가군의 곱과 합

가군의 곱

$A$-module들의 product는 언제나와 같이 정의한다.

정의–명제 1 $A$-module들의 family $(E_i)_{i\in I}$에 대하여, 이들의 direct product_직접곱는 다음의 universal property

임의의 $A$-module $F$와 $A$-linear map들 $f_i:F \rightarrow E_i$들이 주어졌을 때, $f_i=\pr_i\circ f$이도록 하는 유일한 $A$-linear map $f:F \rightarrow \prod E_i$이 존재한다.

를 만족하는 유일한 (up to unique isomorphism) $A$-module $\prod E_i$를 뜻한다. 이들은 abelian group $(E_i)$들의 direct product에, 성분별로 $A$-action을 정의한 것이 된다.

Product module의 성질 또한 언제나 기대하는 바와 같다. 가령 같은 index set을 공유하는 두 family $(E_i)_{i\in I}, (F_i)_{i\in I}$와 linear map들의 family $(f_i:E_i \rightarrow F_i)_{i\in I}$가 주어졌을 때, 이들의 product $f:E \rightarrow F$가 잘 정의되며 kernel과 image 등도 원하는대로 행동한다. 특히 이는 exact sequence를 이용하면 한 번에 표현할 수 있다.

명제 2 $A$-module들의 family $(E_i)_{i\in I}$, $(F_i)_{i\in I}$, $(G_i)_{i\in I}$, 그리고 linear map들의 family $(f_i:E_i \rightarrow F_i)_{i\in I}$와 $(g_i:F_i \rightarrow G_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하고, 이들의 곱을 각각 $E=\prod E_i, F=\prod F_i, G=\prod G_i$ 그리고 $f=\prod f_i,g=\prod g_i$라 하자. 그럼 다음의 sequence

\[E \overset{f}{\longrightarrow} F\overset{g}{\longrightarrow} G\]

가 exact인 것은 각각의

\[E_i\overset{f_i}{\longrightarrow} F_i\overset{g_i}{\longrightarrow} G_i\]

이 모두 exact인 것과 동치이다.

증명

임의의 $y=(y_i)\in F$에 대하여,

\[y\in\ker g\iff g(y)=0\iff g_i(y_i)=0\text{ for all $i$}\iff y_i\in\ker g_i\text{ for all $i$}\]

이고, 비슷하게 $y\in \im(f)$인 것은 적당한 $x=(x_i)\in E$가 존재하여 $y=f(x)$인 것과 동치이며, 따라서 모든 $i$에 대하여 $y_i=f(x_i)$, 즉 모든 $i$에 대하여 $y_i\in\im(f_i)$인 것과 동치이다.

증명을 뜯어보면 $\ker(f)=\prod\ker(f_i)$이고 $\im(f)=\prod \im(f_i)$임을 확인할 수 있다. 특히 이를 inclusion들 $F_i\hookrightarrow E_i$에 적용하고, first isomorphism theorem을 사용하면 다음의 canonical isomorphism

\[\prod_{i\in I} E_i/F_i\cong \left(\prod E_i\right)\bigg/\left(\prod F_i\right)\]

을 얻는다.

가군의 합

모든 $A$-module들은 덧셈구조만 보면 abelian group이므로, 이들의 direct sum은 곧 weak direct product와 동일한 것이 된다. (§제한합, ⁋정의 7) 이 정의는 $A$-action에 대해 잘 행동하고, 따라서 다음 정의가 말이 된다.

정의–명제 3 $A$-module들의 family $(E_i)_{i\in I}$에 대하여, 이들의 direct sum_직합은 다음과 같은 universal property

임의의 $A$-module $F$와 $A$-linear map들 $f_i:E_i \rightarrow F$들이 주어졌을 때, $f_i= f\circ\iota_i$이도록 하는 유일한 $A$-linear map $f:\bigoplus E_i \rightarrow F$이 존재한다.

를 만족하는 대상이다. 이들은 $\prod E_i$의 원소들 중, 오직 유한 개의 $i$에 대해서만 $\pr_i(x)\neq 0$이 성립하는 원소들로 이루어진 부분집합이다.

명제 2와 마찬가지로 다음이 성립한다.

명제 4 $A$-module들의 family $(E_i)_{i\in I}$, $(F_i)_{i\in I}$, $(G_i)_{i\in I}$, 그리고 linear map들의 family $(f_i:E_i \rightarrow F_i)_{i\in I}$와 $(g_i:F_i \rightarrow G_i)_{i\in I}$가 주어졌다 하고, 이들의 direct sum을 각각 $E=\bigoplus E_i, F=\bigoplus F_i, G=\bigoplus G_i$ 그리고 $f=\bigoplus f_i,g=\bigoplus g_i$라 하자. 그럼 다음의 sequence

\[E \overset{f}{\longrightarrow} F\overset{g}{\longrightarrow} G\]

가 exact인 것은 각각의

\[E_i\overset{f_i}{\longrightarrow} F_i\overset{g_i}{\longrightarrow} G_i\]

이 모두 exact인 것과 동치이다.

뿐만 아니라, 위와 마찬가지로 $\ker f=\bigoplus\ker f_i$, $\im f=\bigoplus \im f_i$ 등이 성립하고, 다음 isomorphism

\[\bigoplus(E_i/F_i)\cong\left(\bigoplus E_i\right)\bigg/\left(\bigoplus F_i\right)\]

이 존재한다. 또, Direct sum과 direct product의 universal property에 의하여, abelian group들 사이의 isomorphism

\[\Hom_A\left(\bigoplus_{i\in I} E_i,\prod_{j\in J} F_j\right)\cong\prod_{(i,j)\in I\times J}\Hom_A(E_i,F_j)\]

이 존재하며 이 isomorphism은 functorial이다.