사영사상

Ring $A$를 고정하자. 그럼 $\mathbb{P}^n_A=\Proj A[x_0,\ldots, x_n]$는 $\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}\Spec A$로 불 수 있으며 $\mathscr{O}{\mathbb{P}^n_A}(1)$은 $\mathbb{P}^n\mathbb{Z}$ 위에 정의된 $\mathscr{O}(1)$의 pullback이며, $\mathscr{O}(1)$은 global section들 $x_0,\ldots, x_n$에 의해 생성된다.

정리 1 Ring $A$와 $A$-scheme $X$를 생각하자.

1. $A$-morphism $\phi:X \rightarrow \mathbb{P}^n_A$에 대하여, $\phi^\ast \mathscr{O}(1)$은 $X$ 위에 line bundle을 정의하며, 이는 global section들 $s_i=\phi^\ast x_i$로 생성된다.
2. 거꾸로 임의의 line bundle $\mathscr{L}$이 $s_0,\ldots, s_n$에 의해 globally generated라면, 유일한 $A$-morphism $\phi:X \rightarrow \mathbb{P}^n_A$가 존재하여 $\mathscr{L}\cong \phi^\ast \mathscr{O}(1)$이고 $s_i=\phi^\ast x_i$이다.

이게 closed일 조건 7.2 7.3

따라서 projective space의 variety는 line bundle과 global section들에 대한 데이터로 대체될 수 있다.