준연접층의 성질들
이제 우리는 quasicoherent sheaf 및 coherent sheaf들의 성질을 살펴본다.
가장 처음으로 살펴봐야 할 것은 다음의 정리이다.
정리 8 $\QCoh(X)$와 $\Coh(X)$는 abelian category이다.
물론 언제나와 같이, $\Coh(X)$의 경우 $X$는 noetherian인 것을 가정하고 있다. 뿐만 아니라, 앞서 §준연접층에서 정의했던 $f^\ast$나 $f_\ast$에 대해서도 이들이 잘 행동한다.
명제 9 Scheme morphism $f:X \rightarrow Y$가 주어졌다 하자.
- $f^\ast$는 $\QCoh(Y)$에서 $\QCoh(X)$로의 functor이며, 만일 $X,Y$가 모두 noetherian이라면 이는 $\Coh(Y)$에서 $\Coh(X)$로의 functor이기도 하다.
- 만일 $X$가 noetherian이거나, $f$가 quasicompact, separated라면 $f_\ast$는 $\QCoh(X)$에서 $\QCoh(Y)$로의 functor이다.
Closed subscheme
정의 10 Scheme $X$와 closed subscheme $i:Y\hookrightarrow X$를 생각하자. 그럼 $\ker i^\sharp$를 $Y$의 ideal sheaf아이디얼 층이라 부르고 $\mathscr{I}_Y$ 혹은 $\mathscr{I}_{Y/X}$와 같이 적는다.
그럼 다음이 성립한다.
명제 11 위와 같은 상황에서 $\mathscr{I}_Y\in\QCoh(X)$가 성립한다. 거꾸로 만일 $\mathscr{I}\in\QCoh(X)$가 $X$ 위에 정의된 ideal들의 quasicoherent sheaf라면 이것이 유일하게 $X$의 closed subscheme을 정의한다.
세르 뒤틀림 층
이제 우리의 관심을 좁혀서 projective scheme 위에 정의된 quasicoherent sheaf들에 대해 살펴본다. 물론 projective scheme은 일단 scheme이므로 앞서 논의한 것들이 모두 적용되긴 하지만, 처음 projective scheme은 $\Proj$ functor를 통해 graded ring으로부터 만들어졌었으므로 대수적인 설명을 조금 더 할 수 있어야 할 것이다. 즉, 우리는 quasicoherent sheaf를 처음 정의할 때처럼, 임의의 graded ring $S$와 graded $S$-module $M$으로부터 시작해서 $\Proj S$ 위의 quasicoherent sheaf를 정의할 것이다.
Graded ring $S^\bullet$이 주어졌다 하고, graded $S^\bullet$-module $M^\bullet$을 생각하자. 그럼 각각의 $\mathfrak{p}\in\Proj(S^\bullet)$에 대하여, §스킴, §§사영스킴에서 정의한 것과 마찬가지로 $M_{(\mathfrak{p})}$를 정의하고, 이를 통해 $\widetilde{M}(U)$를 정의할 수 있다.
명제 1 위와 같은 상황에서, 다음이 성립한다.
- 임의의 $\mathfrak{p}\in\Proj S^\bullet$에 대하여 $\widetilde{M}_{\mathfrak{p}}\cong M_{(\mathfrak{p})}$이 성립한다.
- 임의의 homogeneous element $f\in A$에 대하여, §스킴, ⁋명제 6의 두 번째 결과의 isomorphism은 $\widetilde{M}\vert_{D_+(f)}\cong(M_{(f)})^\sim$을 유도한다.
- $\widetilde{M}$은 quasicoherent sheaf이며, 만일 $S^\bullet$이 noetherian이고 $M$이 finitely generated라면 $\widetilde{M}$은 coherent이다.
한편, projective scheme들의 경우에는 특별한 sheaf들이 존재한다. 표기의 편의를 위해 $X=\Proj(S^\bullet)$이라 하자.
정의 2 여전히 위와 같은 상황에서, sheaf $\mathscr{O}_X(n)$을 $S(n)^\sim$으로 정의한다. 이 때 $\mathscr{O}(1)$을 Serre twisting sheaf세르 뒤틀림 층이라 부른다. 더 일반적으로, $X$ 위에 정의된 임의의 $\mathscr{O}_X$-module $\mathscr{F}$에 대하여 $\mathscr{F}(n)=\mathscr{F}\otimes_{\mathscr{O}_X}\mathscr{O}_X(n)$으로 정의한다.
더 일반적으로, 임의의 scheme $Y$에 대해서, $\mathbb{P}^r_Y$의 twisting sheaf $\mathscr{O}(1)$을 $\mathbb{P}^r_\mathbb{Z}$ 위에 정의된 $\mathscr{O}(1)$의 pullback으로 정의한다.
그럼 다음이 성립한다.
명제 3 위와 같은 상황에서, $S$가 $S_0$-algebra로서 $S^1$에 의해 생성된다 가정하자. 그럼 다음이 성립한다.
- $\mathscr{O}_X(n)$은 $X$ 위에 정의된 rank 1 locally free $\mathscr{O}_X$-module이다.
- 임의의 graded $S$-module $M$에 대하여, $\widetilde{M}(n)\cong(M(n))^\sim$이고 특히, $\mathscr{O}_X(n)\otimes \mathscr{O}_X(m)\cong \mathscr{O}_X(m+n)$이 성립한다.
- $T$가 $S$와 동일한 조건을 만족하는 graded ring이고, $\phi:S \rightarrow T$가 degree-preserving homomorphism이라 하자. 그럼 $\phi$에 의해 유도되는 scheme morphism $f:U \rightarrow \Proj T$에 대하여, $f^\ast(\mathscr{O}_X(n))\cong \mathscr{O}_Y(n)\vert_U$이고 $f_\ast(\mathscr{O}_Y(n)\vert_U)\cong (f_\ast \mathscr{O}_U)(n)$이다.
한편, §스펙트럼, ⁋명제 5의 세 번째 조건에서 우리는 affine scheme으로부터 그를 정의하는 ring을 복원하는 방법을 알고 있다. 이는 그냥 global section functor $\Gamma(\Spec A,-)$를 취하면 된다. 반면, 예를 들어 $\mathbb{P}^n$과 같은 경우에는 global section이 없기 때문에, $\Gamma$를 통해 global section을 복원해올 수 없다. 이는 $\Gamma$가 볼 수 있는 것은 degree zero part 뿐이기 때문인데, 위의 과정을 통해 degree를 다시 매겨주면 원래의 ring을 복원해줄 수 있다.
즉, 다음을 정의하자.
정의 4 $X=\Proj S^\bullet$과 $\mathscr{F}\in \lMod{\mathscr{O}_X}$에 대하여,
\[\Gamma_\bullet(\mathscr{F})=\bigoplus_{n\in \mathbb{Z}}\Gamma(X, \mathscr{F}(n))\]으로 정의하자. 각각의 $s\in S^d=S(d)^0$은 $\Gamma(X, \mathscr{O}_X(d))$의 원소를 결정해주므로, 다음 식
\[\Gamma(X, \mathscr{O}_X(d)\otimes_{\Gamma(X, \mathscr{O}_X)} \Gamma(X, \mathscr{F}(n)) \rightarrow \Gamma(X, \mathscr{F}(n+d));\qquad (s, t)\mapsto st\]를 통해 $\Gamma_\bullet(\mathscr{F})$를 $S$-module로 만들어줄 수 있다. 이를 graded $S$-module associated to $\mathscr{F}$라 부른다.
그럼 $S=A[x_0,\ldots, x_r]$이라 하고, 이에 의해 정의되는 projective space $\Proj S$를 생각하면 $\Gamma_\ast(\mathscr{O} _X)\cong S$가 성립한다는 것을 알 수 있다.
이제 다음을 보자.
명제 5 명제 3의 상황을 가정하고, $\mathscr{F}\in\QCoh(X)$라 하면 natural isomorphism $\Gamma_\ast(\mathscr{F})^\sim \rightarrow \mathscr{F}$가 존재한다.
Ample invertible sheaf
정의 6 임의의 $X\in\Sch_{/Y}$에 대하여, $X$ 위에 정의된 rank 1 locally free sheaf $\mathscr{L}$이 주어졌다 하자. 만약 적당한 $r>0$과 immersion $i:X \rightarrow \mathbb{P}^r_Y$가 존재하여 $i^\ast \mathscr{O}(1)\cong \mathscr{L}$이도록 할 수 있으면 $\mathscr{L}$을 very ample이라 부른다.
정의 7 Scheme $X$와 $\mathscr{F}\in\lMod{\mathscr{O}_X}$를 생각하자. $\mathscr{F}$가 globally generated라는 것은 global section들 $(s_i)$가 존재하여, 모든 $x\in X$에 대해 $\mathscr{F}_x$가 $\mathscr{O}_x$-module로서 $s_i$들에 의해 생성되는 것이다.
다음 정리는 나중에 유용하게 쓰일 것이다.
정리 8 $X$가 noetherian ring $A$로부터 정의된 projective scheme이라 하고, $\mathscr{O}(1)$이 very ample invertible sheaf라 하자. 그럼 $\mathscr{F}\in\Coh(X)$가 주어질 때마다 적당한 $n_0$가 존재하여, $n\geq n_0$인 모든 $n$에 대해 $\mathscr{F}(n)$이 유한한 section들로 globally generated이도록 할 수 있다.
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