Projective space \(\mathbb{P}^n\)은 homogeneous coordinate를 통해
\[\mathbb{P}^n = (\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\}) / \mathbb{C}^\ast\]로 나타낼 수 있다. 이 construction은 사영공간 위의 대수적 구조를 다루는 데 매우 유용하며, 예를 들어 closed subvariety는 homogeneous ideal에 의해 정의되고 coherent sheaf는 graded module에 대응한다. Cox는 이러한 construction을 임의의 toric variety로 일반화하였다. 본 글에서는 fan \(\Sigma\)로부터 toric variety \(X_\Sigma\)를 homogeneous coordinate ring과 GIT quotient로 재구성하는 Cox의 방법을 설명한다. 이 construction은 toric variety 위의 선다발이나 coherent sheaf를 다루는 데 필수적인 도구이며, 뒤에서 소개할 secondary fan을 통한 birational geometry의 이해에도 기여한다.
우리는 이 글에서 \(N \cong \mathbb{Z}^n\)을 rank \(n\)인 free abelian group, \(M = \operatorname{Hom}_\mathbb{Z}(N, \mathbb{Z})\)를 그 dual, \(\Sigma\)를 \(N_\mathbb{R} = N \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{R}\) 위의 rational polyhedral fan이라 하고, \(\Sigma\)가 \(N_\mathbb{R}\)를 span한다고 가정한다. 또한 \(\Sigma(1)\)은 \(\Sigma\)의 1-dimensional cone들의 집합을 의미하며, 각 \(\rho \in \Sigma(1)\)에 대해 \(u_\rho\)는 \(\rho\)의 primitive generator이다.
Homogeneous coordinate ring과 irrelevant ideal
Projective space의 homogeneous coordinate ring은 \(\mathbb{C}[x_0, \ldots, x_n]\)으로, 각 변수가 \(\mathbb{P}^n\)의 coordinate hyperplane에 대응한다. Cox는 이를 toric variety로 확장하기 위해, fan의 1-dimensional cone 각각에 변수를 대응시킨다.
정의 1 Toric variety \(X_\Sigma\)의 homogeneous coordinate ringhomogeneous coordinate ring 혹은 Cox ringCox ring은 다음과 같이 정의된다.
\[S = \mathbb{C}[x_\rho \mid \rho \in \Sigma(1)]\]Cox ring \(S\)는 polynomial ring이므로 특히 unique factorization domain이다. 이 점에서 Cox ring은 toric variety의 대수적 특성을 반영하는 중요한 불변량이다. 실제로 toric variety가 아닌 일반 variety에 대해서도 Cox ring을 정의할 수 있으나, toric variety의 경우에만 Cox ring이 polynomial ring이 된다.
이제 \(S\) 위의 grading을 도입해야 한다. §Toric divisors와 line bundles, ⁋정의 1에서 살펴 보았듯이, 각 \(\rho \in \Sigma(1)\)에 대응하는 torus-invariant divisor \(D_\rho\)를 생각할 수 있다. 이들의 정리에 의해 Weil divisor class group \(\operatorname{Cl}(X_\Sigma)\)는 다음 exact sequence로부터 얻어진다.
\[0 \longrightarrow M \longrightarrow \bigoplus_{\rho \in \Sigma(1)} \mathbb{Z} \cdot D_\rho \longrightarrow \operatorname{Cl}(X_\Sigma) \longrightarrow 0\]여기서 첫 번째 화살표는 \(m \mapsto \sum_{\rho} \langle m, u_\rho \rangle D_\rho\)로 주어진다. 이 exact sequence에 \(\operatorname{Hom}_\mathbb{Z}(-, \mathbb{C}^\ast)\)를 적용하면 다음 exact sequence를 얻는다.
\[1 \longrightarrow G \longrightarrow (\mathbb{C}^\ast)^{\Sigma(1)} \longrightarrow T_N \longrightarrow 1\]여기서 \(G = \operatorname{Hom}_\mathbb{Z}(\operatorname{Cl}(X_\Sigma), \mathbb{C}^\ast)\)이고 \(T_N = N \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{C}^\ast\)는 \(X_\Sigma\) 위의 dense torus이다. 이로부터 \(G\)가 \((\mathbb{C}^\ast)^{\Sigma(1)}\)의 subgroup으로 작용하며, 이는 자연스럽게 affine space \(\mathbb{C}^{\Sigma(1)} = \operatorname{Spec}(S)\) 위에 diagonal action을 유도한다.
Cox ring \(S\) 위의 \(\operatorname{Cl}(X_\Sigma)\)-grading은 다음과 같이 정의된다. \(\beta \in \operatorname{Cl}(X_\Sigma)\)에 대해, \(\beta\)의 inverse image in \(\bigoplus_{\rho} \mathbb{Z} \cdot D_\rho\)를 \(\sum_\rho a_\rho D_\rho\)라 하면, monomial \(\prod_\rho x_\rho^{a_\rho}\)의 degree를 \(\beta\)로 정한다. 이 grading은 \(G\)의 character group과 일치하며, 따라서 \(G\)의 action에 의한 invariant theory와 자연스럽게 연결된다.
다음으로, projective space의 construction에서 origin \(\{0\}\)을 제거하는 것에 해당하는 exceptional subset을 정의해야 한다.
정의 2 각 cone \(\sigma \in \Sigma\)에 대해 monomial \(\hat{x}_\sigma\)를 다음과 같이 정의한다.
\[\hat{x}_\sigma = \prod_{\rho \not\subset \sigma} x_\rho\]Irrelevant idealirrelevant ideal \(B(\Sigma)\)는 이들 monomial로 생성되는 ideal이다.
\[B(\Sigma) = \langle \hat{x}_\sigma \mid \sigma \in \Sigma \rangle \subseteq S\]또한 exceptional set \(Z(\Sigma)\)는 \(B(\Sigma)\)의 zero locus로 정의된다.
\[Z(\Sigma) = V(B(\Sigma)) \subseteq \mathbb{C}^{\Sigma(1)}\]Irrelevant ideal의 이름은 projective space의 경우 \(B(\Sigma) = \langle x_0, \ldots, x_n \rangle\)이 되어, usual homogeneous coordinate ring에서의 irrelevant ideal과 일치하기 때문에 붙여졌다. 실제로 \(\mathbb{P}^n\)의 fan은 \(n+1\)개의 1-dimensional cone을 가지며, 각 maximal cone은 \(n\)개의 cone을 포함하므로 \(\hat{x}_\sigma\)는 하나의 변수만을 제외한 곱이 된다. 모든 maximal cone에 대해 이를 취하면 \(\langle x_0, \ldots, x_n \rangle\)이 생성된다.
GIT quotient construction
이제 우리는 toric variety \(X_\Sigma\)를 affine space \(\mathbb{C}^{\Sigma(1)}\)에서 exceptional set \(Z(\Sigma)\)를 제거한 뒤, 군 \(G\)로 몫을 취함으로써 재구성할 수 있다.
정리 3 Toric variety \(X_\Sigma\)는 \(\mathbb{C}^{\Sigma(1)} \setminus Z(\Sigma)\)에 대한 \(G\)의 작용의 categorical quotient로서 다음과 같이 나타난다.
\[X_\Sigma \cong (\mathbb{C}^{\Sigma(1)} \setminus Z(\Sigma)) \sslash G\]또한 \(X_\Sigma\)가 simplicial, 즉 \(\Sigma\)가 simplicial fan일 때에만 이 quotient는 geometric quotient가 된다.
증명
Cox의 원래 논문에서 제시된 증명을 따라간다. 먼저 \(G\)가 \(\mathbb{C}^{\Sigma(1)} \setminus Z(\Sigma)\) 위에 잘 정의된 작용을 가짐을 보여야 한다. \(Z(\Sigma)\)는 coordinate subspace들의 union으로 구성되며, \(G\)의 작용은 \((\mathbb{C}^\ast)^{\Sigma(1)}\)의 작용으로부터 유도된 diagonal action이므로 coordinate subspace들을 보존한다. 따라서 \(G\)는 \(\mathbb{C}^{\Sigma(1)} \setminus Z(\Sigma)\) 위에 작용한다.
각 cone \(\sigma \in \Sigma\)에 대해, \(U_\sigma = \operatorname{Spec}(\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M])\)는 toric variety의 affine chart이다. 이제 \(x^{\hat{\sigma}}\)에 의해 localizing한 ring \(S_{x^{\hat{\sigma}}}\)를 생각하자. 이 ring의 \(0\)차 부분 \(S_{x^{\hat{\sigma}}}^{(0)}\)은 \(G\)-invariant element들로 구성되며, Cox는 이것이 \(\mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M]\)와 isomorphic함을 보였다. 즉,
\[(S_{x^{\hat{\sigma}}})^{(0)} \cong \mathbb{C}[\sigma^\vee \cap M]\]이로부터 \(U_\sigma\)는 \(\mathbb{C}^{\Sigma(1)} \setminus Z(\Sigma)\)의 \(G\)-invariant open subset에 대한 quotient로 얻어진다. 이러한 affine chart들이 fan의 combinatorial structure에 따라 적절히 glueing되므로, 전체 \(X_\Sigma\)가 categorical quotient로서 얻어진다.
Simplicial의 경우, 각 cone이 simplicial이므로 local chart \(U_\sigma\)에 대한 작용이 free하게 되어 geometric quotient가 된다. 역으로 geometric quotient가 된다면 stabilizer가 finite해야 하고, 이는 각 cone이 simplicial임을 의미한다.
정리 3의 geometric quotient 버전은 매우 중요하다. Simplicial toric variety의 경우, 점들은 실제로 \(G\)의 궤도로 대응되므로 homogeneous coordinate의 직관적 이해가 가능하다. Non-simplicial의 경우에는 categorical quotient이므로 점들이 \(G\)-orbit에 일대일 대응하지는 않지만, 여전히 좋은 geometric interpretation을 제공한다.
예제
Projective space
\(\mathbb{P}^n\)의 fan \(\Sigma\)는 \(\mathbb{R}^n\)에서 원점을 중심으로 하는 \(n+1\)개의 1-dimensional cone \(\rho_0, \ldots, \rho_n\)으로 구성되며, 각 primitive generator는 \(u_0, \ldots, u_n\)이다. 여기서 \(u_0, \ldots, u_{n-1}\)은 표준기저이고 \(u_n = -u_0 - \cdots - u_{n-1}\)이다. 각 maximal cone은 \(n\)개의 1-dimensional cone을 포함하므로, 예를 들어 \(\sigma_i = \operatorname{cone}(u_0, \ldots, \hat{u}_i, \ldots, u_n)\)에 대해
\[\hat{x}_{\sigma_i} = x_i\]이다. 따라서 irrelevant ideal은
\[B(\Sigma) = \langle x_0, x_1, \ldots, x_n \rangle\]이 되고, exceptional set은
\[Z(\Sigma) = \{0\}\]이다. 한편, Weil divisor들의 exact sequence는
\[0 \longrightarrow \mathbb{Z}^n \longrightarrow \mathbb{Z}^{n+1} \longrightarrow \operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) = \mathbb{Z} \longrightarrow 0\]이므로 \(G = \operatorname{Hom}_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}, \mathbb{C}^\ast) = \mathbb{C}^\ast\)이다. \(G\)의 작용은 diagonal scaling이 되어,
\[t \cdot (x_0, x_1, \ldots, x_n) = (tx_0, tx_1, \ldots, tx_n)\]이 된다. 이로부터 정리 3은 well-known한 quotient construction을 재현한다.
\[\mathbb{P}^n = (\mathbb{C}^{n+1} \setminus \{0\}) / \mathbb{C}^\ast\]Product of projective lines
\(X = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\)의 경우를 생각하자. Fan은 \(\mathbb{R}^2\)에서 원점을 중심으로 하며, 1-dimensional cone은 4개 \(\rho_1, \rho_2, \rho_3, \rho_4\)를 가진다. Primitive generator는 보통 \(u_1 = (1,0), u_2 = (0,1), u_3 = (-1,0), u_4 = (0,-1)\)로 선택된다. Maximal cone은 4개이며, 각각 인접한 두 1-dimensional cone으로 생성된다. 예를 들어 \(\sigma_{12} = \operatorname{cone}(u_1, u_2)\)에 대해
\[\hat{x}_{\sigma_{12}} = x_3 x_4\]이다. 모든 maximal cone에 대해 같은 계산을 하면,
\[B(\Sigma) = \langle x_1 x_3, x_1 x_4, x_2 x_3, x_2 x_4 \rangle = \langle x_1, x_2 \rangle \cap \langle x_3, x_4 \rangle\]이다. 따라서 exceptional set은
\[Z(\Sigma) = \{x_1 = x_2 = 0\} \cup \{x_3 = x_4 = 0\}\]이 된다. 한편 divisor class group은
\[\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\]이므로 \(G = (\mathbb{C}^\ast)^2\)이다. \(G\)의 작용은
\[(t_1, t_2) \cdot (x_1, x_2, x_3, x_4) = (t_1 x_1, t_1 x_2, t_2 x_3, t_2 x_4)\]이 되어, 각 \(\mathbb{P}^1\) 요소에 대한 독립적인 scaling에 해당한다. 이로부터
\[\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 = (\mathbb{C}^4 \setminus Z(\Sigma)) / (\mathbb{C}^\ast)^2\]를 얻는다.
Cox ring과 line bundle의 대응
Projective space에서 homogeneous coordinate ring의 graded component는 twisted structure sheaf의 global section과 대응한다. Cox ring에서도 유사한 대응이 성립한다.
명제 4 Toric variety \(X_\Sigma\)가 simplicial이라고 하자. \(\beta \in \operatorname{Cl}(X_\Sigma)\)에 대해, \(S\)의 \(\beta\)차 성분 \(S_\beta\)는 다음과 같은 isomorphism을 갖는다.
\[S_\beta \cong H^0(X_\Sigma, \mathcal{O}_{X_\Sigma}(D))\]여기서 \(D\)는 class \(\beta\)에 속하는 임의의 Weil divisor이다.
증명
Cox ring \(S = \mathbb{C}[x_\rho \mid \rho \in \Sigma(1)]\)의 \(\beta\)차 성분은 monomial \(\prod_\rho x_\rho^{a_\rho}\)들로 생성되며, 여기서 \(\sum_\rho a_\rho D_\rho\)의 divisor class가 \(\beta\)가 되도록 하는 \(a_\rho \geq 0\)들을 취한다. Simplicial 가정 하에서, 각 \(\beta\)는 support function에 의해 결정된다. §Toric divisors와 line bundles, ⁋명제 3에 의해, effective divisor class \(\beta\)에 대응하는 line bundle의 global section은 lattice point들의 집합에 의해 parameterize된다. 한편, monomial \(\prod_\rho x_\rho^{a_\rho}\)는 정확히 \(u = \sum_\rho a_\rho u_\rho\)에 해당하는 lattice point와 대응하며, 이는 \(\beta\)에 해당하는 support function의 조건을 만족시킨다. 따라서 \(S_\beta\)와 \(H^0(X_\Sigma, \mathcal{O}_{X_\Sigma}(D))\) 사이에 자연스러운 isomorphism이 존재한다.
명제 4는 Cox ring이 toric variety의 모든 line bundle들의 global section을 동시에 encode함을 의미한다. 이는 projective space에서 \(\mathbb{C}[x_0, \ldots, x_n]\)이 모든 \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)\)의 global section을 담고 있는 것과 정확히 일치한다. 이러한 관점에서 Cox ring은 toric variety의 Picard group 혹은 divisor class group에 의해 graded된 “universal” coordinate ring으로 이해할 수 있다.
더 나아가, coherent sheaf에 대한 대응도 존재한다. Simplicial toric variety \(X_\Sigma\) 위의 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)에 대해, graded \(S\)-module \(\Gamma_\ast(\mathcal{F})\)를 적절히 정의하면, quasi-coherent sheaf의 category와 graded \(S\)-module의 category 사이에 equivalence가 성립한다. 이는 projective space에서의 Serre correspondence를 일반화하는 결과이다.
Birational geometry와 secondary fan
Cox construction은 toric variety의 birational geometry를 이해하는 데에도 강력한 도구를 제공한다. §Normal fan과 projective toric variety, ⁋정리 2에서 보았듯이, lattice polytope으로부터 projective toric variety를 구성할 수 있다. Cox construction의 관점에서, 이러한 polytope들의 변화는 GIT quotient에서 linearization의 변화에 대응한다.
구체적으로, Cox ring \(S\)와 군 \(G\)를 고정하면, different linearizations of the \(G\)-action correspond to different choices of ample line bundles, 즉 effective cone의 내부에서 다른 chamber를 선택하는 것에 대응한다. Effective cone \(\operatorname{Eff}(X_\Sigma)\)는 divisor class group에서 pseudo-effective divisor들의 cone이며, 이 cone은 finitely many rational polyhedral chamber로 분해된다. 각 chamber의 interior에서는 GIT quotient가 동일한 birational type의 toric variety를 준다. 이러한 chamber decomposition을 secondary fansecondary fan이라 부른다.
Secondary fan은 toric variety의 moduli space를 이해하는 데 중요한 역할을 하며, 특히 toric Mori theory와 밀접하게 연관된다. Secondary fan의 wall crossing은 birational contraction이나 flip에 대응하며, 이는 toric variety의 minimal model program을 구체적으로 기술할 수 있게 한다. 다만 secondary fan에 대한 자세한 논의는 본 글의 범위를 벗어나므로, 여기서는 이러한 방향성만을 언급하고 넘어간다.
참고문헌
[CLS] D. Cox, J. Little, H. Schenck, Toric varieties, American Mathematical Society, 2011.
[Cox95] D. Cox, “The homogeneous coordinate ring of a toric variety”, J. Algebraic Geom. 4 (1995), no. 1, 17–50.
[Ful] W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, 1993.
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