G-모듈로서의 표현
§표현에서 우리는 Lie group $G$의 표현을 다음과 같이 정의했다: $G$의 표현은 벡터공간 $V$와 함께 행동
\[G \times V \to V, \quad (g, v) \mapsto \rho(g)(v)\]를 정의하는 것이다.
이를 다른 관점에서 보면, 우리는 벡터공간 $V$를 $G$-모듈로 생각할 수 있다. 즉, $G$의 각 원소가 $V$ 위의 선형변환으로 작용하는 구조를 가진 벡터공간이다. 더 나아가 $\mathfrak{g} = \text{Lie}(G)$의 표현도 마찬가지이다. Lie algebra의 표현은 벡터공간 $V$와 $\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$의 Lie algebra homomorphism $\rho$로 정의되며, 이를 통해 $V$를 $\mathfrak{g}$-모듈로 본다.
이러한 관점은 매우 유용하다. 왜냐하면 $\mathfrak{g}$-모듈 위의 구조를 이해하는 것은 선형대수의 관점에서 보면, 일련의 commuting (또는 related) linear operators 위의 구조를 이해하는 것이기 때문이다.
Adjoint representation과 root space decomposition
이제 특별한 표현 하나를 생각하자: adjoint representation이다. §리 군, ⁋정의 19에서 정의한 바와 같이, Lie algebra $\mathfrak{g}$는 adjoint action을 통해 자기 자신 위에 표현된다:
\[\text{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}), \quad \text{ad}_X(Y) = [X, Y]\]따라서 $\mathfrak{g}$는 $\mathfrak{g}$-모듈이다.
이제 Semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$의 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$를 고정하자. $\mathfrak{h}$는 maximal abelian Lie subalgebra이므로, 그 위의 모든 원소들은 서로 commute한다:
\[[H_1, H_2] = 0 \quad \text{for all } H_1, H_2 \in \mathfrak{h}\]선형대수의 관점에서 보면, $\mathfrak{h}$의 모든 adjoint operator들은 서로 commute한다:
\[[\text{ad}_{H_1}, \text{ad}_{H_2}] = 0\]이는 중요한 결과를 의미한다. Commuting linear operators들은 동시에 대각화 가능하다. 따라서 우리는 $\mathfrak{g}$를 이들의 동시 고유공간(simultaneous eigenspace)들로 분해할 수 있다.
구체적으로, 각 linear functional $\lambda: \mathfrak{h} \to \mathbb{C}$에 대하여, 다음과 같이 정의한다:
\[\mathfrak{g}_\lambda = \{X \in \mathfrak{g} \mid [H, X] = \lambda(H)X \text{ for all } H \in \mathfrak{h}\}\]그러면
\[\mathfrak{g} = \bigoplus_{\lambda \in \mathfrak{h}^*} \mathfrak{g}_\lambda\]이다. 이것이 weight space decomposition이다.
Root space와 근계의 정의
이제 이 분해에서 특별한 부분들을 주목하자. $\lambda = 0$인 경우:
\[\mathfrak{g}_0 = \{X \in \mathfrak{g} \mid [H, X] = 0 \text{ for all } H \in \mathfrak{h}\}\]이는 $\mathfrak{h}$의 centralizer이고, $\mathfrak{h}$의 maximality에 의해 $\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{h}$이다.
따라서 분해를 다시 쓰면:
\[\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\lambda \in \mathfrak{h}^* \setminus \{0\}} \mathfrak{g}_\lambda\]Nonzero functional들 중에서 $\mathfrak{g}_\lambda \neq 0$인 것들을 root라고 부른다.
정의 1 Semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$와 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$에 대하여, root들의 집합은
\[\Phi = \{\alpha \in \mathfrak{h}^* \setminus \{0\} \mid \mathfrak{g}_\alpha \neq 0\}\]이다. 각 $\alpha \in \Phi$에 대해 $\mathfrak{g}_\alpha$를 root space라 부른다.
이제 root space decomposition은 다음과 같이 쓸 수 있다:
\[\mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Phi} \mathfrak{g}_\alpha\]선형대수와의 유사성을 명확히 하면:
| 선형대수 | Lie 이론 |
|---|---|
| 행렬 $A$의 고유값 | Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$에 대한 root |
| 고유공간 $E_\lambda$ | Root space $\mathfrak{g}_\alpha$ |
| 고유벡터 | Root vector |
| 고유공간 분해 $V = \bigoplus E_\lambda$ | Root space 분해 $\mathfrak{g} = \bigoplus \mathfrak{g}_\alpha$ |
차이는 단일 operator $A$ 대신 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$라는 전체 family of commuting operators를 동시에 대각화한다는 점이다.
Killing form과 근계의 구조
지금까지는 purely algebraic한 구조를 다루었다. 이제 기하학적 구조를 도입한다.
Semisimple Lie algebra는 Killing form을 가진다:
\[B(X, Y) = \text{tr}(\text{ad}_X \circ \text{ad}_Y)\]이 form은 non-degenerate이며, $\mathfrak{h}$ 위에도 non-degenerate하다. 따라서 canonical isomorphism
\[\mathfrak{h} \xrightarrow{\sim} \mathfrak{h}^*: H \mapsto B(H, \cdot)\]이 존재한다. 이를 통해 $\mathfrak{h}^$를 inner product space로 볼 수 있다. 구체적으로, $\alpha, \beta \in \mathfrak{h}^$에 대응되는 $H_\alpha, H_\beta \in \mathfrak{h}$가 있을 때,
\[(\alpha, \beta) := B(H_\alpha, H_\beta)\]로 정의한다. 이제 roots들이 이 inner product에 대해 어떤 구조를 가지는지 살펴보자.
정의 2 유한차원 inner product space $(E, (\cdot, \cdot))$의 nonzero vectors의 유한집합 $\Phi$가 root system이라는 것은 다음의 조건들을 만족하는 것이다:
- $\Phi$의 원소들이 $E$를 span한다.
- $\alpha \in \Phi$이고 $c \in \mathbb{R}$일 때, $c\alpha \in \Phi$이기 위해서는 $c = \pm 1$이어야 한다.
- 각 $\alpha \in \Phi$에 대하여, reflection \(s_\alpha(\beta) := \beta - 2\frac{(\beta, \alpha)}{(\alpha, \alpha)}\alpha\) 는 $\Phi$를 보존한다.
- 모든 $\alpha, \beta \in \Phi$에 대하여, \(\langle \beta, \alpha \rangle := 2\frac{(\beta, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \in \mathbb{Z}\) 이 성립한다.
Root system의 조건들은 roots의 기하학적 관계가 매우 제한적임을 보여준다. 조건 4의 정수성과 조건 2의 정규화로부터, 두 roots가 이룰 수 있는 각도는 $30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°$ 등으로 극히 제한된다.
명제 1 Semisimple Lie algebra $\mathfrak{g}$의 Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$에 대하여, Killing form으로부터 정의된 roots의 집합 $\Phi \subset \mathfrak{h}^$는 $\mathfrak{h}^$의 root system이다.
증명
조건 1은 root space decomposition으로부터 명백하다. 조건 2도 root의 정의에서 자명하다.
조건 3을 위해, $\alpha, \beta \in \Phi$이고 $E_\alpha \in \mathfrak{g}\alpha$, $E\beta \in \mathfrak{g}_\beta$라 하자. Jacobi identity
\[[H, [E_\alpha, E_\beta]] = [[H, E_\alpha], E_\beta] + [E_\alpha, [H, E_\beta]]\]로부터
\[[H, [E_\alpha, E_\beta]] = (\alpha(H) + \beta(H))[E_\alpha, E_\beta]\]가 따른다. 따라서 $[E_\alpha, E_\beta]$는 weight $\alpha + \beta$를 가지거나 영벡터이다. 더 자세한 분석 (예: string representation)을 통해 reflection $s_\alpha$가 roots를 보존함을 보일 수 있다.
조건 4의 정수성은 root space와 Killing form의 구조로부터 자명하다.
Simple roots와 Cartan matrix
Root space decomposition의 구조는 매우 복잡하지만, 모든 roots를 명시적으로 알 필요는 없다. 마치 고유공간의 basis들로 충분하듯이, simple roots만으로 전체 root system을 재구성할 수 있다.
먼저 positive roots의 system $\Phi^+ \subset \Phi$를 선택한다. 이는 각 root에 대해 정확히 하나의 방향을 선택하는 것이고, 적절한 ordering으로부터 정의된다.
정의 3 Positive roots $\Phi^+ \subset \Phi$에 대하여, $\alpha \in \Phi^+$가 simple root라는 것은 $\alpha$를 $\Phi^+$의 다른 원소들의 음이 아닌 정수 일차결합으로 표현할 수 없는 것이다. Simple roots의 모임을 $\Delta$라 표기한다.
중요한 사실은 모든 positive root가 simple roots의 음이 아닌 정수 일차결합으로 유일하게 표현된다는 것이다. 따라서 root system 전체는 simple roots의 구조, 즉 그들 사이의 inner products에 의해 완전히 결정된다.
정의 4 Simple roots $\Delta = {\alpha_1, \ldots, \alpha_l}$에 대하여, Cartan matrix는
\[A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le l}, \quad a_{ij} = \langle \alpha_i, \alpha_j \rangle = 2\frac{(\alpha_i, \alpha_j)}{(\alpha_j, \alpha_j)}\]로 정의된다.
Cartan matrix는 다음의 성질을 가진다:
- 대각 성분: $a_{ii} = 2$
- 비대각 성분 $a_{ij}$ ($i \neq j$): root 사이의 각도 제약에 의해 $a_{ij} \in {-3, -2, -1, 0}$
- 행과 열을 permute했을 때 다른 형태가 되면, root system도 decomposable이다.
이 유한한 행렬 하나가 전체 semisimple Lie algebra의 root space 구조를 완전히 결정한다.
Weyl group과 근계의 대칭성
Root system의 정의 조건 3에서 각 root에 대한 reflection이 $\Phi$를 보존한다고 했다. 이러한 reflections들로 생성되는 group을 정의하자.
정의 5 Root system $\Phi$의 Weyl group은
\[W(\Phi) := \langle s_\alpha \mid \alpha \in \Phi \rangle \subset O(E)\]이다. 즉, 모든 root reflections로 생성되는 orthogonal group의 부분군이다.
Weyl group은 root system의 모든 대칭을 담당한다.
명제 2 임의의 root system $\Phi$에 대하여, Weyl group $W(\Phi)$는 유한군이다.
증명
각 reflection $s_\alpha$는 유한집합 $\Phi$ 위에 작용한다. Root system의 조건 3에 의해 모든 reflections는 $\Phi$를 보존하므로, Weyl group은 대칭군 $S_\Phi$의 부분군이다. 따라서 유한하다.
중요한 관찰은 Weyl group이 simple reflections ${s_{\alpha_i}}$ (simple roots에 대한 reflection)로 생성된다는 것이다. 따라서 Cartan matrix를 알면 Weyl group의 구조도 파악할 수 있다.
결론: 선형대수에서 근계로
우리는 다음과 같은 길을 걸어왔다:
- G-모듈 관점: Lie algebra $\mathfrak{g}$의 표현을 $\mathfrak{g}$-모듈로 본다.
- 동시 대각화: Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$의 모든 원소들이 동시에 대각화 가능하다.
- Weight space decomposition: $\mathfrak{g}$를 동시 고유공간들로 분해한다.
- Root space decomposition: Nonzero weight들만 따로 모아 roots를 정의한다.
- 기하학적 구조: Killing form으로부터 정의된 inner product에서 roots는 root system을 이룬다.
- 간결한 표현: Simple roots와 Cartan matrix로 전체 구조를 인코딩한다.
- 대칭성: Weyl group이 모든 대칭을 담당한다.
이는 모두 선형대수의 기본 개념 “행렬의 동시 고유공간 분해”에서 출발한 것이다. Lie theory는 이 아이디어를 여러 개의 non-commuting operators로 확장하고, 그 결과적 구조를 깊이 있게 분석하는 학문이라고 할 수 있다.
참고문헌
- Humphreys, J. E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, 1972.
- Serre, J.-P. Complex Semisimple Lie Algebras. Springer, 1987.
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