§Mirror Symmetry 개요에서 우리는 Grassmannian에 대한 mirror symmetry를 다루기 위해 Marsh-Rietsch의 construction을 예고하였다. 그 construction은 Grassmannian의 풍부한 combinatorial 및 Lie-theoretic 구조에 깊이 의존하며, 이 구조의 출발점은 바로 Bruhat decomposition이다. 본 글에서는 reductive algebraic group $G$의 Bruhat decomposition
\[G=\bigsqcup_{w\in W}BwB\]을 정확히 이해한 뒤, 이를 parabolic subgroup $P\supseteq B$로 확장하여 partial flag variety $G/P$의 cell decomposition을 얻는 과정을 살펴 본다. 특히 Grassmannian $Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$을 $GL_n/P_k$로 실현하는 구체적인 대응과, 이 위에서 정의되는 Schubert cell 및 Schubert variety를 소개한다.
Reductive group과 Weyl group
우리는 이 글에서 기본적으로 algebraically closed field 위에서 정의된 connected reductive algebraic group $G$를 다룬다. [리 이론] §리 군에서 Lie group의 개념을, [리 이론] §근계에서 그 Lie algebra의 구조를 살펴 보았으며, [리 이론] §Borel subgroup과 flag variety에서는 이로부터 자연스럽게 얻어지는 Borel subgroup과 flag variety를 소개하였다. 이 절에서는 이들 개념을 algebraic group의 맥락에서 간략히 복습한다.
정의 1 Algebraic group $G$가 reductive라는 것은 $G$의 unipotent radical이 trivial한 것이다. 즉, $G$는 torus와 semisimple group의 extension으로 주어진다.
Reductive group $G$를 고정하고, $G$의 Borel subgroup $B$와 $B$에 포함된 maximal torus $T$를 고정하자. Borel subgroup은 $G$의 maximal connected solvable subgroup이며, 모든 Borel subgroup은 서로 conjugate하다. Maximal torus $T$는 $B$의 maximal connected diagonalizable subgroup으로, 마찬가지로 모든 maximal torus는 conjugate하다.
정의 2 Maximal torus $T$의 normalizer를 $N_G(T)$라 할 때, Weyl group $W$는 다음의 quotient group으로 정의된다.
\[W=N_G(T)/T\]Weyl group $W$는 $T$의 conjugation action에 의해 자연스럽게 $T$의 character lattice 위에 작용하며, [리 이론] §근계, ⁋명제 20에서 확인한 것과 같이 이 action은 root system $\Phi$의 대칭성을 포착한다. 더욱 중요한 것은 $W$가 Coxeter group의 구조를 지닌다는 점이다. 구체적으로, $B$에 의해 결정되는 positive root system $\Phi^+$와 simple root system $\Delta={\alpha_1,\ldots,\alpha_r}$를 고정하면, 각 simple root $\alpha_i$에 대응하는 reflection $s_i=s_{\alpha_i}$가 생성하는 finite group이 바로 $W$이다.
명제 3 Weyl group $W$는 simple reflection들 $S={s_1,\ldots,s_r}$에 의해 생성되며, 다음의 관계들을 만족한다.
- $s_i^2=e$ for all $i$.
- $(s_is_j)^{m_{ij}}=e$ for $i\neq j$, where $m_{ij}\in{2,3,4,6}$.
따라서 $(W,S)$는 Coxeter system을 이룬다.
증명
$W$가 reflection들로 생성되는 것은 [리 이론] §근계, ⁋정의 17의 정의이며, finite Coxeter group으로서의 구조는 root system의 기하학적 성질로부터 얻어진다. 구체적으로, 두 simple reflection $s_i, s_j$의 곱 $s_is_j$는 $\alpha_i$와 $\alpha_j$가 생성하는 2차원 평면 위에서 rotation을 정의하며, 그 각도는 두 root 사이의 각도에 의해 결정된다. [리 이론] §근계에서 살펴본 것과 같이 두 simple root가 이루는 각도는 $90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ$ 중 하나이므로, $m_{ij}$는 각각 $2,3,4,6$이 된다. 이들 관계만으로 $W$가 완전히 결정되는 것은 Coxeter group의 일반론에 따른다.
| Coxeter system $(W,S)$ 위에는 length function $\ell:W\rightarrow\mathbb{Z}_{\geq 0}$가 자연스럽게 정의된다. $\ell(w)$는 $w$를 simple reflection들의 곱으로 표현할 때 필요한 최소 개수이며, 이는 $w$의 reduced expression의 길이와 일치한다. Combinatorial하게는 $\ell(w)= | \Phi^+\cap w^{-1}\Phi^- | $로도 주어진다. 즉, $w$에 의해 positive root에서 negative root로 보내지는 root의 개수가 $\ell(w)$이다. |
Bruhat decomposition
Bruhat decomposition은 reductive group $G$를 Borel subgroup $B$의 double coset으로 분해하는 기본적인 정리이다. 이 분해는 flag variety $G/B$의 cell decomposition을 제공하며, 이후에 소개할 Schubert variety의 기초가 된다.
정리 4 (Bruhat decomposition) Connected reductive algebraic group $G$, Borel subgroup $B$, maximal torus $T\subset B$, 그리고 Weyl group $W=N_G(T)/T$에 대하여, 다음의 분해가 성립한다.
\[G=\bigsqcup_{w\in W}BwB\]즉, $G$는 $B$의 double coset $BwB$들의 disjoint union으로 표현되며, 이들은 Weyl group $W$의 원소 $w$에 의해 색인화된다.
증명
우선 $G=\bigcup_{w\in W}BwB$임을 보이자. $G$ 위에 $B\times B$가 $(b_1,b_2)\cdot g=b_1gb_2^{-1}$로 작용한다고 생각하면, 각 $BwB$는 하나의 orbit이 된다. $G$가 irreducible variety이고 $BwB$들은 locally closed subset이므로, 이들의 closure 중 maximal dimension을 갖는 것이 전체 $G$를 덮어야 한다. BN-pair의 공리에 의하면 $G$는 $B$와 $N=N_G(T)$로 생성되며, $W=N/T$가 double coset의 complete set of representatives를 이룬다.
Disjointness를 보이기 위해 $BwB=BvB$라 가정하자. 그럼 $w\in BvB$이므로 $w=b_1vb_2$ for some $b_1,b_2\in B$. 이로부터 $wBw^{-1}=b_1v(b_2Bb_2^{-1})v^{-1}b_1^{-1}=b_1vBv^{-1}b_1^{-1}$이 된다. 특히 $wBw^{-1}$와 $vBv^{-1}$는 서로 conjugate한 Borel subgroup이다. 한편 $w\in N_G(T)$이므로 $wTw^{-1}=T$이고, 따라서 $T\subset wBw^{-1}\cap vBv^{-1}$. 두 Borel subgroup이 서로를 normalize하고 같은 maximal torus $T$를 포함한다면, $w^{-1}v$는 $B$를 normalize한다. 그런데 $B$의 normalizer는 $B$ 자신이므로 $w^{-1}v\in B$. $w^{-1}v\in N_G(T)$이기도 하므로 $w^{-1}v\in B\cap N_G(T)=T$. 따라서 $w=v$ in $W=N_G(T)/T$이다.
Bruhat decomposition의 각 조각 $BwB$는 Bruhat cell이라 불리며, 그 구조는 다음과 같이 좀 더 정교하게 묘사할 수 있다. $B$의 unipotent radical을 $U$라 하고, opposite Borel subgroup $B^-$의 unipotent radical을 $U^-$라 하자. 각 $w\in W$에 대하여
\[U_w=U\cap wU^-w^{-1}\]으로 정의하면, $U_w$는 root subgroup $U_\gamma$들의 곱으로 주어지며, 여기서 $\gamma$는 $w^{-1}\gamma\in\Phi^-$를 만족하는 positive root들이다. 즉
\[U_w=\prod_{\gamma\in\Phi^+\,:\,w^{-1}\gamma\in\Phi^-}U_\gamma\]이며, 이는 affine space $\mathbb{A}^{\ell(w)}$와 isomorphism한다.
명제 5 각 $w\in W$에 대하여, 곱 map
\[U_w\times B\longrightarrow BwB,\qquad (u,b)\longmapsto u\dot{w}b\]은 variety의 isomorphism이며, 따라서 $BwB\cong\mathbb{A}^{\ell(w)}\times B$이다. 여기서 $\dot{w}$는 $w\in W=N_G(T)/T$의 $N_G(T)$에서의 lift이다.
증명
$B=U\rtimes T$이고, $U$는 root subgroup들의 곱으로 분해된다. $U$를 $U_w$와 $U_w’=U\cap wUw^{-1}$의 곱으로 분해하면, $U=U_wU_w’$이고 $U_w\cap U_w’={e}$. $U_w’$는 $w^{-1}$에 의해 positive root에서 positive root로 보내지는 root들에 해당하므로, $w^{-1}U_w’w\subset U$. 따라서 $BwB=UwB=U_w(wU_w’w^{-1})wB=U_wwB$. 이제 $u_1w b_1=u_2w b_2$라 하면 $w^{-1}u_2^{-1}u_1w=b_2b_1^{-1}\in B$. $u_2^{-1}u_1\in U_w$이므로 $w^{-1}u_2^{-1}u_1w\in U^-$, 따라서 $w^{-1}u_2^{-1}u_1w\in B\cap U^-={e}$. 이로부터 $u_1=u_2$이고 $b_1=b_2$이므로 map이 bijective이며, 실제로 variety의 isomorphism이다. $U_w$는 $\ell(w)$개의 root subgroup의 곱이고 각 root subgroup은 $\mathbb{G}_a$와 isomorphic하므로 $U_w\cong\mathbb{A}^{\ell(w)}$이다.
Bruhat decomposition은 flag variety $\mathcal{F}=G/B$로 project하면 cell decomposition을 준다. 각 $w\in W$에 대하여
\[X_w^\circ=BwB/B\subset G/B\]은 $\mathbb{A}^{\ell(w)}$와 isomorphic한 locally closed subset이며, 이들의 disjoint union이 $G/B$를 덮는다.
예시 6 $G=GL_n(\mathbb{C})$인 경우를 생각하자. Borel subgroup $B$는 upper triangular matrix들의 모임이고, maximal torus $T$는 diagonal matrix들의 모임이다. Weyl group은 $W\cong S_n$이며, 각 $w\in S_n$은 permutation matrix로 대표될 수 있다. Bruhat decomposition $GL_n=\bigsqcup_{w\in S_n}BwB$는 classical Gauss elimination의 일반화로 이해될 수 있다. 임의의 가역행렬 $g$는 row와 column의 elementary transformation을 통해 permutation matrix $w$를 중심으로 한 ``canonical form’‘으로 변형될 수 있으며, 이 때의 $w$가 바로 $g$가 속하는 Bruhat cell을 결정한다.
Opposite Borel subgroup $B^-$에 대해서도 유사한 decomposition이 존재한다. 이를 Birkhoff decomposition 또는 opposite Bruhat decomposition이라 한다.
정리 7 (Birkhoff decomposition) $B^-=w_0Bw_0$를 $B$에 대응하는 opposite Borel subgroup이라 하면, 다음이 성립한다.
\[G=\bigsqcup_{w\in W}B^-wB^-\]더욱 일반적으로, $B^+$와 $B^-$를 서로 opposite인 두 Borel subgroup이라 할 때
\[G=\bigsqcup_{w\in W}B^+wB^-\]이 성립한다.
증명
$B^-=w_0Bw_0$이므로
\[G=w_0Gw_0=w_0\left(\bigsqcup_{w\in W}BwB\right)w_0=\bigsqcup_{w\in W}(w_0Bw_0)(w_0ww_0)(w_0Bw_0)=\bigsqcup_{w\in W}B^-(w_0ww_0)B^-\]$w\mapsto w_0ww_0$는 $W$의 automorphism이므로, 이는 $G$의 $B^-$에 의한 Bruhat decomposition을 준다.
$B^+wB^-$ 형태의 decomposition을 보이기 위해서는, $B^+=B$와 $B^-=w_0Bw_0$를 대입하면
\[BwB^-=Bww_0Bw_0=B(ww_0)Bw_0\]이므로 $w\in W$를 $ww_0$로 재색인하면 된다. 따라서 $G=\bigsqcup_{w\in W}BwB^-$이 성립한다.
Parabolic subgroup과 generalized Bruhat decomposition
Bruhat decomposition은 Borel subgroup에 대한 것이지만, 이를 $B$를 포함하는 더 큰 subgroup, 즉 parabolic subgroup으로 확장할 수 있다. Parabolic subgroup은 flag variety를 일반화하는 partial flag variety $G/P$의 isotropy group으로 작용하며, Grassmannian을 비롯한 다양한 homogeneous space를 Lie-theoretic하게 실현하는 데 핵심적인 역할을 한다.
정의 8 $G$의 subgroup $P$가 parabolic subgroup이라는 것은 $G/P$가 projective variety가 되도록 하는 것이다. Equivalently, $P$는 어떤 Borel subgroup을 포함하는 connected closed subgroup이다.
$B$를 포함하는 standard parabolic subgroup들은 simple root system $\Delta$의 부분집합 $I\subseteq\Delta$에 의해 일대일대응된다. 구체적으로, $I$에 대응하는 parabolic subgroup $P_I$는
\[P_I=BW_IB\]으로 정의되며, 여기서 $W_I=\langle s_i\mid\alpha_i\in I\rangle$은 $I$에 속한 simple reflection들로 생성되는 $W$의 parabolic subgroup이다.
명제 9 $P_I=BW_IB=\bigsqcup_{w\in W_I}BwB$는 $G$의 connected closed subgroup이며, 이는 $I$에 속하지 않는 simple root에 해당하는 negative root space들을 Lie algebra에서 제거하여 얻어진다.
증명
$B=U\rtimes T$이고 $W_I\subset W$이므로, $P_I$는 $B$와 $W_I$의 대표원소들로 생성되는 subgroup이다. $W_I$의 각 원소 $w$에 대해 $BwB$는 locally closed subset이고, 이들의 union $P_I$는 closed subset이다. 실제로 $P_I$는 Levi decomposition $P_I=L_I\ltimes U_I$를 갖는다. 여기서 Levi factor $L_I$는 $T$와 $I$에 해당하는 root space들로 생성되며, unipotent radical $U_I$는 $I$에 속하지 않은 positive root들의 root space들로 생성된다. 따라서 $P_I$는 connected closed subgroup이다.
Parabolic subgroup $P=P_I$가 주어졌을 때, $G/P$ 위의 Bruhat decomposition을 얻기 위해서는 Weyl group $W$를 parabolic subgroup $W_I$로 quotient해야 한다. 이 때 중요한 역할을 하는 것이 minimal length coset representative이다.
정의 10 Parabolic subgroup $W_I\subseteq W$에 대하여, minimal length coset representatives $W^I$는 다음과 같이 정의된다.
\[W^I=\{w\in W\mid\ell(ws)>\ell(w)\text{ for all }s\in W_I\text{ with }\ell(s)=1\}\]Equivalently, $W^I$는 각 left coset $wW_I$에서 길이가 최소인 유일한 원소들의 모임이다.
명제 11 각 left coset $wW_I$는 정확히 하나의 minimal length element를 포함한다. 따라서 자연스러운 projection $W^I\rightarrow W/W_I$는 bijection이다.
증명
임의의 $w\in W$에 대하여, coset $wW_I$ 내부에서 길이가 최소인 원소의 존재성은 $W_I$가 finite group이므로 자명하다. 유일성을 보이기 위해 $u,v\in wW_I$가 둘 다 minimal length를 갖는다고 하자. 그럼 $u=vw’$ for some $w’\in W_I$. $u$와 $v$가 모두 minimal length이므로 $\ell(u)=\ell(v)\leq\ell(vs)$ for all simple reflection $s\in W_I$. 한편 $\ell(u)=\ell(vw’)$이고, $w’\in W_I$는 simple reflection들의 곱으로 표현된다. Coxeter group에서 $\ell(vw’)=\ell(v)+\ell(w’)-2\cdot(\text{cancellation})$이므로, $\ell(u)=\ell(v)$이려면 $\ell(w’)=0$, 즉 $w’=e$이어야 한다. 따라서 $u=v$이다.
Minimal length coset representatives를 사용하면, $G/P_I$ 위의 cell decomposition을 얻는다.
정리 12 (Generalized Bruhat decomposition) $P=P_I$를 standard parabolic subgroup이라 하면, 다음이 성립한다.
\[G=\bigsqcup_{w\in W^I}BwP\]따라서 partial flag variety $G/P$는 다음과 같이 분해된다.
\[G/P=\bigsqcup_{w\in W^I}BwP/P\]증명
Bruhat decomposition $G=\bigsqcup_{w\in W}BwB$와 $P=\bigsqcup_{v\in W_I}BvB$로부터
\[G=\bigcup_{w\in W}BwP\]임은 자명하다. 이제 $w_1,w_2\in W^I$에 대해 $Bw_1P=Bw_2P$라 하자. 그럼 $w_1\in Bw_2P$이므로 $w_1=b_1w_2p$ for some $b_1\in B, p\in P$. $p\in P$이므로 $p=b’vb’’$ for some $b’,b’‘\in B, v\in W_I$. 따라서 $w_1\in Bw_2vB$이고, Bruhat decomposition의 disjointness로부터 $w_1=w_2v$ in $W$. 즉 $w_1$과 $w_2$는 같은 coset $wW_I$에 속한다. $w_1,w_2\in W^I$이고 각 coset에 유일한 minimal length element가 존재하므로 $w_1=w_2$이다.
각 cell $BwP/P\subset G/P$는 $\mathbb{A}^{\ell(w)}$와 isomorphic하며, 이들의 closure는 Schubert variety를 정의한다. 이는 다음 절에서 좀 더 구체적으로 다룬다.
Grassmannian
Generalized Bruhat decomposition의 가장 대표적인 예시는 Grassmannian이다. $G=GL_n(\mathbb{C})$를 고정하고, Borel subgroup $B$는 upper triangular matrix들의 모임, maximal torus $T$는 diagonal matrix들의 모임으로 하자. Weyl group은 $W\cong S_n$이고, simple reflection은 adjacent transposition $s_i=(i\;i+1)$ ($1\leq i\leq n-1$)이다.
정의 13 $1\leq k\leq n-1$에 대하여, Grassmannian $Gr_k(\mathbb{C}^n)$은 $\mathbb{C}^n$의 $k$차원 부분공간들의 moduli space이다.
\[Gr_k(\mathbb{C}^n)=\{V\subseteq\mathbb{C}^n\mid\dim V=k\}\]Grassmannian은 projective variety로 실현될 수 있으며, homogeneous space로서의 구조는 다음과 같이 주어진다. Simple root system $\Delta={\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-1}}$에서 $\alpha_k$를 제외한 부분집합 $I=\Delta\setminus{\alpha_k}$에 대응하는 maximal parabolic subgroup을 $P_k$라 하자. $P_k$는 block upper triangular matrix들의 모임으로, 구체적으로
\[P_k=\left\{\begin{pmatrix}A&C\\0&D\end{pmatrix}\in GL_n(\mathbb{C})\;\middle|\;A\in GL_k(\mathbb{C}),\;D\in GL_{n-k}(\mathbb{C})\right\}\]이다. 이 subgroup은 standard $k$-plane $E_k=\span{e_1,\ldots,e_k}$를 고정하므로, $GL_n(\mathbb{C})$의 자연스러운 $Gr_k(\mathbb{C}^n)$ 위의 작용은 transitive하고, isotropy group이 바로 $P_k$이다. 따라서
\[Gr_k(\mathbb{C}^n)\cong GL_n(\mathbb{C})/P_k\]이다. 한편 $V\mapsto V^\perp$ (적절한 내적 하에서) 또는 $V\mapsto\mathbb{C}^n/V$에 의해 $Gr_k(\mathbb{C}^n)$과 $Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)$ 사이에 canonical isomorphism이 존재하므로, 동일한 방식으로
\[Gr_{n-k}(\mathbb{C}^n)\cong GL_n(\mathbb{C})/P_k\]으로도 볼 수 있다.
명제 14 $GL_n(\mathbb{C})/P_k\cong Gr_k(\mathbb{C}^n)$인 경우, Weyl group $W=S_n$의 parabolic subgroup $W_{P_k}$는 $S_k\times S_{n-k}$과 isomorphic하며, minimal length coset representatives $W^{P_k}$는 다음과 같이 묘사된다.
\[W^{P_k}=\{w\in S_n\mid w(1)<w(2)<\cdots<w(k),\;w(k+1)<\cdots<w(n)\}\]이들은 $(k,n-k)$-shuffle이라 불리며, $\binom{n}{k}$개의 원소를 가진다.
증명
$P_k$는 simple reflection $s_1,\ldots,s_{k-1}$과 $s_{k+1},\ldots,s_{n-1}$을 포함한다. 따라서 $W_{P_k}=\langle s_1,\ldots,s_{k-1},s_{k+1},\ldots,s_{n-1}\rangle$은 처음 $k$개와 나머지 $n-k$개의 문자를 각각 내부적으로 치환하는 permutation들의 모임이므로 $S_k\times S_{n-k}$와 isomorphic하다.
Minimal length coset representative $w\in W^{P_k}$는 $wW_{P_k}$에서 길이가 최소인 원소이다. $w$의 길이 $\ell(w)$는 inversion의 개수이므로, $\ell(w)$가 최소가 되기 위해서는 $w$가 $1,\ldots,k$ 사이의 상대적 순서와 $k+1,\ldots,n$ 사이의 상대적 순서를 모두 보존해야 한다. 즉 $w(1)<\cdots<w(k)$이고 $w(k+1)<\cdots<w(n)$이어야 한다. 이러한 조건을 만족하는 permutation은 ${1,\ldots,n}$에서 $k$개를 선택하여 앞쪽 $k$개의 자리에 증가하는 순서로 배치하고, 나머지를 뒤쪽에 증가하는 순서로 배치하는 것이므로 총 $\binom{n}{k}$개가 존재한다. 이는 $W/W_{P_k}$의 크기와 일치하므로, 이들이 바로 $W^{P_k}$를 이룬다.
예시 15 $n=4, k=2$인 경우, $W=S_4$이고 $W_{P_2}=S_2\times S_2$이다. Minimal length coset representatives는
\[W^{P_2}=\{1234, 1324, 1423, 2314, 2413, 3412\}\]이다. 여기서 $w=1324$는 $w(1)=1<w(2)=3$이고 $w(3)=2<w(4)=4$를 만족한다. 각 $w\in W^{P_2}$에 대응하는 Schubert cell $X_w^\circ\subset Gr_2(\mathbb{C}^4)$은 $\mathbb{A}^{\ell(w)}$와 isomorphic하며, $\ell(1234)=0$, $\ell(1324)=1$, $\ell(1423)=2$, $\ell(2314)=2$, $\ell(2413)=3$, $\ell(3412)=4$이다.
Schubert cell과 Schubert variety
이제 partial flag variety $X=G/P$ 위에서의 geometric structure를 정의하자. $B$와 opposite Borel subgroup $B^-$를 고정하고, $G/P$ 위의 cell decomposition을 구성한다.
정의 16 $w\in W^P$에 대하여, Schubert cell $X_w^\circ$와 opposite Schubert cell $X^w_\circ$는 각각 다음과 같이 정의된다.
\[X_w^\circ=B^-wP/P\subseteq G/P,\qquad X^w_\circ=BwP/P\subseteq G/P\]여기서 $B^-$는 $B$에 대응하는 opposite Borel subgroup이다. 이들의 closure
\[X_w=\overline{X_w^\circ},\qquad X^w=\overline{X^w_\circ}\]를 각각 Schubert variety와 opposite Schubert variety라 한다.
정의에 의해 $X_w^\circ\cong\mathbb{A}^{\ell(w)}$이고 $X^w_\circ\cong\mathbb{A}^{\dim(G/P)-\ell(w)}$이다. 특히 $X_e^\circ=B^-P/P$는 open dense cell이며, $X_{w_0^P}^\circ$는 $G/P$의 $B^-$-fixed point ${w_0^P P}$이다. 여기서 $w_0^P$는 $W^P$에서 가장 긴 원소이다.
Schubert variety들 사이의 inclusion 관계는 Weyl group 위의 Bruhat order에 의해 결정된다.
명제 17 $x,w\in W^P$에 대하여, 다음이 성립한다.
\[X_x\subseteq X_w\iff x\leq w\text{ in Bruhat order}\]특히 $X_w=\bigsqcup_{x\leq w,\,x\in W^P}X_x^\circ$이다.
증명
$X_w=\overline{B^-wP/P}$이고 $B^-$는 connected solvable group이므로, $B^-$-orbit의 closure는 더 작은 dimension을 갖는 orbit들의 union으로 주어진다. Bruhat order $\leq$는 $v\leq w$가 $\ell(v)<\ell(w)$이고 $BvB\subseteq\overline{BwB}$일 때 정의되는 순서이다. $G/P$로 project하면, $x\leq w$인 $x\in W^P$에 대해서만 $X_x^\circ\subseteq X_w$가 성립함을 확인할 수 있다. 이는 $P$로 인해 $W$의 원소 중 $W_P$에 의한 coset 내부의 차이가 무너지기 때문이다.
예시 18 $G/P=Gr_2(\mathbb{C}^4)$인 경우를 다시 생각하자. $W^{P_2}$의 원소들 중 Bruhat order는 다음과 같이 주어진다.
\(1234\leq 1324\leq 1423\leq 2413\leq 3412\) \(1234\leq 1324\leq 2314\leq 2413\leq 3412\)
즉 $1324$ 아래에는 $1234$만 있고, $1423$와 $2314$는 비교 불가능하며 둘 다 $1324$ 위에 있다. Schubert variety $X_{2413}$는 $X_{1423}^\circ$, $X_{2314}^\circ$, $X_{1324}^\circ$, $X_{1234}^\circ$를 포함하며, 이들의 disjoint union으로 이루어진다.
Schubert variety $X_w\subset G/P$는 일반적으로 singular하며, 그 singular locus 역시 더 작은 Schubert variety들의 union으로 표현될 수 있다. Mirror symmetry와 Schubert calculus의 맥락에서, Schubert variety의 cohomology class $[X_w]\in H^\ast(G/P)$는 $H^\ast(G/P)$의 additive basis를 이루는 것이 중요하다. 특히 Grassmannian의 경우, Schubert variety는 Young diagram으로 색인화되며, 이들의 intersection theory는 classical Schubert calculus의 핵심을 이룬다. 이는 이후 글에서 quantum cohomology의 관점에서 더 자세히 다룰 것이다.
참고문헌
[Ful] W. Fulton, Young tableaux, London Mathematical Society Student Texts 35, Cambridge University Press, 1997.
[Hum] J. E. Humphreys, Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 21, Springer, 1975.
[Man] L. Manivel, Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci, SMF/AMS Texts and Monographs 6, 2001.
[Spr] T. A. Springer, Linear algebraic groups, Progress in Mathematics 9, Birkhäuser, 1998.
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