하다고 말한다. Left compatible인 동시에 right compatible인 동치관계를 간단히 compatible하다고 한다.
물론 위의 식에서 $\equiv$는 항상 관계 $R$에 대한 것을 뜻한다.
$R$이 동치관계라면 집합으로써 몫집합 $A/R$이 잘 정의된다는 것은 이미 집합론에서 살펴본 적이 있다. ([집합론] §동치관계, ⁋정의 4) 집합 $A/R$ 위의 연산 $\tiny\char"2606$을 정의하기 위한 가장 자연스러운 시도는
\[[x]\mathbin{\tiny\char"2606}[y]=[x\star y]\]이다. 그러나 이 식이 의미를 갖기 위해서는, equivalence class $[x]$의 대표원소를 $x$ 대신 $x’$로 택하더라도 $[x]\mathbin{\tiny\char"2606}[y]$의 값이 잘 정의되어야 한다. 즉, 다음의 식
\[[x\star y]=[x]\mathbin{\tiny\char"2606}[y]=[x'\star y]\]가 성립해야 한다. 이 식은
\[x'\star y\equiv x\star y\mod R\]로 바꾸어 쓸 수 있고, 앞선 정의를 따르자면 이는 정확히 $R$이 연산과 right compatible해야 한다는 의미다. 마찬가지 논리로, $[y]$의 대표원소의 선택에도 연산 $\mathbin{\tiny\char"2606}$의 값이 변하지 않아야 하므로 $R$은 연산과 left compatible이어야 한다.
이를 정리하여 다음의 정의를 얻는다.
정의 10 마그마 $(A,\star)$ 위에 $\star$와 compatible한 동치관계 $R$이 주어졌다 하자. 위와 같이 얻어지는 마그마 $(A/R,\mathbin{\tiny\char"2606})$을 몫마그마quotient magma라 부른다.
만일 $\star$가 결합법칙 혹은 교환법칙을 만족하면 $\mathbin{\tiny\char"2606}$ 또한 그러하다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 위의 construction에서는 구별을 위해 $\star$와 $\mathbin{\tiny\char"2606}$를 다르게 표기하였으나, 이들은 문맥상 쉽게 구별할 수 있으므로 몫마그마에서의 연산 또한 $\star$와 같이 적는 것이 보통이다.
참고문헌
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
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