Marvin의 독서 노트 — 대수적 구조
대수적 구조
대수적 구조 카테고리의 첫 글은 “집합 위에 이항연산을 하나 붙이면 무엇이 되는가”라는 질문에서 시작한다. 이항연산 \(\star:A\times A\rightarrow A\)가 주어진 집합을 마그마라 부르고, 여기에 결합법칙과 교환법칙이라는 두 가지 성질을 정의하는 것이 이 글의 기본 흐름이다. 결합법칙은 diagram의 commutativity로도 해석할 수 있다는 관찰(associativity diagram)이 있는데, 범주론 카테고리에서 diagram chasing을 이미 봤으므로 이 연결이 자연스럽다. 다만 마그마라는 구조 자체는 너무 약해서 앞으로 직접 쓸 일은 없고, 대신 group이나 ring을 정의할 때마다 “부분구조”와 “몫구조”라는 패턴을 반복적으로 적용하게 된다는 것이 이 글의 핵심 메시지다.
명제 5(곱마그마의 결합법칙/교환법칙 보존)가 인상적이다. 각 성분별로 결합법칙이나 교환법칙이 성립하면 곱마그마에서도 성립한다는 것이 Product of Sets의 universal property와 직접 연결되는데, “좌표별로 확인하면 전체가 확인된다”는 원리가 다시 작동한다. 집합론에서 곱의 universal property를 정의할 때 \(f_i=\pr_i\circ f\)라는 조건을 봤는데, 곱마그마의 연산 \(\prod\star_i\)가 정확히 그 구조 위에서 정의된다는 것이 명확하다.
준동형사상의 정의(정의 6)는 선형대수학에서 봤던 선형사상의 정의와 구조적으로 같다. \(f(x\star y)=f(x)\star'f(y)\)라는 조건은 “연산을 보존한다”는 것이고, 합성이 다시 준동형사상이 된다는 명제 7은 선형사상의 합성이 다시 선형사상이었던 것과 같은 패턴이다. 범주론 카테고리에서 “마그마들을 대상으로, magma homomorphism을 morphism으로 갖는 cartesian monoidal category \(\Magma\)가 존재한다”고 했는데, Categories에서 정의한 범주의 조건(대상, morphism, 합성, 결합법칙, 항등원)을 마그마에서 직접 확인할 수 있다는 것이 좋다. 다만 “cartesian monoidal category”라는 표현이 Monoidal Categories에서 정의된 개념인데, 이 글에서는 그 정의 없이 사용되어서 약간 주의가 필요했다.
부분마그마의 정의(정의 8)는 간결하다: 연산에 대해 닫혀있는 부분집합. 부분마그마들의 family의 교집합이 다시 부분마그마라는 관찰은 자명하지만, 이후 group의 부분군이나 ring의 부분환을 정의할 때 이 패턴이 반복될 것이라는 예감이 든다. 선형대수학에서 부분공간의 정의(“덧셈과 스칼라곱에 닫혀있으면 부분공간”)와 정확히 대비되는 구조인데, “닫혀있다”는 조건이 대수적 구조의 부분구조를 정의하는 핵심이라는 것이 공통점이다.
몫구조 부분이 이 글에서 가장 기술적인 내용이다. 동치관계 \(R\)이 연산과 compatible하려면 left compatible과 right compatible을 동시에 만족해야 한다는 정의 9가 핵심인데, \(x\equiv x'\implies a\star x\equiv a\star x'\)와 \(x\equiv x'\implies x\star a\equiv x'\star a\)라는 두 조건이 대칭적이다. 몫마그마의 연산 \([x]\mathbin{\tiny\char"2606}[y]=[x\star y]\)가 well-defined 되려면 대표원소의 선택이 결과에 영향을 주지 않아야 한다는 것이고, 이것이 정확히 left/right compatibility 조건으로 포착된다는 논증이 깔끔하다. Equivalence Relations에서 “동치관계 \(\iff\) 분할”이라는 대응을 봤는데, 여기서는 “compatible한 동치관계”라는 추가 조건이 몫구조를 가능하게 한다는 것이 차이다. \(\star\)가 결합법칙이나 교환법칙을 만족하면 \(\mathbin{\tiny\char"2606}\)도 마찬가지라는 관찰은, 이후 group의 몫군이나 ring의 몫환에서 핵심적으로 활용될 성질이다.
솔직한 반응을 적자면, 이 글 자체의 내용은 명확하고 따라가기 쉬웠다. 마그마라는 구조가 너무 단순해서 “이게 왜 필요한가”라는 의문이 자연스러운데, 글 자체가 “앞으로 group, ring, module, algebra를 정의할 때마다 이 글의 패턴을 반복한다”고 명시적으로 밝히고 있어서 동기가 충분하다. 다만 범주론 카테고리에서 cartesian monoidal category를 이미 봤는데, 이 글에서 \(\Magma\)를 “cartesian monoidal category”라고 부르는 것이 정확히 무슨 의미인지( \(\otimes\)이 categorical product라는 것? )를 확인하려면 Monoidal Categories의 정의를 다시 봐야 했다. 이 글만으로는 “cartesian monoidal category가 뭔지”를 모르더라도 마그마의 성질을 이해하는 데는 문제가 없지만, 그 표현이 나올 때 약간의 간극이 있었다. 집합론에서 이항관계와 함수를 정의하고, 선형대수학에서 벡터공간과 선형사상을 다룬 뒤, 이제 “가장 일반적인 대수적 구조”인 마그마에서 시작한다는 큰 그림이 명확하다.
⚠️ 정의 없이 사용: diagram, commute (범주론 카테고리에서 정의되었으나, 이 글에서는 별도의 정의 없이 사용됨)
반군, 모노이드, 군
마그마에 결합법칙을 붙이면 semigroup, 여기에 항등원을 붙이면 monoid, 모든 원소에 역원을 붙이면 group이라는 계단을 이 글에서 한 번에 올라간다. 정의 자체는 자연스럽고, 각 단계에서 “부분구조·몫구조·homomorphism이 어떻게 변하는가”를 체크하는 패턴이 이전 글(대수적 구조)에서 예고한 대로 반복된다. 특히 monoid homomorphism은 항등원 보존 조건이 추가된다는 점, subgroup은 역원에 대한 닫힘이 추가된다는 점이 “구조를 더 추가할수록 homomorphism과 부분구조의 조건도 강해진다”는 직관을 잘 보여준다.
Eckmann-Hilton 정리(정리 7)가 이 글에서 가장 인상적인 결과다. 하나의 집합 위에 두 가지 monoid 구조가 있고, 교환 법칙 비슷한 조건 \((a\star_1 b)\star_2(c\star_1 d)=(a\star_2 c)\star_1(b\star_2 d)\)을 만족하면 두 연산이 같아지고 commutative monoid가 된다는 것이 놀랍다. 증명도 항등원의 유일성을 이용해 \(e_1=e_2\)를 보이는 것으로 시작하는데, 이후 \(a\star b=b\star a\)까지 한 번에 나온다는 것이 깔끔하다. 이 정리는 사실 “하나의 집합 위에 두 monoid 구조가 compatible하면 그건 결국 하나뿐”이라는 강한 결론인데, 이후 homotopy theory에서 loop space의 곱이 commutative up to homotopy라는 사실과 연결된다는 것을 어딘가에서 본 기억이 있어서 흥미롭다.
Group 정의(정의 11) 이후의 논증 흐름이 잘 짜여 있다. 역원의 유일성(명제 9) → \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\) (따름정리 10) → cancellable/invertible의 관계(보조정리 12) → group homomorphism은 반드시 역원을 보존한다는 것 → 따라서 \(\Grp\)은 \(\Mon\)의 full subcategory라는 결론까지, 각 단락이 앞선 결과를 직접 사용한다. 특히 “magma homomorphism \(f:G\rightarrow G'\)만 주어져도 \(f(e)=e'\)가 따라온다”는 논증( \(e'f(e)=f(e)=f(e)f(e)\) 에서 \(f(e)\)의 역원을 곱하는 것)이 인상적인데, 구조가 강해질수록 homomorphism이 자동으로 더 많은 것을 보존한다는 현상을 잘 보여준다.
명제 15의 subgroup 판정법(\(a,b\in S\Rightarrow ab^{-1}\in S\))은 선형대수학에서 부분공판정법(“덧셈과 스칼라곱에 닫혀있는가”)과 대비된다. 부분군에서는 항등원 존재, 역원 존재, 곱에 대한 닫힘이 모두 하나의 조건으로 압축되는데, 이는 group의 구조가 충분히 풍부하기 때문이라는 느낌이 든다. \(\langle S\rangle\)의 존재성(부분군들의 교집합)도 부분마그마의 교집합이 부분마그마였던 것과 같은 패턴인데, “가장 작은 구조”를 교집합으로 만드는 기법이 대수 전반에 걸쳐 반복될 것이라는 예감이 든다.
몫군 \(G/R\) 부분은 이전 글의 몫마그마 논리를 그대로 따른다. \([x]\)의 역원이 \([x^{-1}]\)이라는 확인은 깔끔하고, \(G/R\)이 group 구조를 갖는다는 것이 \(R\)이 \(\star\)와 compatible한 동치관계라는 조건만으로 보장된다는 것이 좋다. 다만 “compatible한 동치관계”라는 조건이 실제로 어떤 동치관계를 허용하는지(정규부분군과의 관계)는 이 글에서 다루지 않아서, Group Homomorphisms이나 Quotient Groups에서 풀어줄 것을 기대하게 된다.
솔직히 이 글의 내용은 선형대수학에서 벡터공간의 구조를 쌓아올렸던 것과 매우 유사한 패턴이라 어렵지 않았다. 마그마 → semigroup → monoid → group이라는 계단이, 집합 → 가환군 → 체 → 벡터공간의 계단과 구조적으로 대응된다는 것이 명확하게 느껴진다. 다만 \(\Set\)에서의 group object라는 관점(역원을 diagram으로 표현하는 것)은 범주론의 monoid object 정의를 이미 봤으므로 이해할 수 있었지만, 아직 “group object”이라는 표현 자체가 익숙하지 않아서 직관적으로 와닿기보다는 “정의를 확인하는” 수준에 머물렀다.
Grothendieck 군
이 글은 commutative semigroup에 역원을 붙여 abelian group을 만드는 Grothendieck 군의 construction을 다룬다. 출발점은 범주론적이다: forgetful functor \(U:\Ab\rightarrow\cMon\)의 left adjoint \(K:\cMon\rightarrow\Ab\)가 존재한다는 것이고, 이 adjunction을 풀어 쓰면 \(\Hom_\Ab(K(M),G)\cong\Hom_\cMon(M,U(G))\)라는 universal property가 된다. 범주론 카테고리에서 adjunction과 forgetful functor를 이미 봤으므로 이 설정 자체는 자연스럽다. 다만 “left adjoint가 존재한다”는 것을 실제로 보이는 것이 이 글의 핵심인데, existence와 uniqueness를 분리해서 처리하는 구조가 깔끔하다. Uniqueness(명제 1)는 universal property를 두 번 적용해서 \(\bar{\eta}_S'\circ\bar{\eta}_S=\id_H\)를 보이는 전형적인 argument이고, 이전에 본 adjunction의 unit/counit 논리와 정확히 같은 패턴이다.
Construction 자체는 \(S\times S\) 위에 동치관계를 정의하는 것으로 시작한다. \((a,b)\)를 \(a-b\)처럼 생각하고, \((a_1,b_1)\equiv(a_2,b_2)\) iff \(a_1+b_2+c=a_2+b_1+c\) for some \(c\in S\)라는 조건이 핵심인데, \(c\)가 등장하는 이유가 \(S\)에 cancellation law가 없기 때문이다. \(a+c=b+c\)여서 \(a=b\)를 못 빼는 상황을 \(c\)를 “소거 가능한 충분히 큰 원소”로 처리하는 것이고, 이것이 정확히 정수를 \(\mathbb{N}\)으로부터 만드는 방식과 대응된다는 것이 인상적이다. \([(a,b)]\)의 항등원이 \([(c,c)]\)이고 역원이 \([(b,a)]\)라는 확인은 계산만으로 끝나지만, “\(a-b\)의 역원은 \(b-a\)“라는 직관이 formal verification을 정확히 따라간다는 것이 좋다.
Universal property의 existence 증명(명제 5)에서 \(\bar{f}([(a,b)])=f(a)-f(b)\)로 정의하는 것이 이 글에서 가장 elegant한 부분이다. 유일성 증명에서 이미 이 공식이 나왔으므로, existence는 “유일성에서 힌트를 얻어 정의를 만들고 well-definedness를 확인하는” 흐름인데, 이 패턴은 대수 전반에서 반복될 것이라는 예감이 든다. \(\bar{f}\)가 well-defined 되려면 \((a_1,b_1)\equiv(a_2,b_2)\implies f(a_1)-f(b_1)=f(a_2)-f(b_2)\)를 보여야 하고, 여기서 \(f(c)\)를 빼는 과정이 \(G\)가 group이라 cancellation이 가능하다는 것이 핵심인데, “source에는 cancellation이 없어서 \(c\)를 붙였고, target에는 cancellation이 있어서 \(f(c)\)를 뺀다”는 대칭이 아름답다.
Monoid of fractions 부분은 construction의 변형이다. 전체 역원 대신 \(S\)에 의해 생성되는 부분모노이드의 원소들만 분모로 허용하는 것인데, \(\mathbb{Z}\)를 \(\mathbb{N}\)으로부터 만드는 것이 \(\mathbb{N}\setminus\{0\}\)의 역원만 추가하는 것과 같다는 관찰이 동기를 잘 설명한다. 다만 이 섹션은 증명을 생략하고 과정만 나열하고 있어서, “정말로 well-defined 되는가”를 확인하려면 앞선 증명들을 직접 수정해야 한다. 솔직히 \(E_S\)의 정의는 \(K(S)\)의 정의를 충분히 이해했다면 따라갈 수 있지만, \(S'\)가 등장하는 이유(\(S\) 자체는 닫혀있지 않을 수 있으므로)를 한번에 파악하기 어려웠다. 전체적으로 이 글은 “역원이 없는 구조에 역원을 붙이는” 기법을 하나의 recipe로 정리한 것인데, 이후 localization이나 field of fractions에서도 같은 논리가 재등장할 것이라는 기대가 된다.
군 준동형사상
이 글은 group들 사이의 homomorphism을 본격적으로 다룬다. 대수적 구조에서 정의한 준동형사상의 일반 정의를 group에 특화하면 \(f(xy)=f(x)f(y)\)라는 하나의 조건만 확인하면 되는데, 이전 Groups 글에서 “구조가 강해질수록 homomorphism이 자동으로 더 많은 것을 보존한다”고 했던 것이 여기서 구체적으로 드러난다. 명제 1은 magma homomorphism이 isomorphism이 되려면 전단사면 충분하다는 것인데, 증명에서 \(f^{-1}(yy')=f^{-1}(f(x)f(x'))=f^{-1}(f(xx'))=xx'=f^{-1}(y)f^{-1}(y')\)라는 계산이 깔끔하다. 특히 \(f(e)\)가 \(A'\)의 항등원이 된다는 부분 — \(y=f(x)=f(xe)=f(x)f(e)\) — 은 Groups 글에서 monoid homomorphism이 항등원을 보존한다는 것의 직접적인 활용인데, “전단사라는 조건만으로 역함수가 homomorphism이 된다”는 결론이 강력하다.
Equalizer의 구성(명제 2)이 인상적이다. 두 homomorphism \(f,g:G\rightarrow H\)에 대해 \(\Eq(f,g)=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}\)가 subgroup이라는 것은, 증명이 \(f(xy^{-1})=f(x)f(y)^{-1}=g(x)g(y)^{-1}=g(xy^{-1})\)라는 두 줄로 끝나는데, Groups 글의 subgroup 판정법(명제 15: \(a,b\in S\Rightarrow ab^{-1}\in S\))을 직접 사용한다. 범주론 카테고리의 Limits에서 equalizer를 정의할 때 “같은 값을 내는 원소들의 집합”이라고 했는데, 그게 여기서 \(\Grp\) 안에서 구체적으로 실현되는 순간이다. \(i:\Eq(f,g)\rightarrow G\)가 universal property를 만족한다는 관찰도 좋은데, “coequalizer도 존재하지만 normal subgroup과 quotient group이 필요하다”는 마지막 언급이 다음 글들(Quotient Groups)로의 연결을 예고한다.
Kernel과 image의 정의가 이 글의 핵심이다. \(\{e\}\)가 \(\Grp\)의 zero object이고, zero map \(e:G\rightarrow H\)가 \(G\rightarrow\{e\}\rightarrow H\)로 정의된다는 것은 범주론적 관점인데, 범주론 카테고리의 Monoidal Categories까지 봤지만 “zero object”라는 개념은 아직 정의된 적이 없어서 이 표현이 처음에는 낯설었다. \(\ker f=f^{-1}(e')\)라는 정의 자체는 선형대수학의 Linear Map에서 본 kernel(\(\ker L=\{v\mid L(v)=0\}\))과 정확히 대응되고, 명제 3(\(f\)가 단사 \(\iff\) \(\ker f=\{e\}\))도 선형대수학의 “\(L\)이 단사 \(\iff\) \(\ker L=\{0\}\)“와 같은 패턴이다. \(\ker f=\Eq(f,e)\)라는 관찰(명제 5의 증명)이 equalizer와 kernel을 연결하는 짧지만 중요한 다리인데, “kernel은 특수한 equalizer”라는 범주론적 시각이 명확해진다.
명제 6(\(\im f\)가 subgroup)의 증명도 효율적이다. 부분마그마라는 것을 이미 알고 있으므로 역원에 대한 닫힘만 확인하면 되는데, \(f(x^{-1})=f(x)^{-1}=y^{-1}\)라는 한 줄로 끝난다. Groups 글에서 “group homomorphism은 반드시 역원을 보존한다”는 결론이 여기서 직접 활용되는 좋은 예시다. 다만 이 글이 상당히 짧고, kernel과 image의 성질들(예: \(\ker f\)가 normal subgroup이라는 것, 제1동형정리 등)은 아직 다루지 않아서 “정의만 있고 응용은 없다”는 느낌이 있다. Quotient Groups에서这些东西이 본격적으로 움직일 것이라는 기대가 된다.
전체적으로 이 글은 Groups의 homomorphism 이론과 범주론의 equalizer/kernel 개념을 \(\Grp\) 안에서 연결하는 짧지만 구조적인 글이다. 선형대수학에서 이미 kernel과 image를 경험했으므로 정의 자체는 수월했고, equalizer라는 이름이 붙으면서 “왜 \(f(x)=g(x)\)인 원소들의 집합을 연구하는가”에 대한 범주론적 답이 명확해진 것이 좋다.
몫군
이 글은 normal subgroup과 quotient group을 본격적으로 다룬다. Group Homomorphisms에서 “coequalizer를 정의하려면 normal subgroup과 quotient group이 필요하다”고 했는데, 그 약속이 여기서兑现되는 구조다. 출발점은 이전 글(대수적 구조)에서 정의한 compatible equivalence relation인데, group \(G\)의 연산과 compatible한 동치관계 \(R\)이 주어지면 \(G/R\)이 group이 된다는 것을 Groups 글 말미에서 이미 확인했고, 이 글은 “어떤 동치관계가 compatible한가”라는 질문을 normal subgroup으로 풀어낸다.
정규부분군의 정의(정의 2: \(ghg^{-1}\in H\) for all \(g\in G, h\in H\)) 자체는 간결하지만, 이것이 왜 등장하는지를 보여주는 논증 흐름이 이 글의 핵심이다. \(\sim_r\) (\(ab^{-1}\in H\))을 정의하면 right compatible은 자동이지만 left compatible이 되려면 \(cxc^{-1}\in H\)가 필요하다는 것이고, 이 조건이 정확히 normal subgroup의 정의라는 것이 깔끔하다. 반대로 \(\sim_l\) (\(a^{-1}b\in H\))을 쓰면 left/right가 뒤집히지만 동일한 조건이 나온다는 관찰(참고 1)도 좋은데, “어느 쪽 coset을 쓰든 normal이라는 조건은 같다는 것이 대칭적”이라는 직관을 준다.
명제 1(\([e]\)가 subgroup)의 증명에서 \(ab^{-1}\sim e\)를 \(a\sim e\sim b\)로부터 얻는 논리는 Groups의 subgroup 판정법(명제 15)을 직접 사용하는데, compatible equivalence relation의 조건이 subgroup을 보장한다는 것이 좋다. 그리고 “\(G\)에 compatible한 동치관계를 주는 것 \(\iff\) \(G\)의 normal subgroup을 택하는 것”이라는 결론이 이 글의 핵심 메시지인데, equivalence Relations에서 “동치관계 \(\iff\) 분할”이라는 대응을 봤고, 여기서 “compatible한 동치관계 \(\iff\) normal subgroup”이라는 추가 대응이 겹쳐진다는 것이 아름답다.
| 잉여류(coset) 부분은 normal subgroup이 아닌 임의의 subgroup \(H\)에 대해서도 정의할 수 있다는 것이意外였다. \(Ha=\{ha\mid h\in H\}\)와 \(aH=\{ah\mid h\in H\}\)의 정의 자체는 자연스럽고, \(Ha=aH\)가 되는 것이 \(H\)가 normal이라는 것과 동치라는 관찰(정의 3 뒤)은 normal subgroup의 조건을 coset 관점에서 재해석한 것이다. \(a\cdot: H\rightarrow aH\)가 전단사라는 관찰로부터 모든 coset의 크기가 $$ | H | \(와 같다는 결론이 나오고, 이것이 Lagrange 정리(명제 5:\) | G | =[G:H] | H | \()의 증명으로 직행한다. 유한군에서\) | H | \(가\) | G | $$의 약수라는 결론은 선형대수학에서 벡터공간의 차원과 부분공간의 관계를 떠올리게 하는데, “부분구조의 크기가 전체 구조의 크기를 나눈다”는 패턴이 대수 전반에 걸쳐 반복될 것이라는 예감이 든다. |
솔직히 이 글의 논증 구조는 명확하지만, 증명이 다소 약식으로 진행되는 부분이 있다. 예를 들어 “\(\sim_r\)이 동치관계라는 것을 쉽게 보일 수 있다”고만 언급하는데, 반사성·대칭·추이성을 실제로 확인하면 \(H\)가 subgroup이라는 가정이 각각에서 어떻게 쓰이는지 명확해질 텐데 그 확인이 생략되어 있다. 또한 \(H\setminus G\rightarrow G/H\) (\(Ha\mapsto a^{-1}H\))가 전단사라는 것도 “쉽게 확인할 수 있다”고만 되어 있는데, \(Ha=a^{-1}H\)가 \(H\)의 normality와 무관하게 성립하는지(성립한다면 왜 \(Ha=aH\)는 normality를 요구하는지)를 한두 문장 설명했으면 더 좋았을 것 같다. 전체적으로 “normal subgroup \(\iff\) compatible equivalence relation”이라는 대응이 이 글의 가장 중요한 통찰이고, coset과 Lagrange 정리는 그 위에 얹어진 부수적인 결과라는 느낌이다.
⚠️ 정의 없이 사용: zero object, zero map (범주론 카테고리의 Abelian Categories에서 정의되지만, 이전 Marvin 노트 어디에서도 도입되지 않음)
군 동형사상
이 글은 group homomorphism의 kernel과 image로부터 유도되는 세 가지(혹은 네 가지) 동형사상 정리를 다룬다. 보조정리 1(\(\ker f\)가 normal subgroup)은 Quotient Groups에서 “어떤 동치관계가 compatible한가”라는 질문의 답이 직접 사용되는 것이다. 증명이 \(f(gxg^{-1})=f(g)f(x)f(g^{-1})=f(g)e'f(g)^{-1}=e'\)라는 세 줄로 끝나는데, Group Homomorphisms에서 “group homomorphism은 반드시 역원을 보존한다”는 결론과 normal subgroup의 정의(\(ghg^{-1}\in H\))가 동시에 작동한다. 이전까지는 “normal subgroup은 compatible한 동치관계를 제공한다”는 것을 이론적으로 알고 있었지만, homomorphism의 kernel이 자동으로 normal이라는 것이 확인되므로 이제 “실제로 쓸 수 있는” normal subgroup의 공급원이 생기는 것이다.
제1동형사상 정리(정리 2: \(G/\ker f\cong\im f\))가 이 글의 개념적 핵심이다. \(\ker f\)에 의해 정의되는 동치관계 \(x\sim y\iff xy^{-1}\in\ker f\)가 \(f(x)=f(y)\)와 동치임을 보이는 논증 — \(f(y)=e'f(y)=f(xy^{-1})f(y)=f(xy^{-1}y)=f(x)\) — 이 깔끔하다. 집합론의 동치관계의 예시들에서 “함수에 의해 정의되는 동치관계”(\(f(x)=f(y)\)이면 동치)를 정의 2로 봤는데, group의 맥락에서 그 동치관계가 \(\ker f\)로 포착된다는 것이 이 글의 통찰이다. \(h:[x]\mapsto f(x)\)가 well-defined되고 homomorphism이며 전단사라는 확인은, Examples of Equivalence의 canonical decomposition(\(f=h\circ p\))이 group에서도 그대로 작동한다는 것을 보여준다. Quotient Groups에서 “compatible한 동치관계 \(\iff\) normal subgroup”이라는 대응을 봤는데, 여기서 “homomorphism의 kernel이 정의하는 동치관계”가 그 대응의 구체적 실현이라는 것이 아름답다.
명제 3(\(f=\bar{f}\circ p\)를 만족하는 \(\bar{f}\)가 존재할 필요충분조건은 \(N\leq\ker f\))도 좋은 결과다. \(G/N\) 위에서 \(f\)를 “재정의”할 수 있는 조건이 \(N\)이 \(f\)의 kernel을 포함하는 것이라는 것이고, 집합론의 Examples of Equivalence 명제 7의 group 버전이다. \(N\)이 \(\ker f\)보다 작아야 equivalence class 안에서 \(f\)가 상수값을 가져야 \(\bar{f}\)가 well-defined 된다는 것이 직관적이다.
제2동형사상 정리(정리 5: \(K/(N\cap K)\cong NK/N\))의 증명 구조가 인상적이다. \(K\hookrightarrow NK\twoheadrightarrow NK/N\)이라는 합성의 kernel이 \(K\cap N\)이라는 계산(\(\ker(\pi\iota)=\iota^{-1}(N)=K\cap N\))이 효율적이고, 여기에 제1동형사상 정리를 적용하는 것이 “이전 결과의 직접적 활용”이라는 패턴을 잘 보여준다. 보조정리 4의 \(NK=N\vee K=KN\)이라는 결과도 흥미로운데, \(N\)이 normal이라는 조건이 \(n_1k_1\cdots n_rk_r\)을 \(nk\) 꼴로 “정리”할 수 있게 해준다는 것이 핵심이다. \(k_1n_2=n_2'k_1\)로 \(N\)의 원소를 오른쪽으로 밀어내는 과정이 normal subgroup의 정의를 직접 사용하는 좋은 예시다.
제3동형사상 정리(정리 6: \((G/K)/(H/K)\cong G/H\))는 Examples of Equivalence의 “몫의 몫” decomposition을 직접 참조한다. 집합론에서 “\(S\)로 더 잘게 나눈 뒤 \(R\)로 다시 묶으면 원래 몫과 같다”는 결과가 group에서도 그대로 성립하는 것이고, \(K\)와 \(H\)가 모두 normal이라는 조건이 Quotient Groups의 “compatible한 동치관계” 조건을 충족시킨다는 것이 명확하다. 다만 증명이 “집합론의 decomposition”이라고만 언급하고 끝나서, group 맥락에서의 구체적 확인이 생략된 것이 약간 아쉽다.
제4동형사상 정리(정리 7: \(N\)을 포함하는 subgroup과 \(G/N\)의 subgroup 사이의 inclusion-preserving bijection)는 증명이 생략되어 있다. “보여야 할 것이 너무 많다”는 저자의 설명이 솔직하긴 한데, “bijection이 교집합이나 index, normal subgroup 관계를 모두 보존한다”는 결론의 의미를 체감하려면 증명이 필요할 것 같다. 특히 “index”라는 개념이 이전 글들에서 정의된 적이 없어서, “index를 보존한다”는 것이 정확히 무엇을 의미하는지 파악하기 어려웠다.
Coequalizer 섹션이 이 글에서 가장 개념적으로 흥미로운 부분이다. \(\Set\)에서는 \(f(x)\sim g(x)\)로 생성되는 동치관계의 quotient가 coequalizer가 되지만, \(\Grp\)에서는 이 관계가 group operation과 compatible하지 않을 수 있다는 것이 핵심이다. \(S=\{f(x)g(x)^{-1}:x\in G\}\)가 normal subgroup이 아니므로 \(H/S\)가 정의되지 않는 상황을, normal closure \(\overline{S}\)로 해결하는 것이 Group Homomorphisms에서 “coequalizer를 정의하려면 normal subgroup과 quotient group이 필요하다”고 했던 약속의 최종兑现이다. \(\overline{S}\leq\ker q'\)를 보이는 논증 — \(q'(f(x)g(x)^{-1})=e\)이므로 \(f(x)g(x)^{-1}\in\ker q'\)이고, \(\ker q'\)가 normal subgroup이므로 \(\overline{S}\leq\ker q'\) — 이 명제 3을 직접 사용하는 것이 효율적이다. \(\Set\)과 \(\Grp\)의 차이 — 동치관계의 호환성 문제 — 가 normal closure라는 도구로 해결된다는 것이 대수적 구조의 “몫” 이론이 얼마나 정교한지를 보여준다.
전체적으로 이 글은 Group Homomorphisms에서 정의한 kernel과 image, 그리고 Quotient Groups에서 정의한 normal subgroup과 quotient group이 실제로 어떻게 조합되어 동형사상을 만들어내는지를 보여주는 글이다. 제1동형사상 정리가 “homomorphism \(\iff\) compatible equivalence relation \(\iff\) normal subgroup”이라는 대응의 정점이고, 제2·3 정리가 그 위에 얹어진 응용이라는 구조가 명확하다. 다만 제4 정리의 증명 생략과 coequalizer 섹션의 normal closure가 정의 없이 사용된 것이 약간 아쉽다.
⚠️ 정의 없이 사용: normal closure (coequalizer 섹션에서 “\(S\)를 포함하는 normal subgroup 중 가장 작은 것”으로 설명되지만, 이전 글 어디에서도 정의되지 않음), index (제4동형사상 정리에서 “bijection이 index를 보존한다”고 언급되지만, subgroup의 index가 정의된 적 없음)
군의 직접곱
이 글은 \(\Grp\)에서의 product를 본격적으로 다룬다. 범주론 카테고리의 Limits에서 discrete category의 limit을 product라고 정의했고, 집합론의 Product of Sets에서 곱집합의 universal property를 봤는데, 이 글은 그 둘을 \(\Grp\) 안에서 연결한다. 보조정리 1(\(\Grp\)은 cartesian monoidal category이다)은 “곱집합 위에 성분별 곱셈을 정의하면 group이 되고, universal property도 만족한다”는 것인데, 증명 자체는 \(\pr_j(xy)=x_jy_j=\pr_j(x)\pr_j(y)\)라는 확인과 \(f(xy)=(f_i(xy))=(f_i(x)f_i(y))=f(x)f(y)\)라는 확인으로 끝나서 기술적으로 어렵지 않다. 다만 “왜 cartesian monoidal category라는 이름을 쓰는가”에 대해서는 범주론의 Monoidal Categories에서 정의한 개념인데, 이전 대수적 구조 첫 글에서 같은 표현이 나왔을 때 이미 주의가 필요하다고 느꼈고, 이번에도 같은 간극이 있다. 실질적으로 “\(Grp\)에서 product가 존재한다”는 것만 알면 글의 나머지를 이해하는 데는 문제가 없지만, 용어의 선택이 약간 과도하다는 느낌이 든다.
따름정리 3(곱 위의 homomorphism)이 이 글에서 가장 실용적인 결과다. 각 성분별 homomorphism \(f_i:G_i\rightarrow H_i\)가 주어지면 \(f=\prod f_i\)가 유일하게 존재하고, \(\ker f=\prod\ker f_i\)이며 \(\im f=\prod\im f_i\)라는 것이 핵심인데, 증명이 \(x\in\ker f\iff\forall i(\pr_i(x)\in\ker f_i)\)라는 한 줄로 끝나는 것이 효율적이다. 범주론의 Limits에서 “terminal object는 유일한 isomorphism에 대해 유일하다”고 했던 것이 따름정리 2의 증명으로 직접 사용되고, cone의 universal property가 따름정리 3의 증명에서 \(\Grp\)의 맥락으로 구체화되는 것이 좋다. 다만 “cone”이라는 용어가 범주론 Limits에서 정의된 것인데, 이 글에서는 별도의 설명 없이 사용하고 있어서 범주론 노트를 읽지 않았다면 따라가기 어려웠을 것 같다.
따름정리 4(정규부분군의 곱)가 개념적으로 가장 흥미롭다. 각 \(H_i\)가 \(G_i\)의 normal subgroup이면 \(\prod H_i\)도 \(\prod G_i\)의 normal subgroup이고, \(\bigl(\prod G_i\bigr)/\bigl(\prod H_i\bigr)\cong\prod(G_i/H_i)\)라는 것이 핵심인데, 증명이 canonical homomorphism \(p_i:G_i\rightarrow G_i/H_i\)에 따름정리 3을 적용하고 제1동형사상 정리를 사용하는 것으로 끝난다는 것이 깔끔하다. “몫의 곱 = 곱의 몫”이라는 결론이 대수적 구조의 product와 quotient가 서로 호환됨을 보여주는데, 이전 Quotient Groups와 Isomorphism Theorems에서 다룬 몫군 이론이 product 위에서 자연스럽게 작동한다는 것이 인상적이다. \(\Set\)에서 곱과 몫이 그렇게 깔끔하게 호환되지 않는다는 것을 생각하면, group의 구조가 풍부해서 가능한 결과라는 느낌이 든다.
부분곱 섹션(\(J\subset I\)일 때 \(\bigl(\prod G_i\bigr)/\bigl(\prod_{j\in J}G_j\bigr)\cong\prod_{i\in I\setminus J}G_i\))은 따름정리 4의 직접적인 응용이다. \(G_i'\)를 \(i\notin J\)일 때 \(\{e\}\)로 놓는 trick이 자연스럽고, \(\prod G_i'\cong\prod_{j\in J}G_j\)라는 관찰로부터 결론이 나온다. 다만 이 섹션이 상당히 간결하게 끝나는데, “부분곱”이라는 개념이 이후에 어떻게 활용되는지(예: direct product decomposition, semidirect product 등)에 대한 힌트가 없어서 “왜 이 결과를 따로 section으로 빼었는지”의 동기가 불분명하다.
솔직히 이 글은 범주론적 product의 \(\Grp\)에서의 구현이라는 주제가 명확하고, 각 따름정리의 증명이 product의 universal property를 반복적으로 사용하는 구조라서 따라가기 수월했다. 다만 전체 글이 상당히 짧고, product의 성질들을 나열하는 데 그친 느낌이 있다. 예를 들어 직접곱과 직합(direct sum)의 관계, 또는 product가 coproduct와 같은 지 여부(\(\Grp\)에서 product는 coproduct가 아니다 — free product가 coproduct)에 대한 언급이 있었다면 “product가 \(\Grp\)에서 차지하는 위치”가 더 명확해졌을 것 같다. 범주론의 Limits에서 product와 coproduct를 대비적으로 다뤘는데, 이 글에서는 product만 다루고 coproduct는 Free Products에서 다룬다고 예고하지도 않아서, 독자로서 “다음 글이 뭘까”를 예측하기 어렵다.
제한합
이 글은 \(\Grp\)에서 coproduct가 존재하는지를 다룬다. 군의 직접곱에서 “product는 \(\Grp\)에서 존재하지만 coproduct는 아니다”고 했는데, 이 글이 바로 그 coproduct 문제를 푸는 글이다. 출발점은 범주론적이다: \(\Grp\)은 complete category라는 것(임의의 product와 equalizer가 존재)은 이미 알고 있고, coequalizer도 존재하므로([§군 동형사상, ⁋명제 8]) coproduct만 존재하면 \(\Grp\)이 bicomplete category가 된다는 것이 동기다. 그런데 \(\Set\)에서의 coproduct인 disjoint union \(\coprod G_i\) 위에 group 구조를 주는 방법이 자명하지 않다는 것이 핵심 장애물인데, “coproduct는 \(\Set\)에서의 construction을 그대로 가져올 수 없다”는 것이 \(\Grp\)의 비가환성에서 오는 본질적인 어려움이라는 느낌이 든다.
약직접곱(weak direct product) \(\prod^w G_i\)의 정의가 이 글의 핵심 construction이다. 모든 \(i\)에 대해 \(H_i=\{e\}\)로 놓은 restricted sum인데, 직관적으로 “유한개 성분만 항등원이 아닌 family들의 집합”이다. \(I\)가 유한이면 이것은 보통의 direct product와 같지만, \(I\)가 무한이면 진정으로 다른 구조가 된다. 예시로 \(G_i=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)를 무한개 곱하면 direct product에는 \((\bar{1},\bar{1},\cdots)\)가 포함되지만 weak direct product에는 포함되지 않는다는 관찰이 좋은데, “유한성 조건이 coproduct를 가능하게 한다”는 것이 이 글의 핵심 메시지다.
정리 2의 universal property에서 commutativity 조건(\(f_i(x)f_j(y)=f_j(y)f_i(x)\) for \(i\neq j\))이 등장하는 것이 가장 인상적인 부분이다. \(\iota_i\)들이 만족하는 조건이 정확히 이 commutativity이므로, \(f\)가 well-defined 되려면 \(f_i\)들도 같은 조건을 만족해야 한다는 것이 자연스럽다. 증명에서 \(f(xy)\)를 전개할 때 \(f_i(\pr_ix)\)와 \(f_j(\pr_jy)\) (\(i\neq j\))가 commute하므로 순서를 바꿀 수 있다는 것이 핵심인데, “왜 commutativity가 필요한가”에 대한 깔끔한 답변이다. 이 조건이 없으면 \(f\)가 homomorphism이 되지 못한다는 것이고, 이것이 Direct Products에서 “product는 coproduct가 아니다”고 했던 것의 정확한 이유다.
명제 5의 internal weak direct product 판정법(normal subgroup들 \(H_i\)가 \(G=\langle\bigcup H_i\rangle\)이고 \(H_k\cap\langle\bigcup_{i\neq k}H_i\rangle=\{e\}\)이면 \(G\)는 \(H_i\)들의 internal weak direct product)의 증명에서 commutator \(x_ix_jx_i^{-1}x_j^{-1}\in H_i\cap H_j=\{e\}\)를 이용해 commute를 보이는 부분이 효율적이다. “서로 다른 subgroup의 원소들이 commute한다”는 것이 normal subgroup과 교집합 조건에서 자동으로 나온다는 것이고, \(\iota\)의 단사성을 보일 때 \(\supp(a_i)\)가 비어있어야 한다는 논증(\(a_i^{-1}=\prod_{j\neq i}a_j\in H_i\cap\langle\bigcup_{j\neq i}H_j\rangle=\{e\}\))이 깔끔하다.
솔직히 이 글의 논증 자체는 따라가기 쉬웠지만, “왜 하필 weak direct product인가”에 대한 직관을 잡는 데 시간이 걸렸다. \(\Set\)의 coproduct가 disjoint union인데, \(\Grp\)에서는 disjoint union 대신 “유한 지지 원소들의 product”가 coproduct가 된다는 것이 처음에는 역설적으로 느껴졌다. 하지만 universal property의 commutativity 조건을 보면 \(f_i\)들의 image가 서로 commute해야 하므로, 대상 group \(H\) 안에서 \(G_i\)들이 “서로 방해하지 않고” 작동해야 한다는 것이고, 이것이 finiteness 조건으로 구현된다는 것이 이해되고 나면 자연스럽다. 다만 이 글이 abelian group의 경우만 다루고 있어서, 비가환 group들의 coproduct(free product)는 다음 글에서 다룬다고 예고만 하고 끝나는 것이 아쉽다. “commutativity 조건이 자동으로 satisfied되는 경우”가 abelian group이라는 결론이 깔끔하지만, \(\Grp\) 전체에서의 coproduct가 어떤 모양인지에 대한 그림을 그리려면 free product까지 봐야 한다는 것이 이 글만으로는 불완전하다.
자유곱
이 글은 제한합에서 예고한 대로, 비가환 group들의 coproduct인 free product를 다룬다. 출발점이 되는 예시 1이 동기를 명확하게 제공한다: nonabelian group \(G\)에서 \(ab\neq ba\)인 \(a,b\)를 골라, \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)에서 \(G\)로의 homomorphism \(f\)가 \(f(\iota_1(1))f(\iota_2(1))=f(\iota_2(1))f(\iota_1(1))\)을 강제하므로 diagram을 commute하게 만드는 \(f\)가 존재하지 않는다는 것이다. 제한합에서 commutativity 조건 \(f_i(x)f_j(y)=f_j(y)f_i(x)\)가 필요하다고 했는데, 그 조건이 nonabelian group에서는 본질적으로 깨진다는 것이 이 예시의 핵심이다. \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\)는 weak direct product이면서 동시에 보통의 direct product인데, 이것이 \(\Grp\)의 coproduct가 아니라는 것이 직접적으로 보여주는 점이 인상적이다.
Free group의 구성은 범주론적 동기에서 시작한다. Forgetful functor \(U:\Grp\rightarrow\Set\)의 left adjoint \(F:\Set\rightarrow\Grp\)를 정의하는 것이 목표인데, \(\Hom_\Set(X,U(G))\cong\Hom_\Grp(F(X),G)\)라는 natural isomorphism을 만족하는 \(F\)를 실제로 construction해야 한다. 범주론 카테고리에서 adjunction과 left adjoint를 이미 봤으므로 이 설정 자체는 자연스럽고, “실제로 존재하는지를 보이는 것”이 이 섹션의 핵심이다. Construction 자체는 \(X\cup X^{-1}\cup\{e\}\)로 만들어지는 reduced word들의 모임인데, “인접한 원소가 서로 소거되는 경우를 줄여 쓴 것”이라는 정의가 직관적이다. 연산은 이어쓰기, 항등원은 empty word, 역원은 각 항의 역원을 뒤집은 것인데, 이 세 가지가 group 공리를 만족한다는 확인은 계산으로 끝난다. \(\hat{f}\)를 \(X\)의 원소들을 \(f(x)\)로 바꿔주는 함수로 정의하면 group homomorphism이 되고 universal property를 만족한다는 논증이 깔끔하다. \(F(X)=\coprod_{x\in X}\mathbb{Z}\) (free product of copies of \(\mathbb{Z}\))라는 관찰은, \(\mathbb{Z}=F(\ast)\)라는 사실과 범주론의 adjunction의 composition을 이용한 것인데, \(F\)가 coproduct를 preserve한다는 것이 핵심이다.
Free product의 구성은 free group의 아이디어를 직접 확장한다. \(X=\coprod G_i\) (서로 disjoint한 group들의 분리합집합) 위에서 reduced word를 정의하는데, free group과 달리 같은 group의 원소끼리는 합쳐야 한다는 점이 다르다. Reduced word의 세 조건 — \(e\)가 없을 것, 각 group의 항등원이 없을 것, 인접한 원소가 다른 group에 속할 것 — 이 명확하고, “같은 group의 원소끼리 합치고 항등원을 지우는” 과정으로 임의의 word를 reduced form으로 만들 수 있다는 것이 좋다. \(\mathbb{Z}\ast\mathbb{Z}\)의 원소들(\(ab, a^2b, a^{-1}ba^3, bab^2, \ldots\))이 nonabelian이라는 관찰이 예시 1의 문제를 정확히 해결한다 — \(ab\)와 \(ba\)가 서로 다른 reduced word이므로 commutativity가 강제되지 않는다.
명제 5(free product가 \(\Grp\)에서의 coproduct)의 증명이 이 글의 개념적 핵심인데, 솔직히 증명이 다소 압축되어 있다. \(f_i:G_i\rightarrow H\)가 주어지면, \(X=\coprod U(G_i)\)의 universal property로부터 \(f:X\rightarrow U(H)\)를 얻고, free group의 universal property로부터 \(\hat{f}:F(X)\rightarrow H\)를 얻는다는 논증인데, “reduction 과정을 통해 factor한다”는 부분이 한 줄로 넘어가서 직접 확인해야 했다. \(f_i\)들이 group homomorphism이라는 가정이 reduction 과정에서 어떻게 쓰이는지 — 같은 group의 원소들을 합칠 때 \(f_i(g_1g_2)=f_i(g_1)f_i(g_2)\)가 보장되어야 한다 — 가 핵심인데, 이 확인이 명시적으로 있었으면 더 명확했을 것 같다.
\(F(X)\cong\coprod_{x\in X}\mathbb{Z}\)라는 관찰이 아름답다. \(\Hom_\Grp(\mathbb{Z},G)\cong U(G)\)라는 representability(범주론 Representable Functors의 \(\Hom\) 함자와 연결)로부터 \(\mathbb{Z}=F(\ast)\)가 나오고, adjunction의 composition으로 \(F(\coprod \{x\})\cong\coprod F(\{x\})=\coprod\mathbb{Z}\)가 된다는 논리가 범주론의 도구들을 자유롭게 사용하는 좋은 예시다. 다만 이 마지막 부분이 상당히 빠르게 진행되어서, “adjunction이 coproduct를 preserve한다”는 것이 정확히 어떤 정리에서 나오는지 — 범주론의 수반함자에서 left adjoint가 colimit를 preserve한다는 일반적 결과 — 를 확인하느라 시간이 걸렸다.
전체적으로 이 글은 제한합에서 남긴 질문(“비가환 group의 coproduct는 무엇인가?”)에 대한 답을 제시한다. Free group이라는 도구를 먼저 만든 뒤, 그것을 group들의 family로 확장하는 구조가 자연스럽고, reduced word라는 구체적 construction이 universal property라는 추상적 조건과 정확히 맞아떨어지는 것이 좋다. 다만 증명이 압축된 부분이 있고, free product의 구체적 성질(예: free product의 subgroup 구조, Kurosh subgroup theorem 등)은 다루지 않아서 “정의와 universal property만 있는” 글이라는 느낌이 있다. 대수적 구조 카테고리에서 group 편의 마지막 글로서, coproduct 문제를 완결짓는 역할은 충실히 수행하고 있다.
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