앞으로 모든 ring은 commutative ring with unity를 의미한다.
Ring $A$의 prime ideal들의 집합을 $\Spec A$로 적고, 임의의 ideal $\mathfrak{a}\leq A$에 대하여, $V(\mathfrak{a})$를 $\mathfrak{a}$를 포함하는 prime ideal들의 모임이라 하자.
보조정리 1 다음이 성립한다.
- $A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여, $V(\mathfrak{ab})=V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b})$가 성립한다.
- $A$의 ideal들의 모임 $\{\mathfrak{a}_i\}$에 대하여, $V(\sum \mathfrak{a}_i)=\bigcap V(\mathfrak{a}_i)$가 성립한다.
- $A$의 임의의 ideal $\mathfrak{a},\mathfrak{b}$에 대하여, $V(\mathfrak{a})\subseteq V(\mathfrak{b})\iff \sqrt{\mathfrak{a}}\supseteq \sqrt{\mathfrak{b}}$이 성립한다.
증명
- $\mathfrak{a}$ 혹은 $\mathfrak{b}$를 포함하는 prime ideal $\mathfrak{p}$는 그보다 작은 ideal $\mathfrak{ab}$ 또한 포함하는 것이 자명하므로, 반대방향 포함관계만 보이면 충분하다. $\mathfrak{p}\supset \mathfrak{ab}$라 가정하자. 만일 $\mathfrak{p}\not\supseteq \mathfrak{b}$라 하면, $b\not\in \mathfrak{p}$인 $\mathfrak{b}$의 원소 $b$를 찾을 수 있다. 한편, 임의의 $a\in \mathfrak{a}$에 대하여, $ab\in \mathfrak{ab}\subseteq \mathfrak{p}$이고, 앞선 가정에 의해 $b\not\in \mathfrak{p}$이므로 반드시 $a\in \mathfrak{p}$이고 따라서 $a\subseteq \mathfrak{p}$가 성립한다.
- 이는 $\sum \mathfrak{a}_i$가 ideal들 $\mathfrak{a}_i$ 각각을 모두 포함하는 ideal 중 가장 작은 것으로 정의되므로 자명하다.
- Ideal $\mathfrak{a}$의 radical $\sqrt{\mathfrak{a}}$는 $\mathfrak{a}$를 포함하는 prime ideal들을 모두 교집합하여 얻어지므로 자명하다.
이 보조정리에 의해, $\Spec A$ 위에 위상구조를 줄 수 있다. 이는 간단히 $\Spec A$의 닫힌집합들을 $V(\mathfrak{a})$들이라고 선언하면 되고, 실제로 $V(\mathfrak{a})$들이 닫힌집합이 만족해야 할 성질들을 만족한다는 것이 위의 보조정리이다. 이렇게 정의된 위상을 Zariski topology자리스키 위상이라 부른다.
예시 2 Field $k$ 위에서 정의된 polynomial ring $A=k[x]$를 생각하자. 편의상 $k$가 algebraically closed라 가정하자. 그럼 $A$는 PID이므로 $A$의 ideal들은 모두 적당한 $\alpha\in k$에 대해 $(x-\alpha)$의 꼴이고, 이들 ideal들이 모두 prime ideal이 된다는 것이 자명하다. 따라서
\[\Spec A=\{(0)\}\cup\{(x-\alpha):\alpha\in k\}\]이고, $\Spec A$의 각각의 원소들 $(x-\alpha)$은 모두 closed point들이다. 즉 집합 $\{(x-\alpha)\}$가 닫힌집합이며, 이는 prime ideal들 $(x-\alpha)$가 실은 maximal ideal이기도 하기 때문이다. 이들 $(x-\alpha)$들을 $k$의 원소 $\alpha$와 identify하면, $\Spec A$는 직선 $k$와, 추가적인 한 점 $(0)$으로 이루어진 공간이라 할 수 있다. 이를 affine line over $k$라 부르고 $\mathbb{A}^1_k$로 적는다.
더 일반적으로, polynomial ring $A=k[x_1,\ldots, x_n]$을 생각하자. 만일 $k$가 algebraically closed라면, $A$의 maximal ideal들은 모두
\[(x_1-\alpha_1,\ldots, x_n-\alpha_n),\qquad\alpha_i\in k\]의 꼴임이 알려져 있다. 따라서 affine line의 경우와 마찬가지로 $\Spec A$의 closed point들의 모임과, $k^n$의 점들 사이에 일대일대응이 존재하며, 따라서 $\Spec A$를 affine $n$-space over $k$라 부르고 이를 $\mathbb{A}^n_k$로 적는다. 물론 $\Spec A$에는 다른 prime ideal들도 많이 존재한다. 가령 $n=2$인 경우를 생각하면, $A=k[x,y]$의 ideal $(y-x^2)$ 또한 prime ideal이 된다. 우리는 이 점 $(y-x^2)$이, $\mathbb{A}_k^2$ 위에 식 $y=x^2$으로 정의된 부분집합을 나타내는 것으로 생각할 것이고, 이러한 점을 generic point라 부른다.
이제 $\Spec A$ 위에 sheaf of rings $\mathcal{O}$를 정의해야 한다. §대수다양체에서 살펴본 것과 같이, 우리의 마음 속에 있는 것은 $\Spec A$ 위에 정의된 regular function들의 sheaf이다. 이를 일반적인 $\Spec A$에 어떻게 정의할지 생각하기 위해, 위의 예시를 빌려 $A=\mathbb{C}[x]$인 경우를 생각하자. 그럼 $\Spec A$는 한 점 $(0)$를 제외하면 복소평면 $\mathbb{C}$와 같고, $A$는 복소평면 위에 정의된 polynomial ring $\mathbb{C}[x]$이며 $\mathfrak{p}=(x-p)\in \Spec \mathbb{C}[x]$와 점 $p\in \mathbb{A}_\mathbb{C}^1$ 사이에 일대일 대응이 존재한다. 그럼 점 $\mathfrak{p}\in\Spec \mathbb{C}[x]$의 근방 $U$에서 regular function $f/g$가 잘 정의되기 위해서는 $(x-p)\nmid g$, 즉 $g(x)\not\in \mathfrak{p}$여야 한다. 거꾸로 이 조건이 성립한다면 $g$가 $0$이 되지 않도록 하는 충분히 작은 근방 $V\subseteq U$를 잡아 $f/g$가 이 위에서 정의된 regular function인 것으로 생각할 수 있다.
이제 이 논의를 일반적인 세팅으로 가져오려면 점 $\mathfrak{p}$에서의 stalk을 생각하고 sheafification과 비슷한 과정을 거치면 된다. 이를 위해서는 가환대수에서의 결과를 기억하면 편한데, 우리는 ring $A$와 그 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여, multiplicative subset $A\setminus \mathfrak{p}$로 만들어낸 ring of fraction을 $A$의 $\mathfrak{p}$에서의 localization이라 부르고 $A_\mathfrak{p}$로 표기했었다. 잘 알려진 결과는, $\mathfrak{p}$에 속하는 prime ideal들과 $A_\mathfrak{p}$의 prime ideal들 사이에 일대일 대응이 존재한다는 것이다.
이제 임의의 열린집합 $U\subseteq \Spec A$에 대하여, $\mathcal{O}(U)$의 원소들은 각 점 $\mathfrak{p}$에서의 값이 $A_\mathfrak{p}$에 속하는 함수들 $s:U \rightarrow \coprod_{\mathfrak{p}\in U}A_\mathfrak{p}$ 가운데, $s$가 local하게도 $A$의 원소의 quotient로 쓰여지는 함수들의 모임이다. 즉, 임의의 $\mathfrak{p}\in U$가 주어졌을 때마다, $\mathfrak{p}$의 적당한 근방 $V\subseteq U$가 존재하여, 모든 $\mathfrak{q}\in V$마다 $s(\mathfrak{q})=a/f$이도록 하는 $a,f\in A$가 존재해야 한다.
정의 3 Ring $A$에 대하여, $A$의 spectrum스펙트럼은 $(\Spec A,\mathcal{O})$를 의미한다.
$(\Spec A,\mathcal{O})$의 성질을 살펴보기 위해 표기를 고정한다. 임의의 $f\in A$에 대하여, $D(f)$를 $V((f))$의 complement로 정의한다. 그럼 $D(0)=\emptyset$이고 $D(1)=\Spec A$이며, 뿐만 아니라 이러한 열린집합 $D(f)$들의 모임은 $\Spec A$의 basis가 된다.
보조정리 4 위에서 정의한 $D(f)$들의 모임은 위상공간 $\Spec A$의 basis가 된다.
증명
$\Spec A$의 임의의 열린집합 $U$가 주어졌다 하자. 즉 적당한 $\mathfrak{a}$에 대하여 $U=V(\mathfrak{a})^c$이다. 이제 임의의 $\mathfrak{p}\in U$에 대하여, $\mathfrak{p}\not\supseteq \mathfrak{a}$이므로 적당한 $f\in \mathfrak{a}\setminus \mathfrak{p}$가 존재한다. 이제 $D(f)$가 $\mathfrak{p}$를 포함하며 $U$에 속한다.
명제 5 $(\Spec A,\mathcal{O})$에 대하여 다음이 성립한다.
- 임의의 $\mathfrak{p}\in\Spec A$에 대하여, $\mathcal{O}_p$는 $A_\mathfrak{p}$와 isomorphic하다.
- 임의의 $f\in A$에 대하여, $\mathcal{O}(D(f))$와 $A_f$가 isomorphic하다.
- 따라서, $f=1$로 두면 $\Gamma(\Spec A,\mathcal{O})\cong A$가 성립한다.
증명
-
우선 이를 증명하기 위해서는 homomorphism $\varphi:\mathcal{O}_p \rightarrow A_\mathfrak{p}$을 만들고 나서 이것이 isomorphism임을 보여야 한다. Stalk의 정의에 의해, 이 morphism을 정의하기 위해서는 각각의 $U\ni \mathfrak{p}$에 대하여, compatibility 조건을 만족하는 homomorphism $\mathcal{O}(U) \rightarrow A_\mathfrak{p}$들을 만들면 된다. 이 때 $\mathcal{O}(U)$의 원소는 함수 $s:U \rightarrow \coprod_{\mathfrak{p}\in U}A_\mathfrak{p}$와 같으므로, 이들 homomorphism들은 함수 $s$를 받아 $\mathfrak{p}$에서의 함수값 $s(\mathfrak{p})$를 내놓는 evaluation homomorphism으로 정하는 것이 자연스럽다.
\[\frac{a}{f},\qquad a\in A,\quad f\in A\setminus\mathfrak{p}\]
이제 이렇게 정의한 homomorphism $\varphi$가 isomorphism인 것을 증명해야 한다. 우선 $\varphi$는 전사함수인데, 이는 임의의 $A_\mathfrak{p}$의 원소는 항상 다음의 꼴의 꼴로 나타날 수 있고, $a/f$를 $\mathcal{O}(D(f))$의 원소로 보면 $[(a/f, D(f))]\in\mathcal{O}_\mathfrak{p}$가 $\varphi$에 의해 $a/f$로 옮겨지기 때문이다.
뿐만 아니라 $\varphi$는 injective이다. $\mathfrak{p}$의 근방 $U$를 택한 후, 이 위에서의 두 section $s,t\in \mathcal{O}(U)$를 고르자. 일반성을 잃지 않고 $s,t$가 모두 $U$ 위에서 $s=a/f$, $t=b/g$의 꼴로 나타난다고 가정할 수 있다. 그럼 적당한 $h\in A\setminus \mathfrak{p}$가 존재하여 $h(ga-fb)=0$이므로, $h$가 $0$이 되지 않는 충분히 작은 $\mathfrak{p}$의 근방 (즉 열린집합 $D(h)\cap U$)에서 $s=t$가 성립하고, 따라서 $s$와 $t$는 같은 stalk을 갖게 된다. -
Ring homomorphism $\psi:A_f \rightarrow \mathcal{O}(D(f))$를 정의하고, 이것이 isomorphism이라는 것을 증명해야 한다. $D(f)$의 각 점 $\mathfrak{p}$에 대해 $f\not\in\mathfrak{p}$이므로, 임의의 $a/f^n\in A_f$를 $A_\mathfrak{p}$의 원소로 볼 수 있다. 정의에 의해 이 함수는 $\mathcal{O}(D(f))$의 원소이므로 이 대응은 $A_f$에서 $\mathcal{O}(D(f))$로의 함수를 정의하며, 어렵지 않게 이것이 ring homomorphism임을 보일 수 있다. 이제 이것이 isomorphism임을 증명하자.
\[\mathfrak{a}=\{x\in A: x(af^m-bf^n)=0\}\]
우선 $\psi$는 injective이다. 이를 보이기 위해서는 $\psi(a/f^n)=\psi(b^m)$이라 가정한 후, 충분히 큰 $N$에 대하여 $f^N(af^m-bf^n)=0$임을 보여야 한다. 가정에 의해 $\psi(a/f^n)=\psi(b^m)$이므로 임의의 $\mathfrak{p}\in D(f)$에 대하여, $A_\mathfrak{p}$에서 $a/f^n$과 $b/f^m$은 같은 원소가 되고, 따라서 적당한 $h\in A\setminus\mathfrak{p}$가 존재하여 $h(af^m-bf^n)=0$이 성립한다. 그럼 $af^m-bf^n$의 annihilator ideal를 생각하면, 이러한 $h$의 존재로부터 $\mathfrak{a}\not\subseteq\mathfrak{p}$, 즉 $\mathfrak{p}\not\in V(\mathfrak{a})$임을 안다. 한편 이것이 모든 점 $\mathfrak{p}\in D(f)$에 대해 성립하므로 $V(\mathfrak{a})\cap D(f)=\emptyset$이고, 따라서 $V(\mathfrak{a})\subseteq V(f)$로부터 $\sqrt{\mathfrak{a}}\supseteq \sqrt{(f)}$이 성립한다. 그럼
\[f\in \sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{\mathfrak{a}}\]에서, 충분히 큰 $N$에 대해 $f^N\in\mathfrak{a}$임을 알고, 따라서 $f^N(af^m-bf^n)=0$으로부터 원하는 결론을 얻는다.
\[D(f)=\bigcup V_i,\qquad \text{$s=a_i/g_i$ on $V_i$, with $g_i\not\in\mathfrak{p}$ for all $\mathfrak{p}\in V_i$}\]
이제 $\psi$가 surjective임을 보여야 한다. 임의의 section $s\in \mathcal{O}(D(f))$를 택하자. 그럼 $\mathcal{O}$의 정의로부터이도록 할 수 있다. 한편, 보조정리 4로부터, $V_i=\bigcup D(h_{ij})$이도록 하는 적당한 $h_{ij}$들을 찾을 수 있으므로, 일반성을 잃지 않고 처음부터 $V_i=D(h_i)$라 할 수 있다. 그럼 임의의 $\mathfrak{p}\in V_i$에 대해 $g_i\not\in\mathfrak{p}$이므로, $V_i=D(h_i)\subseteq D(g_i)$이고 이로부터 $\sqrt{(h_i)}\subseteq\sqrt{(g_i)}$임을 알 수 있다. 따라서 충분히 큰 $N$에 대하여, $h_i^N\in (g_i)$이고 이로부터 $h_i^N=cg_i$로 적을 수 있다. 즉 $a_i/g_i=ca_i/h_i^N$이다. 한편 prime ideal의 성질로부터 $D(h_i)=D(h_i^N)$이고, 이를 통해 $D(f)$를
\[D(f)=\bigcup D(h_i),\qquad \text{$s=a_i/h_i$ on $D(h_i)$}\]으로 적을 수 있다.
\[D(f)\subseteq \bigcup D(h_i)\iff V(f)\supseteq \bigcap V(h_i)=V(\sum (h_i))\iff \sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{\sum (h_i)}\]
이제 대략 partition of unity와 비슷한 방식으로 $\psi(a/f^n)=s$를 만족하는 $a/f^n\in A_f$를 찾을 수 있다. 이를 위해 우선 우리는 $D(f)$를 위와 같이 $D(h_i)$들의 합집합으로 표현할 때, 오직유한 개의 $D(h_i)$들만 있으면 충분하다는 것을 보인다. 이는로부터, $f^n$을 유한합 $\sum b_ih_i$로 적을 수 있고, 따라서 이 유한합에 등장하는 $h_i$들에 대해서만 합집합을 돌려도 $D(f)\subseteq D(h_i)$가 성립하기 때문에 가능하다. 따라서
\[D(f)=D(h_1)\cup\cdots\cup D(h_r), \qquad \text{$s=a_i/h_i$ on $D(h_i)$}\]라 하자.
\[(h_ih_j)^n(h_ja_i-h_ia_j)=0\]
교집합 $D(h_i)\cap D(h_j)=D(h_ih_j)$에서, $s$는 $a_i/h_i$를 $A_{h_ih_j}$의 원소로 본 것, 그리고 $a_j/h_j$를 $A_{h_ih_j}$의 원소로 본 것 두 가지의 표현을 갖는다. 앞서 우리는 $\psi$가 injective임을 보였으므로, $f=h_ih_j$에 대해 injectivity를 적용하면 이 두 표현은 같아야 한다. 즉 충분히 큰 $n$에 대하여이 성립하며, 이러한 쌍 $(i,j)$는 유한개 뿐이므로 충분히 큰 $N$에 대해
\[(h_ih_j)^N(h_ja_i-h_ia_j)=0\iff h_i^Nh_j^{N+1}a_i=h_i^{N+1}h_ja_j\]이
\[h_j^{N+1}a=\sum_i a_ic_ih_i^Nh_j^{N+1}=\sum_i a_jc_ih_i^{N+1}h_j^N=a_jh_j^N\sum c_ih_i^{N+1}=a_jh_j^Nf^n\]모든 쌍 $(i,j)$에 대해 성립하도록 할 수 있다. 이제 $D(h_i)=D(h_i^N)$이므로, $f^n=\sum c_i h_i^{N+1}$이도록 하는 자연수 $n$이 존재한다. $a=\sum a_ic_ih_i^N$이라 하면, 각각의 $j$에 대해즉, $a/f^n=a_jh_j^N/h_j^{N+1}=a_j/h_j$이 성립한다. 이로부터 $\psi(a/f^n)=s$가 성립한다.
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