근계

우리는

Adjoint representation

우리는 §리 군, ⁋정의 19에서 Lie group $G$의 adjoint representation $G\rightarrow \Aut(\mathfrak{g})$을 정의했다. 이를 통해 우리는 임의의 Lie group을 (basis의 선택을 거친다면) matrix Lie group으로 생각할 수 있다. 우리가 다루는 많은 경우 $G$는 유한차원이고, 따라서 그 tangent space인 $\mathfrak{g}$ 또한 유한차원일 것이므로 Lie group을 살펴보는 것은, 조금 과장해서 말하자면, 선형대수학을 하는 것과 다를 바가 없다.

한편 누군가가 선형대수학에서 가장 불만족스러운 부분을 (굳이) 꼽으라고 한다면, 그 중 하나는 임의의 두 행렬들이 교환법칙을 만족하지 않는다는 것이다. 이는 필연적인 것이지만, 만일 어떠한 벡터공간 $V$가 두 subspace들의 direct sum $V_1\oplus V_2$로 표현되고, 두 행렬 $A_1$, $A_2$가 각각 $V_1$에서 $V_1$, $V_2$에서 $V_2$로의 linear operator에 대응되는 행렬이라면 이들 행렬이 commute한다는 것을 안다. 이 상황은

원환면의 작용

많은 경우 $\mathfrak{g}$이 complex vector space인 것이 편하므로, 필요한 경우에는 $\mathfrak{g}$의 complexification을 $\mathfrak{g}$로 쓰기도 한다. (정의 3)

이렇게

한편 simply connected, compact Lie group $G$는 항상 torus를 포함한다. 이를 살펴보기 위해 임의의 $g\in G$를 택한 후 이로부터 생성되는 $G$의 subgroup $\langle g\rangle$을 생각하자. 그럼 이 subgroup의 $G$에서의 closure는

이는 가령, 고정된 방향 $X\in \mathfrak{g}$으로의 exponential map이 정의하는 곡선을 생각하고 $G$가 compact라는 사실을 이용하면 확인할 수 있다. 우리는 우선 다음을 정의한다.

정의 1 Compact connected Lie group $G$에 대하여, $G$의 subgroup $T$가 maximal torus라는 것은 $T$가 torus이고, $T\subsetneq T’ \subset G$를 만족하는 torus $T’$가 존재하지 않는 것이다.

한편 우리는 임의의 torus $T$에 대하여, $T$는 abelian이고 따라서 $T$의 임의의 irreducible representation $V$는 $1$차원이라는 것을 안다. 바꾸어 말하자면, 임의의 representation $T\rightarrow\Aut(V)$가 주어졌다 하면, 이를 irreducible subrepresentation으로 분해하여 다음의 식

\[V=\bigoplus_{i}V_i\]

을 얻고, 각각의 $V_i$는 $1$차원이다. 이 때 각각의 $V_i$ 위에서는 $T$의 action이 훨씬 명시적인데, 이는 $V_i$가 $1$차원인 것으로부터 $\Aut(V_i)\cong \mathbb{C}^\times$이므로, torus action은 continuous homomorphism $\chi_{\lambda_i}:T \rightarrow \Aut(V_i)\cong \mathbb{C}^\times$로 주어지기 때문이다. 뿐만 아니라 이것이 irreducible이므로 $\lvert\lambda\rvert=1$이고 따라서 각각의 $V_i$ 위에서 torus action은

\[t\cdot v=\chi_{\lambda_i}(t)v,\qquad \chi_{\lambda_i}(t)\in S^1\subset\mathbb{C}^\times\]

으로 주어진다. 한편 우리는 다음의 식

\[\chi_{\lambda_i}(\exp(X))=e^{2\pi i \lambda_i(X)}\qquad\text{for all $X\in \mathfrak{t}$}\tag{1}\]

을 통해 $T$의 character $\chi_{\lambda_i}$와 $\mathfrak{t}$ 위에 정의된 linear functional $\lambda_i$ 사이의 일대일 대응이 있는 것을 안다.

직관적으로 $t\mapsto e^{2\pi i\lambda_i(X)}$를 각속도 $\lambda_i(X)$를 갖는 각운동이라 생각할 수 있고, 이러한 관점을 도입하면 우리는 각각의 $X\in \mathfrak{t}$가 주어졌을 때, 이 방향으로의 각속도 $\lambda_i(X)$가 얼마인지를 통해 이 torus action을 설명할 수 있다는 것을 안다. 이 때 각각의 $\lambda_i$들을 우리는 weight라 부른다. 그럼 우리는 각각의 weight $\lambda_i$마다 적당한 $V_i$가 존재하여, 이 위에서는 torus action이 $t\cdot v=\chi_{\lambda_i}(t)v$로 작동하는 것을 안다. 이러한 $V_i$를 weight space라 부른다.

예시 2 특별한 예시로, 1차원 torus

\[S^1\cong T \cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}\]

을 생각하면, $S^1$은 다음의 집합

\[S^1=\left\{e^{2\pi i t}\mid t\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}\right\}\]

으로 생각할 수 있다. 이제 이 집합이 2차원 벡터공간 $\mathbb{C}^2$ 위에 다음의 식

\[e^{2\pi i t}\cdot (z_1,z_2)=(e^{4\pi i t}z_1, e^{-2\pi i t}z_2)\]

으로 act한다고 하자. 이 action은 작위적으로 보이지만, 위에서 살펴본 것과 같이 임의의 torus $T$와 임의의 representation $V$가 주어졌다면 $V$의 irreducible decomposition을 생각하고 각각의 irreducible component의 basis $e_i$들을 택하면 모든 torus action은 (적당한 basis의 선택에 의해) 이러한 꼴로 나타나는 것을 안다.

이를 행렬로 나타내면, 위의 action은 $\GL(2;\mathbb{C})$의 원소(들의 family)

\[\begin{pmatrix}e^{4\pi i t}&0\\0&e^{-2\pi i t}\end{pmatrix}\]

로 나타낼 수 있다. 이 때 이 행렬의 trace $e^{4\pi i t}+e^{-2\pi i t}$가 바로 이 representation의 character이다.

이 action의 weight space는 $\span(e_1), \span(e_2)$임이 자명하며, 가령 $\span(e_1)$에 해당하는 weight는 다음의 식

\[\chi_{\lambda_1}(\exp (X))=e^{2\pi i \lambda_1(X)}\qquad\text{for all $X\in \mathfrak{t}$}\]

을 만족하는 linear functional $\lambda_1:\mathfrak{t}\rightarrow \mathbb{C}$으로 주어진다. 이는 당연히 $1\in \mathbb{R}$을 $2$로 보내는 $\lambda_1(t)=2t$에 의해 정의되며 따라서 이 weight space에 해당하는 weight는 (약간의 abuse of notation을 통해) $2$라 할 수 있다. 이 때 $\lambda$가 위의 식을 만족하기 위해서는, $e^{2\pi i}=1$이므로, 반드시 $\lambda(1)\in \mathbb{\mathbb{Z}}$여야 한다.

더 일반적으로 만일 $r$차원 torus의 action이 주어졌다면 $\mathfrak{t}$는 $\mathbb{R}^r$일 것이며, 이 때 torus $T$를

\[T^r=\left\{(e^{2\pi i t_1}, \ldots e^{2\pi i t_r})\mid t_i\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}\right\}\]

으로 쓴다면 그 Lie algebra $\mathfrak{t}\cong \mathbb{R}^r$ 중 weight가 될 수 있는 것은 $\mathbb{Z}^r$에 속하는 원소이며 따라서 weight $\lambda$는 다음의 $r$-tuple

\[\lambda=(n_1, \ldots, n_r)\]

로 주어질 것이다. 명시적으로 이 weight는 임의의 $X=(x_1,\ldots, x_r)\in \mathfrak{t}$가 주어졌을 때 $n_1x_1+\cdots+n_rx_r$을 내놓는 linear functional이다.

직관적으로 weight decomposition은 일종의 eigenspace decomposition으로 생각할 수 있으며, 이것이 우리가 real vector space 대신 complex vector space를 생각하는 이유이다. 한편 eigenspace decomposition에서와 마찬가지로, 각각의 weight에 대한 중복도가 $1$일 필요는 없다. 가령 다음의 torus action

\[e^{2\pi i t}\cdot(z_1, z_2)=(e^{4\pi i t}z_1, e^{4\pi i t} z_2)\]

를 생각하면 이번에는 2차원 공간 $\mathbb{C}^2$ 위에서 $T$가 weight $2$를 갖는 것처럼 행동하기 때문이다. 이와 같이 서로 같은 weight $\lambda$들을 갖는 성분들을 한데 모아 이를 $V_\lambda$라 하면, 우리는 weight space decomposition $V=\bigoplus V_\lambda$를 얻는다. 지금까지의 논의를 엄밀하게 정의로 적으면 다음과 같다.

정의 3 Torus $T$와 complex $T$-module $V$가 주어졌다 하자. Irreducible character $\chi_\lambda: T \rightarrow S^1$와 그에 해당하는 linear functional $\lambda:\mathfrak{t}\rightarrow\mathbb{C}$에 대하여, $\lambda$가 $V$의 weight이라는 것은 다음 집합

\[V_\lambda=\left\{v\in V\mid t\cdot v=\chi_\lambda(t)v\text{ for all $t\in T$}\right\}\]

이 nontrivial인 것이다. 이 때, $V_\lambda$를 $\lambda$의 weight space라 하며, decomposition

\[V=\bigoplus_\lambda V_\lambda\]

을 $V$의 weight decomposition이라 부른다.

특히 이를 위의 상황에 적용하면, 우리는 임의의 simply connected compact Lie group $G$와 $G$의 한 maximal torus $T$에 대하여, adjoint representation $\Ad: G\rightarrow \Aut(\mathfrak{g})$를 $T$로 제한하여 $\mathfrak{g}$를 $T$-module로 볼 수 있다. 그럼 이를 통해 $T$의 representation $\Ad\vert_T: T \rightarrow \Aut(\mathfrak{g})$를 얻고, 따라서 $\mathfrak{g}$의 weight decomposition을 얻게 될 것이다.

한편 우리는 adjoint action $\Ad$의 명시적인 정의로부터, $T$가 trivial하게 act하는 $\mathfrak{g}$의 subspace를 정확히 알고 있다. 즉 $T$의 Lie algebra $\mathfrak{t}$를 생각하면, $T$가 abelian이라는 사실로부터 $\mathfrak{t}$ 위에서는 이 action이 identity가 되는 것을 안다. 이 때 identity에 해당하는 linear functional은 zero map이므로, 우리는 다음의 decomposition

\[\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\bigoplus_{\alpha\neq 0}\mathfrak{g}_\alpha\tag{2}\]

를 얻는다.

이제 우리는 앞선 논의를 Lie algebra의 언어로 바꾸어 쓸 것이다. 그 전에 우리의 관심을 다소 제한시킬 필요가 있다. 우선 임의의 Lie algebra $\mathfrak{g}$가 semisimple이라는 것은 $\mathfrak{g}$가 simple Lie algebra들의 direct sum이라는 것이며, 여기서 simple Lie algebra는 그 ideal이 $0$과 자기자신 뿐인 non-abelian Lie algebra를 의미한다. 만일 $\mathfrak{g}$가 semisimple Lie algebra라면, 다음의 식

\[( X,Y)=\tr(\ad_X\ad_Y)\]

으로 정의한 $(-,-): \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow \mathbb{K}$이 non-degenerate이며 그 역도 성립한다는 것을 보일 수 있다. 그럼 우리는 이 “내적”으로부터 weight들의 기하학에 대해 살펴볼 수 있게 된다.

따라서 $\mathfrak{g}$가 semisimple Lie algebra라 하자. 그럼 $\mathfrak{g}$의 Lie subalgebra $\mathfrak{h}$가 Cartan subalgebra라는 것은 $\mathfrak{h}$가 maximal abelian Lie algebra이며, 각각의 $H\in \mathfrak{h}$에 대하여 $\ad_H$가 diagonalizable인 것이다. 이는 semisimple Lie algebra를 가지는 compact Lie group $G$로 한정한다면, Lie correspondance에 의하여 정확히 $G$의 maximal torus의 Lie algebra에 해당하는 것이다.

이를 바탕으로 위의 decomposition (2)를 살펴보면 $\mathfrak{g}_0$은 정확히 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$에 해당하는 부분이 되며 $\mathfrak{g}_\alpha$들 위에서는 torus $T$가 act하므로 그 미분 $\ad$를 통해 $\mathfrak{h}$가 act한다. 이제 다음을 정의하자.

정의 4 Semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$와 $\mathfrak{g}$의 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$에 대하여,

\[\Phi=\left\{\alpha\in \mathfrak{h}^\ast\setminus\{0\}\mid \mathfrak{g}_\alpha\neq 0\right\}\]

의 원소들을 $\mathfrak{g}$의 root라 부른다. 이 때

\[\mathfrak{g}_\alpha=\left\{X\in \mathfrak{g}\mid [H,X]=\alpha(H)X\text{ for all $H\in \mathfrak{h}$}\right\}\]

이다. (§리 군, ⁋정의 19)

즉, semisimple Lie group $G$와 $G$의 maximal torus $T$, 그리고 $T$의 Lie algebra $\mathfrak{t}$를 생각하면, $T$의 adjoint action의 weight decomposition은 다음의 root space decomposition

\[\mathfrak{g}=\mathfrak{t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in \Phi} \mathfrak{g}_\alpha\]

을 준다. 우리가 이들을 weight 대신 별도로 root라 부르는 이유는 위에서 언급한 것과 같이 $\mathfrak{g}$ 위에 잘 정의된 내적을 통해 이들이 root system을 이루기 때문이다.

정의 5 유한차원 벡터공간 $E$와 그 위에 정의된 inner product $( -,-)$을 고정하자. $E$의 non-zero vector들의 유한한 집합 $\Phi$가 root system이라는 것은 다음의 조건들이 만족되는 것이다.

1. $\Phi$의 원소들이 $E$를 span한다.
2. 만일 $\alpha\in \Phi$이고 $c\in \mathbb{R}$이라면 $c\alpha\in \Phi$이기 위해서는 $c=\pm 1$이어야 한다.

3. 각각의 root $\alpha\in\Phi$에 대하여, $\Phi$는 $\alpha$에 수직인 초평면에 대한 대칭이동 $s_\alpha$에 대해 닫혀있다. 즉, 임의의 $\alpha,\beta\in \Phi$에 대하여

   \[s_\alpha(\beta):=\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha\in \Phi\]

   이다.

4. 임의의 root $\alpha,\beta\in\Phi$에 대하여, 다음 식

   \[\langle \beta,\alpha\rangle:=2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\]

   은 항상 정수이다.

Semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$의 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$를 고정하자. 그럼 Killing form $(-,-): \mathfrak{h}\times \mathfrak{h}\rightarrow \mathbb{K}$으로부터 canonical isomorphism

\[\mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{h}^\ast: v\mapsto (-,v)\]

이 존재하며 이를 통해 $\mathfrak{h}^\ast$를 Euclidean space로 볼 수 있다. 명시적으로, 만일 $\alpha,\beta\in \mathfrak{h}^\ast$이고 이에 대응되는 $\mathfrak{h}$의 원소들이 $v_\alpha,v_\beta$라 한다면

\[(\alpha,\beta)=(v_\alpha,v_\beta)=\beta(v_\alpha)\]

로 주어진다. 그럼 이제 다음이 성립한다.

명제 6 정의 4에서 정의한 root들의 모임 $\Phi$는 $\mathfrak{h}^\ast$의 root system이다.

증명

근계의 성질들

기본적으로 우리가 관심을 갖는 대상은 정의 4에서 정의한, semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$와 그 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$가 정의하는 root system $\Phi$이다. 이를 살펴보기 위해 우리는

Inner product space $V$의 root system $\Phi$를 고정하자. 그럼 우리는 임의의 root $\alpha\in \Phi$에 대한 reflection

\[s_\alpha(v)=v-2\frac{(v,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha=v-\langle v,\alpha\rangle \alpha\]

을 생각할 수 있다. 이는 벡터 $\alpha$가 정의하는 초평면에 대한 대칭이동이다. 이러한 대칭이동들로 생성되는 $\Omat(V)$의 subgroup을 우리는 root system $\Phi$의 Weyl group이라 부르기로 하였다.

본질적으로 이는 기하학적 대상이므로 우리는 이를 살펴보아 기하학적 직관을 얻을 수 있다. 가령 우리는 임의의 root system에 대한 Weyl group이 유한하다는 것을 보일 수 있다.

명제 8 임의의 root system $\Phi$에 대하여 그 Weyl group은 유한하다.

증명

정의 5의 셋째 조건에 의하여 $W(\Phi)$의 원소들은 유한집합 $\Phi$ 위에 act한다. 한편 이 action $W\rightarrow S_\Phi$는 faithful action이다. 만일 어떠한 $w\in W$가 $\id_{\Phi}$로 옮겨진다면, 정의 5의 첫째 조건에 의하여 $w\in W$는 $E$의 원소 전체를 고정하는 reflection이고 따라서 $w$는 $W$의 identity이다.

이제 다음의 예시들을 살펴보자.

예시 9 우선 standard Euclidean space $\mathbb{R}^{n+1}$을 생각하고, $\mathbb{R}^{n+1}$의 subspace

\[V_n=\left\{(x_1,\ldots, x_{n+1}\mid x_1+\cdots+x_{n+1}=0\right\}\]

을 생각하자. 우리는 이 벡터공간의 부분집합

\[\Phi(A_n)=\left\{e_i-e_j\mid 1\leq i\neq j\leq n+1\right\}\]

을 생각한다. 그럼 이 집합이 정의 5의 조건을 모두 만족하는 것을 안다. 첫째 조건인 $\Phi(A_n)$이 $V_n$을 span하는 것과, 둘째 조건이 성립하는 것은 자명하다. 셋째 조건의 경우, 임의의 벡터 $\mathbf{x}=(x_1,\ldots, x_{n+1})$와 임의의 $\mathbf{e}_{ij}=e_i-e_j$에 대하여 다음 식

\[s_{ij}(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{ij}\rangle\mathbf{e}_{ij}=(x_1,\ldots, x_{n+1})-(x_i-x_j)\mathbf{e}_{ij}\]

이고 이는 $\mathbf{x}$의 $i$번째와 $j$번째의 성분을 바꾼 것으로 주어진다. 따라서 이로부터 정의 5의 셋째 조건이 성립하는 것을 알고 넷째 조건은 자명하다. 또, 위의 계산으로부터 $W(\Phi(A_n))$은 $\Phi(A_n)$의 각각의 성분을 교환하는 것으로 주어지는 것을 안다. 즉 $W(\Phi(A_n))\cong S_{n+1}$이다.

비슷하게 다음의 예시를 생각할 수 있다.

예시 10 이번에는 standard Euclidean space $\mathbb{R}^n$을 생각하자. 이번에는 다음 집합

\[\Phi(D_n)=\left\{\pm e_i\pm e_j\mid 1\leq i \neq j\leq n\right\}\]

을 생각한다. 이들 벡터들이 $\mathbb{R}^n$을 span하는 것은 자명하다. 이번에는 임의의 $\mathbf{e}_{ij}^\pm =e_i\pm e_j$들이 어떠한 reflection을 정의하는지를 살펴보아야 한다. 우리는 $e_i-e_j$들이 벡터 $\mathbf{x}$의 $i$번째와 $j$번째 성분을 바꿔주는 것을 알고 있으며 따라서 $e_i+e_j$가 어떠한 reflection을 정의하는지를 알뗜 충분하다. 즉 다음의 계산

\[s_{ij}^+(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\langle\mathbf{x}, \mathbf{e}_{ij}^+\rangle\mathbf{e}_{ij}^+=(x_1,\ldots, x_n)-(x_i+x_j)\mathbf{e}_{ij}\]

을 생각하면, $s_{ij}^+$는 주어진 벡터의 $i$번째 성분과 $j$번째 성분을 바꾼 후 부호까지 반대로 바꾸어주는 것이다. 즉 Weyl group은 semidirect product

\[(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{n-1}\rtimes S_n\]

이 된다.

한편, 우리는 $\mathbb{R}^n$의 부분집합

\[\Phi=\{e_1,\ldots, e_n\}\]

이 root system이 되는지를 생각할 수 있으며, 어렵지 않게 이들이 실제로 $\mathbb{R}^n$의 root system을 이룬다는 것을 확인할 수 있다. 동시에 이 과정에서 우리는

위의 예시들에서 살펴볼 수 있듯이 root system을 묘사하기 위해 모든 root들이 필요한 것은 아니다. 가령 $\Phi(A_n)$의 경우,

\[e_i-e_k=(e_i-e_j)+(e_j-e_k)\]

이 성립하며 이로부터 $\Phi(A_n)$을 묘사하기 위해서는 $e_i-e_{i+1}$ 꼴의 원소들만 필요함을 안다. 이와 비슷한 방식으로 우리는 다음을 정의한다.

정의 11 Root system $\Phi$에 대하여, 우리는 $\Phi$의 부분집합 $\Phi^+$가 positive root들의 부분집합이라는 것은 각각의 root $\alpha\in \Phi$에 대하여, $\alpha$와 $-\alpha$ 중 정확하게 하나만이 $\Phi$에 속하며, 임의의 두 $\alpha,\beta\in \Phi^+$가 주어질 때마다 $\alpha+\beta\in \Phi^+$ 또한 성립하는 것이다. Simple root들의 모임 $\Phi^+$을 고정하였을 때, $\Phi^+$의 원소 $\alpha$가 simple root라는 것은 $\alpha$를 $\Phi^+$의 두 원소들의 합으로 나타낼 수 없는 것이다.

따라서 simple root들 사이의 정수값들

\[\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle=2\frac{(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_j,\alpha_j)}\]

들이 어떻게 정의되었는지만 안다면, 임의의 root $\alpha_j$에 대한 reflection $s_j$가 다른 root $\alpha_i$을 어떻게 옮기는지를 알 수 있고 따라서 이들이 Weyl group에 대한 정보를 모두 갖고 있다.

이제 root system $\Phi$와 simple root들의 모임 $\Delta=\left\{\alpha_1,\ldots, \alpha_l\right\}$이 고정되었다고 하자. 그럼 Cartan matrix는 다음과 같이 정의된다.

정의 12 위와 같은 세팅에서, 다음의 행렬

\[A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq l},\qquad a_{ij}=\langle \alpha_i,\alpha_j\rangle\]

을 Cartan matrix라 부른다.

Root system의 정의에 의하여 각각의 성분 $a_{ij}$는 정수이다. 또 각각의 $i$에 대하여 $a_{ii}=2$인 것 또한 자명하다.

한편, 우리는 다음의 식

\[\langle\alpha,\beta\rangle \langle\beta,\alpha\rangle=4\frac{(\alpha,\beta)^2}{\lvert\alpha\rvert^2\lvert\beta\rvert^2}=4(\cos\theta)^2\]

과, 좌변이 정수라는 사실로부터 임의의 두 root $\alpha,\beta$에 대해 $\langle\alpha,\beta\rangle$이 취할 수 있는 값은 $0, \pm 1, \pm 2$ 뿐인 것을 안다. 여기서 $\cos\theta$는 두 root $\alpha,\beta$가 이루는 사잇각이며 이것이 취할 수 있는 값은

\[0, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1\]

이 된다. 여기서 $\pm 1$의 경우는 정의 5의 둘째 조건에 의해 배제되므로 root들은 각각 $30$도 (혹은 $150$도), $45$도 (혹은 $135$도), $60$도 (혹은 $120$도)의 각도만 이룰 수 있다.

예시를 위해 만일 두 root $\alpha,\beta$가 이루는 각이 $30$도이거나 $150$도라 하자. 그럼

\[\langle\alpha,\beta\rangle\langle\beta,\alpha\rangle=3\]

으로부터 $\langle\alpha,\beta\rangle$은 $\pm 1$이거나 $\pm 3$이어야 한다. 이제 다음 식

\[\langle \alpha,\beta\rangle =2\frac{(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)}=\frac{2\lvert\alpha\rvert\lvert\beta\rvert\cos\theta}{\lvert\beta\rvert^2}=\frac{\pm \sqrt{3}\lvert\alpha\rvert}{\lvert\beta\rvert}\]

의 값이 $\pm 1$ 혹은 $\pm 3$이라는 것으로부터 우리는 $\alpha$와 $\beta$의 길이비가 $\sqrt{3}$이어야 함을 안다. 비슷하게 두 root $\alpha,\beta$가 이루는 각이 $45$도 혹은 $135$도라면, 이들 두 root의 길이비는 $\sqrt{2}$여야 하고 $60$도 혹은 $120$도의 경우에는 길이비가 $1$이어야 함을 안다.

한편

바일 군

지금까지의 핵심적인 내용을 요약하면 다음과 같다.

Compact, connected semisimple Lie group $G$에 대하여, 그 maximal torus $T$를 고정하고 adjoint representation $\Ad:G \rightarrow \Aut(\mathfrak{g})$를 $T$로 제한하여 얻어진 weight decomposition을 생각하자. 그럼 weight들은 $\mathfrak{t}^\ast$의 원소이며, 이 위에 정의된 Killing form $(-,-)$에 대하여, nonzero weight들은 root system을 이룬다.

이제 우리가 남은 글에서 설명할 것은 만일 maximal torus $T$를 다른 maximal torus $T’$로 바꾼다면, 이 root decomposition은 어떻게 바뀔지에 대한 것이다. 큰 흐름은 다음과 같다.

1. 고정된 root system $\Phi$에 대하여, $\Phi$는 정의 5의 세 번째 조건으로부터 $s_\alpha$들에 대해 닫혀있다. 이러한 원소들로 이루어진 reflection group을 Weyl group $W(\Phi)$이라 부른다.
2. 한편, 임의의 Lie group 위에 정의된 maximal torus $T$에 대하여, $G$의 adjoint action 중 $T$를 보존하는 것들의 모임을 $W(G,T)=N_G(T)/T$으로 적는다.

우리의 핵심적인 주장은, 위의 상황에서 만들어지는 root system을 $\Phi(G,T)$라 할 경우, $W(\Phi(G,T))\cong W(G,T)$가 성립한다는 것이다. 물론 만일 다른 maximal torus $T’$를 택한다면, 마찬가지로 $W(\Phi(G, T’))\cong W(G, T’)$를 얻을 것이다. 그럼 우리의 두 번째 주장은 canonical하게 $W(\Phi(G,T))\cong W(\Phi(G, T’))$ 그리고 $W(G,T)\cong W(G, T’)$이며 이 canonical isomorphism 하에서 두 isomorphism $W(\Phi(G,T))\cong W(G,T)$와 $W(\Phi(G, T’))\cong W(G, T’)$는 같은 것이라는 것이다. 이에 대한 증명을 모두 하려면 글이 과하게 길어지므로 이 대응들 각각에 대한 설명만 하기로 한다.

위의 흐름에서 $W(\Phi)$는 그 정의가 자명하므로, 이를 자세히 살펴보는 것은 다음 절로 미루고 $W(G,T)$를 우선 정의하자.

정의 6 Compact connected Lie group $G$와, $G$의 maximal torus $T$, 그리고 그 normalizer

\[N=N(T)=\{g\in G\mid gTg^{-1}=T\}\]

에 대하여, $W(G,T)=N/T$를 $G$의 Weyl group이라 부른다.

정의에 의해 Weyl group은 $T$의 선택에 의존하지만, 다음이 성립한다.

정리 7 (Cartan) 임의의 compact connected Lie group $G$의 두 maximal torus $T,T’$는 항상 conjugate이며, 임의의 $G$의 원소는 어떤 maximal torus에 포함되어 있다.

바꾸어 말하자면, 임의의 $G$의 element는, 고정된 maximal torus $T$에 대하여, 적당한 $t\in T$의 conjugate으로 쓸 수 있다.

이제 $W(G,T)$가 root system $\Phi(G,T)$ 위에 어떻게 작용하는지를 살펴봐야 한다. 이는 다음의 식

\[((nT)\cdot \alpha)(H)=\alpha(\Ad(n^{-1})(H))\qquad\text{for all $H\in \mathfrak{t}$}\]

으로 주어진다. 이는 더 자세하게 쓰면 다음과 같다. 임의의 root $\alpha:\mathfrak{t}\rightarrow \mathbb{C}$를 생각하자. 이 root에 해당하는 weight space는

\[g_{\alpha}=\left\{X\in \mathfrak{g}\mid [H,X]=\alpha(H)X\text{ for all $H\in \mathfrak{h}$}\right\}\]

이다. 이제 임의의 $X_\alpha\in \mathfrak{g}_\alpha$와 $n\in N_G(T)$에 대하여, $n$은 $nTn^{-1}=T$를 만족하므로 이를 미분하면 $n$에 의한 adjoint action은 Cartan subalgebra $\mathfrak{t}$ 또한 보존한다. 이제 식

\[\alpha(H)X=[H,X]\text{for all $H\in \mathfrak{t}$}\]

의 양변에 $n$에 의한 conjugation을 취하면,

\[\alpha(H)(nXn^{-1})=[nHn^{-1}, nXn^{-1}]\text{for all $H\in \mathfrak{t}$}\]

을 얻는다. 한편 $nHn^{-1}\in \mathfrak{t}$이고, 이것이 $\mathfrak{t}$와 $n\mathfrak{t}n^{-1}$ 사이의 bijection을 정의하므로 이는 다음의 식

\[[H, nXn^{-1}]=\alpha(H)\cdot (nXn^{-1})\text{for all $H\in \mathfrak{t}$}\]

으로 쓸 수 있다. 즉, 요약하자면 $\mathfrak{t}$에서 $\mathfrak{t}$로의 conjugation map $c(n): X\mapsto nXn^{-1}$을 생각하면, 식 $w(\alpha)=\alpha\circ c(n^{-1})$으로 정의된 $w(\alpha)$ 또한 root이며 이 때 root space 또한 conjugation action을 통해 옮겨지게 된다.

이제 이 대응이 $W(G,T)\cong W(\Phi(G,T))$를 준다는 것이 앞서 언급한 핵심적인 주장이 된다.

한편 정리 7에 의하여, 우리는 임의의 maximal torus $T, T’$가 주어진다면 $T’=gTg^{-1}$을 만족하는 $g\in G$가 존재하게, 이로부터 만들어지는 Weyl group $W(G, T’)$ 또한

\[W(G, T')=N_G(T')/T'=(gN_G(T)g^{-1})/(gTg^{-1})\cong W(G,T)\]

임을 안다. 이 때 명시적인 isomorphism $W(G,T)\rightarrow W(G, T’)$는 당연히 $nT\mapsto gng^{-1}T’$으로 주어진다. 우리의 두 번째 주장은, 이렇게 얻어지는 다음의 diagram

이 commutative diagram이라는 것이다.