비퇴화다양체

이제 우리는 좋은 다양체들에 대해 살펴본다.

정의

정의 1 Affine variety $X\subseteq \mathbb{A}^n$이 주어졌다 하고, $X$에 해당하는 ideal

\[I(X)\subseteq \mathbb{k}[\x_1,\ldots, \x_n]\]

의 generator $f_1,\ldots, f_t$이 주어졌다 하자. 그럼 $X$가 점 $x\in X$에서 nonsingular_비퇴화라는 것은 행렬

\[J_{X,x}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial \x_1}(x)&\frac{\partial f_1}{\partial \x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial \x_n}(x)\\\frac{\partial f_2}{\partial \x_1}(x)&\frac{\partial f_2}{\partial \x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial f_2}{\partial \x_n}(x)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\frac{\partial f_t}{\partial \x_1}(x)&\frac{\partial f_t}{\partial \x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial f_t}{\partial \x_n}(x)\\\end{pmatrix}\]

의 rank가 $\codim X$와 같은 것이다. 만일 $X$가 모든 점에서 nonsingular라면, 이를 간단히 nonsingular라 부른다.

이에 대한 설명은 다음과 같다. 아직 정의하지는 않았지만, affine variety $X\subseteq \mathbb{A}^n$의 tangent space를 생각하면, 점 $x\in X$에서의 tangent space $T_xX$를 $T_x \mathbb{A}^n$의 subspace로 생각할 수 있다. 이 때, $T_xX$는 Jacobian matrix $J_{X,x}$의 kernel로 정해지므로 그 codimension은 $J_{X,x}$의 rank와 같아야 한다.

한편, 우리는 manifold의 경우에서 일상적이지 않은 정의를 사용해서 cotangent space를 굳이 sheaf를 사용해서 $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$으로 정의했는데, 이는 지금의 정의를 조금 더 친숙하게 하기 위한 것이었다.

정의 2 Noetherian local ring $A$가 maximal ideal $\mathfrak{m}$, 그리고 residue field $\kappa=A/\mathfrak{m}$을 갖는다고 하자. 만일 $\dim A=\dim_\kappa \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$라면, $A$를 regular local ring이라 부른다.

그럼 다음의 정리가 성립한다.

정리 3 Affine variety $X\subseteq \mathbb{A}^n$와 한 점 $x\in X$에 대하여, $X$가 $x$에서 nonsingular인 것과 local ring $\mathscr{O}_{X,x}$가 regular local ring인 것이 동치이다.

이를 직관삼아 일반적인 경우에는 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 4 임의의 variety $X$에 대하여, $X$가 $x\in X$에서 nonsingular_비퇴화라는 것은 $\mathscr{O}_{X,x}$가 regular local ring인 것이다. 만일 $X$가 모든 점에서 nonsingular라면 이를 간단히 nonsingular라 부르고, 그렇지 않다면 singular라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

정리 5 임의의 variety $X$에 대하여, $X$의 singular point들의 모임 $\Sing X$는 $X$의 proper인 닫힌집합이다.

임의의 variety에서 열린집합은 크고, 닫힌집합은 작으므로, 위의 정리는 variety가 대부분의 점에서 non-singular라는 것이다.

한편, 아직 우리가 미분을 정의하지는 않았지만, ##ref##을 생각하면 대수적으로 미분과 completion이 서로 관련되어 있고, 또 정의로부터 알 수 있듯 $X$가 nonsingular라는 것 또한 미분을 통해 서술된다. 이를 엄밀한 언어로 쓰기 위해서는 module of differential을 사용해야 하지만,

비퇴화곡선

정의 7 Field $K$에 포함되어 있는 두 local ring $A,B$에 대하여, 만일 $A\subseteq B$이고 $\mathfrak{m}_B\cap A=\mathfrak{m}_A$라면 $B$가 $A$를 dominate한다고 말한다.